文档内容
能力强化 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式
例题练习题答案
例1 x是怎样的实数时，下列式子有意义？
1 √4−x
√
①√x+5；② x 2 ；③ ；④ ；⑤√x−3+√3−x．
√x−3 √2x+1
【答案】 1
①x ≥ −5，②x为任意实数，③x > 3，④− < x ≤ 4，⑤x = 3.
2
练1.1 下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a < 1的是（ ）
A： √a−1
B： √1−a
C： √ 2
(1−a)
√
D： 1
1−a
【答案】D
例2 (1)已知√x−3y+|x−9| = 0，求x+y的值．
【答案】√x−3y = 0，|x−9| = 0，
解得x = 9，y = 3
x+y = 12
(2)已知√3−a+√a−3 = c+5，则c−3a = ________．
【答案】-14
练2.1 (1)已知√2−a+√a−2 = c−5，求c+2a的平方根．【答案】 2−a ≥ 0
{
根据题意得： ，
a−2 ≥ 0
∴a = 2，可得c = 5，
∴c+2a = 9， ∴c+2a的平方根为±3．
(2) 已知△ABC的三边长为a、b、c，且c为奇数，a和b满足√a−2+b 2 −6b+9 = 0，则第三边c
的长度为______．
【答案】3
例3 计算：
√ √
1 1
( )2 ( )2
（1） − ； （2） ；
5 2
√ (√ )2
2 2
（3） (3−π ) ； （4） a ．
【答案】 1 1
2
(1) (2) (3)π−3 (4)a
5 2
√
练3.1 1
把a − 中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
a
A： √−a
B： −√a
C： −√−a
D： √a
【答案】C
√
练3.2 a+2
化简二次根式a − 的结果是（ ）
2
a
A： √−a−2
B： −√−a−2C： √a−2
D： −√a−2
【答案】B
【解析】 a+2
若二次根式有意义，则− ≥ 0，
2
a
−a−2 ≥ 0，解得a ≤ −2，
a
∴原式 = √−a−2 = −√−a−2．
−a
故选：B．
例4 化简下列各式：
（1）√18；
√
50
（2） ；
81
（3）√0.75；
√
2
(b−c)
（4） (b < c)．
2
【答案】 5√2 √3 √2
（1）3√2，（2） ，（3） ，（4） (c−b).
9 2 2
练4.1 化简下列各式：
√12
（1） = _________；
2
3
（2） = _________；
√6
√
2
a b
（3） = _________；
2
4c
5n
（4） = ___________．
3√n【答案】 √6 |a|√b 5√n
（1）√3，（2） ，（3） ，（4） .
2 2|c| 3
例5 计算：
（1）√3×√15；
（2）−2√0.27×√0.03；
3
（3）√12xy÷ √x（x > 0，y > 0）．
4
【答案】 8√3y
（1）3√5，（2）−0.18，（3）
3
练5.1 √3
（1）2√12× ÷5√2
4
√ √ √
6 2 1
( )3
（2）√45÷ × 1 ×
5 3 3
√
√
3
b a
（3） ÷√ab× （a > 0，b > 0）
a b
√
【答案】 1 1 3
（1）原式= 12×3× = √2
10 2 10
√ √
1 5 5 1 5 5 5√30
（2）原式= 45× × × = =
3 6 3 3 3 6 18
√
b 1 a 3 √ab
（3）原式= × × =
a ab b b
例6 下列二次根式中，与√8是同类二次根式的是( )
√
A： 1
2
√
B： 2
3C： √12
D： √24
【答案】A
【解析】解：√8 = 2√2，
√
1 √2
A、 = ，故与√8是同类二次根式，此选项正确；
2 2
√
2 √6
B、 = ，故与√8不是同类二次根式，此选项错误；
3 3
C、√12 = 2√3，故与√8不是同类二次根式，此选项错误；
D、√24 = 2√6，故与√8不是同类二次根式，此选项错误．
故选：A．
练6.1 3b−1
若最简二次根式 √a+2与√4b−a是同类二次根式，则a = ______，b = _______．
【答案】1，1
【解析】 3b−1
∵最简二次根式 √a+2与√4b−a是同类二次根式，
∴3b−1 = 2，a+2 = 4b−a
解得，a = 1，b = 1，
故答案为：1，1．
例7 计算：
（1）√8+√18；
（2）√12−√27．
【答案】（1）原式 = 2√2+3√2 = 5√2
（2）原式 = 2√3−3√3 = −√3
练7.1 计算：
（1）√50+2√8−3√12+√27；
√
1
（2）2√12−6 +3√48；
3
√√
1
（3）√12−√3+ ；
3
（4）3√20−√45+√0.2．
( ) ( )
【答案】（1）原式 = 5√2+4√2 + −6√3+3√3
= 9√2−3√3,
（2）原式 = 4√3−2√3+12√3
= 14√3
√3
（3）原式 = 2√3−√3+
3
4√3
=
3
√5
（4）原式 = 6√5−3√5+
5
16√5
=
5
能力强化 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式
自我巩固答案
1 √x+2
3
函数y = − √2−x的自变量取值范围是（ ）
x−1
A： −2 ≤ x ≤ 2
B： x ≥ −2且x ≠ 1
C： x−2
D： −2 ≤ x ≤ 2且x ≠ 1【答案】B
【解析】 √x+2
3
要使函数y = − √2−x有意义，
x−1
x+2 ≥ 0
{
则 ，
x−1 ≠ 0
解得x ≥ −2且x ≠ 1．
故选：B．
2 已知x，y为实数，且y = √x−9−√9−x+4，求√x+√y的值．
【答案】由题意得，x−9 ≥ 0，9−x ≥ 0，
解得，x = 9，
∴y = 4，
则√x+√y = 3+2 = 5．
【解析】根据二次根式有意义的条件求出x、y，根据算术平方根的概念计算即可．
3
化简：
√
x
2
−6x+9−
(√3−x )2
=（ ）
A： 2x−6
B： 0
C： 6−2x
D： 2x+6
【答案】B
√
4 −y
已知xy > 0，化简二次根式x 的正确结果为（ ）
2
x
A： √y
B： √−y
C： −√y
D： −√−y
【答案】D【解析】∵xy > 0，
∴x和y同号，
√
−y −y
∵x 的中， ≥ 0，
2 2
x x
∴y < 0，
∴x < 0，
√ √
−y −y
∴x = − x 2 ⋅ = −√−y，
2 2
x x
故选：D．
5 √ √ √
2 2 2
实数a、b在数轴上的位置如图，化简 a − b − (a−b) ．
【答案】由图可知：a < 0，b > 0，
则a−b < 0，
∴原式 = −a−b−(b−a) = −a−b−b+a = −2b.
6 下列化简二次根式错误的是（ ）
√
A： 2 √10
=
5 5
B： 2√3
√0.48 =
5
C： √ a 2 bc = a√bc
D： √320 = 8√5
【答案】C7 如图是一个正方体的展开图，已知这个正方体各对面的式子之积是相等的，那么x为（ ）
A： √3
B： 2√3
C： 2√6
D： √6
2
【答案】A
【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“√1”与“√6”是相对面，
√3
“2√2”与“ ”是相对面，
2
“√2”与“x”是相对面，
∵正方体各对面的式子之积是相等的，
∴√2x = √6×√1，
解得x = √3．
故选：A．
8 计算：
√ √
1 1
（1） 1 ÷ 1 ；
3 2
√ √ √
2a 2b c
（2） ⋅ ⋅ ．
5b c 5a
【答案】 2√3 √6 2
（1）原式＝ ÷ = √2；
3 2 3
√√
2a 2b c 2
（2）原式＝ ⋅ ⋅ = ．
5b c 5a 5
9 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
√
A： 1
√0.5与
8
√ √
B： b a
与
a b
C： √ 2 √ 2
x y与 xy
D： √ 5 √ 3
2a 与 2a
【答案】C
√
【解析】 √2 1 √2
A、√0.5 = ，和 = 是同类二次根式，故本选项错误；
2 8 4
√ √
b √ab a √ab
B、 = 和 = 是同类二次根式，故本选项错误；
a |a| b |b|
√ √
C、 x 2 y = |x|√y和 xy 2 = |y|√x不是同类二次根式，故本选项正确；
√ √
D、 2a 5 = a 2√2a和 2a 3 = a√2a是同类二次根式，故本选项错误．
故选：C．
10 计算：
√
1 1
（1）√27−15 + √48；
3 4
( )
（2） √50−√8 +√2．
【答案】（1）原式=3√3−5√3+√3=−√3；
( )
（2）原式= 5√2−2√2 +√2=4√2．
能力强化 / 初二 / 寒假第 1 讲 二次根式
课堂落实答案
1 如果式子√2x+6有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】C
2 已知y = √x−3+√3−x+2，则x y 的值为（ ）
A： 9
B： 8
C： 2
D： 3
【答案】A
3 计算：
√ √
2 1
（1）√12⋅ 2 ⋅ 1 ；
3 2
√
1 1
（2） ÷ √0.125．
2 2
【答案】 2√2 √6
（1）原式＝2√3× × = 4√3；
3 2
√2 √2
（2）原式＝ ÷ = 4．
2 8
4 已知最简二次根式√7−2a与2√3可以合并，则a的值是___．
【答案】25 计算：
( )
（1）√3− √12−5√8 +3√2；
（2）√2− (√8−√12 ) +√18；
( )
（3） 4√2−3√6 −(3√8+√24)；
（4）2+ | 1−√2 | − (√8−2 ) ．
【答案】（1）原式=√3−3√3+10√2+3√2=13√2−√3；
（2）原式=√2−2√2+2√3+3√2 = 2√3+2√2；
（3）原式=4√2−3√6−6√2−2√6 = −2√2−5√6；
（4）原式=2+√2−1−2√2+2 = 3−√2．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式
精选精练
1 已知√x−y+3与√x+y−1互为相反数，求(x−y) 2 的平方根．
【答案】解、∵√x−y+3与√x+y−1互为相反数，
∴√x−y+3+√x+y−1=0，
∴x-y+3=0且x+y-1=0，
解得x=-1，y=2，
∴（x−y） 2 =（ −1−2） 2 =9，
∵（ ±3） 2 =9，
∴（x−y） 2 的平方根等于±3．
【解析】根据互为相反数的和等于0列式，然后再根据非负数的性质列式求出x、y的值，代入代数
式求出（x−y） 2 的值，再根据平方根的定义进行求解．
2 √2m+n+ | m 2 −9 |
若 = 0，求3m+6n的立方根．
√3−m【答案】由题，得
√2m+n = 0
{
| |
2
m −9 = 0
3−m > 0
解得m = −3，n = 6，
则3m+6n = 27，
∴3m+6n的立方根为3．
√
3 2 1
√
计算：（1）2 ÷ √6m⋅ 8m 3 ；
3m 6
√ √
1 2
（2） 2 ÷3√28×5 2 ；
4 7
√
2 3 1 y
( ) ( )
√ √
5 3
（3） xy ⋅ − x y ÷ ．
y 2 3 x
√ √
【答案】 2 1 8m
解：（1）原式 = 2×6 × ×8m 3 = 12 = 8√2m；
3m 6m 9
√
1 9 1 16 5
（2）原式 = ×5 × × = ；
3 4 28 7 7
√
2 3 x 9
√
（3）原式 = − × ×3 xy 5 ×x 3 y× = − x 5 y 5 = −9x 2 y√xy．
y 2 y y
√
4 √x−1 x
先化简 ÷ ，再从−3，0，1，4中选取一个合适的数代入求值．
x−1 3 2
x −x
【答案】 √x-1
原式= •√x(x-1)
x-1
=√x．
当x＞1时，原式有意义，
∴当x=4时，原式=√4=2．【解析】先根据二次根式的运算顺序和法则化简原式，再由二次根式有意义的条件选取合适的x的
值，代入计算可得．
5 计算：
√
3
（1）2a√27a+6a a；
4
√xy √xy
（2） + ．
−x −y
【答案】（1）原式＝6a√3a+3a√3a = 9a√3a；
(x+y)√xy
（2）原式＝− ．
xy
6 计算：
√
2 x
（1） √9x+6 −√x；
3 4
√ √
2a a 1
