文档内容
专题04 实际问题与一元二次方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
题型一 传播问题
题型二 增长率问题
题型三 与图形有关的问题
题型四 数字问题
题型五 营销问题
题型六 动态几何问题
题型七 工程问题
题型八 行程问题
题型九 图表信息题
题型十 其他问题
知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；
③依据等量关系式和未知数x建立方程；
④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
知识点02 一元二次方程应用题常见类型：
1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。
知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础
1.增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
总结：有关增长率和降低率的有关数量关系
增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量
是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”).
知识点04 传播问题实例探索
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
知识点05 碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
1
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= n（n−1）
2
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A 与 B 比赛在 A 的主场，B 与 A 比赛在 B 的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m=
n（n−1）
【经典例题一 传播问题】
【例1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，
最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求
转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个
人又要转发x人，据此列出方程求解即可；（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得， ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解： 人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
1．（2024九年级·全国·竞赛）有一种传染病传染性很强，研究发现，在某地区如果有一个人染上该病，那
么经过两轮传染后，理论上就共有121人染上该病，请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几个人？
如果疫情不能得到有效控制，那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病？
【答案】1331人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x的一
元二次方程，解之取其正值，再列式计算即可得出结论．
【详解】解：设该传染病在每轮传染中平均一个人会传染 个人，则
，
解得 （舍），或 ，
∴经过三轮传染后染上这种病的人数为：
（人）．
答：经过三轮传染后将会有1331人染上这种病．
2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而
停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了
甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人感染几人?
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮感染后累计是否超过200人患了甲流?
【答案】(1)每轮感染中平均一个人感染 人
(2)经过三轮感染后累计超过200人患了甲流【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列
出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设每轮感染中平均一个人感染 人，根据“小区经过两轮传播后共有36人患了甲流”，列出方程，
解方程即可得出答案；
（2）先计算出经过三轮感染后患甲流的人数，再和 进行比较即可．
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人感染 人，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： 或 ，
，
，
每轮感染中平均一个人感染 人；
（2）解：由题意得：
经过三轮感染后患甲流的人数为： （人），
，
经过三轮感染后累计超过200人患了甲流．
3．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如今，每到春季，甲流便肆虑横行，成为当前主流流行疾病之一，
某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有36人患了甲
流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人?
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过200人患了甲流?
【答案】(1)5人
(2)会
【分析】此题考查一元二次方程的实际应用：
（1）设每轮感染中平均一个人传染x人，根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）利用（1）的结果再计算即可
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染 人，根据题意，得 ．
解得 ，或 （不合题意舍去）．答：每轮感染中平均一个人传染5人．
（2）根据题意，知第三轮的患病人数为 ，
∵ ，
∴经过三轮传染后累计患甲流的人数会超过200人．
【经典例题二 增长率问题】
【例2】（2024年辽宁省大连市初中学业水平第三次五区模拟考试数学试题）某校为响应我市全民阅读活
动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三
个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校
图书馆能否接纳．
【答案】(1)月平均增长率为
(2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键；
（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可；
（2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可．
【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得： ，
化简得： ，
解得： （舍去）；
答：进馆人次月平均增长率为 ；
（2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次；
由于进馆人次的月平均增长率为 ，
则第四个月的进馆人次为： ；
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．1．（2024·甘肃武威·三模）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014
年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育
经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增
长率．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，
设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，
得： ，
解得： ， （舍），
∴两年该县投入教育经费的年平均增长率为 ．
2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一
段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示．
(1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？
(2)在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，
求平均每次降价的百分比．
【答案】(1)销售价格应定为90元千克
(2)平均每次降价的百分比是
【分析】本题考查了一次函数的应用及一元二次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为 把 ， 代入即可求出 ，再根据“销售利润达到1400元”列出方程求解，最后分别求出两个销售成本的值，舍去不符合题意的值即
可得出答案；
（2）设平均每次降价的百分比是m，根据“经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完”列出
方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 把 ，
代入得 ，
解得 ，
y与x之间的函数关系式为 ，
根据题意得 ，
解得 ， ．
当 时，销售成本为： ，
当 时，销售成本为： ，
答：销售价格应定为90元/千克．
（2）解：设平均每次降价的百分比是m，根据题意得，
解得 ， （舍去）．
答：平均每次降价的百分比是 ．
3．（2024·辽宁锦州·二模）为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造
老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那
么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？
【答案】(1)年平均增长率为(2)137个
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列
出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，利用该市改造老旧小区 年投入资金
该市改造老旧小区 年投入资金 （ 该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率） ，即可得出关于
的一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）利用 年计划投入的资金可以改造老旧小区的数量 该市改造老旧小区 年投入资金
改造每个小区的平均费用，即可得出答案．
【详解】（1）解：设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，
依题意，得 ．
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ．
（2）解：根据题意得： （个）
答：2024年计划投入的资金可以改造老旧小区137个．
【经典例题三 与图形有关的问题】
【例3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地
建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知 ， ，阴影部分设计为停车位，要
铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为 .
