文档内容
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 08 公切线问题（精讲+精练）
①有一个切点的公切线问题
②有两个切点的公切线问题
③公切线中的参数问题
一、必备知识整合
一、公切线问题一般思路
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.
主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，
通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
考法1：求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，
则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x))，
1 1 1 2 2 2
则f′(x)＝g′(x)＝ .
1 2
考法2：由公切线求参数的值或范围问题
由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．
二、考点分类精讲
【典例1】（单选题）（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数 与 在 处有相
同的切线，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D【分析】对 ， 求导，根据题意得到 ，再解方程组即可得到答案.
【详解】因为 ， ，则 ， ，
可得 ， ， ， ，
因为 ， 在 处有相同的切线，即切点为 ，切线斜率 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：D.
【典例2】（单选题）（23-24高二下·江西吉安·期末）函数 与函数 公切线的斜率
为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】先设切点分别为 ，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得
，最后计算 值即可.
【详解】设切点分别为 ，
且导数为 ，
所以切斜方程为既为 ，
也为 ，
所以 ，
且 ，
所以 ，
所以 或 ，所以公切线的斜率为 或 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数 上设不同切点并求切线
方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率.
【典例3】（单选题）（2024·广东茂名·一模）曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数 ，利用导数求得单调性和最值，即可求
得 的取值范围.
【详解】两个函数求导分别为 ，
设 ， 图象上的切点分别为 ， ，
则过这两点处的切线方程分别为 ， ，
则 ， ，所以 ，
设 ， ， ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到 ，从而构造函数
即可得解.【题型训练-刷真题】
一、填空题
1．（2024·全国·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
.
【答案】
【分析】先求出曲线 在 的切线方程，再设曲线 的切点为 ，
求出 ，利用公切线斜率相等求出 ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由 得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，
切线方程为 ，
根据两切线重合,所以 ，解得 .
故答案为：
二、解答题
2．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处的切线也
是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）先由 上的切点求出切线方程，设出 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函
数值求出 即可；
（2）设出 上的切点坐标，分别由 和 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出 ，构造函
数，求导求出函数值域，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）由题意知， ， ， ，则 在点 处
的切线方程为 ，即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得 ，则
，解得 ；
（2） ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得
，
设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整
理得 ，
则 ，整理得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 或
，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
【题型训练-刷模拟】
1 . 有一个切点的公切线问题
一、单选题
1．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点的直线 与曲线 都相切，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.
【详解】由 得 ，由 得 ，
设过原点的直线 分别与曲线 相切于点 ，则由导数的几何意义得 ，且 ，故 ，所以直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
代入 得 .
故选：D
2．（2023·江苏南通·模拟预测）若曲线 与曲线 有且只有一个公共点，且
在公共点处的切线相同，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用导数的几何意义得出其公切线，计算即可.
【详解】易得 ,设公共点为 ,
则由题意可得 ,即
且
令 ,则上式可化为:
记 ，则 恒成立，即 在 上单调递增，而 ，
故满足 的根只有 ，即 .
故选：C
【点睛】本题考察导数的综合应用，属于压轴题.由导数的几何意义建立方程组后，关键在于构造函数利用
导数求其单调性来解方程，计算量较大，也需要灵活的转化.
3．（2024·云南曲靖·一模）已知 ，若点 为曲线 与曲线 的交点，且
两条曲线在点 处的切线重合，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设切点 坐标，利用导数几何意义，由切线重合得导数值相等解得 ，再由点 为交点，则坐
标满足两曲线方程，由此建立 等量关系 ，再利用导数研究函数 的值域即可.
【详解】设点 的横坐标为 ，则由 可得 ，
又 可得 ，
且两条曲线在点 处的切线重合，
所以切线的斜率 ，解得 或 （舍去），
即点 的横坐标为 ，
由点 为曲线 与曲线 的交点，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，
令 可得 ，
由 知，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，当 ，
则实数 的取值范围为 .
故选：C.
二、填空题
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象在公共点处
有相同的切线，则公共点坐标为 .【答案】
【详解】设公共点为 ，即可得到 ，再由导数的几何意义得到 ，从而求
出 ，即可求出切点坐标，从而求出 ，再求出切线方程.