（2） √9a+6a −a 2 ．
3 4 a
【答案】（1）原式＝2√x+3√x−√x = 4√x；
（2）原式＝2a√a+3a√a−a√a = 4a√a．
【解析】（1）首先将各二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的加减运算法则求解，即
可求得答案．
（2）首先将各二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的加减运算法则求解，即
可求得答案．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 2 讲 勾股定理与逆定理
例题练习题答案
例1 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽
弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b) 2 = 21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为
（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
【答案】C
【解析】如图所示：
2
∵(a+b) = 21，
2 2
∴a +2ab+b = 21，
∵大正方形的面积为13，
2ab = 21−13 = 8，
∴小正方形的面积为13−8 = 5．
故选：C．
练1.1 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A：
B：C：
D：
【答案】D
例2 (1) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘，AB = 2，BC = 1，则AC的长为（ ）
A： 1
B： √3
C： √5
D： 3
【答案】B
(2) 直角三角形的三边为a、b、c，其中a、b两边满足 √ a 2 −12a+36+|b−8|=0，那么这个三角
形的面积为（ ）
A： 48
B： 6√3
C： 6√7或24
D： 6√3或24
【答案】C
【解析】 解： ∵ √ a 2 −12a+36+ |b−8| = 0，
∴ a 2 −12a+36 = 0，b−8 = 0，
解得，a = 6，b = 8，
1
当b是直角边时，这个三角形的面积 = ×6×8 = 24，
2√
当b是斜边时，另一条直角边 = 8 2 −6 2 = 2√7，
1
这个三角形的面积 = ×6×2√7 = 6√7，
2
综上所述：这个三角形的面积为6√7或24，
故选：C．
练2.1 (1)若直角三角形的两直角边长为a，b，且满足√a−3+|b−4| = 0，则该直角三角形的斜边长为
__________；
【答案】5
(2)一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x为________．
【答案】5或√7
例3 如图，在四边形ABCD中，∠BAD = ∠DBC = 90∘，若AD = 4cm，AB = 3cm，BC = 12cm，求CD
的长及四边形ABCD的面积．
【答案】解：在Rt△ABD中，
√ √
2 2 2 2
BD= AB +AD = 3 +4 =5（cm），
在Rt△BCD中，
√ √
2 2 2 2
CD= BD +BC = 5 +12 =13（cm），
1 1
2
S =S +S = ×3×4+ ×5×12=36（cm ），
四边形ABCD △ABD △BCD
2 2
2
即四边形ABCD的面积为36cm ．
【解析】先根据勾股定理求出BD的长度，然后可根据勾股定理求出CD的长度，分别求出△ABD和
△BCD的面积，即可求得四边形ABCD的面积．
练3.1 如图，AC⊥CE，AD = BE = 13，BC = 5，DE = 7，那么AC = ___．【答案】12
例4 如图，在长方形ABCD中，AB = 8，AD = 10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长
方形内点F处，且DF = 6，求BE的长．
【答案】∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，
∴∠AFE = ∠AFD = ∠B = 90∘，AF = AB = 8，
在Rt△ADF中，AD = 10，AF = 8，
∴DF = 6，
设BE = x，则EF = x，DE = 6+x，EC = 10−x，
在Rt△DCE中，CE 2 +CD 2 = DE 2 ，
2 2 2
即 (10−x) +8 = (6+x) ．
∴x = 4．
∴BE = 4．
练4.1 如图，矩形ABCD中，AB = 8cm，BC = 16cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，求图中阴影部分
的面积．
【答案】解：
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=8cm，BC=AD=16cm，AD//BC，∠A=90°,
∴∠EDB=∠CBD
∵折叠∴△CBD≌△C’BD,
∴∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE.
设DE为x，则AE=16-x，BE=x，由勾股定理，得AB 2 +AE 2 = BE 22 2
∴64+(16−x) = x
∴DE=10
1
2
∴图中阴影部分的面积= ×DE×AB = 40cm
2
例5 下列几组数中，是勾股数的有（ ）
2 7
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④ 、2、 ．
3 3
A： 1组
B： 2组
C： 3组
D： 4组
【答案】B
练5.1 下列长度的三条线段：①9，12，15；②7，24，25；③3 2 ，4 2 ，5 2 ；④3a，4a，5a（a > 0）；
⑤m 2 −n 2 ，2mn，m 2 +n 2 （m，n为正整数，且m > n）．其中可以构成直角三角形的有（ ）
A： ①②③④⑤
B： ①②④⑤
C： ①②④
D： ①②
【答案】B
例6 √
已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式 c 2 −a 2 −b 2 +|a−b| = 0，则△ABC的形状为
__________．
【答案】等腰直角三角形
【解析】 √ 2 2 2
∵ c −a −b +|a−b| = 0，
2 2 2
∴c −a −b = 0，且a−b = 0，
2 2 2
∴c = a +b ，且a = b，
则△ABC为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形
练6.1 △ABC的三边a，b，c满足(a−13) 2 +|b−12|+√2c−10 = 0，则△ABC为（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰三角形
C： 等边三角形
D： 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】 解： ∵ (a−13) 2 + |b−12| +√2c−10 = 0，
∴ a−13 = 0，b−12 = 0，2c−10 = 0，
解得，a = 13，b = 12，c = 5，
2 2 2 2 2
c +b = 5 +12 = 169，a = 169，
2 2 2
则c +b = a ，
∴ ΔABC为直角三角形，
故选：A．
例7 如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB = 13，AD = 12，AC = 15，BD = 5，则BC的长为
______．
【答案】14
练7.1 如图，在△DEF中，DE = 17，EF = 30，EF边上的中线DH = 8，请判断△DEF的形状？并说明理
由．
【答案】△DEF是等腰三角形．
理由：∵DH是EF边上的中线，EF=30cm，∴EH=15cm，
∵DE=17cm，DH=8cm，
2 2 2
∴EH +DH =DE ，
∴DH⊥EF，
∴△DHE≌△DHF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰三角形．
【解析】根据已知条件利用勾股定理的逆定理求得DH⊥EF，又知EG=GF，可证明△DGE≌△DGF，
所以可推出△DEF是等腰三角形．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 2 讲 勾股定理与逆定理
自我巩固答案
1 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边为（ ）
A： 13
B： 13或√119
C： 13或15
D： 15
【答案】B
2 如图，长方形ABCD的边AD长为2，边AB长为1，AD在数轴上，以原点D为圆心，对角线BD的长
为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A： √5
B： √3
C： 2.3D： √10
【答案】A
【解析】 解： 由勾股定理得，DB = √ AB 2 +DA 2 = √5，
∴ 这个点表示的实数是√5，
故选：A．
3 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其
中AE = 10，BE = 24，则EF的长是（ ）
A： 14
B： 13
C： 14√3
D： 14√2
【答案】D
4 如图是由直角边长为a、b，斜边长为c的4个全等的直角三角形拼成的正方形．试利用这个图形来
验证勾股定理．
【答案】 1
2
解：图中图形的面积 = 4× ab+(b−a) ,
2
1
2 2
则c = 4× ab+(b−a)
2
2 2 2
整理得:a +b = c
5 等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）A： 13
B： 8
C： 25
D： 64
【答案】B
6 将矩形ABCD沿直线CE折叠，顶点B恰好落在AD边上F点处，如图所示，已知AB = 3cm ，
BC = 5cm，求AE的长．
【答案】解：根据题意，将矩形ABCD沿直线CE折叠，可得 △ EBC≌ △ EFC，
∴设EF = xcm，则BE = EF = xcm，
∵AB = 3cm，
∴AE = (3−x)cm，
在 △ FDC中，FD 2 = CF 2 −CD 2 ，可得FD = 4cm，
∴AF = 1cm．
∴在 △ AEF中，AF 2 +AE 2 = EF 2 ，
5
2 2 2
即1 +(3−x) = x ，解得：x = ，
3
5 4
∴AE = 3− = cm．
3 3
7 在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD上的点F处，则线段BE的长
为多少？【答案】解：根据题意可得： △ ABE≌ △ AFE，
设BE = x，则EF = BE = x，CE = 4−x，
在Rt △ ADF中，DF 2 = AF 2 −AD 2 = AB 2 −BC 2 ，
∵AB = 5，BC = 4，
∴DF = 3，CD = AB = 5，可得CF = CD−DF = 5−3 = 2，
在Rt △ CEF中，EF 2 = CE 2 +CF 2 ，
2 2 2
∴x = (4−x) +2 ，
解得x = 2.5，即BE的长为2.5．
8 ( )2
已知三角形三边分别为a，b，c，且满足|a−2|+√b−2+ c−2√2 = 0，此三角形的形状是（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰直角三角形
C： 等边三角形
D： 钝角三角形
【答案】B
9 下列各组数为勾股数的是（ ）
A： 1，2，5
B： 15，8，17
C： 9，12，13
D： 3 4 5
, ,
2 2 2
【答案】B
10 如图， △ ABC中，D是BC上的一点，若AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17，求 △ ABC的面
积.【答案】 解: ∵ BD 2 +AD 2 = 6 2 +8 2 = 10 2 = AB 2 ,
∴ △ABD是直角三角形,
∴ AD⊥BC,
√ √
在Rt△ACD中,CD = AC 2 −AD 2 = 17 2 −8 2 = 15,
1 1 1
∴ S = BC⋅AD = (BD+CD)⋅AD = ×21×8 = 84,
△ABC
2 2 2
因此△ABC的面积为84.