(1)求道路的宽是多少米?(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的
月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为
10120元，同时尽可能让利于居民?
【答案】(1) 米
(2)上涨 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）道路的宽为 米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为 ，结合其布局图，列出一元二次方程，
解方程取符合题意的值即可；
（2）设每个车位的月租金上涨 元时，停车场的月租金收入为 元，根据“该停车场共有车位 个，
据调查分析，当每个车位的月租金为 元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨 元，就会少租
出 个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可．
【详解】（1）道路的宽为 米,
由题意得：
整理得：
解得： (不合题意，舍去)，
答：道路的宽是 米；
（2）设每个车位的月租金上涨 元时，停车场的月租金收入 元,
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
∵尽可能让利于居民，
，
答：每个车位的月租金上涨 元时，停车场的月租金收入为 元．1．（2024八年级下·浙江·专题练习）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
某农户承包了一块长方形果园 ，图1是果园的
平面图，其中 米， 米．准备在它的
素 四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为 米，
材 左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水
1 果．
出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12
米，且不小于5米．
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调
查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平
素
均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受
材
天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若
2
每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500
平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．
问题解决
（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范
任 围．
务 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．
1 （2）若中间种植的面积是 ，则路
面设置的宽度是否符合要求．
任
解决果园种植的预期利润问题．
（3）若农户预期一个月的总利润为52万
务 元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少
2 （总利润 销售利润 承包费） 元？
【答案】（1） ；（2）符合要求；（3）40元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
（1）由“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，可得出x的取值范围；
（2）根据中间种植的面积是 ，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的
结论，即可得出路面设置的宽度符合要求；（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为 元，每月可售出
平方米草莓，再根据总利润 销售利润 承包费列出方程求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得： ；
（2）根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∵ ，
∴路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为 元，每月可售出
平方米草莓，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
又∵要让利于顾客，
∴ ．
答：每平方米草莓平均利润下调40元．
2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围
墙如图（围墙的长足够长），另两边 和 由总长为80米长的篱笆组成．
(1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求 的长；
(2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1) 的长为20米或60米(2)不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，
（1）设 的长为 米，则 的长为 米，依题意列出方程，解方程即可求解；
（2）根据题意，列出方程，由方程解的情况即可得解；
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决此题的关键．
【详解】（1）设 的长为 米，则 的长为 米，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得： ，
答： 的长为20米或60米．
（2）不能，理由如下：
根据题意，得 ，
整理，得 ，
，
该方程无实数根，
不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地．
3．（2024·广东汕头·一模）实践课上，老师出示了两个长方形，如图1，长方形的两边长分别为 ，
；如图2，长方形的两边长分别为 ， ．（其中m为正整数）
请解答下列问题：(1)图1中长方形的面积 _______；图2中长方形的面积 _______；
(2)比较 与 的大小；
(3)现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)1
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式的加减的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握运算
法则以及方法是解此题的关键．
（1）根据长方形面积公式结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出答案；
（2）计算出 ，结合 为正整数得出 ，即可得解；
（3）由题意得出正方形的边长为 ，结合正方形的面积为 即可得出关于 的方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
， ，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
由于 为正整数，
所以 ，
所以 ，
即 ；
（3）解：因为图1中长方形的周长为 ，
所以正方形的边长为 ；
依题意得 ，解得 ， （不合题意，舍去），
答： 的值为1．
【经典例题四 数字问题】
【例4】（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为 ，则 一定是偶数．
如： ， ， 为偶数．
(1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由；
(2)设两个相邻偶数为 和 ，请论证上述结论；
(3)若 ．求符合要求的偶数．
【答案】(1)满足上述结论，理由见详解
(2)见详解
(3) ， ； ，
【分析】本题考查了整数规律问题及一元二次方程的应用；
（1）根据已知条件进行运算，即可求解；
（2）计算 的结果是否能被 整除，即可求解；
（3）根据规律可得方程 ，解方程，即可求解；
理解规律，并能根据规律得到一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：满足上述结论；
理由如下：
，
，
为偶数；
（2）解：，
为偶数；
故上述结论正确；
（3）解：由题意得
，
整理得： ，
解得： ， ，
， ，
或 ， ，
故符合要求的偶数为 ， ； ， ．
1．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法
任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．
(1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，
的最大值为 ．
(2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明
理由．【答案】(1) ； ； ；
(2)10
(3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
（1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出 的最大
值；
（2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，
即可得出结论；
（3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这
四个数的和为124，可列出关于 的一元二次方程，解之可得出 的值，由 在最后一列，可得出假设
不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
【详解】（1）解：由题意得， ；
∵a是正整数，
∴ 也是正整数，
∴当a越大时，b也越大，
根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24，
∴ 的最大值为 ；
故答案为： ； ； ； ；
（2）解：根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
∴最小数是10；
（3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：
假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，
根据题意得： ，
整理得： ，解得： ， （不符合题意，舍去），
∵ 时，在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
2．（2023·河南开封·一模）阅读材料，解决问题．
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，
比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵
