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1.2 等腰三角形
题型一 等边对等角
1．（25-26八年级上·全国·期末）等腰三角形的一个角是 ，则它的底角是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底角相等，结合给定角可能是顶角或底角，分
类讨论进行计算即可求解．
【详解】解：∵ 等腰三角形有两个相等的底角，且三角形内角和为 ，
∴ 若 为底角，则底角为 ；
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学科网（北京）股份有限公司若 为顶角，则底角为 ．
∴底角为 或 ．
故选：D.
2．（25-26八年级上·天津西青·月考）等腰三角形有一个角是 ，则它的底角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质．
根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理，判断 角为顶角，进而计算底角．
【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，且内角和为 ，
又∵ 角若为底角，则两底角之和为 ，不符合题意，
∴ 角为顶角，
∴两底角之和为 ，
∴每个底角为 ．
故选A．
3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，若 相交于点E，若 ， ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是
解题的关键．
根据全等三角形的性质得到 ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出 的度
数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故选：D．
4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在 中， ，点D在 上，连接 ，若
， ，则 的度数为 ．
【答案】 /28度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理；设 ，由三角形
外角的性质得 ，由等腰三角形的性质得 ，结合 ，
即可求解．
【详解】解：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图，在 中， ，沿直线 翻折，使得点 与点
重合，若 ，则 的度数是 ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，由三角形内角和定理求出 ，
由折叠的性质可得 ，再由等边对等角可得 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵沿直线 翻折，使得点A与点B重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形 中， ，在 上取一点 ，使
，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点E， 交 于点 ．若
，则 °．
【答案】62
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角，
先求出 ，进而求出 ，再根据等边对等角得 ，即可得
然后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的外角，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故答案为：62．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ，点 为 边的中点，连接 ，
为 上一点，连接 ．若 ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，先求得 ，根据等腰三角形三线合一性质，
可求得 ．
【详解】 ，
．
，点 为 边的中点，
平分 ，
．
题型二 三线合一
1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， 是 边上的中线，若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，根据 ， 是 边上的中线，得
，故 ，即可作答．
【详解】解：∵ ， 是 边上的中线，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
故选：C．
2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， 于点D，若 ，则 的
长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点 是 的中点，即可求解
【详解】解：∵ 于点D，
∴
故选：B.
3．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在 中， ，D是 的中点， ，则
的大小为 ．
【答案】 /20度
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得 ， ，再根据三角形内角和定理，计算即可．
【详解】解：∵ ， 是 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形 中， ，
若 ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知
识并正确画出辅助线是解题的关键．
作 ，由 ， ，证 ，
再结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2
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学科网（北京）股份有限公司5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在五边形 中， ， ， ，
点 是 的中点，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的证明以及等腰三角形三线合一， 连接 ， ，由题中已知条件可证明
，即可得到 ，则 为等腰三角形，又因为F为 中点，根据三线合一可得
.
【详解】证明：连接 ， ，
在 和 中，
,
．
．
点 是 的中点，
．
6．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，在 中， 是边 上的一点，且
．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)求 的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的和差．
（1）先由 得 是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；
（2）先由已知得 ，则 ，再根据 计算即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，即 ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
7．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：
画出图形，写出已知、求证，并证明）
已知：如图，在 中，______．
求证：______．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确画出图形、写出已
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学科网（北京）股份有限公司知和求证是解题的关键．
先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证；证明：连接 ，根据等腰三角形的性质以及 证
明 ，再根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】已知：如图，在 中， ， 是 的中点， 于 ， 于 ．
