文档内容
专题 04 实际问题与一元二次方程重难点题型专训
（2个知识点+12大题型+4大拓展训练+自我检测）
题型一 传播问题
题型二 增长率问题
题型三 与图形有关的问题
题型四 数字问题
题型五 营销问题
题型六 动态几何问题
题型七 工程问题
题型八 行程问题
题型九 图表信息题
题型十 其他问题
题型十一 握手循环赛问题
题型十二 分式方程与一元二次方程结合
拓展训练一 “每每”型销售问题
拓展训练二 图形问题综合
拓展训练三 一元二次方程与动点问题相关
拓展训练四 一元二次方程应用的规律探究问题
知识点一、列一元二次方程解决问题
用一元二次方程解决问题的步骤如下：
1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
6. 答(写出答案，切忌答非所问).
【即时训练】
1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，
六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为 ，根据题意，可列得方程为（ ）
A． B．C． D．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下表是某公司1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5
月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为 ，则可列出方程为 ．
月
1 2 3 4 5
份
收
入
1 1 1
/
0 2 4
万
元
知识点二、一元二次方程解决问题的类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，
它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是 0、1、
2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数
位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为
a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a；
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的
次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)；
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量).3.利息问题与销售问题
（1）利息有关概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
（2）利息相关公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
（3）销售问题中的常用等量关系
利润＝售价－进价（成本）
总利润＝每件的利润×总件数
利润
利润率＝ ×100%
进价（成本）
打折数
售价＝ ×标价
10
打折数
进价×（1＋利润率）＝标价×
10
【即时训练】
3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50
元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，
求该商店销售了这种商品多少件？
4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某花店购进一批鲜花，进价为每束 元．根据市场调研：当售价为
每束 元时，每天可售出 束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价 元，每天就能
多售出 束．若店主希望每天的利润达到 元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？
5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地 改建成
一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知
米， 米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)．6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形
养殖园．已知矩形的边 院墙， 和 与院墙垂直．
(1)当围成的矩形养殖园面积为 时，求AB的长；
(2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离
网与院端垂直．请问此时养殖园的面积能否达到 ？若能，求出 的长；若不能．请说明理由．
7．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在 中， ， ， ，点P
从点A出发沿 以 的速度向点B移动，点P出发几秒后， ？
8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，
每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件降价多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．小明决定对该商品实行打折销售，使其销
售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【经典例题一 传播问题】
【例1】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病．
(1)每轮平均1个人会感染几人？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？
1．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最
近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转
发，从小王开始计算，转发两轮后共有 人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传
播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其
常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有 人被传染，
请问每轮传染中平均一个人传染了几个人?
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效
隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）．
(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？
(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【经典例题二 增长率问题】
【例2】（24-25九年级上·广东江门·期中）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加， 月游客人数为 万人， 月游客人数为 万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)按照以上增长速度，预计 月该景区游客人数．
1．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为
1.6万人，5月份游客人数为3.6万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率，已知该景区6月
1日至6月20日己接待游客3万人，则6月21日至6月30日平均每天接待游客人数最多是多少万人？
2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．
某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，
且从3月份到5月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？
3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上
升，某汽车企业2025到2025这两年A型汽车年销售总量增加了 ，年销售单价下降了 ．
(1)设2025年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：
年
年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元
份
202
①______
5
202
②______
5
(2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率．
【经典例题三 与图形有关的问题】【例3】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，有一块矩形铁皮，长 ，宽 ，在它的四个角各
切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为
，求切去的正方形的边长．
1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，用长为 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为
）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 边上用其他材料做了
宽为 的两扇小门．若花圃的面积恰好为 ．
(1)求此时花圃 边的长；
(2)花圃的面积能达到 吗？若能，求出 边的长；若不能，请说明理由．
2．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为 的墙（ ），用篱笆围
成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为 （全部用完）．设 的长为 ．
(1)如图1，用含 的代数式表示 的长．
(2)如图1，当长方形花园 的面积为 时，求 的值．
(3)如图2，将墙 全部利用，并在墙 的延长线上拓展 ，构成长方形 ，其中 ， ，和 都由篱笆构成．长方形花园 的面积可以为 吗？如果能，求出 的值；如果不能，请
说明理由．
3．（24-25八年级下·北京昌平·期末）在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之
一，被誉为“代数之父”）在其《代数学》中利用几何方法求解一元二次方程．
以方程 为例，花拉子米的两种几何解题思路如下：
思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和 的矩形，再补上四个边长为
的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为
（ ） ，可得方程 ，则方程的正数解是 ．
思路二：如图②所示，将原方程转化为 （ ） ，可得方程 ，则方程的正数
解是 ．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)补全花拉子米的解法步骤；
(2)根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程 的正数解的构图，写出必