答:△ABC的面积是84.
能力强化 / 初二 / 寒假
第 2 讲 勾股定理与逆定理
课堂落实答案
1 在Rt△ABC中，∠C = 90∘，AB = 3，AC = 2，则BC的值（ ）
A： √5
B： √6
C： √7
D： √13
【答案】A
【解析】 在RtΔABC中，∠C = 90∘，AB = 3，AC = 2，
√ √
∴ BC = AB 2 −AC 2 = 3 2 −2 2 = √5，
故选：A．
2 已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（ ）
A： 9
B： 12
C： 15D： 18
【答案】B
3 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线
段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长
度．
【答案】表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD．
∵ ΔABE是直角三角形，
√
∴ AB = 2 2 +2 2 = 2√2，
√
2 2
同理，CD == CD = 4 +3 = 5，
故答案为：表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD
4 2 2
三角形的三边长为a，b，c，且满足(a+b) = c +2ab，则这个三角形是（ ）
A： 等边三角形
B： 钝角三角形
C： 直角三角形
D： 锐角三角形
【答案】C
5 下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A： 1 1 1
， ，
3 4 5
B： 0.6，0.8，1.0C： 1，2，3
D： 9，40，41
【答案】D
能力强化 / 初二 / 寒假
第 2 讲 勾股定理与逆定理
精选精练
1 Rt△ABC中，斜边BC = 2，则AB 2 +BC 2 +CA 2 = （ ）
A： 8
B： 6
C： 4
D： 无法计算
【答案】A
【解析】 2 2 2
【分析】利用勾股定理将AB +AC 转化为BC ，再求值即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，BC = 2，
2 2 2
∴AB +AC = BC = 4，
2 2 2 2
∴AB +AC +BC = 2BC = 2×4 = 8．
故选：A．
2 小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数
轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB = 3
．以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点P的位置在数轴上（ ）
A： 1和2之间B： 2和3之间
C： 3和4之间
D： 4和5之间
【答案】C
【解析】 解：由勾股定理得，OB = √ 2 2 +3 2 = √13，
∵ 9 < 13 < 16，
∴ 3 < √13 < 4，
∴ 该点位置大致在数轴上3和4之间．
故选：C．
3 如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正
方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（ ）
A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
【答案】A
4 如图，在平面直角坐标系xOy中，若A点的坐标为 ( 1,√3 ) ，则OA的长为 ．
【答案】2
5 如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为6 cm，高为16 cm，现将一根长度为28 cm
的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是_________cm．【答案】8
6 如图，四边形ABCD中，∠B = 90∘，∠ACB = 30∘，AB = 2，CD = 3，AD = 5．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：在Rt △ ABC中，∠B = 90∘，∠ACB = 30∘，AB = 2，
∴AC = 2AB = 4，
在 △ ACD中，AC = 4，CD = 3，AD = 5，
2 2 2 2 2 2
∵4 +3 = 5 ，即AC +CD = AD ，
∴∠ACD = 90∘，
∴AC⊥CD；
（2）解：在Rt △ ABC中，∠B = 90∘，AB = 2，AC = 4，
√
∴BC = 4 2 −2 2 = 2√3，
1 1
∴Rt △ ABC的面积为 AB⋅BC = ×2×2√3 = 2√3，
2 2
1 1
又∵Rt △ ACD的面积为 AC⋅CD = ×4×3 = 6，
2 2
∴四边形ABCD的面积为：2√3+6．
能力强化 / 初二 / 寒假第 3 讲 平行四边形
例题练习题答案
例1 (1)平行四边形的一边长为6，周长为28，则这边的邻边长为（ ）
A： 22
B： 16
C： 11
D： 8
【答案】D
(2)如图，在□ABCD中，AD = 8，AB = 12，AE平分∠BAD，交DC边于点E，则CE的长为
_______________．
【答案】4
(3)在□ABCD中，AB = 7cm，AD = 6cm，则AB边上的高与AD边上的高之比为_______．
【答案】6:7
练1.1 (1)如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是(1,3)
，点A的坐标是(5,0)，则点B的坐标是_______．
【答案】(6,3)(2)如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB = 6，
EF = 2，则BC的长为（ ）
A： 8
B： 10
C： 12
D： 14
【答案】B
例2 (1)□ABCD中，∠A = 100∘，则∠B+∠D的度数是__________．
【答案】160°
(2)□ABCD中，若∠C = ∠B+∠D，则∠A = ______________．
【答案】120°
(3) 如图，在□ABCD中，∠C = 60∘，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
①求∠EDF的度数；
②若AE = 4，CF = 7，求□ABCD的周长．
【答案】 在平行四边形ABCD中，∠C+∠B = 180∘，∠B = 120∘，
在四边形DEBF中，∠EDF+∠B = 180∘，
∴∠EDF = 60∘，
②在RtΔADE中，∠A = ∠C = 60∘，∠ADE = 30∘，AD = 2AE = 8，在RtΔDCF中，∠CDF = 30∘，DC = 2CF = 14，
∴平行四边形ABCD的周长为(8+14)×2 = 44.
练2.1 (1) 已知在□ABCD中，∠A+∠C = 140∘，则∠B的度数是（ ）
A： 110°
B： 120°
C： 140°
D： 160°
【答案】A
(2)如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AB于B，BE交对角线AC于点E，∠ACD = 15∘，求∠BEC
的度数．
【答案】解：∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD
∴∠BAC = ∠ACD = 15∘
∵BE⊥AB
∴∠BEC = 90∘ +15∘ = 105∘
例3 (1)平行四边形的一边长是10，一条对角线长是6，则它的另一条对角线a的取值范围为（ ）
A： 4 < a < 16
B： 14 < a < 26
C： 12 < a < 20
D： 8 < a < 32
【答案】B(2)如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于O，过O作直线EF，与AD交于E，与BC交于F．求
证：AE = CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA = OC，
∴∠OAE = ∠OCF，
在 △ AOE和 △ COF中，
∠OAE = ∠OCF
{
OA = OC ，
∠AOE = ∠COF
∴ △ AOE≌ △ COF(ASA)，
∴AE = CF．
练3.1 (1)□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，
则AB = ___________，BC = ______________．
【答案】19cm；11cm
(2)如图，□ABCD中，AC、BD为对角线，BC = 3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）
A： 3
B： 6
C： 12
D： 24
【答案】A例4 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，且
AE = CF，BE = DF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB = ∠DFC = 90∘，
在△ABE与△CDF中，
AE = CF
{
∠AEB = ∠DFC，
BE = DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AB = CD，∠ABE = ∠CDF，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
练4.1 如图，在□ABCD中，E、F分别是AD，BC边上的点，且∠1 = ∠2，求证：四边形BEDF是平行四
边形．
【答案】∵在□ABCD中
∴∠A = ∠C，AB = CD
∵∠1 = ∠2
易证 △ AEB ≅△ CFD
∴AE = CF
∵在□ABCD中
∴AD//BC，AD = BC
∴ED//BF，ED = BF
∴四边形BEDF是平行四边形．例5 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE = CF．求证：四边形
BFDE是平行四边形．
【答案】证明: ∵ □ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是AC上的两点,
∴ AO = CO,BO = DO,
∵ AE = CF,
∴ AF = EC,则FO = EO,
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
练5.1 如图，在□AECF中对角线相交于点O，BD经过点O，分别与AE，CF交于点B，D．连接AD，BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形AECF是平行四边形，
∴FO = EO，CF//EA
∴∠DFO = ∠BEO
∵∠DOF=∠BOE，
∴ △ DFO≌ △ BEO
∴DO = BO
又∵四边形AECF是平行四边形，
∴AO = CO
∴四边形ABCD是平行四边形
例6 已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．【答案】证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
1
∴ED∥BC且ED = BC ，
2
∵F、G分别是OB、OC的中点，
1
∴FG∥BC且FG = BC，
2
∴ED∥FG且ED=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形．
练6.1 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
【答案】证明：如图，连接BD．
∵F、G分别是BC、CD的中点，
1
∴FG∥BD，FG= BD．
2
∵E、H分别是AB、DA的中点，
1
∴EH∥BD，EH= BD．
2
∴FG∥EH，且FG=EH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
能力强化 / 初二 / 寒假第 3 讲 平行四边形
自我巩固答案
1 平行四边形ABCD的周长为34，两邻边之差为3，则两邻边长分别为（ ）
A： 10，7
B： 18.5，15.5
C： 11，6
D： 12，5
【答案】A
2 如图，□ABCD中，AD = 5，AB = 3，AE平分∠BAD且交BC于点E，则线段EC的长为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
【答案】B
3 平行四边形ABCD中，若∠A+∠C = 160∘，则∠D的度数是（ ）
A： 120°
B： 100°
C： 60°
D： 70°
【答案】B
4 如图，□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，∠EAF = 45∘，则∠BAD的度数为
（ ）A： 120°
B： 150°
C： 105°
D： 135°
【答案】D
5 如图，点O是□ABCD的对角线交点，AC = 38，BD = 24，AD = 14，那么△OBC的周长等于
（ ）
A： 40
B： 44
C： 45
D： 50
【答案】C
6 如图，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．则下列结论中正确个数
有（ ）
①AB = CD；②∠B = ∠D；③CD = FA；④∠F = ∠BCF．
A： 1个
B： 2个C： 3个
D： 4个
【答案】C
7 下面四个说法中：
①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是平行四边形；
③一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
④一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形．
其中正确的个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
【答案】A
8 在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是(0,0)、(5,0)、(2,3)，若存在点C，使得以点O、
B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（ ）
A： (3, −3)
B： (−3,3)
C： (3,5)
D： (7,3)