中所有的点数和称为三角数．
则第n个三角数可以用 （ 且为整数）来表示．
(1)若三角数是55，则 ______；
(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数
的和；
(3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)10
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）直接根据题意建立方程 进行求解即可；
（2）根据题意得到前n行所有点数的和为 ，然后提取公因数2即可得
到答案；
（3）根据题意建立方程 ，求出n不是正整数即可得到结论．【详解】（1）解：由题意得， ，即 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
故答案为：10；
（2）解：由题意得：前n行所有点数的和为
；
（3）解：不能，理由如下：
假设能为120，则 ，即
解得： ，
∵n为正整数，
∴前n行的点数和不能为120．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．
3．（23-24九年级上·重庆·期末）对于任意一个三位数 ，如果 满足各个数位上的数字都不为零，且十位
上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“方积数”．例如：
，因为 ，所以484是“方积数”．
(1)请通过计算判断263是不是“方积数”，并直接写出最小的“方积数”．
(2)已知一个“方积数” （ ，其中 ， ， 为自然数），若 是一元二次
方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，且 ，求满足条件的
所有 的值．
【答案】(1)263不是方积数，121
(2)121，242，363，484【分析】（1）由题意代入验证即可解答；
（2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝−2，得出m＝−1，n＝−1，求出b＝a＋c，a＝c，结合方积数的定
义即可得出答案
【详解】（1）∵62＝36，4×2×3＝24，36≠24
∴263不是方积数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“方积数”是121；
（2）∵k＝100a＋10b＋c是方积数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，
∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，
∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，
将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（ ）2＋b（ ）＋c＝0，
∴将m、 看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根，
∴m＝ ，即mn＝1，
∵m＋n＝﹣2，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b＋c＝0，
∴b＝a＋c，
∵b2＝4ac，
∴（a＋c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清方积数的定义．【经典例题五 营销问题】
【例5】（2024·福建福州·模拟预测）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库
自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅
游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20
斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍，
(1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；
(2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中
桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m 元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量
增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．
【答案】(1)桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；
(2)m的值为2
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正
确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是 元，利用数量=总价÷单价，结合用840元买的桂花鱼
的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出桂花鱼的
单价，再将其代入 中，即可得出大罗非的单价；
（2）利用数量=总价÷单价，可求出第一次购买大罗非的数量，再利用总价=单价×数量，可列出关于m的
一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
∴ （元）．
答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；
（2）第一次购买大罗非的数量是 （斤）．
根据题意得： ，
整理得： ，解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：m的值为2．
1．（2024·江苏常州·一模）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．
为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天
就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，
求每本画册应降价多少元？
【答案】每本画册应降价4元．
【分析】设这种画册每本降价x元，根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本
画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去．
本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题 利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的
关键．
【详解】设这种画册每本降价x元，
由题意可得， ，
整理得 ，
解得 ， ，
∵要求每本售价不低于55元，
∴ 符合题意．
故每本画册应降价4元．
2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素
材 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
1
素 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平
材 均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适
2 当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素
据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均
材
每天销售量减少2件．
3
问题解决任
计算所获 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销
务
利润 售该商品每天的毛利润各是多少元？
1
任
平衡市场 该商品的网上销售价每件_________元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体
务
方案 店销售该商品每天的毛利润相等
2
任
拟定价格 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求
务
方案 每件商品的网上销售价是多少元？
3
【答案】（1）任务1：网上销售：4000元；实体店销售：3200元；（2）任务2：60或46；（3）任务3：
58或56元
【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本
题的关键．
任务1：根据毛利润 单件毛利润 销售数量求解即可；
任务2：设网上销售单价下降x元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的
毛利润相等，分别算出网上销售和实体店销售的利润，根据相等列式求解即可；
任务3：设网上销售单价下降y元/件，分别算出网上销售和实体店销售的利润再算总利润等于8160，进行
求解即可．
【详解】解：任务1：网上毛利润为： （元），
实体店毛利润为： （元）；
任务2：设网上销售单价下降x元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的
毛利润相等，
根据题意得： ，
整理得： ，解得： 或 ，
当网上销售单价下降0元或14元时，即售价为60元/件时，或46元/件时，该公司网上销售该商品每天
的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等；
任务3：设网上销售单价下降y元/件，
则网上毛利润为： ，实体店毛利润为： ；
总毛利润为： ，
根据题意 ，
解得： ， ，
或56，
则每件商品的网上销售价是58或56元．
3．（2024·山西大同·二模）2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发
布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批
发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾
客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量 （单位：个）与每个玩偶的降价 （单位：元）
之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)设商场销售 个玩偶所获利润为 （单位：元），请直接写出 与 之间的函数关系式：_____；
(3)若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)这种玩偶每个应降价10元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润 （售价 进价 降价） 销售量求解即可；（3）根据（2）所求列出方程求解即可．
【详解】（1）解；设 与 之间的函数关系式为 ，
将 和 代入 中，得 ，
解得 ．