求证： ．
证明：连接 ，
， 是 中点，
为 的平分线（三线合一的性质），
又 ， ，
∴ ，
∵ ，
，
．
题型三 等边三角形的性质
1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，将边长为 的等边 沿边 向右平移 得到 ，
则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，理解平移的性质是解题的关键．
根据平移的性质得到 ，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵将边长为 的等边 沿边 向右平移 得到 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴四边形 的周长
，
故选B．
2．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图， 是等边三角形， 是 边上的高， 是 的中
点， 是 上的一个动点，图中能够表示 的最小值的是下列哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接 ，则
的长度即为 与 和的最小值，再利用等边三角形的性质可得 ，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，与 交于点 ，
∵ 是等边三角形， 是 边上的高，
∴ ， ，即 垂直平分 ，
∴ ，
，
∴此时 最小，即 就是 的最小值，
是等边三角形，
，
故选：B．
3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，将两个含 角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一
个等边三角形 ， ，则 的面积为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】此题考查了等边三角形的性质和含 角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握含
角的直角三角形的性质是关键．求出 ，得到 ，由
，根据三角形面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴
∵两个含 角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一个等边三角形 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
故答案为：
4．（25-26八年级上·广东·期末）等边三角形 的面积为 ，则其边长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据等边三角形性质，设等边 的边长为 ，过点 作 于点 ，由勾股定理得到
，结合面积公式和题意即可求解．
【详解】解：如图所示，设等边 的边长为 ，过点 作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得， （负值舍去），
∴该等边三角形的边长为4．
故答案为：4．
5．（25-26八年级上·天津津南·月考）如图， 等边三角形， ， ，求证：
．
【答案】见解析
【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质得到
，根据三角形外角的性质得到 ，又由已知 即可证明
，即可得到结论．
【详解】证明：∵ 等边三角形，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
6．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，点D，E分别是等边三角形 边 、 上的点，且
， 与 交于点F．
(1)求证 ．
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
（1）根据等边三角形的性质得出 ， ，然后根据 证明 ，根
据全等三角形的性质即可得证；
（2）由（1）知 ，推出 ，再利用三角形外角的性质结合等边三角形的性质即
可求解．
【详解】（1）证明∶∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
∵ ， 是等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
题型四 反证法证明中的假设
1．（25-26九年级上·福建福州·月考）用反证法证明： 中， ，则 ，第
一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定．
【详解】解：∵结论是 ，
∴反证法第一步应假设 ．
故选：C．
2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在 中， ，求证： ．若用反证法来证明这个
结论，可以假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反证法，反证法需假设结论的反面成立，即假设 ．
【详解】解：∵要证明 ，
∴用反证法时，应假设
故选C．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明命题“在 中， ，则 ”时，首
先应该假设（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】B
【分析】本题考查了反证法，理解反证法的解题方法是解题的关键．反证法证明命题时，首先提出与命题
的结论相反的假设．
【详解】解：∵ 原命题结论为 ，
∴ 其相反的假设为 ，
首先应假设 ，
故选：B．
4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．同弧所对的圆周角不相等 B．同弧所对的圆心角互余
C．同弧所对的圆心角互补 D．同弧所对的圆心角不相等
【答案】D
【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的第一步是假设原命题的结论不成立是解题的关键．
根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即可求解．
【详解】解： 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，
用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设“同弧所对的圆心角不相等”．
故选：D．
5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）用反证法证明命题“若 ，则 ”时应先假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案．了解反证法证明的方法和步骤，反
证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结
果，从而下结论说原命题成立．
【详解】解：∵反证法需假设结论的否定，
∴假设 ，
故选：B．
6．（25-26九年级上·江西宜春·月考）用反证法证明“若 的半径为r，点P到圆心的距离 ，则点P
在 的内部”时，首先应假设（ ）
A． B．点P在 内部
C．点P在 上 D．点P在 上或点P在 外部
【答案】D
【分析】本题考查了反证法的定义，反证法需假设原命题结论的否定，原结论为“点P在 内部”，其
否定为“点P不在 内部”，即“点P在 上或点P在 外部”．
【详解】解：∵反证法首先假设命题结论不成立，
∴应假设“点P不在 内部”，即“点P在 上或点P在 外部”．
故选：D．
7．（25-26八年级上·河南周口·月考）用反证法证明“已知 ， ，则 ”时，应假设：
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学科网（北京）股份有限公司．
【答案】
【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，
即假设结论的反面成立，据此解答即可．
【详解】解：原命题的结论是 ，其反面为 ，因此应假设 ．
故答案为： ．