【分析】设公共点为 ，则 ，即 ，
所以 ，所以 ，
由 ， ，所以 ， ，
又在公共点处有相同的切线，所以 ，即 ，
所以 ，则 ，所以 ，
所以公共点坐标为 .
故答案为： .
5．（2024·上海·三模）设曲线 和曲线 在它们的公共点 处有相同的切
线，则 的值为 .
【答案】2
【分析】根据两曲线在 有公切线，则 是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出 的值，
则答案可求.
【详解】由已知得 ，解得 ，
又 ，
所以 得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：2
2 . 有两个切点的公切线问题一、单选题
1．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数 与函数 公切线的斜率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】先设切点分别为 ，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得
，最后计算 值即可.
【详解】设切点分别为 ，
且导数为 ，
所以切斜方程为既为 ，
也为 ，
所以 ，
且 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以公切线的斜率为 或 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数 上设不同切点并求切线
方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若直线 是曲线 与曲线 的
公切线，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 与 相切于点 ，与 相切于点 ，利用导数的几何意义，得到 和 ，再由 ，求得 ，得到 ，令
，利用导数求得函数的单调性与最值，求得 ，即可求解.
【详解】设 与曲线 相切于点 ，与 相切于点 ，
由 ，可得 的斜率 ，所以 ①，
又由 ，可得 ，所以 ，即 ②，
又因为 ③，
将②③代入①中，可得 ，由③易知， ,则 ④，
将④代入③，可得 ，则 ，
令 ，则 ，当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．所以 ，当且仅当 时取等号，
故 ，可得 ，所以 ，
所以 的方程为 ，即 ．
故选：B．
【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．（2024·福建·模拟预测）已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.
【详解】设直线与曲线 的切点为 且 ，与曲线 的切点为 且 ，
又 ， ，
则直线 与曲线 的切线方程为 ，即 ，
直线 与曲线 的切线方程为 ，即 ，
则 ，解得 ，故 ，
故选：A.
4．（23-24高二下·广东佛山·期中）经过曲线 与 的公共点，且与曲线 和
的公切线 垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先联立 与 得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设
与 和 分别相切于 ， ，利用导数的几何意义得到方程，求出 ，即
可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.
【详解】由 ，消去 整理得 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以方程组 的解为 ，
即曲线 与 的公共点的坐标为 ，
设 与 和 分别相切于 ， ，
而 ， ，
， ，，解得 ，
，即公切线 的斜率为 ，
故与 垂直的直线的斜率为 ，
所以所求直线方程为 ，整理得 ．
故选：B．
二、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线 与曲线 的一条公切线方程 .
【答案】 或 （写出一个即可）
【分析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可.
【详解】设公切线 与曲线 切于点 ，
与曲线 切于点 .
由 ，得 .由 ，得 .
令 ，即 ，则 ，
且 ，
即 ，
化为 ，
所以 ，解得 或 .
当 时， ， ，
此时切线 的方程为 ，即 .
当 时， ， ，
此时切线 的方程为 ，即 .
综上可知，切线 的方程为 或 ，写出任意一个即可.故答案为： 或 ，写出任意一个即可.
3 . 公切线中的参数问题
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·模拟预测）若函数 与函数 的图象在公共点处有相同的切
线，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得.
【详解】设函数 与函数 的图象公共点坐标为 ，
求导得 ，依题意， ，于是 ，
令函数 ，显然函数 在 上单调递增，且 ，
则当 时， ，因此在 中， ，此时 ，经检验 符合题意，
所以 .
故选：B
2．（2024·辽宁大连·一模）斜率为 的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】设直线 的方程为 ，先根据直线和圆相切算出 ，在根据导数的几何意义算 .
【详解】依题意得，设直线 的方程为 ，
由直线和圆 相切可得， ，解得 ，
当 时， 和 相切，
设切点为 ，根据导数的几何意义， ，
又切点同时在直线和曲线上，即 ，解得 ，
即 和 相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，和 仍会保持相切状态，即 时， ，
综上所述， 或 .
故选：A
3．（2023·河南·三模）已知函数 的图像关于原点对称，则与曲线 和 均
相切的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】设切点坐标，利用导数求两曲线的切线，当切线方程相同时，求切点坐标解的个数.