要的思考过程．
【经典例题四 数字问题】
【例4】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪
淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子
算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个
位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为 （十位数字）+（个位数字）．
1．（24-25九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为 ，现
有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，
将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2025年12月13日是自2014年开始的第
10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最
小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）．
3．（24-25九年级上·广东珠海·期中）直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高
定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足 ，即前
两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于
后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
【经典例题五 营销问题】
【例5】（24-25八年级下·山东威海·期末）商店购进某种商品的价格为60元/件，在试销期间发现，当每
件商品售价为70元时，每天可销售30件；当每件商品售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1
件．每件商品的售价定为多少时，商店每天的盈利会达到400元？1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，
某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为
600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．
(1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
(2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？
如果不能，请说明理由．
2．（24-25八年级下·全国·期中）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销
售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元．
(1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1
元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？
3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，
当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千
克，该水果店每天就会少卖出20千克．
(1)设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表
示）
(2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？
【经典例题六 动态几何问题】
【例6】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形 中， ， ，
，点P从A向点D以 的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以 的速度运
动，到点B即停止，直线 将四边形 截得两个四边形，分别为四边形 和四边形 ，
(1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？(2)若 ，当 时，直接写出经过______秒后， ．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 从点
开始沿边 向终点 以 的速度移动．与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移
动．点 、 分别从点 ， 同时出发，当点 移动到点 时，两点停止移动．设移动时间为 ．
(1)填空： ___________ ， ___________ ；（用含 的代数式表示）
(2)是否存在 的值，使得 的面积为 ？若存在请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示， 中， ， ， ．
(1)点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动．
如果 、 分别从 ， 同时出发，线段 能否将 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；
若不能说明理由．
(2)若 点沿射线 方向从 点出发以 的速度移动，点 沿射线 方向从 点出发以 的速度移动， 、 同时出发，问几秒后， 的面积为 ？
3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）问题背景
如图，在矩形 中， ， ，动点P、Q分别以 、 的速度从点A、C同时
出发，沿规定路线移动.
问题探究
(1)若点P从点A沿 向终点B移动，点Q从点C沿 向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过
多长时间P，Q两点之间的距离是 ？
(2)若点P沿着 移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿 向点D移动点Q随点P的
停止而停止，试探求经过多长时间 的面积为 ？
【经典例题七 工程问题】
【例7】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，
7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如
果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该
增加几条生产线？1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新
的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多 ；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
2．（2025·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计
划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值．
3．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计
划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，
乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了( )小时；甲工程队的修路速度比原计划
每小时下降了 米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【经典例题八 行程问题】
【例8】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀
变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间
与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1， ， ）1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设
计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 、 以顺时针、逆时针的方
向同时沿圆周运动.甲运动的路程 与时间 满足关系： （ ），乙以4 的速度匀
速运动，半圆的长度为21 ．
（1）甲运动4 后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，甲、乙从直径的两端点 、 分别按顺时针、逆时针的方向同
时沿圆周运动，甲运动的路程 与时间 之间满足关系式 ，乙以 的速度匀
速运动，半圆的长度为 。
(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？
(2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？
3．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料：
在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程 ，速度 ，时间 之间的关系为 ，其速度 与时间 的函
数图象如图1所示，可以发现在 ．这段时间内路程 的数值等于图中阴影部分的面积（即 轴、
轴、直线 及直线 围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当 是关于 的一次函数时，如图2，在 这段时间内路程 的数值等于图中阴影部分的面积（即
轴、直线 及直线 围成的直角三角形的面积）的数值．
阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度 与时
间 的函数图象，点 ， ．
(1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m）
(2)求出发后，甲、乙速度相等的时间 ；
(3)求出发后，甲、乙相遇的时间 ．
【经典例题九 图表信息题】
【例9】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超
过 度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过 度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每
度 元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了 度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含 的代数式表
示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的 度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 101．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图是2025年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四