【答案】C
【解析】当以OB为对角线时，点C的坐标为(3, −3)；
当以OD为对角线时，点C的坐标为(−3,3)；
当以BD为对角线时，点C的坐标为(7,3)．
9 如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线EF分别交AD，BC于F，E两点．求证：
四边形AECF是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是ABCD对角线的交点，
∴AD//BC，AO = CO
∴∠FAO = ∠ECO，
又∵AO = CO，∠AOF = ∠COE，
∴ΔAOF ≅ ΔCOE，
∴OE = OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
10 如图，在四边形ABCD中，AD = BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=15∘，
∠ACB=87∘，则∠FEG等于（ ）
A： 39°
B： 18°
C： 72°
D： 36°
【答案】D
【解析】∵F、G分别是CD、AC的中点，
1
∴FG∥AD，FG = AD，
2
∴∠FGC = ∠DAC = 15∘，
∵E、G分别是AB、AC的中点，
1
∴GE∥BC，GE = BC，
2∴∠EGC = 180∘ −∠ACB = 93∘，
∴∠EGF = 108∘，
∵AD = BC，
∴GF = GE，
1
∴∠EFG = × ( 180∘ −108∘) = 36∘．
2
能力强化 / 初二 / 寒假
第 3 讲 平行四边形
课堂落实答案
1 如图，□ABCD中，AB = 10，AD = 7，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF的值为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
【答案】A
2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD的长度分别为10和6，则AB长度的最大整数值是
（ ）
A： 8
B： 5C： 6
D： 7
【答案】D
3 下面给出四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边
形的是（ ）
A： 3：4：4：3
B： 2：2：3：3
C： 4：3：2：1
D： 4：3：4：3
【答案】D
4 如图，△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，过D作DF∥BE交AC于O，EF∥AB．请猜想：DF
与AE之间的关系．
【答案】∵DF//BE，EF//AB
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD = EF，
∵D为AB的中点，
∴AD = BD，
∴AD = EF．
又∠A = ∠OEF，∠ADO = ∠F，
∴ΔAOD ≅ ΔEOF(ASA) ，
∴OA = OE，OD = OF ，
∴DF与AE互相平分
5 在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若△ABC的周长为32cm，则△DFE的周长为
_______cm．
【答案】16能力强化 / 初二 / 寒假
第 3 讲 平行四边形
精选精练
1 如图，A，B，C，D为一个平行四边形的四个顶点，则点D的坐标不可能为（ ）
A： (3,0)
B： (5,4)
C： (−1,2)
D： (6,4)
【答案】D
【解析】解：当点D的坐标为(3,0)时，A，B，C，D为一个平行四边形；
当点D的坐标为(5,4)时，A，B，C，D为一个平行四边形；
当点D的坐标为(−1,2)时，A，B，C，D为一个平行四边形；
但当点D的坐标为(6,4)时，AC不能与BD平行，所以不是平行四边形；
故选：D．
2 如图，已知☐ABCD的顶点A是直线l上一定点，过点B作BM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，
AM = 1，MN = 3，则对角线AC长的最小值为______．
【答案】5
【解析】如图所示，过C作CF⊥l于F，过C作CE⊥DN，交DN的延长线于E，又∵BM⊥l，DN⊥l，
∴∠AMB = ∠CED = 90∘，
∵AB∥CD，CE∥AF，
∴∠BAM = ∠DCE，
又∵AB = CD，
∴△ABM≌△CDE，
∴CE = AM = 1，
又∵CENF中，NF = CE，
∴NF = 1，
又∵MN = 3，
∴AF = 1+3+1 = 5，
又∵CF⊥l于点F，
∴AC ≥ AF，
∴AC的最小值为5.
3 如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD = 6，AD与BC的距离为4，则阴影部分的面积为
________．
【答案】12
4 如图，已知：平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点E，且点E刚好落在AD上，分别
延长BE、CD交于F．
（1）AB与AD之间有什么数量关系？并证明你的猜想；（2）CE与BF之间有什么位置关系？并证明你的猜想．
【答案】(1)结论：AD = 2AB．
理由：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠FBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB = CD，
∴∠FBC = ∠AEB，
∴∠AEB = ∠ABE，
∴AB = AE，同理可证：CD = DE，
∴AD = AE+ED = AB+CD = 2AB．
(2)结论：CE⊥BF．
理由：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC = 2∠EBC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD = 2∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD = 180∘，
∴2∠EBC+2∠BCE = 180∘，
∴∠EBC+∠BCE = 90∘，
∴∠BEC = 90∘，即CE⊥BF．5 如图所示，在☐ABCD中，点E，F在它的内部，且AE = CF，BE = DF，试指出AC与EF的关系，并
说明理由．
【答案】解：AC与EF互相平分
∵☐ABCD
∴AB//CD，AB = CD
∴∠BAC = ∠ACD
∵AB = CD，AE = CF，BE = DF
∴ΔABE ≅ ΔCDF
∴∠BAE = ∠FCD且∠BAC = ∠ACD
∴∠EAC = ∠FCA
∴CF//AE
又AE = CF
连接AF、CE，则四边形AECF是平行四边形
∴AC与EF互相平分
6 已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．
求证：GF = GC．
【答案】 证明：如图，取BE的中点H，连接FH、CH．
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，1
∴FH∥AB且FH = AB，
2
又∵点E是DC的中点，
1
∴EC = DC，
2
∵AB＝DC
∴FH＝EC
又∵AB∥DC，
∴FH∥EC．
∴四边形EFHC是平行四边形，
∴GF＝GC．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 4 讲 矩形
例题练习题答案
例1 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE = 30∘，BE = 1，则BD = _____．
【答案】4
练1.1 如图，在矩形ABCD中(AD > AB)，点E是BC上一点，且DE = DA，AF⊥DE，垂足为点F，求证：
AB = AF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE
∴∠C = ∠AFD = 90∘，AD∥BC∴∠ADF = ∠DEC
在△AFD和△DCE中
∠ADF = ∠DEC
{
∠AFD = ∠C
AD = DE
∴△AFD≌△DCE（AAS）
∴AF = DC
又∵AB = CD
∴AB = AF
例2 如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE:∠EDC = 3:2，则∠BDE的度数为（ ）
A： 36∘
B： 9∘
C： 27∘
D： 18∘
【答案】D
练2.1 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD = 120∘，AB = 6，则AC等于________．
【答案】12
练2.2 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥DB，交AD的延长线于点
E．(1)求证：AC = CE；
【答案】在矩形ABCD中，AC = BD，
AD∥BC．
又∵CE∥DB，
∴四边形BDEC是平行四边形．
∴BD = EC，
∴AC = CE．
(2) 若∠BDC = 30∘，BO = 4，求四边形ABCE的面积．
【答案】解：∵在矩形ABCE中，BO = 4，
∴BD = 2BO = 2×4 = 8，
∵∠BDC = 30∘，
1 1
∴BC = BD = ×8 = 4，
2 2
∴AD = BC = 4，AE = AD+DE = AD+BC = 4+4 = 8，
√ √
在Rt△BCD中，DC = BD 2 −BC 2 = 8 2 −4 2 = 4√3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥BC，∠ABC = 90∘
∴四边形ABCE为直角梯形
1
∴四边形ABCE的面积 = ×(4+8)×4√3 = 24√3．
2
例3 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF、BF，若AB = 16，
EF = 3，∠AFB = 90∘，则BC的长为 ．【答案】22
练3.1 (1)如图所示，BD、CE是△ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点．
求证：MN⊥DE．
【答案】证明：∵BD、CE是△ABC的两条高
∴△BCD、△BCE都是直角三角形
连接DM、EM
因为M、N分别是BC、DE的中点
即DM、EM分别为Rt△BCD、Rt△BCE的斜边中线
1
∴EM = DM = BC
2
所以△EMD为等腰三角形
又∵N为DE中点，由等腰三角形三线合一可知
∴MN⊥DE
(2)如图所示，过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、
FD，求证：FD = FC．【答案】证明：延长DF交BE于点M
∵在矩形ABCD中有AD∥BE
∴∠DAF = ∠E，∠ADF = ∠FME
又∵F是AE的中点
∴AF=EF
∠DAF = ∠E
{
∵ ∠ADF = ∠FME
AF = EF
∴△ADF≌△EMF(AAS)
∴DF = MF
∴CF为Rt△CDM的斜边中线
∴FD = FC
【解析】延长DF交BE于点M，
可证明△ADF≌△EMF，故DF = MF．
CF为Rt△CDM的斜边中线，故FD = FC．
例4 在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB = DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩
形，只需加上的一个条件是________（填上你认为正确的一个答案即可）．
【答案】∠A = 90∘（答案不唯一）
练4.1 在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（
）
A： AB = CD，AD = BC，AC = BD
B： AO = CO，BO = DO，∠BAD = 90∘
C： AD∥BC，AD = BC，AC = BDD： ∠BAD = ∠BCD，∠ABC+∠BCD = 180∘，AC⊥BD
【答案】D
例5 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C
两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm/s．若BD = 12cm，AC = 16cm，当运动时间为
________时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．
【答案】2s或14s
【解析】易证四边形DEBF是平行四边形，
∴当BD = EF时，四边形DEBF是矩形；
∵BD = 12cm，
∴EF = 12cm；
∴OE = OF = 6cm；
∵AC = 16cm；
∴OA = OC = 8cm；
∴AE = 2cm或AE = 14cm；
由于动点的速度都是1cm/s，
所以t=2（s）或t=14（s）；
故当运动时间t=2s或14s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．
练5.1 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应
具备的条件是________．
【答案】对角线互相垂直
【解析】解：连接BD、AC；
∵H、G分别是AD、CD的中点，
∴HG是△DAC的中位线；∴HG∥AC；
同理可证得EF∥AC，HE∥BD∥FG；
若四边形EHGF是矩形，则∠FEH=∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°；
∴DB⊥AC．
故四边形ABCD应具备的条件为对角线互相垂直．
例6 如图，在△ABC中，AB = AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足
为点E．求证：四边形ADCE为矩形．
【答案】证明：∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB．
∵AN是△ABC外角，
∴∠MAC = ∠B+∠ACB．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
1
∴∠MAE = ∠MAC．
2
∴∠MAE = ∠B，
∴AN∥BC．
∵AB = AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
即∠ADC = 90∘．