∴ 与 之间的函数关系式为 ．
（2）解：由题意得，
；
（3）根据题意，得 ，
解得 ， ．
∵要让顾客获得更大实惠，
∴ ．
答：这种玩偶每个应降价10元．
【经典例题六 动态几何问题】
【例6】（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 为矩形的四个顶点， ，
cm，动点 、 分别从点 、 同时出发，都以1 的速度运动，其中点 由 运动到 停止，点 由
点 运动到点 停止．(1)求四边形 的面积；
(2) 、 两点从出发开始到几秒时， 、 、 组成的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)
(2) 秒或 秒或 秒或 秒
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次
方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）设运动时间为 ，则 ， ，进而可得 ，然后根据梯形面积公式求解即可；
（2）设 、 两点从出发开始到 秒时，点 、 、 组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得 ，
易得 ，然后分 、 、 三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为 ，则 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 的面积 ；
（2）设 、 两点从出发开始到 秒时，点 、 、 组成的三角形是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
①当 时，
如图1，过 作 于 ，则 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，可有 ，
∴ ，
解得 ， ；
②当 时，
如图2，过 作 于 ，
由①可知四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；③当 时，
∴ ，
∴ ，
在 中，可有 ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，当 秒或 秒或 秒或 秒时，点 、 、 组成的三角形是等腰三角形．
1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 为矩形的四个顶点， ， cm，动
点 、 分别从点 、 同时出发，都以1 的速度运动，其中点 由 运动到 停止，点 由点 运
动到点 停止．
(1)求四边形 的面积；
(2) 、 两点从出发开始到几秒时， 、 、 组成的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)
(2) 秒或 秒或 秒或 秒
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次
方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．（1）设运动时间为 ，则 ， ，进而可得 ，然后根据梯形面积公式求解即可；
（2）设 、 两点从出发开始到 秒时，点 、 、 组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得 ，
易得 ，然后分 、 、 三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为 ，则 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 的面积 ；
（2）设 、 两点从出发开始到 秒时，点 、 、 组成的三角形是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
①当 时，
如图1，过 作 于 ，
则 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，可有 ，∴ ，
解得 ， ；
②当 时，
如图2，过 作 于 ，
由①可知四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
③当 时，
∴ ，
∴ ，
在 中，可有 ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，当 秒或 秒或 秒或 秒时，点 、 、 组成的三角形是等腰三角形．
2．（2024·江苏徐州·二模）已知 是等腰直角三角形， ．(1)当 时，
①如图①，将直角的顶点D放至 的中点处，与两条直角边分别交 于点E、F，请说明 为
等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至 边的某处，与 另两边的交点分别为点E、F，若 为等腰直角
三角形且面积为4，求 的长．
(2)若等腰直角 三个顶点分别在等腰直角 的三边上，等腰直角 的直角边长为1时，求等
腰直角 的直角边长的最大值．
【答案】(1)①见解析；②2或
(2)
【分析】（1）①过点D作 于G， 于 H， 连接 ． 是等腰直角三角形，点
是 的中点，可得 ， ， ， ，
由“ ”可证 ，可得 ，即可求解；
②过点 F作 于 N．由“ ”可证 ，可得 ，设 ， 则
．根据勾股定理得 再列出方程即可求解；
（2）当点 在 上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作 于点
E， 于H．设 ．则 即可求解．
【详解】（1）① 如图， 过点D作 于G， 于 H， 连接 ．是等腰直角三角形， ，点 是 的中点，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
是等腰直角三角形；
② 如图， 过点 F作 于 N．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵
∴ ，
∴ ．
设 ， 则 ．
，
，
或
∴ 或 ，
（2）设等腰 的直角顶点为 D，
若 D 在 上， 如图3．
取 的中点Q， 连接 ， 则
∵ 是直角边长为1的等腰直角三角形( )．∴当C、Q、D共线时， 最长， 则
∴在等腰 中， 当 时， 的长最大．
最大为2．
若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作 于点E， 于H．
由 知
设 ．
则
解得
当s取最大值时，
∴ 的最大值为 ．综上， 的最大值为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的
性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在 中， ， ，D为 的
中点，点P在线段 上以 的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段 上由点C向点A运动．
(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过 后， 与 是否全等？请说明理由．
(2)若点Q的运动速度与点P不相同，当点Q的运动速度为多少时，能够使 与 全等？
(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都沿 的三边逆时针运
动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在 的什么位置上相遇．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
(3)经过80秒后，点P与点Q第一次在 上相遇
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练运用这些性质解决
问题是解此题的关键．
（1）由“ ”可证 ；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，则可得出答案；
（3）由题意列出方程 ，解方程可得出相遇时运动的时间，进而得到点P经过的路程，从而
判断相遇的位置．
【详解】（1）解：全等，理由如下：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，均为 ，
∴当 时， ，
∵ ，点D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴ 与 不是对应边，即 ，
∴ ，且 ，
则 ， ，
∴点P，点Q运动的时间 ，
∴点Q运动的速度 ，
（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 ，
解得 ，
∴经过80秒后，点P与点Q第一次相遇，此时点P运动 ，
∵ ，
又 ，
∴点P与点Q在 上第一次相遇．【经典例题七 工程问题】
【例7】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采
用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多 ；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为 米；选（2）原计划每天修建下
水管道的长度为 米
【分析】选择（1）时，设原计划每天修建 米，则实际每天修建 米，根据提前2天完成这一任
务，即可得出关于 的分式方程，解之经检验即可得出结论；
选择（2）时，设原计划每天修建盲道 米，则实际每天修建 米，根据提前2天完成这一任务，即
可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论；
【详解】选（1）或（2）
（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为 米
经检验： 是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为 米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为 米
（舍）
经检验： 是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为 米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
1．（23-24八年级上·上海静安·期末）在今年 月 号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加
美化校园活动，如果八年级共青团员单独做 小时，九年级共青团员再单独做 小时，那么恰好能完成全
部任务的 ；如果九年级共青团员先做 小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团
员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多 小时，求八九年级共青团员单独完成美
化校园活动分别各需多少小时．
【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为 小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时
间为 小时．