个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为 ，则最大的数为______（用含 的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
2．（24-25九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用
水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
3．（2024九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．
某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a
吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费
＋污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份
4 7 70
5 5 40根据上表数据，求规定用水量a的值．
【经典例题十 其他问题】
【例10】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，
是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键
数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？
1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）请阅读下面材料，解决后面的问题：
材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例
如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行
场比赛，这4支队伍的比赛总场次为： ．
材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．
胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行
淘汰赛过程如图所示．材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．
问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛
中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？
问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环
赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则
平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出
冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？
2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．
容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15．
(1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示）
(2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520；
(3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第
二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
3．（24-25九年级上·河北保定·期末）为美化市容，某广场用规格为 的灰、白两种颜色的广
场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
【观察思考】图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．．
【规律总结】
（1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块．
【问题解决】
（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由．
【经典例题十一 握手循环赛问题】
【例11】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，
时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超
联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少
支球队．
1．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，
一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？
2．（24-25九年级上·湖南永州·期中） 年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体
公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛 场．试
求初中组共有多少支球队参加比赛．
3．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九
年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：
(1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局；
(2)求这次比赛共有多少个选手参加？【经典例题十二 分式方程与一元二次方程结合】
【例12】（2025·广东珠海·三模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内
高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未
来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约
为 ，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人
多跑 ，用时比松延动力机器人少 小时，求松延动力机器人的平均速度是多少 ？
1．（2025·重庆·模拟预测）某紫砂壶专卖店购进汉瓦紫砂壶和西施紫砂壶两种销量款，每把汉瓦紫砂壶的
进价比每把西施紫砂壶的进价少30元，专卖店用900元购进的汉瓦紫砂壶的数量比用900元购进的西施紫
砂壶的数量多1个．
(1)求每把汉瓦紫砂壶和每把西施紫砂壶的进价；
(2)该店用4500元购进了一批汉瓦紫砂壶和西施紫砂壶，每把汉瓦紫砂壶的售价是200元，每把西施紫砂
壶的售价是300元，售完这批紫砂壶，要想利润至少为2400元，则汉瓦紫砂壶最多购进多少个？
2．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题．
材料一：2025年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在
“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每
天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？
材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业
等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，
物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为 ，北京天工机
器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑 ，用时比松延
动力机器人少 ，求松延动力机器人的平均速度 是多少？
3．（24-25八年级下·上海松江·期末）学校购买一批奖品．已知 种奖品的单价比 种奖品单价便宜9元，
用128元购买 种奖品的数量和用272元购买 种奖品的数量总共是32个．
(1)求 、 两种奖品的单价各是多少元？
(2)该校计划购买 、 两种奖品共80个，且 种奖品的数量不大于 种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．
【拓展训练一 “每每”型销售问题】
1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥
物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格
出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相
同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回
馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问
题：
(1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示)
(2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率．
(3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
主题：奶茶销售方案制定问题
当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”．
素
经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为 杯， 月份的销售量为 杯；
材1
素 为了去库存，决定 月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯 元．当每杯售
材2 价 元时，月销售量 杯，经试验，发现该款水果茶每降价 元，月销售量就会增加 杯．
问题解决
任 确定水果茶的销售量月平均
该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？
务1 增长率
任 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到 元，该款水果茶应
拟定降价幅度
务2 该降价多少元？3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）端午节来临，某超市打算购进一批粽子进行销售．若用80000元购
进的猪肉粽和用60000元购进的豆沙粽盒数相同，且猪肉粽每盒进价比豆沙粽每盒进价多10元．
(1)求猪肉粽每盒的进价是多少元？
(2)经过市场调研，该超市发现，销售猪肉粽时，当猪肉粽按原价每盒50元进行销售，每天可售200盒；
售价每涨1元，销售量将减少10盒，同时上级部门要求，商品涨价幅度不能超过10%，若该商品当日盈利
