文档内容
第 01 讲 探索勾股定理
1.熟练掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题.
2.掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理解决弦图等相关问题．
3.熟练掌握重要的数学思想：方程思想.
知识点01 勾股定理
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
斜边长为c，那么a2+b2=c2.
【微点拨】
1）仅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理则需要有直角三角形或通过辅助线构造直角三角
形）；
2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于
两短边（两直角边）的平方和，只有c是斜边时才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式.
3）利用勾股定理，若无法直接找出其中的两条边，则可设定一条边长为未知数，根据题目已知的条件能
表示其他的边（可以是设定的未知数表示，也可以是具体的数字），再建立方程求解，这样就将数与形有
机地结合起来，达到了解决问题的目的.
知识点02 勾股定理的验证
据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了.由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的
“勾股圆方图”（即赵爽弦图）的证法.
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.（赵爽的证法）
图（1）中 ，所以 .图（1） 图（2）
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.（毕达哥拉斯的证法）
图（2）中 ，所以 .
【微点拨】
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关
系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特
风格树立了一个典范.尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重大意义.以后
的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已.
题型01 用勾股定理解三角形
【典例1】（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，长方形 中， ， ， ，
则 ______．
【变式1】（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，求BC
边上的高AD的长．【变式 2】（2023 春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在 中， ， ，
， 于 ．求：
(1) 的长和 的面积；
(2) 的长．
题型02 已知两点坐标求两点距离
【典例1】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是 ，则 的
长为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
【变式1】（2023春·广东中山·八年级中山市华侨中学校考期中）平面直角坐标系中，点 到原点
的距离是（ ）
A．4 B．3 C．7 D．5
【变式2】（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 与点
之间的距离为______
题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方
形B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（ ）A． B． C．12 D．24
【变式1】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图， 中， ，以 的三边
为边向外作正方形，其面积分别是 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A．20 B．12 C． D．
【变式2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．15 C．144 D．306
题型04 勾股定理与网格问题
【典例1】（2023·云南楚雄·统考一模）如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则 边上的
高为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，
连接三个小格点，可得 ，则 边上的高是（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，在 的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格
点上，求：
(1) 的长；
(2) 边上的高．
题型05 勾股定理与折叠问题
【典例1】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，
，将它沿折痕 折叠，使点A与点B重合，则 ___________．
【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图所示，把矩形纸条 沿 ， 同时折叠， ，
两点恰好落在 边的 点处，若 的度数恰好为 ， ， ，则矩形 的边 的
长为_____．
【变式2】（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，
，将斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为
，则 的长是 ____________________．题型06 勾股定理的证明方法
【典例1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这
个公式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
A．分类讨论思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．转化思想
（2）如图2， ， ，且 在同一直线上．求证： ；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年
4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
【变式1】（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称
之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学
家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明
该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2
的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足 的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为 、 ，直角三角形面积为 ，请判断 、 、 的关系______．
一、选择题
1．（2023·全国·八年级假期作业）在平面直角坐标系中，点 ，则点P到原点的距离为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
2．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三
角形的面积是（ ）
A．30 B．60 C． D．40
3．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）若直角三角形两边长为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
4．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图， 中， ，将折叠，使点C与 的中点D重合，折痕交 于点M，交 于点N，则线段 的长为（ ）
A． B． C．4 D．
5．（2022秋·山东淄博·七年级统考期末）图1是第七届国际数学教育大会 的会徽图案，它是由
一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中 ，那
么 的长为( )
A． B． C． D．3
二、填空题
6．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在 中， ，以 和 为边向两边分别作正方
形，面积分别为 和 ，已知 ，则 的长为______．
7．（2023春·贵州黔东南·八年级校联考期中）如图，以 的三边为直径分别向外作半圆，若斜边
，则图中阴影部分的面积为______．
8．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为 ， ，且满足 ，则该直角三角形的第三条边长为_____．
9．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在 中， ， ，垂足为D， ，
，则 ______．
10．（2023·辽宁大连·校联考二模）如图，三角形纸片 中， ， ， ．沿过点A
的直线将纸片折叠，使点B落在边 上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与 的交
点为E，则 的长是______．
三、解答题
11．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考阶段练习）如图，折叠长方形纸片 的一边，使点D落在
边的 处， 是折痕．已知 ， ，求 的长．
12．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在 中， ，
(1)求 的长；
(2)求 的长．13．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个
单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
(1) ＝___；
(2)求 的面积．
14．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在 中， ．
(1)如图（1），把 沿直线 折叠，使点A与点B重合，求 的长；
(2)如图（2），把 沿直线 折叠，使点C落在 边上G点处，请直接写出 的长．
15．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，动
点P从点B出发沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示
①当点P在线段 上时， ________．
②当点P在线段 的延长线上时， ________．
(2)当 为直角三角形时，求t的值；
16．（2023春·全国·八年级期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉
斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证
明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定
理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个
图形中面积关系满足 的有___________个．②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分
别为 ， ，直角三角形面积为 ，请写出 ， ， 的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形
的边长为定值 ，四个小正方形 ， ， ， 的边长分别为 ， ， ，d，则
___________．