又∵AN∥BC，
∴∠DAE = 180∘ −∠ADC = 90∘．∵CE⊥AN，
∴∠AEC = 90∘．
∵∠AEC = 90∘，∠DAE = 90∘，∠ADC = 90∘，
∴四边形ADCE为矩形．
练6.1 1
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC = 2AD，AD = 2，∠B = ∠AOE = 60∘，点E是BC的中
2
点，连接AC、DE相交于点O．求四边形ABCD的面积．
【答案】解：∵BC = 2AD = 4，点E是BC的中点，
∴BE = CE = AD = 2，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
且四边形ABED是平行四边形；
∴∠B = ∠ADE = 60∘，
1
∵∠B = ∠AOE = 60∘，
2
∴∠AOE = 120∘，∠AOD = 60∘，
∴△AOD是等边三角形，OA = OD，
又∵OD = OE，OA = OC，
∴AC = DE，
∴四边形AECD是矩形，
∴∠ADC = ∠BCD = ∠EAD = 90∘，
∴∠AED = 30∘，
∴DE = 2AD = 4，AE = 2√3，1
∴四边形ABCD的面积 = (AD+BC)⋅AE
2
1
= ×(2+4)×2√3 = 6√3．
2
能力强化 / 初二 / 寒假
第 4 讲 矩形
自我巩固答案
1 矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（ ）
A： 对角相等
B： 对角线互相平分
C： 对角线相等
D： 对边相等
【答案】C
2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB = 60∘，AC = 6cm，则AB的长是（
）
A： 3cm
B： 6cm
C： 10cm
D： 12cm
【答案】A3 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90∘后，得到矩形AB ′ C ′ D ′ ，若CD = 8，AD = 6，连接CC ′
′
，那么CC 的长是（ ）
A： 20
B： 100
C： 10√3
D： 10√2
【答案】D
4 如图，四边形ABCD中，∠DAB = ∠DCB = 90∘，点M、N分别是BD、AC的中点．则下列选项正
确的是（ ）
A： ∠CMN = ∠AMN
B： 1
MN = AC
2
C： 1
MN = AC
3
D： ∠ABD = ∠CBD
【答案】A
5 如图所示，在矩形ABCD中，点E、F在BC边上，且BE = CF，AF、DE相交于点M，求证：
AM = DM．【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形
∴∠B = ∠C = 90∘,AD//BC,AB = DC
∵BE = CF
∴BF = CE
在△ABF和△DCE中
AB = DC
{
∠ABC = ∠DCE
BF = CE
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴∠AFB = ∠DEC
∵AD∥BC
∴∠AFB = ∠DAF，∠DEC = ∠ADE
∴∠FAD = ∠EDA
∴AM = DM
6 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A： AB = CD
B： AD = BC
C： AB = BC
D： AC = BD
【答案】D
【解析】可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
7 已知，在四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90∘，要使四边形ABCD为矩形，那么需要添加的一个条
件是（ ）
A： AB = BC
B： AD = BC
C： AD = AB
D： BC = CD
【答案】B
8 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB//DC；②AB = CD；
③AC = BD；④∠ABC = 90∘；⑤OA = OC；⑥OB = OD．则不能使四边形ABCD成为矩形的是
（ ）
A： ①②③
B： ②③④
C： ②⑤⑥
D： ④⑤⑥
【答案】C
9 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB = 4，求BC
的长．【答案】解：∵△ABO是等边三角形
∴OA = OB = AB = 4
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD
∴OA = OC = OB = OD
∴AC = BD = 8
∴四边形ABCD是矩形
∴∠ABC = 90∘
由勾股定理得：
√ √
BC = AC 2 −AB 2 = 8 2 −4 2 = 4√3
【解析】根据等边三角形性质求出OA = OB = AB = 4，根据平行四边形的性质求出OA = OC，
OB = OD，得出AC = BD = 8，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC = 90∘，由勾股定理
求出BC即可．
10 如图，将□ABCD的边BA延长到点E，使AE = AB，连接EC，交AD于点F，连接AC、ED．
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
【答案】证明：□ABCD中，AB = CD且AB∥CD
又∵AE = AB
∴AE = CD，AE∥CD
∴四边形ACDE是平行四边形
(2)若∠AFC = 2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．
【答案】证明：∵□ABCD中，AD∥BC∴∠EAF = ∠B
∵∠AFC = ∠EAF+∠AEF
∠AFC = 2∠B
∴∠EAF = ∠AEF
∴AF = EF
∵平行四边形ACDE中AD = 2AF
EC = 2EF
∴AD = EC
∴平行四边形ACDE是矩形
能力强化 / 初二 / 寒假
第 4 讲 矩形
课堂落实答案
1 已知矩形一边的长为5，另一边的长为4，则它的对角线的长为（ ）
A： 3
B： √41
C： 4
D： 2√41
【答案】B
2 (1)如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若AB = AO = 2，则矩形的面积为_________．
【答案】4√3
(2)已知矩形ABCD中，两条对角线的交点为O，若OA = 6.5，AB = 5，△AOD的面积为
__________．【答案】15
3 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘，∠A = 30∘，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，则∠CPD =
（ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 75∘
【答案】C
4 要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是__________．（填一个即可）
【答案】AB⊥BC(答案不唯一)
5 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF = BE，连接AF、BF，
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
【答案】证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB//CD
∵ BE//DF,BE = DF
∴ 四边形BFDE是平行四边形
∵ DE ⊥ AB∴ ∠DEB = 90 ∘
∴ 四边形BFDE是矩形
(2)若CF = 3，BF = 4，DF = 5，求证：AF平分∠DAB．
【答案】证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥DC
∴ ∠DFA = ∠FAB.
在Rt △ BCF中,由勾股定理,得
√ √
2 2 2 2
BC = FC +FB = 3 +4 = 5
∴ AD = BC = DF = 5
∴ ∠DAF = ∠DFA
∴ ∠DAF = ∠FAB
即AF平分∠DAB
能力强化 / 初二 / 寒假
第 4 讲 矩形
精选精练
1 如图，在矩形ABCD中，BD = 8，AE⊥BD，垂足为点E，∠BAE = 30∘，那么△ECD的面积是
（ ）
A： 4√3
B： 9√3
2
C： 5√3D： 6√3
【答案】D
2 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点，且EF⊥AC，分别交DC于F，交AB于E，点G是AE
1
中点且∠AOG = 30∘，则下列结论：①DC = 3OG；②OG = BC；③△OGE是等边三角形；④
2
1
S = S ．正确的个数为（ ）
△AOE 矩形ABCD
6
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
【答案】C
3 如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE = 15∘，则下列结论：①△ODC是等边三角
形；②BC = 2AB；③∠AOE = 135∘；④S = S ．其中正确的结论有______________．
△AOE △COE
【答案】①③④4 已知，如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，PE垂直AC于E，PF垂直BD于F，如果AB = 3
，AD = 4，那么（ ）
A： 12
PE+PF =
5
B： 12 13
< PE+PF <
5 5
C： PE+PF = 5
D： 3 < PE+PF < 4
【答案】A
5 如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是边AD上的动点，PE⊥AC于E，
PF⊥BD于F，AC = √10，则PE+PF的最大值为_____________．
【答案】√10
2
6 如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作
BE⊥BD交直线OD于点E．(1)求证：OE = OD；
【答案】解：∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD = ∠DBC；
∵ED∥BC，
∴∠ODB = ∠DBC = ∠ABD，
∴OB = OD，
∵∠ABD+∠ABE = 90∘，∠ODB+∠BED = 90∘，
∴∠BED = ∠ABE，
∴OB = OE，OE = OD．
(2)当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．
【答案】O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．
证明：∵OA = OB，OE = OD，
∴四边形BDAE为平行四边形，
又∵BE⊥BD，
∴四边形BDAE为矩形．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 5 讲 菱形与正方形
例题练习题答案
例1 菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）
A： 四条边相等
B： 对角线互相垂直
C： 对角线互相平分且相等
D： 对角线互相平分
【答案】D练1.1 (1)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD的周长为
32．则OH的长等于（ ）
A： 8
B： 4
C： 7
D： 16
【答案】B
(2)如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3,0)，(2,0)，点D在y
轴上，则点C的坐标是（ ）
A： (5,4)
B： (4,5)
C： (4,4)
D： (5,3)
【答案】A
例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO = 3，∠ABC = 60∘，则菱形ABCD的面积是
______．【答案】18√3
练2.1 (1)一个菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则这个菱形的面积等于（ ）
A： 2
48cm
B： 2
24cm
C： 2
12cm
D： 2
18cm
【答案】B
(2) 菱形的一个内角为120∘，其中一条对角线长是2，则边长是_______．
【答案】 2√3
2或
3
例3 如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB = OD，请你添加一个适当的条件
________，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）
【答案】OA = OC
练3.1 如图， △ ABC中，DE//BC，EF//AB，BE平分∠ABC．
（1）求证：四边形BFED是菱形；（2）若AB = BC = 10，求菱形BFED的周长．
【答案】证明：（1）∵DE//BC，EF//AB，
∴四边形BFED是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠EBC，
∵DE//BC，
∴∠DEB = ∠EBC，
∴∠ABE = ∠DEB，
∴BD = DE，
∴四边形BFED是菱形；
（2）∵AB = BC = 10，
∴∠A = ∠C，
∵DE//BC，
∴∠DEA = ∠C，
∴DA = DE，
同理可证：FE = FC，
∴菱形BFED的周长
= BD+DE+BF+EF
= BD+AD+BF+FC
= AB+BC = 20
练3.2 两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB = BF．求证：四边形BNDM为菱形．【答案】证明：∵纸片ABCD、BFDE是两个完全相同的矩形，
∴BC//AD，BE//DF，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵∠ABM+∠MBN = 90∘，
∠MBN+∠FBN = 90∘，
∴∠ABM = ∠FBN．
在矩形纸片ABCD、BFDE中，
∵∠A = ∠BFN = 90∘，AB = BF
