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第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·云南昆明·八年级期末）张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，需要对4个零
件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的判定定理逐项进行判断即可．
【详解】
A选项图形四条边相等，故为菱形，本选项符合题意；
B选项图形 ，
对边平行，
这组对边相等，且四边形邻边相等，
故为菱形，本选项符合题意；
C选项图形一组对边平行，一组对边相等，无法证明其为菱形，本选项不符合题意；D选项图形由同旁内角互补，可得两组对边分别平行，且邻边相等，故为菱形，本选项符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·四川成都·八年级期末）一个菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则下列关于
该菱形的说法错误的是（ ）
A．另一条对角线长为 cm B．有一组对角的大小为60°
C．面积为 D．任意一边上的高均为 cm
【答案】C
【解析】
【分析】
由菱形的性质及勾股定理求出OA及AC的长，则可判断选项A，由等边三角形的判定和性质可得出B选项
正确；根据菱形的面积公式可判断C，D．
【详解】
解：如图，对角线BD=10cm，AC与BD交于点O，
∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AB=BC=CD=AD=10cm；
∵对角线BD=10cm，
∴BO=DO=5cm，
在Rt ADO中，
△
cm，
∴ cm，故A选项正确，不符合题意；
∵AD=BD=AB=10cm，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=60°，∴∠BCD=∠BAD=60°，故B选项正确，不符合题意；
∴菱形的面积为 cm2，故C选项错误，符合题意；
设菱形一边上的高为hcm，
∴ ，解得： cm，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
3．（2022·海南海口·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，连接AC，则
∠BAD等于（ ）
A．60° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出AB＝AC，然后证明 ABC和 ACD是等边三角形即可．
【详解】 △ △
解：∵E是BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∴AC＝AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABC和 ACD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠△CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝120°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解
题的关键．4．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点， ，连接EC．
若 ，则∠BCE的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得， ，
，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
5．（2022·广东肇庆·八年级期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于H，则
DH等于（ ）A．3.6 B．4.8 C．5 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
设AC与BD交于点O，先由勾股定理求出AB，再根据菱形面积的计算方法即可求解．
【详解】
解：如图，设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，DB＝6cm，
∴AC⊥BD，OA=OC=4cm，OB=OD=3cm，
∴ ，
∵DH⊥AB，
∴菱形的面积等于 ，
∴ ．
故选：B
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AB的长是解题的关键．
6．（2022·天津滨海新·八年级期末）在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，
过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，则 的面积为（ ）A．24 B．18 C．12 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股
定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．
【详解】
解： 菱形ABCD，
在Rt BCO中， 则BD=8，
△
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=6，
BE=BC+CE=10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S BDE= DE•BD=24．
△
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD的长度，
判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
二、填空题7．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若菱形 的边长为13cm，对角线 长10cm，则菱形 的面
积是__________cm2．
【答案】120
【解析】
【分析】
先根据菱形对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出另一对角线一半的长，从而得出另一对角线的度，然
后利用菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】
解：如图，AB=13cm，BD=10cm，
∵菱形 ，
∴AC⊥BD，OB= BD=5cm，AC=2OA，
∴∠AOB=90°，
在Rt AOB中，由勾股定理，得
△
OA= =12(cm)，
∴AC=2OA=24cm，
∴菱形 的面积= =120(cm2)，
故答案为：120．
【点睛】
本题考查菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与勾股定理是解题的关键．
8．（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，菱形ABCD 中，∠ABD=30°，AC=4，则BD的长为_______．【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可得∠ABO=30°，AO= =2，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得
BO的长，从而得到结果．
【详解】
如图：
在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点，∠ABD=30°，AC=4，
∴AC⊥BD， AO= =2，
∴AB=2AO=4，
∴ ，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，对角线平分对角．
9．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
，则 ________ ．【答案】70