8．（25-26九年级上·山西朔州·月考）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数
学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果 ，那么 ”，首先应假设
．
【答案】
【分析】本题考查反证法，熟记反证法的解题步骤是解决问题的关键．
根据反证法的解题步骤，首先要否定结论，结合题目所给结论直接否定即可得到答案．
【详解】解：用反证法证明命题“如果 ，那么 ”，首先应假设 ，
故答案为： ．
题型五 用反证法证明命题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空：
小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤：
①假设在 中， 和 都是直角；
②则 ， ；
③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”）
【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练
运用求解．
反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角
和大于 ，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立．
【详解】解：假设 中 和 都是直角，
则 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
则 ，
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设不成立，
所以一个三角形中不能含有两个直角．
故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”．
故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线 ，直线 分别与直线 ， 交于点
G，H， 和 是同位角．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述
知识点并能熟练运用求解．
假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得 ，得出与平行公理矛盾，从而假设
不成立，得出结论成立．
【详解】证明：假设 ．
过点 G作直线 ，
使 ．
因为 ，
由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行），
可知 ．
又已知 ，则过 G有两条直线 和 都平行于 ，
这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾．
因此假设 不成立，
所以 ．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：一个三角形中最大的内角不小于 ．
【答案】见解析
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查反证法的应用及三角形内角和定理，解题的关键是通过假设与三角形内角和定理产生矛
盾，从而证明原命题成立．
先假设原命题的反面成立（三角形最大内角小于 ），再结合三角形内角和定理推出矛盾，进而证明原
命题正确．
【详解】证明：假设三角形中最大的内角小于 ，
那么三角形的三个内角都小于 ，
所以三个内角的和 ．
但根据三角形内角和定理，三角形的内角和为 ，这与上述结论矛盾．
故假设错误，
因此，一个三角形中最大的内角不小于 ．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
【答案】见解析
【分析】本题考查反证法，熟知反证法有如下三个步骤：（1）提出反证，（2）推出矛盾，（3）肯定结
论．本题第一步先假设两直线不平行，则两直线相交，进而推出与垂直公理相矛盾，从而肯定原结论正确．
【详解】已知：直线 ，直线 ，
求证： ．
证明：假设a与b不平行，则a与b相交于点M，
∵ ， ，
∴过点M有两条直线a和b都垂直于直线c，
但根据垂直公理，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
这就产生了矛盾，
∴假设错误，故 ．
即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
5．（25-26八年级上·山东聊城·月考）用反证法证明：如果 ，那么 ， 中至少有一个大于零．
【答案】详见解析
【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有
一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
【详解】证明：假设 ， 都不大于零，
即 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司因为两个非正数相加还是非正数，
所以 ，
这与已知条件 矛盾，
所以假设不成立．
所以 ， 中至少有一个大于零．
6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）华东师大版八年级上册数学课本第12—13页的“阅读与思考”：为
什么说 不是有理数．
(1)【阅读与思考】假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得 ，由 的意义可得
，即 ______．①
显然， 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．
设 （s是正整数），代入①，得 ______．
显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾．
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数．
(2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面
的过程补充完整．
已知：如图， 是 的一个外角．
求证： ．
证明：假设______________．
在 中， ，
______ ．
∴ ______ ，
∵ 20 / 90
学科网（北京）股份有限公司______，
∴ ______，
∴∴与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立，即 ．
(3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为 ，长与宽之比为 ．他想用这张彩纸剪出一个
半径为 的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？
【答案】(1) ，
(2) ， ， ， ，
(3)不能做到，理由见解析
【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）按照步骤作答即可；
（2）利用反证法证明即可；
（3）设长方形的长为 ，宽为 ，根据面积为 求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较
即可．
【详解】（1）假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得 ，由 的意义可得
，即 ．①
显然， 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．
设 （s是正整数），代入①，得 ．
显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾．
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数．
（2）证明：假设 ．
在 中， ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立，即 ．
（3）不能做到，理由如下：
设长方形的长为 ，宽为 ，
∴ ，
∴ ，
∴宽为 ，
∵圆的半径为 ，
∴圆的直径为 ；
∵ ，
∴不能做到．
题型一 根据等角对等边证明边相等