2160元，求猪肉粽当日每盒售价多少元？
4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买
A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍．
(1)求商家购买A书籍和B书籍的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出
50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A
书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的
总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？
【拓展训练二 图形问题综合】
1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）项目学习：探究正方体表面积．
材料：用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体．
【概念认知】（1）该正方体有__________个面，表面积为__________ ；
【课题学习】（2）如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，
打孔后的橡皮泥的表面积为__________ ；
【深入探究】（3）如果在第（2）题打孔后，再在正面中心位置处（按图（2）中的虚线）从前到后打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为__________ ；
【问题解决】（4）如果把第（3）题中从前到后所打的底面边长为1cm正方形的长方体通孔扩大成一个底
面为长 cm、宽1cm的长方体通孔，能不能使所得橡皮泥的表面积为 ？如果能，请求出 ；如果不
能，请说明理由．
2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）操作与实践
【示范操作】法1．苏科教材九上 配方法解一元二次方程： ，变形为 ，配
方的过程转化为图形的“割”、“拼”、“补”，如图1．
得 ，
法2．古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长
为 ，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图2的大正形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积
加中空的小正方形面积得： ．
【模仿实践】（1）仿法2配方解 ，先变形为______，如图3，每个小长方形的长为______，
宽为______，利用图形的面积关系得配方后的方程为______，解为______．
【深入探究】（2）仿法2配方解 ，自己画图分析，写出解题过程．【总结提升】小敏同学质疑法2的局限性： ，变形为 ，没法拼图了呀？
小聪同学发现：法2中的拼图就是七下： 模型，于是有了法3，设 ， ，
则有 ， ， ，配方成功，从数到形，又从形回归到数．
（3）请你用小聪的法3配方解 ，写出解题过程．
3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及
其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子
米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时
期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程
，即 的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是
，其中四个全等的小矩形面积分别为 ，中间的小正方形面积为 ，所以大正方形的
面积又可表示为 ，据此易得原方程的正数解为 ．
任务：
(1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程 ，解法的正确构
图是______（从序号①②③中选择）．(2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程 的正数解
（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）
(3)一般地对于形如 的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由 个相同矩形构成，这 个矩
形的总面积为 ，中间围成的正方形边长为 ．那么 ______， ______．
4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
其农户承包了一块长方形果园 ，图
1是果园的平面图，其中 米，
米．准备在它的四周铺设道路，
素
上下两条横向道路的宽度都为 米，左右
材
两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分
1
种植水果．
出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x
不超过12米，且不小于5米．
该农户发现某一种草莓销售前景比较不
错，经市场调查，草莓培育一年可产果．
若每平方米的草莓销售平均利润为100
素
元，每月可销售5000平方米的草莓；受天
材
气原因，农户为了快速将草莓出手，决定
2
降价，若每平方米草莓平均利润下调4
元，每月可多销售500平方米草莓，果园
每月的承包费为2万元．
问题解决
（1）请直接写出纵向道路宽度x的
任 取值范围．
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的
务
影响．
1 （2）若中间种植的面积是
，则路面设置的宽度是否符合要求．
任 解决果园种植的预期利润问题． （3）若农户预期一个月的总利润为
务 55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降
2 （总利润 销售利润 承包费）
价多少元？
【拓展训练三 一元二次方程与动点问题相关】
1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点P从点A
出发沿 以 的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以 的速度向点C移动．
(1)几秒钟后 的面积等于 ；
(2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心， 为半径的圆上？若存在，求
出运动时间；若不存在，请说明理由．
(3)在点P、Q的运动过程中，几秒后 是直角三角形？请直接写出答案．
2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，点P从点A出发沿边 以 的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿
边 以 的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 ．
(1) ， （用含x的代数式表示）；
(2)当P、Q两点间的距离是 时，求x的值；
(3)填空：①当 时，四边形 是菱形；
②当 时，四边形 是矩形．3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，动点 ， 分
别从点 、 同时出发，点 以 厘米 秒的速度向终点 移动，点 以 厘米秒的速度向 移动，当有一
点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为 秒，问：
(1)当 为何值时，点 和点 距离是 ？
(2)当 为何值时，以点 、 、 为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形．
4．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，在矩形 中， ，点 以 的速
度从顶点 出发沿折线 向点 运动，同时点 以 的速度从顶点 出发沿边 向点 运
动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
(1)若运动时间为 秒，则 ______________， _____________．
(2)两动点运动几秒，使四边形 的面积是矩形 面积的 ？
(3)是否存在某一时刻，点 与点 之间的距离为 ？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说
明理由．【拓展训练四 一元二次方程应用的规律探究问题】
1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）数学兴趣小组的李舒和林涵两位同学用棋子摆图形探究规律．若两
人都按照各自的规律继续摆下去，请回答下列问题：
如图1李舒摆成的图形：
如图2林涵摆成的图形：
（1）填写下表：
图形序号 1 2 3 4 n
李舒所用棋子数 11 16 21
林涵所用棋子数 1 4 9
（2）是否存在某个图形恰好含有76个棋子？若存在，请求出该图形序号，若不存在，请说明理由；
（3）哪位同学所摆的某个图形含有棋子个数先超过120个？请说明理由．
（4）两位同学所摆图形中，是否存在所需棋子数相同的图形，若存在，请直接写出该图形序号，若不存
在，请说明理由．
2．（2025·广东深圳·二模）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每
条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S．
请观察思考并完成以下表格的填写：
a 1 2 3 4 5 … 8 …
S 1 3 6 … …【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小
圆圈总数S与n之间的关系式 ．
【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分
裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；
若不能，说明理由．
3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷
砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；
（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2 ， 准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5
米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．
已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？
4．（2014·四川凉山·中考真题）实验与探究：
三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个
点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300
是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]
=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于