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得 的度数，再根据余角的性质可得答案．
【详解】
解：在菱形 中， ， ，
， ，
．
故答案为：70．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，除平行四边形固有的性质外，菱形的对角线相互垂直，对角线平分对角等，解
题的关键是掌握其性质定理．
10．（2022·浙江温州·八年级期末）如图，在菱形 中， ， ，则 _______
【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得到OA和OB的长度， ，再利用勾股定理求解．
【详解】
解：∵在菱形 中， ， ，
∴ ， ， ，∴在 中
．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，理解菱形的性质是解答关键．
三、解答题
11．（2022·天津河西·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为2， ，对角线AC，BD相交于
点O，又有E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．
(1)求对角线AC的长；
(2)求EF的长．
【答案】(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）由菱形的性质得AB=BC=2，∠BCA=∠DCA= ∠BCD=60°，再证△ABC是等边三角形即可；
（2）由三角形中位线定理得EF= BD，再由菱形的性质得AO= AC=1，BO=DO，AC⊥BD，最后运用勾
股定理解答即可．
(1)
解： 四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴是等边三角形
∴ ．
(2)
解：∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴ 是中位线，
∴ ．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ （负舍）
∴
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识点，灵活
运用相关性质定理是解答本题的关键．
12．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点O，过点C作
交 的延长线于点E．(1)求证： // ．
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)22
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD，再由 ，即可求证；
（2）根据菱形的性质可得AB∥CD， CD=AB=5，可证得四边形BECD是平行四边形，即可求解．
(1)
证明：在菱形 中，AC⊥BD，
∵ ，
∴BD∥CE；
(2)
解：在菱形 中，AB∥CD， CD=AB=5，
∴BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=CE=6，BE=CD=5，
∴四边形 的周长为2（BE+CE）=22．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握菱形的性质，平行四边
形的判定和性质，平行线的判定是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022·广西钦州·八年级期末）如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝
9，EF＝5，FC＝3，则正方形ABCD的边长为________．【答案】
【解析】
【分析】
连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，在 中，勾股定理求得 ，进而即可求解．
【详解】
如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于点
AE⊥EF，CF⊥EF，
则四边形 是矩形，
中， ， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形求得 的长是解题的关键．2．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在正方形 中， 为 中点，连结 ，过点 作
交 的延长线于点 ，连结 ，若 ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 AED≌△CFD，从而得到CF=AE=1，然后根据勾股定理可以得到解答．
【详解】 △
解：∵E为AB的中点，
∴AB＝2AE＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵ ，
∴∠EDC+∠CDF=90°=∠EDC+∠ADE，BC＝AB，
∴∠CDF=∠ADE，
又CD=AD，∠DCF=∠A=90°，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴CF=AE=1，BF=BC+CF=2+1=3，
∴在RT EBF中，由勾股定理可得：
△
EF= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理的应用是解题
关键．
3．（2022·重庆一中八年级期中）如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且，则 的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
过点P作 ，由 可得 ，得PE=1，PF=3，过点P作MN//AB交AD于点
M，交BC于点N，可得出四边形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延长CB到K，使NK=CN=3，连接DK，根
据两点之间线段最短故可知 的最小值为DK的长，根据勾股定理可求解
【详解】
解：如图，过点P作 ，交AB于点E，交CD于点F，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵∴ ，
∴ ， ，
过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，则 ，
∴∠
∴四边形 是矩形，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵∠ ，
延长CB到K，使NK=CN=3，则有：
连接DK，当 在一条直线上时， ，当 不在一条直线上时， ，
故当 共线时，
又N是CK的中点， ，
∴PN是CK的垂直平分线，
∴CP=PK，
所以 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，
掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．
4．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，连接BE，DG，CF，
AH．若AB＝10，则四边形MNPQ的面积是______．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据正方形四边相等，四个角为直角的性质，且点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，可证明△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），得到AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，则可
证明△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），四边形MNPQ是正方形，求出MNPQ的边长即可求出其
面积．
【详解】