1．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形 中， 平分 交 边
于点 ，则线段 的长度分别为（ ）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的
关键在于能够熟练掌握相关几何性质进行求解．
先由平行四边形性质得到 ，结合平行线性质、角平分线定义得到 ，进而由等腰三
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学科网（北京）股份有限公司角形的性质得到 ，再数形结合得到 ，代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
故选：B．
2．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，已知 平分 ， 平分 ，且 ，设
， ， ，则 的周长是 ．
【答案】24
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定：等角对等边，平行线的性质等知识；由角平分
线的性质及平行线的性质得： ，则有 ，从而得
的周长为 ，由此即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ 的周长为：
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学科网（北京）股份有限公司，
故答案为：24．
3．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在 中， ， 将 三
等分，点D， 在 上．
(1)求 的度数；
(2)写出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)
(2) 、 、 ， 、
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，关键是掌握等角对等边．
（1）由三角形内角和定理求出 ， ，求出
，由三角形的外角性质得到 ；
（2）由等角对等边推出 ， ， ， ， ．
【详解】（1）解： ，
， ，
， 将 三等分，
，
；
（2）解： ， ，
， ，
，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
图中所有的等腰三角形是 、 、 ， 、 ．
4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图， 是 的外角．
(1)尺规作图：作 的平分线 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ，求证： 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的作法、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握等角对等边和平行线
的性质是解题的关键．
（1）根据作角平分线的尺规作图步骤作图即可；
（2）运用角平分线的定义和平行线的性质推导 ，从而得到 ，继而得解．
【详解】（1）解：如图，射线 即为所求的作角平分线；
（2）证明：∵ 是 的平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 是等腰三角形．
5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点， 相交于点G，
， ， ．求证：
25 / 90
学科网（北京）股份有限公司(1) ；
(2) 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是
解题关键．
（1）根据 即可证明；
（2）由全等三角形得到 ，再由等角对等边即可证明．
【详解】（1）证明： ，
，
即
在 和 中，
（2）证明：由（1）可知， ≌ ，
，
，
是等腰三角形．
6．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在 中，点 在 上，点 在 上， ，
， 与 相交于点 ．
26 / 90
学科网（北京）股份有限公司(1)证明： ．
(2)证明： 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识
点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）直接利用 即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得 ，由等边对等角可得 ，进而得到
，由等角对等边可得 即可证明结论．
【详解】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
7．（25-26八年级上·云南红河·期中）如图， 是 的角平分线， 交 于点 ，求证：
是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边证明等腰三角形，根据角平分线的定义
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学科网（北京）股份有限公司以及平行线的性质得出 ，根据等角对等边即可得证．
【详解】证明：∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
8．（25-26八年级上·河北衡水·期中）在 中，D是 边上的一点， ， ，
．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，试用a、b表示 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理
是解题的关键．
（1）利用外角性质用 表示出 ，由三角形内角和定理得出 的度数，由此得出结论．
（2）先求出 ，利用等角对等边求出 ，即可求出 的周长．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ．
题型二 格点图中画等腰三角形
1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在 的正方形网格中，A，B是两个格点，连接 ，
在网格中找到一个格点C，使得 是以 为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个．
【答案】5
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数
学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
根据网格结构，分别以A、B为圆心， 为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数．
【详解】解：如图，以 为等腰 其中的一条腰时，符合条件的C点有5个．
故答案为：5．
2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在 的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中 ，
两个格点，请在图中再寻找另一个格点 ，使 成为等腰三角形，则满足条件的点 有 个．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题关键．
分类讨论 为腰和 为底的情况，结合网格特征逐一寻找符合条件的格点 ．
【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论：
当 为腰时：如图，分别以 、 为圆心， 长为半径画弧，可与 个格点相交，则图中 点可作为点
；
当 为底边时：如图，作 的垂直平分线，可与 个格点相交，则图中 点可作为点 ．
综上，满足条件的点 有 个．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在如图所示的 的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
(1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为8个平方单位的等腰三角形；