【详解】函数 的图像关于原点对称，则有 ，
即 ，解得 ，所以 ，
由 ，所以 在点 处的切线方程为 ，整理得
．
设 ，直线l与 的图像相切于点 ，因为 ，
所以切线方程为 ，整理得 ，则 （*），
整理得 ，
当 时， ，方程有两个非零实数根，
也满足方程，故 有3个解，
所以方程组（*）有3组解，故满足题中条件的直线l有3条．
故选：C
4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得 的范围.
【详解】由 ，得 ；由 ，得 ，因为曲线 与曲线 存在公切线，
设公切线与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 ，
则 ，又 ，则 ，
将 代入 ，得 ，则 ，
所以 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，则 的范围是 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的性质得到 ，从而得到 关于
的表达式，从而得解.
5．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线 与 恰有两条公切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设曲线 切点为 ， 的切点为 ，求出切线方程，根据有两条公切线转
化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项.
【详解】设曲线 切点为 ， 的切点为 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
同理， 在点 处的切线方程为 ，
根据 与 有两条公切线，
则 ，所以 ，化简可得 具有两个交点，
转化为 有两个解，构造函数 ，则 ，
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减，故 在 时有极大值即为最大值，故 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的取值范围为 ，
故选：A
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 的图象上存在不同的两点 ，使得
曲线 在这两点处的切线重合， 则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解法一：设 ， ，根据题意分析可知 ，根据导数的几何意义分别
求在 两点处的切线，由题意可得 ，化简可得 ，换元结合函数单调
性分析求解；解法二：根据题意结合图象分析可知 ，运算求解即可.
【详解】解法一：当 时，则 ，可知 在 内单调递增；
当 时，则 ，可知 在 内单调递减；
设 ， 为该函数图象上的两点，且 ，
若曲线 在 两点处的切线重合，则 ，
结合 的单调性可知 ，
则函数 在点 处的切线方程为：
，即 ；
函数 在点 处的切线方程为：
，即 ；两直线重合的充要条件是 ，
消去 可得 ，
且
令 ，则 ，可得 在 为增函数，
所以 ，结合选项可知A正确；
解法二：由题意可知： 在区间 内单调递减，在 内单调递增，
根据公切线导数值相等的原理，可知公切线只会出现在单调性一致的区间，
故只能出现在区间 ，
由于函数在这两个区间属于凹函数，故可类比两圆相离的外公切线，
且当 趋近于 ， 趋近于0，
由图象可知： ，解得 ，结合选项可知A正确；
故选：A.
7．（23-24高三上·浙江湖州·期末）已知函数 ，若总存在两条不同的直线与函数
， 图象均相切，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设函数 ， 的切点坐标分别为 ， ，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程 有两个不同的实根，则设 ，求导确定其单调性与最值情况，
即可得实数 的取值范围.
【详解】由题意可知： ，
设函数 上的切点坐标为 ，函数 上的切点坐标为 ，
且 ， ，则公切线的斜率 ，可得 ，
则公切线方程为 ，
代入 得 ，
代入 可得 ，整理得 ，
令 ，则 ，
若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象均相切，则方程 有两个不同的实根，
设 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 内单调递增，在 单调递减，可得 ，
且当x趋近于 时， 趋近于 ；当x趋近于 时， 趋近于 ，
可得 ，解得 ，故实数 的取值范围为 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为
单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围.
8．（2023·河北沧州·模拟预测）已知直线 与曲线 和曲线 均相切，则实数 的
解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【答案】C【分析】由题意可求得直线 与曲线 和曲线 分别切于点 ，
，则 ，化简后得 ，然后将问题转化为方程
解的个数，构造函数 ，利用导数和零点存在性定理可求
得其零点的个数，从而可得答案.
【详解】根据题意可知，直线 与曲线 和曲线 都相切，
所以对于曲线 ，则 ，所以 ，
所以切点 ，
对于曲线 ，则 ，所以 ，
切点 ，易知A,B不重合，
因为公切线过 两点，所以 ，
进而可得 ，
令 ，则 ，
令 ，则
所以 在 单调递增，
因为 ，
所以存在 使得 ，即 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
故 .
又因为 ，
所以 ，
当 时， ，因为 ，
所以在 内存在 ，使得 ，
当 时， ，
因为 ， ，
所以在 内存在 ，使得 ，
综上所述，存在两条斜率分别为 ， 的直线与曲线 和曲线 都相切，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，
解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程 解的个数问题，然后构造函数，
利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