【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为 小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所
用时间为 小时，根据“八年级共青团员单独做 小时，九年级共青团员再单独做 小时，那么恰好
能完成全部任务的 ”，即可得出关于 的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成
美化校园所用时间，再将其代入 中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间．
【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为 小时，则八年级共青团员单独完成美化校
园所用时间为 小时，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的增根，舍去； 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为 小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为
小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．2．（2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从
桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成
本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多 万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲
总施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每
天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，即可得出关于a的一元二次方程，
解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
当 时，总成本为： （万元），∵ ，
∴ 不符合题意舍去；
当 时，总成本为： （万元），
∵ ，
∴ 符合题意；
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各
数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
3．（2022·重庆·一模）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的
订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组
同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400
【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一
次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设
“甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之
和，列出方程．
【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子
由题意得： 解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子
由题意得：整理得：
解得： ， ，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关
键．
【经典例题八 行程问题】
【例8】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同
时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小
丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟
消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程
中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)小美每分钟跑360米
(2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．
（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑 米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方
程求解即可；
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出
关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑 米，
根据题意，得 ，
解得： ，
经检验， 既是所列分式方程的解，也符合题意，
则 ，答：小美每分钟跑360米．
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
1．（22-23九年级下·重庆丰都·阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从
A地出发，匀速跑向距离 处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早
5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少
分钟．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系
式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最
后求解．
【详解】（1）解：设小红的速度为 ，则小明的速度为 ，
依据题意列方程得， ，
，
，
经检验， 是原式方程的解．
．
小红的速度为 ，小明的速度为 ．故答案为： ； ．
（2）解： 小明的速度为 ，
小明从A地道B地需要的时间为： ．
小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，
．
设B地到C地的距离为 ，依据题意列方程得，
，
，
，
，
或 （舍去）．
A地到C地所需要时间为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关
系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．
2．（2021·安徽宣城·一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分
钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行
走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得
甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟．
【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有 +5n＝70，
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 5n＝3×70，
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关
键．
3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设
计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 、 以顺时针、逆时针的方
向同时沿圆周运动.甲运动的路程 与时间 满足关系： （ ），乙以4 的速度匀
速运动，半圆的长度为21 ．
（1）甲运动4 后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
【答案】（1）甲运动4 后的路程是14 ；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 ．
【分析】（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可；
（2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可．【详解】(1)当 时，
（ ），
答：甲运动4 后的路程是14 ；
（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21 ，甲走过的路程为 ，乙走过的路程为
4 ，
则 ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相
遇时二者走的总路程为半圆．
【经典例题九 图表信息题】
【例9】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，
在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如
表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日
10月8日 10月11日 10月12日
期
发布次
第1次 第2次 第3次
数
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是 ，利用第3次累计票房=第1次累计票房 （1+平均每次累计票房增长的百分率） ，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结 单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是 ，
依题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或 （张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
1、（23-24八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四
个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为 ，则最大的数为______（用含 的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
【答案】(1) ；
(2)9．【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为 ，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为 ，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为 ，根据题意，得 .