∴ △ ABM≌ △ FNB(ASA)．
∴BM = BN，
∴四边形BNDM是菱形．
例4 (1)正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A： 四边相等
B： 对角线相等
C： 两组对边分别平行
D： 一条对角线平分一组对角
【答案】B
(2)正方形的一条对角线之长为3，则此正方形的边长是（ ）
A： 3√2
2
B： 3
C： 3√2
D： 3
2
【答案】A
练4.1(1) 如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF = 25∘，则∠AED的
度数为（ ）
A： 60∘
B： 65∘
C： 70∘
D： 75∘
【答案】C
(2)如图，P是正方形ABCD边AB上任意一点，AC、BD交于O，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，若
AB = 10，则四边形PMON的周长为____________．
【答案】10√2
例5 如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA = AE交CB的延长线于
点F，若AB = 4，则四边形AFCE的面积是（ ）
A： 4B： 8
C： 16
D： 无法计算
【答案】C
练5.1 (1)如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在边BC、CD上，若BE = CF，判断AE、BF的关系并证
明．
【答案】AE = BF且AE⊥BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC = CD，∠ABC = ∠BCD = 90∘．
在 △ ABE与 △ BCF中，
AB = BC
{
∠ABE = ∠BCF
BE = CF
∴ △ ABE≌ △ BCF(SAS)，
∴AE = BF，∠BAE = ∠CBF．
∵∠ABE = 90∘，
∴∠BAE+∠AEB = 90∘，
∴∠CBF+∠AEB = 90∘，
∴AE⊥BF．
∴AE = BF且AE⊥BF．
(2) 如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE = MN，∠MCE = 35∘．
求∠ANM的度数．【答案】如图，过M作MG//AB交AD于G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠NGM = ∠A = ∠B = 90∘，
且AB = MG = CD，
在Rt △ GMN和Rt △ BCE中
MN = EC
{
GM = BC
∴ △ GMN≌ △ BCE(HL)，
∴∠ANM = ∠CEB，
又∵∠MCE = 35∘，
∴∠CEB = 90∘ −35∘ = 55∘，
∴∠ANM = 55∘．
例6 (1)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相等且互相平分，再添加一个条件，使得四边形
ABCD是正方形，可添加的条件是_________．（写出一个条件即可）
【答案】AC⊥BD
(2)下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）
A： 对角线互相垂直且相等的四边形B： 一条对角线平分一组对角的矩形
C： 对角线相等的菱形
D： 对角线互相垂直的矩形
【答案】A
练6.1 如图，在 △ ABC中，∠ABC = 90∘，BD是∠ABC的角平分线，过点A作AE//BC交BD的延长线于
点E，过点E作EF⊥BC交其延长线于点F．求证：四边形ABFE是正方形．
【答案】 证明： ∵ AE//BC，∠ABC = 90∘，
∴ ∠ABC+∠BAE = 180∘，
∴ ∠BAE = 90∘，
∵ EF⊥BC于F，
∴ ∠F = 90∘，
∵ ∠F = ∠ABC = ∠BAE = 90∘，
∴ 四边形ABFE是矩形，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC = 45∘，
∴ ∠AEB = ∠EBF = 45∘，
∴ ∠ABE = ∠AEB = 45∘，
∴ AB = AE，
∴ 四边形ABFE是正方形．
练6.2 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB = 4√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作
EF⊥DE交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD = 90∘，∠ECN = 45∘，
∴ ∠EMC = ∠ENC = ∠BCD = 90∘，
且NE = NC，
∴ 四边形EMCN为正方形，
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ EM = EN，
∠DEN+∠NEF = ∠MEF+∠NEF = 90∘，
∴ ∠DEN = ∠MEF，
又∠DNE = ∠FME = 90∘，
在 △ DEN和 △ FEM中，
∠DNE = ∠FME
{
EN = EM ，
∠DEN = ∠FEM
∴△ DEN ≅△ FEM(ASA)，
∴ ED = EF，
∴ 矩形DEFG为正方形，
（2）解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵ 矩形DEFG为正方形，
∴ DE = DG，∠EDC+∠CDG = 90∘
∵ 四边形ABCD是正方形，∵ AD = DC，∠ADE+∠EDC = 90∘
∴ ∠ADE = ∠CDG，
在 △ ADE和 △ CDG中，
AD = CD
{
∠ADE = ∠CDG ，
DE = DG
∴△ ADE ≅△ CDG(SAS)，
∴ AE = CG
∴ AC = AE+CE = √2AB = √2×4√2 = 8，
∴ CE+CG = 8是定值．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 5 讲 菱形与正方形
自我巩固答案
1 如图，菱形ABCD中，对角线AC = 20，BD = 8，则此菱形的面积为（ ）
A： 75
B： 80
C： 90
D： 70
【答案】B2 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE//DC交BC于点E，AD = 6cm，则OE
的长为（ ）
A： 6cm
B： 4cm
C： 3cm
D： 2cm
【答案】C
3 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB = 6，BO = 3．求AC的长及∠BAD的
度数．
【答案】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC = 2OA，
AD = AB = 6，
BD = 2BO = 2×3 = 6，
∴ △ ABD是等边三角形，
∴∠BAD = 60∘；
√
∴OA = AB 2 −BO 2 = 3√3，
∴AC = 2OA = 6√3．
4 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）①AC⊥BD；②∠BAD = 90∘；③AB = BC；④AC = BD．
A： ①③
B： ②③
C： ③④
D： ①②
【答案】A
5 下列命题中，错误的是（ ）
A： 矩形的对角线互相平分且相等
B： 对角线互相垂直的四边形是菱形
C： 等腰梯形的两条对角线相等
D： 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
【答案】B
6 下列关于正方形的说法，错误的有（ ）
①正方形是轴对称图形；
②正方形有两条对称轴；
③正方形的对角线平分一组内角；
④正方形的对角线互相垂直平分．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
【答案】A7 如图，在正方形ABCD中△ABE是等边三角形，求∠AED的度数．
【答案】 ∵ E为正方形ABCD内一点，且 △ ABE是等边三角形，
∴ ∠DAB = 90∘，∠EAB = 60∘，AD = AE = BE，
∴ ∠DAE = ∠DAB−∠EAB = 30∘，
180∘ −∠DAE
∴ ∠AED = ∠ADE = = 75∘．
2
8 如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于（ ）
A： 20∘
B： 30∘
C： 35∘
D： 40∘
【答案】B
9 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB = BC，②∠ABC = 90∘，③AC = BD
，④AC⊥BD中，再选两个作为补充，使平行四边形ABCD变为正方形．下面四种组合，错误的
是（ ）A： ①②
B： ①③
C： ②③
D： ②④
【答案】C
10 如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断
中，不正确的是（ ）
A： 四边形AEDF是平行四边形
B： 如果AD = EF，那么四边形AEDF是矩形
C： 如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形
D： 如果AD⊥BC且AB = AC，那么四边形AEDF是正方形
【答案】D
能力强化 / 初二 / 寒假
第 5 讲 菱形与正方形
课堂落实答案
1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC = 4，BD = 6，则菱形ABCD的面积为________．【答案】12
2 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC = 60∘，则对角线AC的长是________．
【答案】6
3 如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠C = 90∘且AB = AD，连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．
如果EC = 3cm，CD = 4cm，那么，梯形ABCD的周长是_______cm．
【答案】22
4 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A： 对角线相等
B： 对角线互相平分
C： 对角线互相垂直
D： 对角线平分对角
【答案】B
5 要使矩形ABCD为正方形，需要添加的条件是（ ）
A： AB = BC
B： AD = BC
C： AB = CD
D： AC = BD
【答案】A能力强化 / 初二 / 寒假
第 5 讲 菱形与正方形
精选精练
1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC = 16，BD = 12，OE⊥BC，垂足为点E，
则OE = __________．
【答案】4.8
2 菱形ABCD中，对角线AC = 6，BD = 8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动
点，则PM+PN的最小值是_______．
【答案】5
3 如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A = 90∘，∠C = 30∘，BD = 6，求菱形BEDF的面积．
【答案】解：（1） ∵ DE//BC，DF//AB，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∵ DE//BC，∴ ∠EDB = ∠DBF，
∵ BD平分∠ABC，
1
∴ ∠ABD = ∠DBF = ∠ABC，
2
∴ ∠ABD = ∠EDB，
∴ DE = BE且四边形BEDF为平行四边形，
∴ 四边形BEDF为菱形；
（2）如图：过点D作DH⊥BC于点H，
∵ ∠A = 90∘，∠C = 30∘，
∴ ∠ABC = 60∘，
∴ ∠DBC = 30∘ = ∠C，
∴ DB = DC = 6，
∵ DH⊥BC，∠C = 30∘，
∴ DC = 2DH = 6，
∴ DH = 3，
∵ DF//AB，
∴ ∠A = ∠FDC = 90∘，
且∠C = 30∘，DC = 6，
∴ DC = √3DF，
∴ DF = 2√3，
∵ 四边形BEDF为菱形，
∴ BF = DF = 2√3，
∴ S = BF×DH = 2√3×3 = 6√3．
四边形BEDF
4 如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AE⊥AF，AF = 20
，则BE的长为______．【答案】12
5 如图， △ ABC中，O是边BC的中点，点D是AO延长线上一点，BE//CD交AO于E，连接BD、
CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）当AB = AC = 2√5，BC = 4，AD = 6时，求证：四边形BECD是正方形．
【答案】证明（1） ∵ BE//CD，
∴ ∠EBO = ∠DCO，
∵ O是边BC的中点，
∴ OB = OC，
在 △ OBE和 △ OCD中，
∠EBO = ∠DCO
{
OB = OC ，
∠BOE = ∠COD
∴△ OBE≌ △ OCD，
∴ BE = CD，
而BE//CD，
∴ 四边形BECD是平行四边形；
（2） ∵ AB = AC = 2√5，OB = OC = 2，
∴ AO⊥BC，
√
在Rt △ ABO中，OA = (2√5) 2 −2 2 = 4，
∴ OD = 6−4 = 2，∴ DE = 2OD = 4 = BC，
∴ 平行四边形BECD是正方形．
6 如图，四边形ABCD 和 CEFG都是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH = CE = BK．求
证：四边形AKFH是正方形．
【答案】证明： ∵ 四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴ AB = AD = DC = BC，GC = EC = FG = EF，
∵ DH = CE = BK，
∴ HG = EK = BC = AD = AB，
在ΔADH和ΔABK中，
AD = AB
{
∠ADH = ∠ABK，
DH = BK
∴ ΔADH≌ΔABK(SAS)，
∴ ∠HAD = ∠BAK．
∴ ∠HAK = 90∘，
同理可得： ∴ ΔHGF≌ΔKEF≌ΔABK≌ΔADH，
∴ AH = AK = HF = FK，