(2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条斜边长为 的直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）找一个 的正方形，正方形的面积为 ，其一半即为8，以此求解；
（2）先作出斜边，再确定三角形．
【详解】（1）解：如图找一个 的正方形，连结一条对角线，另两边为正方形的边，这样所构成的三
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学科网（北京）股份有限公司角形 为等腰三角形，面积即可为8个平方单位， 即为所求（答案不唯一）；
（2）如图， ， ， 即为所求(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，格点图中画等腰三角形，在网格中判断直
角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
4．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图在 网格中，点 ， 为格点，按要求画出格点三角形．
(1)在图①中画出以 为腰的等腰三角形 ，则你画的等腰三角形的周长为______．
(2)在图②中画出以 为底的等腰三角形 ，则你画的等腰三角形的面积为______．
【答案】(1)画图见详解，周长： 或 或 或 （答案不唯一）
(2)画图见详解，面积：
【分析】本题考查等腰三角形的作图和相关计算，掌握等腰三角形的定义和计算公式，正确画图是解题的
关键．
（1）根据题意作以 为腰的等腰格点三角形 ，共有8种情况，再根据勾股定理分别计算即可求得周
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学科网（北京）股份有限公司长；
（2）根据题意作以 为底的等腰格点三角形 ，共有2种情况，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）如图①中， 即为所求，共8种情况．
第一种情况：
如上图中， 即为所求，
， ，
所画三角形的周长为 ；
同理可求出其他情况的周长分别为 ， ， ， ， ，
， ，
故答案为： 或 或 或 （答案不唯一）；
（2）如图②中， 即为所求，共2种情况．
第一种情况：
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学科网（北京）股份有限公司如上图中， 即为所求，
是以 为底的等腰三角形，
，
，
，即 是直角三角形，
则面积为 ；
同理可得第二种情况的面积为 ；
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个
单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求
作图，使所作图形的顶点均在格点上．
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学科网（北京）股份有限公司(1)在图①中以 为腰画一个等腰三角形 ；
(2)在图②中以 为底边画一个等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的
定义是解题的关键．
（1）如图所示，取格点C，连接 ，由网格的特点可得 ，则 即为所求；
（2）如图所示，取格点D，连接 ，由网格的特点可得 ，则 即为所求．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求（画出其中一个即可）；
（2）解：如图所示， 即为所求；
6．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称
为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作
图痕迹．
(1)在图①中，以 为腰画一个等腰三角形 ；
(2)在图②中，以 为边画一个三角形 ，使 ；
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学科网（北京）股份有限公司(3)在图③中，画 的高线 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
（1）如图所示，取格点C，连接 ，由网格的特点可得 ，则 即为所求；
（2）如图所示，取格点F，连接 ，根据网格的特点可得 ，则
；
（3）如图所示，取格点F，连接 并延长交 于D，可证明 得到 ，
则可证明 ，即 ．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解：如图所示， 即为所求．
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学科网（北京）股份有限公司题型三 找出图中的等腰三角形
1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中， 是角平分线，则图中
的等腰三角形共有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的
关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理．
根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是
等腰三角形进行判断即可．
【详解】解析: ，
∵
∴
∵ 是角平分线，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
同理， ．
∴ ．
∴ ．
同理， ．
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司∴等腰三角形有 ，共8个．
故选：A．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 平分 交 于
点 ， 交 于点 ，则图中共有等腰三角形（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性
质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 为等腰三角形， ，
∵
∴ ，
∴ ， 为等腰三角形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ， 为等腰三角形，
，
∴ ， 为等腰三角形，
∵ ， ，
∴
∴ ， 为等腰三角形．
综上所述：共有5个等腰三角形．
故选C．
3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图， 平分 ，点E在 上，且 ；找出图形中的
37 / 90
学科网（北京）股份有限公司等腰三角形，并加以证明．
【答案】 是等腰三角形，证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义
得出 ，根据平行线的性质得出 ，求出 ，根据等腰三角形的判
定得出即可
【详解】解： 是等腰三角形，
证明： 平分 ，
，
，
，
，
，
即 是等腰三角形
4．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在 中，点D在边 上， ．
(1)写出以点B为顶点的三角形；
(2)写出以 为边的三角形；
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形．
【答案】(1) 、
(2) 、
(3)等腰三角形有 、 ；等边三角形有： ．
【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三
角形定义，是解题的关键．
38 / 90
学科网（北京）股份有限公司（1）根据三角形的相关定义进行求解即可；
（2）根据三角形的相关定义进行解答即可；
（3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可．
【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有： 、 ；
（2）解：以 为边的三角形有： 、 ；
（3）解： ， ，
∴等腰三角形有 、 ；
，
∴等边三角形有： ．