解得 （不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我
校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查
发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是 人时，每位同学人均检测时间是 秒，而检测人数
每提高 人，人均就少耗时 秒（若每位大白的检测人数不超过 人，设人均少耗时 秒）．
(1)补全下列表格：
检测人数（人）
人均检测时间
（秒）
(2)某位大白一节课（ ）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
【答案】(1)40， ，29，26
(2)他今日检测总人数为 人
【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即
可补全表格；
（2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设检测人数为 ，人均检测时间为 秒 ，
由题意得： 、 ，
补全表格如下：
检测人数 人
人均检测时间 秒（2）解：由题意得， ，
解得 ， ，
当 时，检测总人数为 人 ，
每位大白的检测人数不超过 人，
不符合题意，舍去，
当 时，检测总人数为 人 ，
答：他今日检测总人数为 人．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．
3．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过
度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过 度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度
元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了 度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含 的代数式表
示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的 度是多少．
月
用电量/度 交电费总数/元
份
2月 80 25
3月 45 10
【答案】(1) x（90－x）元
(2)50度
【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度 元交电费，
即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，
即可求解．【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度 元交电费，
∴超过部分应交的电费为 x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x＝30，x＝50．
1 2
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x＝30不合题意，舍去．
1
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【经典例题十 其他问题】
【例10】（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．
这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之
间都赛两场），计划安排30场比赛．
(1)应邀请多少支球队参加比赛？
(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？
【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛
(2)实际共比赛22场
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设应该邀请 支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于 的一元二次方程，解之
取其正值即可得出结论；
（2）利用比赛总场次数 该球队参加的场次数 剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论．【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛，
由题意得：
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：设应邀请6支球队参加比赛．
（2）解： （场）
答：实际共比赛22场．
1．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下表：解答下列问题：
线段 上的点数 （包括 、 两点） 图例 线段总条数
3
4
5
6
(1)根据表中规律猜测线段总条数 与线段上点数 （包括线段的两个端点）的关系，用含 的代数式表示
，则 ___________．
(2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行
单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
(3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要
进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
【答案】(1)
(2)36场
(3)16支
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数 与线段上的点数 的关系式．（1）线段的总条数 与线段上的点数 的关系式 ；
（2）先将 代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数6即可；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两
场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得 ．
故答案为： ；
（2）解：每小组4个队单循环赛一共比赛： （场 ，
共6个组， （场 ．
答：第一轮共要进行36场比赛；
（3）解：设共有几支球队参加比赛，根据题意得：
，
解得 或 （舍去）．
答：共有16支球队参加比赛．
2．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支
举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名
学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，
购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？
【答案】20本
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题中等量关系列出方程是解题的关键．设购买笔记本x本，
钢笔为 支，根据“笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元”列出方
程求解即可．
【详解】解：设购买笔记本x本，钢笔为 支，由题意得，
解得： ．
答：本次活动中学校购买了20本笔记本．
3．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10
斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ．
某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤
的污水．
(1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：
方案一：采用一次漂洗的方式.
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；
方案二：采用两次漂洗的方式.
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次
用 斤清水，第二次用 斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含
有x的代数式表示）；
通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.