∴ 四边形AKFH是正方形．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 6 讲 函数初步
例题练习题答案例1 2
（1）圆的面积公式S =π r 中，__________是常量，__________是变量；
（2）关系式m = (n−2)×180∘（m为多边形的内角和，n为边数），________是常量，__________
是变量；
（3）以固定的速度v 向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球的运动时间t(s)之间的关系式是
0
2
h = v t−4.9t ．在这个关系式中，常量、变量分别为（ ）
0
A．4.9是常量，t、h是变量 B．v 是常量，t、h是变量
0
C．v 、−4.9是常量，t、h是变量 D．4.9是常量，v 、t、h是变量
0 0
【答案】 解：（1）π ；r和S （2）180∘和−2；m和n
（3）C
练1.1 (1) 2
在正方形的面积公式S = a 中，变量是（ ）
A： a
B： S
C： S和a
D： 无法确定
【答案】C
(2)一个长方形的面积是10，它的长是a，宽是b，下列判断错误的是（ ）
A： 10是常量
B： 10是变量
C： b是变量
D： a是变量
【答案】B
(3)假设汽车以每小时100千米的速度匀速行驶在高速公路上，它走过的路程s（千米）与行驶的
时间t（小时）之间的关系是___________，其中_______是变量，________是常量．
【答案】s = 100t；s、t；100例2 (1)下面每个选项中给出某个变化过程中的两个变量x、y的数值，其中y不是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】B
(2)下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
D：【答案】B
(3)下列关系式中，y是x的函数的是________________．
2 2 2 2
①y = 12x；②y = 2x ；③y = x；④y = |x|；⑤x +y = 1；⑥y = 3x；⑦|2y| = x；⑧
y = −2x+1．
【答案】①②④⑥⑧
练2.1 (1)下面每个选项中给出某个变化过程中的两个变量x、y的数值，其中y是x的函数的是（ ）
A：
x 0 0 3 4
y −1 −2 −2 −4
B：
x 1 1 4 4
y −1 1 1 −2
C：
x 1 2 4 4
y 3 6 9 12
D：
x 1 2 3 4
y 2 2 2 2
【答案】D
(2)下列关系式中，y是x的函数的是_____________．
2
x
①y = 3x−1；②y = ；③|y| = 2x；④y = 2|x|；
5
3
2 2
⑤x +y = 5；⑥y = ．
2
x
【答案】①②④⑥(3)下列图象中，y不是x的函数的是_______．
【答案】①
例3 求出下列函数中自变量x的取值范围：
3 √x−1
3
（1）y = 2x−3；（2）y = ； （3）y = ； （4）y = √x−1．
1−x x−2
【答案】解：（1）全体实数（2）x ≠ 1 （3）x ≥ 1且x ≠ 2（4）全体实数
练3.1 求出下列函数中自变量x的取值范围：
1
（1）y = ； （2）y = √2+x；
x−2
x−2
（3）y = 4x−5； （4）y = ．
x+3
【答案】解：(1)x ≠ 2 (2)x ≥ −2 (3) 全体实数(4)x ≠ −3
例4 已知等腰三角形的周长为10cm，腰长为xcm，底边长为ycm．
（1）以腰长x为自变量，写出y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
（2）当y = 3时，求x的值．
【答案】解：（1）∵等腰三角形的周长为10cm，腰长为xcm，底边长为ycm，
∴2x+y＝10，
∴y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）；
（2）当y＝3时，3＝10﹣2x，
解得：x＝3.5．
练4.1 （1）汽车由A地驶往相距120km的B地，已知它的平均速度是30km/h，则汽车距B地的路程
s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式是__________，自变量t的取值范围是__________．
1
（2）变量x与y之间的关系式为y = x 2 −1，则当x = −2时，y的值为________．
2
（3）已知函数解析式为y = |x−1| +2，当函数值等于5时，自变量x的值为____．【答案】解：（1）s = 120−30t，0 ≤ t ≤ 4 （2）1 （3）4或−2
例5 （1）画出函数y = −x的图象；
3 3 3 3
( ) ( )
（2）判断点A − , 、B(0,0)、C , − 是否在函数y = −x的图象上．
2 2 2 2
【答案】
在
练5.1 在平面直角坐标系中画出函数y = 2x−4的图象，并判断点A(−3, −2)、B(3,2)是否在函数y = 2x−4
的图象上．
【答案】 解：函数y＝2x﹣4与坐标轴的坐标为（0，﹣4）（2，0），描点即可，如图所示；根据图象得出A点不在直线y＝2x﹣4的图象上，B点在直线y＝2x﹣4的图象上．
例6 某人骑车沿直线旅行，先前进了a km，休息了一段时间，又原路返回了b km（b < a），再前进c
km，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）
【答案】C
练6.1 为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行
改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按
时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y与时间x的函数关系的大
致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：【答案】D
例7 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设
甲乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图
所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②乙开车速度是80千米/小时；
③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
④出发3小时时，甲乙同时到达终点．
其中正确结论的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
【答案】C
【解析】解：由图象可得，当t = 1时，s = 0，
即出发1小时时，甲乙在途中相遇，故①正确，
甲的速度是：120÷3 = 40千米/时，则乙的速度是：120÷1−40 = 80千米/时，故②正
确；
出发1.5小时时，乙比甲多行驶路程是：1.5×(80−40) = 60千米，故③正确；
在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故④错误，
故选：C．
练7.1 地铁一号线的列车匀速通过某隧道时，列车在隧道内的长度y（米）与列车行驶时间x（秒）之间
的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①列车的长度为120米；
②列车的速度为30米/秒；
③列车整体在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．
其中正确的结论是__________（填正确结论的序号）．
【答案】②③
【解析】 在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；
列车的长度是150米，故①错误；
整个列车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25秒，故③正确；
隧道长是：35×30﹣150＝1050﹣150＝900米，故④错误．
故正确的是：②③．
故答案是：②③．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 6 讲 函数初步
自我巩固答案
1 市政府推广太阳能热水器加热饮用水，在利用太阳能热水器加热水的过程中，热水器中水的温度
随阳光所晒时间而变化，则下列说法正确的是（ ）
A： 在这一变化过程中，只有一个变量
B： 水的温度是常量
C： 只有阳光所晒的时间是变量
D： 阳光所晒的时间和水的温度是变量
【答案】D
2 在圆的周长C = 2π R 中，常量与变量分别是（ ）
A： 2是常量，C、π 、R是变量B： 2π 是常量，C、R是变量
C： C、2是常量，R是变量
D： 2是常量，C、R是变量
【答案】B
3 下列四个选项中，y不是关于x的函数的是（ ）
A： |y| = x−1
B： 2
y =
x
C： y = 2x−7
D： 2
y = x
【答案】A
4 下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】D【解析】解：根据函数的定义可知，只有D不能表示函数关系．
故选：D．
5 1
函数y = +√x−1，自变量x的取值范围是（ ）
x+2
A： x > 1
B： x ≥ 1且x ≠ −2
C： x ≥ 1
D： x ≠ −2
【答案】C
【解析】解：根据题意，得：x+2 ≠ 0且x−1 ≥ 0，
解得：x ≥ 1，
故选：C．
6 已知函数y = |x|−4，当函数值y = −1时，自变量x的取值是（ ）
A： x = −3
B： x = 3
C： x = −5或x = 5
D： x = −3或x = 3
【答案】D
7 已知长方形周长为18，设其中一边长为x，另一边长为y．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）∵矩形周长为18，设其中一边长为x，另一边长为y，
∴2(x+y) = 18，
则y = 9−x；
（2）由题意可得：9−x > 0，x > 0
解得：0 < x < 9．8 小华从家里出发前往宁波体育馆观看演唱会，先匀速步行到轻轨车站，等了一会儿，小华搭乘轻
轨至体育馆观看演出，演出结束后，小华搭乘邻居王叔叔的车顺利到家．其中x表示小华从家出发
后所用时间，y表示小华离家的距离，下列各图能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】A
【解析】解：①离家至轻轨站，y由0缓慢增加；
②在轻轨站等一会，y不变；
③搭乘轻轨去奥体中心，y快速增加；
④观看比赛，y不变；
⑤乘车回家，y快速减小．
结合选项可判断A选项的函数图象符合小华的行程．
故选：A．
9 在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所
跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确
的是（ ）A： 小莹的速度随时间的增大而增大
B： 小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C： 在起跑后180秒时，两人相遇
D： 在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
【答案】D
【解析】A、∵线段OA表示所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴小莹的速度
是没有变化的，故选项错误；
B、∵小莹比小梅先到，∴小梅的平均速度比小莹的平均速度小，故选项错误；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；
D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴小梅是在小莹的前面，故选项正确．
故选：D．
10 在同一平面直角坐标系内画出下列函数的图象：
2
①y = − x；
3
1
②y = x−2；
2
1
③y = − x+1．
2【答案】
能力强化 / 初二 / 寒假
第 6 讲 函数初步
课堂落实答案
1 一本笔记本4.5元，买x本共付y元，则4.5和y分别是（ ）
A： 常量，常量
B： 变量，变量
C： 变量，常量D： 常量，变量
【答案】D
2 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】B
3 √x−3
在函数y = 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A： x > 3
B： x ≥ 3
C： x ≠ −3
D： x > −3且x ≠ 0
【答案】A
4 变量x与y之间的函数关系是y = 2x 2 −3，则自变量x = −2时的函数值为_____．【答案】5
5 小明早晨从家里骑车上学，途中想到忘带课本了，马上原路返回，返家途中遇到给他送课本的妈
妈，接过课本后（不计小明和妈妈的交接时间），小明立即加速向学校赶去，能反映小明离家距
离s与骑车时间t的函数关系图象大致是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】C
【解析】路程将随着时间的增多先增加，再减少，再增加，在返回途中，排除B；
后来小明加快速度，那么后来的函数图象走势应比前面的走势要陡，排除A、D．
故选：C．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 6 讲 函数初步
精选精练
1 如果用总长为120m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m 2 ）、周长为C（m）、
一边长为a（m），那么S、C、a中是变量的是（ ）A： S和C
B： S和a
C： C和a
D： S、C、a
【答案】B
2 下列变量之间的关系：
（1）三角形面积与它的底边（高为定值）；
（2）x−y = 3中的x与y；
（3）圆的面积与圆的半径；
（4）y = |x|中的x与y．其中是函数关系的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
【答案】D
【解析】解：（1）三角形面积与它的底边（高为定值），对于底边的每一个取值，面积都有唯一
确定的值，故（1）正确；
（2）x-y=3中的x与y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故（2）正确；