n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n= n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是 n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有 n（n+1）
整理这个方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n=24，n=25
1 2
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和
满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元
二次方程说明道理．1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）两年前生产 甲种药品的成本是 元，随着生产技术的进步，现
在生产 甲种药品的成本是 元，设甲种药品成本的年平均下降率为 ，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不
出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另
有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着
放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为 尺，则可列方程
为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长 ，宽 的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影
部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为 的有盖长方体盒子．设该盒子的高
为 ，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．C． D．
4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正
方形面积的9倍．设圆的半径为x cm，可得方程（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，将边长为 的正方形 沿对角线 剪开，再把
沿着 方向平移得到 ，若两个三角形重叠部分的面积为 ，则它移动的距离 等于
（ ）
A． B． C． 或 D．
6．（2025·江苏苏州·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．
后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每
天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元．
7．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长
出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设这种植物每
个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 ．
8．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形 是一个矩形，它由正方形 、正方形
和矩形 拼合而成，若两个正方形的面积之和为34，矩形 是面积为15的长方形，则矩
形 的面积为 ．9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网
络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经
市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将
多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每
台学习机售价定为多少元？
10．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24 ，宽为12 ，将其剪掉四角并折叠成
如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32 ，求该长方体盒子的高．
11．（2025·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台
灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长
率不变.
(1)求2，3两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种
台灯的售价每降价 元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800
元？
12．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤
包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份．
(1)如果每份礼盒的售价下降 元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含 的
代数式表示）；
(2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？
13．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩
天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模
型纪念品，引发文旅消费热潮．(1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到 万件．若月平均增
长率相同，求月平均增长率；
(2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出
24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降
价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？
14．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如下图，在矩形 中， ， ，点 从点 出
发，沿 以 的速度向点 移动；同时，点 从点 出发，沿 以 的速度向点 移动．当点
到达点 时，点 也停止移动，则当点 出发几秒后， 的面积为 ？
15．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
主题：奶茶销售方案制定问题
当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”．
素
经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为 杯， 月份的销售量为 杯；
材1
素 为了去库存，决定 月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯 元．当每杯售
材2 价 元时，月销售量 杯，经试验，发现该款水果茶每降价 元，月销售量就会增加 杯．
问题解决
任 确定水果茶的销售量月平均
该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？
务1 增长率
任 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到 元，该款水果茶应
拟定降价幅度
务2 该降价多少元？
16．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人
注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁
态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是
7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能
销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定
降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14
米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 上用其他材料做
了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边 长为x米，请你用含x的代数式表示另一边 的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为 平方米，求此时花圃的长与宽．
(3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由．
18．（2024八年级下·浙江·专题练习）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江
南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创
新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件
58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，
该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
19．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发
沿 以 的速度向点 移动；同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 移动，当其中一点
到达终点运动即停止．设运动时间为 秒．(1)在运动过程中， 的长度能否为 ？若能，求出 的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中， 的面积能否为 ？若能，求出 的值，若不能，请说明理由；
(3)取 的中点 ，运动过程中，当 时，直接写出 的值为________．
20．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形 空地，建
成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段
小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．
(1)如图1，要使种植花草的面积为 ，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示， 均为全等的直角三角
形，其中 ，设 米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都
为2m，且竖向道路出口位于 和 之间，横向弯折道路出口位于 和 之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