(2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的
__________．
【答案】(1) ； ； ；二
(2)10；
【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键．
（1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答：
实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断；
（2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题．
【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式．
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ；
方案二：采用两次漂洗的方式．
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ，
若在第一次用 斤清水，第二次用 斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的，方案二效果更好；
故答案为： ， ， ；二；
（2）解： ，
当 时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好，
第一次用 10斤清水，漂洗效果最好，
二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的
故答案为：二， ．
1．（2024年安徽省马鞍山市含山县多校中考三模数学试题）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢
一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习
过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”
的百分比约为（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为 ，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为 ，
则 ，
解得： ．
故选：C．
2．（2024年黑龙江省佳木斯市中考三模数学试题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对
一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件
售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价
每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得： ， ，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴ ，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
3．（重庆市巴蜀中学2023-2024学年九年级下学期中考押题密卷数学试题）由著名导演张艺谋执导的电影
《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连
创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约
20亿元，设增长率为 ，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约 亿元、第三天票房约 亿元，根据
三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解： 第一天票房约5亿元，增长率为x，
第二天票房约 亿元，第三天票房约 亿元．依题意得： ．
故选：D．
4．（浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）如图，一张等腰直角三角形
纸片，已知 ，先裁剪出①号长方形 ，然后在剩余的大纸片三角形 中剪出②号
长方形 ，且满足 ，当①号长方形的面积为 时，则②号长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形，关键是设 ，由矩形的面积公式得到
，求出 的值，从而求出长方形 的面积．由条件判定 是等腰直角
三角形，设 ，得到 ， ， ，
， ，由长方形面积公式得到 ，求出
或 （舍去），即可求出长方形 的面积 ．
【详解】解： 是等腰直角三角形，
，
四边形 ， 是长方形，
， ， ， ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
设 ，，
∴ ，
， ，
，
，
长方形 的面积 ，
或 （舍去），
长方形 的面积 ．
故选：C．
5．（浙江省杭州市余杭区育海外国语学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷）一个矩形内
放入两个边长分别为 和 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的
部分（黑色阴影部分）的面积为 ；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为
，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的应用．设矩形的长为 ，宽为 ，根据图①和图②的阴影面积列出
方程组，求值，再求图③的面积即可．
【详解】解：设矩形的长为 ，宽为 ，依题意，得：
整理得： ，把②代入①，得： ③．
将③代入①，得： ，
整理，得： ，
解得： ，
当 时， （不合题意，舍去），
∴ ．
∴长方形的长为 ，宽为 ，
∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 ．
故选：D
二、填空题
6．（上海市上海市奉贤区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）“六一”儿童节上，某小队建议每
位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所
列方程为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多
少句是解题关键．
如果全班有 名同学，那么每名同学要送出 句，共有 名学生，那么总共送的名数应该是 句，
即可列出方程．
【详解】解：全班有 名同学，依题意有： ．
故答案为： ．
7．（浙江省杭州市钱塘区养正实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）如图是一块长方形菜
地ABCD， ， ，面积为 ．现将边AB增加 ，边AD增加 ，若有且只有一个a的
值，使得到的长方形面积为 ，则S的值是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，
根据一元二次方程的解法解答即可．
【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积 ，变化后矩形的面积为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵有且只有一个a的值，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
∴S的值是 ．
故答案为： ．
8．（上海市嘉定区迎园中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）某公司在2022年的盈利额为300
万元，预计2024年的盈利额将达到363万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在
2023年的盈利额为 万元．
【答案】330
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设平均每年盈利额增长的百分率为x，利用2023年的盈利额 年的盈利额 平均每年盈利额增长的百分率 ，列出一元二次方程，解之取其正值得出平均每年盈利额增长的百分率，即可解决问题．
【详解】解：依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
（万元）
即该公司在2022年的盈利额为330万元，
故答案为：330．
9．（湖北省孝感市重点校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题）如图，在 中， ，
， 为 边上的高，动点 从点 出发，沿 方向以 的速度向点 运动．
设 的面积为 ，矩形 的面积为 ，运动时间为 ，则 时， ．
【答案】
【分析】分别求出 和 ，根据 ，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解： 中， ， ， 为 边上的高，
，
又 ，
， ，
，
， ，
，，
，
，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
，
故 为 秒时， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、列代数式、以及等腰直角三角形的性质，解题的
关键是：根据各数量之间的关系，用含 的代数式表示出 和 ；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
10．（2024年辽宁省沈阳市协作体中考数学零模后跟踪训练模拟预测题）某商店购进600个旅游纪念品，