解：∵点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，
∴AE=DH=CG=BF，
又∵AB=BC=CD=AD，
∴△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），
∴AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，
∵∠HAD+∠BAH=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠AMB=180°-(∠BAH+∠ABE)=90°，
同理：∠BNC=∠CPD=∠DQA=90°，
∴△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），
∴AM=BN=CP=DQ，AQ=BM=CN=DP，
∴MQ=MN=PN=PQ，
∴四边形MNPQ是正方形，
∵AB=BC=CD=AD=10，
∴BE=CF=DG=AH= ，
∵ ，
∴AM= ，
∴ ，
∴MQ=MN=PN=PQ= ，
∴四边形MNPQ的面积= ，
故答案为：20
【点睛】
本题考查了正方形的性质和全等三角形，熟练运用正方形的性质和全等三角形是解题的关键．5．（2022·河南开封·八年级期末）如图， 中，两直角边 和 的长分别3和4，以斜边 为
边作一个正方形 ，再以正方形的边 为斜边作 ，然后依次以两直角边 和 为边分别
作正方形 和 ，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】25
【解析】
【分析】
证明 ，可得到AF和FE的长度，分别计算出正方形 和 的面积即可得到阴影部
分的面积．
【详解】
解：∵ 四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ，∴
∴ ， ，
∴ , ,
∴ ,
故答案为：25．
【点睛】
本题考查正方形、全等三角形和直角三角形的性质，证明 是解本题的关键．
二、解答题
6．（2022·福建南平·八年级期末）如图，在正方形 ABCD 中，E是边BC上一动点（不与B，C重合），
连接AE，过点A作AE的垂线交CD的延长线于点 F ．
(1)如 图1，求证：BE＝DF；
(2)如图2，连接BD，EF，交点为O．求证：点O是线段EF的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）证明 ABE≌△ADF（ASA）即可得到结论；
（2）过点△E作EG⊥BC交BD于点G，则∠BEG＝90°，证明 GOE≌△DOF（AAS），即可得到结论．
(1) 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， △∴∠BAD=∠B= ∠ADC=90°，AB=AD，
∴∠ADF＝180°－∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ABE，
∵AF⊥ AE，
∴∠EAF=∠BAD = 90°，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA）．
∴BE=DF．
(2)
证明：如图，过点E作EG⊥BC交BD于点G，则∠BEG＝90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DBC=∠CDB =45° ，
∴∠BGE＝90°－∠CBD＝45°，∠ODG＝180°－∠BDC＝135°，
∴BE＝GE，∠OGE＝180°－∠BGE＝135°，
∴△BGE 是等腰直角三角形，∠OGE=∠ODF= 135° ，∴由（1）可知，BE=DF ，
∴GE=DF．
∵∠GOE=∠DOF，
∴△GOE≌△DOF（AAS）．
∴OE=OF ．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解
答此题的关键．
7．（2022·湖北黄石·八年级期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作
EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2， ，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是32°时，求∠EFC的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)∠EFC＝122°或32°
【解析】
【分析】
（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明 ，可得EF＝ED，则矩形DEFG是正方形；
（2）根据AB＝2， ，可得 重合，根据正方形的性质即可求解；
（3）①当DE与AD的夹角为32°时，点F在BC边上，∠ADE＝32°，在四边形CDEF中，由四边形内角
和定理得：∠EFC＝122°，②当DE与DC的夹角为32°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝32°，可得
∠EFC＝∠CDE＝32°．
(1)证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在 和 中，
∴
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
(2)
解：如图2中，
在 中， ，
∵ ，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，
．(3)
①当DE与AD的夹角为32°时，点F在BC边上，∠ADE＝32°，如图3所示：
则∠CDE＝90°－32°＝58°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：
∠EFC＝360°－90°－90°－58°＝122°，
②当DE与DC的夹角为32°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝32°，如图4所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝32°，
综上所述，∠EFC＝122°或32°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理，掌握正方形的性质与判定是解题的关键．
8．（2022·贵州黔东南·八年级期末）【探究发现】（1）如图1，在四边形 中，对角线 ，垂
足是O，求证： ．
【拓展迁移】（2）如图2．以三角形 的边 、 为边向外作正方形 和正方形 ，求证：
．
（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接 ，若 ， ， ，则 的长
_____________．（直接填写答案）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）根据 ，利用勾股定理分别求出 和 即可证明结论；
（2）利用正方形的性质证明 CAE≌ GAB（SAS），可得∠CEA＝∠GBA，根据∠GBA＋∠ANB＝90°等
量代换求出∠EMN＝90°即可△； △
（3）利用勾股定理分别求出AE、CG和BE，然后利用（1）中结论求出BC即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°，
由勾股定理得： ， ，
∴ ；
（2）∵在正方形 和正方形 中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠EAB＝90°，
∴∠CAG＋∠GAE＝∠EAB＋∠GAE，即∠CAE＝∠GAB，
∴ CAE≌ GAB（SAS），
∴△∠CEA＝△∠GBA，
∵∠GBA＋∠ANB＝90°，∠ANB＝∠MNE，
∴∠CEA＋∠MNE＝90°，
∴∠EMN＝90°，
∴ ；
（3）如图3，连接CG，BE，
∵ ， ， ，∴AC＝8，AE＝ ，
∴AB＝10，
∴CG＝ ，BE＝ ，
∵ ，
∴由（1）可知： ，即 ，
∵BC＞0，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键．