5．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，在 中， 于点 是 上一点， ．
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
(2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形．
【答案】(1)图中有6个三角形，分别是 和
(2)直角三角形有 和 ；等腰三角形有
【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键：
（1）写出图中三角形，即可得出结果；
（2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可．
【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是 和 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴直角三角形有 和 ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形．
6．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，在 中，点D，E在边 和边 上，且
．
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学科网（北京）股份有限公司(1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形；
(2)找出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)5， ，
(2) ，
【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键．
（1）根据三角形的相关定义进行求解即可；
（2）根据等腰三角形定义进行解答即可．
【详解】（1）解：图中三角形有 ， ， ， ， ，共5个，
以点 C为顶点的三角形是 ， ．
（2）解：∵ ，
∴ ， 是等腰三角形．
题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点
1．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）平面直角坐标系中，已知点 和 ，若动点 在 轴上运
动，则使 为等腰三角形的点 有（ ）个．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的判定，关键是分类讨论不同情况；
由三边两两相等需分三种情况讨论，又点 在 轴上，设坐标为 ，计算满足条件的 值，并排除与点
重合的情况．
【详解】解：设点
∵ ，
，
40 / 90
学科网（北京）股份有限公司，
，
当 时，
，
解得： （舍），
∴ ；
当 时，
，
，
∴ ；
当 时，
，
解得： ，
∴ ；
综上， 共4个．
故选：B
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知 AOB，在x轴上确定点
C，使 ABC为等腰三角形，若 ，则符合条件的点 共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
41 / 90
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据等腰三角形的判定分类讨论即可．
【详解】解：如图：
∵ ，
∴ ，
当 为三角形的腰时， 或 均符合题意；
时， ，
∴ 为等边三角形；
当 为三角形的底时，作线段 的垂直平分线与 轴交于 ，此时 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，此时 与 重合；
故有两个点符合题意．
故选：B ．
3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在 中， ， ，若点P为直线
上一点，且 为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性
42 / 90
学科网（北京）股份有限公司质与判定是解题的关键．依据点 为直线 上一点，且 为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，
即① ，② ，③ ，据此通过画图即可得出点 的位置．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
如图所示，分别以 为圆心， 为半径作圆，交 于点 ，作 的垂直平分线，交 于点 ，
∴ 为等腰三角形，则符合条件的点P有4个．
故选：D．
4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在 中， ，在直线 上取一点 ，使
得 为等腰三角形，则符合条件的点 共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
根据题意三种情况： ， ， ，作图解答即可．
【详解】解：由题意可分三种情况： ， ， ，
作图可得：
43 / 90
学科网（北京）股份有限公司由图可得 点一共有 个，
故选：A．
5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线 相交形成的夹角中，锐角为 ，交点为 ，点 在
直线 上，直线 上存在点 ，使以点 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点 有 个．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键．
根据 为等腰三角形，分三种情况讨论：①当 时，②当 时，③当 时，分别
求得符合的点 ，即可得解．
【详解】解：要使 为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当 时，作线段 的垂直平分线，与直线 的交点为 ，此时有 个；
②当 时，以点 为圆心， 为半径作圆，与直线 的交点，此时有 个；
44 / 90
学科网（北京）股份有限公司③当 时，以点 为圆心， 为半径作圆，与直线 的交点，此时有 个；
∴这样的点 有 （个），
故答案为： ．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线 、 交于点 ， 为直线 上一定点， 为直线 上一
动点， ．若以点 、 、 为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：
(1)如图1，当 时，满足条件的等腰三角形有 个；
(2)如图2，当 时，满足条件的等腰三角形有 个．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定．
（1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可；
（2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可．
【详解】（1）如图1，当 时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：
45 / 90
学科网（北京）股份有限公司当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
故答案为：4；
（2）如图2，当 时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：
当 时， 是等边三角形，
当 时， ；
故答案为： ．
7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在直线 上能否找到点A，使以 为一边的 是等腰
三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来．
46 / 90
学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【分析】本题考查作等腰三角形，根据“两圆一线”作图即可，分别以 、 为圆心， 长为半径画圆