（3）圆的面积与圆的半径，对于半径的每一个取值，面积都有唯一确定的值，故（3）正
确；
（4）y=|x|中的x与y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故（4）正确；
故选：D．
3 1
已知函数y = (−x+3)+1，当x = ______时，函数值为1．
2
【答案】3
4 x
函数y = 自变量x的取值范围是（ ）
1−√xA： 全体实数
B： x > 0
C： x ≥ 0且x ≠ 1
D： x > 1
【答案】C
5 匀速地向如图所示的容器中注水，直到把容器注满，下列图象能大致反映水面高度h随注水时间t变
化的是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】A
6 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速
同时驶往甲地，两车之间的距离s（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，则下列
说法中：①甲、乙两地之间的距离为560km；②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；④相遇时，快车距甲地320km．正确的是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ①④
D： ①③④
【答案】B
【解析】由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故①正确；
由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，相遇时两车之间的距离为0，相遇后两车
之间的距离开始增大直到快车到达甲地，之后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知相
遇后快车又经过3个小时到达甲地，此段路程慢车需要行驶4个小时，因此慢车和快车的速
度之比为3：4，故②错误；
∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，
∴(3x+4x)×4 = 560，x = 20，
∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．
由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60 = 240km，故④错误；
当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240−3×60 = 60km，
故③正确．
故选：B．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 7 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
√√
A： 1
2
B： √17
C： √75
D： √ 3
5a
【答案】B
2 下列三个长度的线段能组成直角三角形的是（ ）
A： 1，√2，√3
B： 1，√3，√5
C： 2，4，6
D： 5，5，6
【答案】A
3 如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，下列结论错误的是（ ）
A： AB//CD
B： AB = CD
C： AC = BD
D： OA = OC
【答案】C
4 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A： 对角线互相平分
B： 四条边都相等C： 对角相等
D： 邻角互补
【答案】B
5 如果√3x+2在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（ ）
A： 2
x ≠ −
3
B： 2
x < −
3
C： 2
x ≥ −
3
D： 3
x ≥ −
2
【答案】C
6 如图，在菱形ABCD中，已知∠A = 60∘，AB = 5，则 △ ABD的周长是（ ）
A： 10
B： 12
C： 15
D： 20
【答案】C
7 下列命题中正确的是（ ）
A： 对角线相等的四边形是矩形
B： 对角线互相垂直的四边形是菱形C： 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D： 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
8 矩形的一个角的平分线分矩形的一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（ ）
A： 2
3cm
B： 2
4cm
C： 2
12cm
D： 2 2
4cm 或12cm
【答案】D
9 如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE = BC，P为CE上任意一点，
PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A： 4
3
B： 1
C： √3
D： √2
【答案】D
10 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列
结论：①BE = DF；
②∠DAF = 15∘；
③AC垂直平分EF；
④BE+DF = EF；
⑤S = √3S ．
△AEF △CEF
其中正确结论有（ ）个
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
【答案】C
11 √x+1
函数y = 中，自变量x的取值范围是______________．
x
【答案】x ≥ −1且x ≠ 0
12 a
若实数a、b满足(a+2) 2 +√b−4 = 0，则 = ________．
b
【答案】 1
−
2
13 已知平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC的长为5，则 △ ABC的周长为______________
【答案】1514 如图，矩形ABCD的对角线AC的长为6，∠AOD = 120∘，则AB的长为__________________．
【答案】3
15 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K，分别作矩形两边的平行线MN和PQ，则图中矩形
AMKP的面积a与矩形QCNK的面积b的大小关系是a______b．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】=
16 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE =
__________．
【答案】√2−1
17 有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则
小孩至少离开大树_________米之外才是安全的．
【答案】4
【解析】如图，
BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC=4-1=3m，AB=9-4=5m，
√ √
2 2 2 2
在Rt△ABC中，AC = AB −BC = 5 −3 = 4．18 如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S ，S ，S ，且S = 4，S = 12，则
1 2 3 1 2
S = _____．
3
【答案】16
【解析】 2
∵S = 4，∴BC = 4，
1
2
∵S = 12，∴AC = 12，
2
∴在Rt△ABC中，BC 2 +AC 2 = AB 2 = 4+12 = 16，
2
∴S = AB = 16．
3
故答案为：16．
19 计算：
1
( )−1
（1） − + | −√3 | −(π−2015) 0 +√27
3
√
1
（2） ÷ ( −√12 ) ×3√24
2
【答案】1）−4+4√3
2）−3
20 如图是轮船和快艇从甲港出发驶向乙港的函数图象．请根据函数图象，回答问题．
①____________先出发____________小时，
先到达乙港的船用了____________小时；
②轮船走后____________小时两船相遇，
相遇地离甲港____________千米；③轮船的速度是____________千米/小时，
快艇的速度是____________千米/小时；
【答案】①轮船，2，4；②4，80；③20；40．
21 如图，四边形ABCD中，∠B = 90∘，AB = 8，BC = 6，CD = 26，AD = 24，求四边形ABCD的面
积．
【答案】144．
【解析】 连接AC，则AC = 10，AC 2 +AD 2 = CD 2
∴△ABC，△ACD均为直角三角形
∴S = S +S = 144．
ABCD ΔABC ΔACD
22 如图，①路与②路公交车都是从体育馆到少年宫．
（1）比较①路和②路这两条线路的长短；
（2）小明坐出租车由体育馆去少年宫．假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米后每千米
为1.8元，用式子表示出租车的收费p（元）与行驶路程s（千米s > 3）之间的关系；
（3）若这段路程有4.5千米，小明身上有10元钱，请问够付车费吗？【答案】⑴一样长；
⑵P = 1.8s+1.6(s > 3)；
⑶当s = 4.5时，P = 9.7 < 10，∴小明身上有10元钱，够付车费．
【解析】2）P = 7+1.8(s−3) = 1.8s+1.6．
23 如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB，CD交于点E，F．连接DE，BF．
(1)求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠DFO = ∠BEO，
∵∠DOF = ∠EOB，OD = OB，
∴ △ DOF △ BOE(AAS)，
∴DF = BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
(2)若M是AD中点，连接OM与DE交于点N，AD = OM = 4，则ON的长是多少？
【答案】解：∵DM = AM，DO = OB，
∴OM//AB，AB = 2OM = 8，
1
∴DN = EN，ON = BE，设DE = EB = x，
2
在Rt △ ADE中，则有x 2 = 4 2 +(8−x) 2 ，
解得x = 5，
5
∴ON = ．
2
【解析】24 阅读材料1：
对于两个正实数a、b，由于 ( √a−√b )2 ≥ 0，所以 ( √a )2 −2√a√b+ ( √b )2 ≥ 0，
则a−2√ab+b ≥ 0，所以得到a+b ≥ 2√ab，并且当a = b时，a+b = 2√ab；
阅读材料2：
2 2
x +1 x 1 1 1
若 x > 0 ， 则 = + = x+ ， 因 为 x > 0 ， > 0 ， 所 以 由 阅 读 材 料 1 可 得 ：
x x x x x
√
1 1
x+ ≥ 2 x⋅ = 2，
x x
2
x +1 1
即 的最小值是2，只有x = 时，即x = 1时取得最小值．
x x
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
1
（1）比较大小：x 2 +1______2x（其中x ≥ 1）；x+ ________−2（其中x < −1）
x
2
x +3x+3 1
（2）已知代数式 变形为x+n+ ，则常数n的值是_________；
x+1 x+1
x+3+3√x
（3）当x = _____时， 有最小值，最小值为_______．（直接写出答案）
√x+1
【答案】1） ≥ ， <
2）2
3）0，3
【解析】 1 1
[ ( )]
1）x+ = − (−x)+ −
x x
1 1
( )
当x < −1时，−x > 0，− > 0，∴(−x)+ − > 2
x x
1 1
[ ( )]
∴− (−x)+ − < −2即x+ < −2
x x
2
x +3x+3 (x+1)(x+2)+1
2） =
x+1 x+11
= x+2+
x+1
( )( )
x+3+3√x √x+1 √x+2 +1
3） =
√x+1 √x+1
1
= √x+1+ +1
√x+1
1
∵√x+1 > 0， > 0
√x+1
√
1 1
∴√x+1+ ≥ 2 (√x+1 ) = 2，
√x+1 √x+1
1
当√x+1 = 即x = 0时取“=”
√x+1
1
∴√x+1+ +1 ≥ 3，当x = 0时取“=”．
√x+1
25 √
已知a、b满足：|2a−4|+|b+2|+ (a−3)b 2 = 2，则a−b = _________________．
【答案】 √ 2
5或2提示：根据二次根式的非负性可得： (a−3)b ≥ 0；
当b ≠ 0时，有
a−3 ≥ 0，即a ≥ 3
√ √
2 2
∴2a−4 > 0∴2a−4+|b+2|+ (a−3)b = 2整理得|b+2|+ (a−3)b = 6−2a由绝对值
和二次根式的非负性可知：6−2a ≥ 0，即a ≤ 3∴a = 3∴|b+2| = 0，解得b = −2∴a−b = 5
．
当b = 0时，有
|2a−4| = 0，a = 2,a−b = 2
所以答案为：5或2
【解析】 √ 2
提示：根据二次根式的非负性可得： (a−3)b ≥ 0；
当b ≠ 0时，有
a−3 ≥ 0，即a ≥ 3√ √
2 2
∴2a−4 > 0∴2a−4+|b+2|+ (a−3)b = 2整理得|b+2|+ (a−3)b = 6−2a由绝对值
和二次根式的非负性可知：6−2a ≥ 0，即a ≤ 3∴a = 3∴|b+2| = 0，解得b = −2∴a−b = 5
．
当b = 0时，有
|2a−4| = 0，a = 2,a−b = 2
所以答案为：5或2
26 已知平行四边形ABCD的周长为52，过D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为为E、F．若∠A为锐
角，如图所示，DE = 5，DF = 8，求BE+BF的长．
【答案】AB+AD = 26，设AD = BC = x，则AB = 26−x
1 1
根据△ABD与△BCD的面积相等可列方程： ×(26−x)×5 = ×8x，解得x = 10
2 2
∴AB = 26−x = 16，AD = BC = 10
√ √
∵AE = AD 2 −DE 2 = 5√3，CF = CD 2 −DF 2 = 8√3
∴BE = AB−AE = 16−5√3，BF = CF−BC = 8√3−10
∴BE+BF = 6+3√3．