进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200
个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价
不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格
全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元．
【答案】9
【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据
“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．理解题意，正确列出方程是解答的关键．
【详解】解：设降低x元，由题意得出:
，
整理得： ，
解得： ．
∴ ．
即：第二周的销售价格为9元．故答案为：9．
三、解答题
11．（2024年甘肃省武威市凉州区武威二十六中教研联片中考二模数学试题）某商场销售一批名牌衬衫，
平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当
的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均
每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
【答案】20元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程成为解题的关键．
设买件衬衫应降价x元，那么就多卖出 件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉
祥物上盈利1200元列方程求解即可．
【详解】解：设买件衬衫应降价x元，那么就多卖出 件，
由题意得： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，解得： 或
由于为了减少库存，所以 ．
故买件衬衫应应降价20元．
12．（2024年河北省石家庄市第二十八中学中考模拟数学试题）【观察思考】用同样大小的正方体木块依
次堆放成如图1、图2、图3所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去．
【规律总结】
（1）图4有______个正方体；
（2）图n有______个正方体（用含n的式子表示）；
【问题解决】
（3）是否存在某个图形，它对应的几何体由496个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不
存在，请说明理由．【答案】（1）28；（2） ；（3）存在，第16个图形
【分析】本题考查了几何体中的规律、列代数式、一元二次方程的应用，正确发现变化规律是解题的关键．
（1）观察分析图形，得出答案即可；
（2）观察发现规律，得出图n正方体个数 ，整理得出答案即
可；
（3）根据“它对应的几何体由496个正方体木块组成”，得出 求解即可，
【详解】解：（1）图1所示的实心几何体一共有1个小正方体，即 ，
图2所示的实心几何体一共有6个小正方体，即 ，
图3所示的实心几何体一共有15个小正方体，即 ，
图4所示的实心几何体一共有28个小正方体，即 ，
故答案为：28；
（2）由（1）的规律得，图n正方体个数 ，
故答案为： ；
（3）存在，
由题意得， ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴存在某个图形，它对应的几何体由496个正方体木块组成，它是第16个图形．
13．（浙江省金华市东阳市横店镇四校联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题）根据以下素材，探索完成任务．
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智
素
能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生
材1
产144个．
素 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600
材2 个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任
求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
务1
任
为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
务2
【答案】任务一：平均增长率为 ；任务二：该零件的实际售价应定为50元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产
数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符
合题意的值即可得出结论；
（2）设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为 元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，
可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论．
【详解】解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x，
由题意得 ，
解得 或 （舍去）．
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率 ；
（2）设该零件的实际售价m元，
由题意得 ，
整理得 ，
解得 或 ．
∵要尽可能让车企得到实惠，
∴ ．
答：该零件的实际售价应定为50元．
14．（浙江省八年级下学期期中必刷压轴60题（21个考点专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试满分全攻略高频考点 重难点讲练与测试（浙教版））某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费
标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用 元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过 人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
【答案】(1)超过 人
(2)该单位这次共有 名员工去旅游
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的等
量关系．
（1）先根据共支付给旅行社旅游费用 元，确定旅游的人数的范围；
（2）根据每人的旅游费用 人数 总费用，设该单位这次共有 名员工去旅游列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵人数不超过 人，人均费用为 元，
∴ ，
∴员工人数一定超过 人，
∴该单位这次去旅游，员工超过了20人；
（2）解：设该单位这次共有 名员工去旅游，根据题意列方程得：
，
整理得 ，
即 ，
解得 ， ，
当 时， ，故舍去 ；
当 时， ，符合题意．
答：该单位这次共有35名员工去旅游．15．（江苏省连云港市实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，矩形 中，
， ，动点 ， 分别从点 ， 同时出发，点 以 的速度向终点 移动，点 以
的速度向点 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为 ．
(1)当 时，四边形 面积是______
(2)当t为何值时，点P和点Q距离是 ？
(3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】(1)4；
(2) ；
(3) 或 或 或 ．
【分析】（1）当 时，可以得出 ， ，就有 ，由矩形的面积就可以
得出四边形 的面积；
（2）如图1，作 于 ，在 中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作
于 ，在 中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情况讨论，如图3，当 时，如图4，当 时，如图5，当 时，由等腰三角
形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
【详解】（1）如图， 四边形 是矩形，， ， ．
， ，
．
．
∴四边形 面积是 ，
故答案为：4；
（2）如图1，作 于 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ．
，
．
在 中，由勾股定理，得
，
解得： 或 （舍去）．
如图2，作 于 ，．
，
四边形 是矩形，
， ．
，
在 中，由勾股定理，得
，
解得： 或 （舍去），
综上所述： ；
（3）如图3，当 时，作 于 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ．，
． ．
，
．
在 中，由勾股定理，得
，
解得： ．
如图4，当 时，作 于 ，
， ．
，
四边形 是矩形，
． ，
，
．
，
解得： ；
如图5，当 时，， ，
，
．
在 中，由勾股定理，得
，
解得 ， （舍去）．
综上所述： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的
运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