与直线 的交点以及作 的垂直平分线与 的交点即为点A，使以 为一边的 是等腰三角形．
【详解】解：所有满足条件的点A如图所示：
题型五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点C在坐标
轴上，若 是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．7个
【答案】B
【分析】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论是解题的关键．
先求出 ，分类讨论 时， 时， 时，再分别求 在 轴上或 轴上，可以
借助圆规画圆与坐标轴的交点个数得出结论．
【详解】解：∵ ，
，
当 时，以点 为圆心以 为半径画圆，与 轴有两个交点，其中有一个 三点共线，所以
只有一个点；
当 时，以点 为圆心以 为半径画圆，与 轴有两个交点，其中有一个 三点共线，所以
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学科网（北京）股份有限公司只有一个点；
当 时，作 的垂直平分线过原点；
综合得，共有 3 个交点，
故选：B．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ， ．点 为直线 上
一动点，若点 与 三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点 的位置有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角
形的情况，得到满足条件的点 的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内
角和定理．
【详解】解：如图，
∵在 中， ， ，
∴ ，
当 时， 为等腰三角形；
48 / 90
学科网（北京）股份有限公司当 时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；
当 与 重合时， 为等腰三角形；
当 与 重合时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；
综上，满足条件的点 的位置有 个．
故选：C．
3．（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在 中， ， ，以 的一边为边
画等腰三角形，使得它的第三个顶点在 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】①以B为圆心， 长为半径画弧，交 于点D， 就是等腰三角形；
②以A为圆心， 长为半径画弧，交 于点E， 就是等腰三角形；
③以C为圆心， 长为半径画弧，交 于点F， 就是等腰三角形；
49 / 90
学科网（北京）股份有限公司④作 的垂直平分线交 于点H， 就是等腰三角形；
⑤作 的垂直平分线交 于G，则 是等腰三角形；
⑥作 的垂直平分线交 于I，则 和 都是等腰三角形．
⑦作 的垂直平分线交 于M，则 和 都是等腰三角形．
【详解】解：作图如下
故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力．
4．（24-25八年级上·全国·期中）点 是等边三角形 所在平面上一点，若 和 的三个顶点所组
成的 、 、 都是等腰三角形，则这样的点 的个数为
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定及等边三角形的性质，线段垂直平分线性质等知识点的综合
运用，解题时注意分类思想的运用，根据题意画出图形，即可求解．
【详解】解：①以 为圆心， 为半径画弧交 的垂直平分线于点 ， 两点；以 为圆心， 为半
径弧交 的垂直平分线于点 ，这样在 的垂直平分线上有三点，
②同样在 ， 的垂直平分线上也分别有三点；
③还有一点就是 ， ， 三条边的垂直平分线的交点 ；
共 点．
50 / 90
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
5．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中， 的三个顶点的位置如图所示．
(1)请画出 关于 轴对称的
(2)直接写出 ， ， 三点的坐标；
(3)在 轴上找出点 ，使得点 到点 、点 的距离之和最短（保留作图痕迹）
(4)点 在坐标轴上，且满足 是等腰三角形，符合条件的 点有 个．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，
(3)见解析
(4)
【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可；
（2）关于 轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；
（3）作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ， 点即为所求；
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学科网（北京）股份有限公司（4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．
【详解】（1）如图1： 即为所求，
（2）由图可知 ， ，
点关于 轴对称的点为 ， 点关于 轴对称的点为 ， 点关于 轴对称的点为 ，
， ，
（3）如图2：作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ， 点即为所求；
∴ ，
此时 值最小；
（4）如图：以 为圆心， 长为半径做圆，此圆与坐标轴有 个交点，
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学科网（北京）股份有限公司以 为圆心， 长为半径做圆，此圆与坐标轴有 个交点，
作线段 的垂直平分线，此线与坐标轴有 个交点，
∴ 是等腰三角形时， 点坐标有 个，
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的
性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．
6．（22-23八年级上·湖北鄂州·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移
3个单位，再向下平移1个单位到△ABC ，△ABC 和△ABC 关于x轴对称
1 1 1 1 1 1 2 2 2
(1)画出△ABC 和△ABC ；
1 1 1 2 2 2
53 / 90
学科网（北京）股份有限公司(2)在x轴上确定一点P，使BP+AP的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）；
1
(3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有 个.
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析；
(3)7
【分析】（1）利用平移的性质以及轴对称的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出 点位置；
（3）利用等腰三角形的性质进而得出符合题意的答案．
【详解】（1）如图所示： 和 即为所求,
（2）(2)如上图所示：作 的对称点 ，连接 和 与 轴的交点即可，点 即为所求；
（3）如图所示：即为所求，共 个点
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学科网（北京）股份有限公司故答案为 .
【点睛】本题主要考查了根据平移的性质、轴对称的性质来画图，利用轴对称求最短路径问题，利用等腰
三角形的性质来找点，能够理解并且运用这些性质是解题的关键．
题型六 等腰三角形的性质与判定
1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作
交 于 ，交 于N，若线段 ，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键．根据
平行线的性质，结合角平分线的定义，推出 ，进而得到 ，即可得出结
果．
【详解】解：∵在 中， 和 的平分线交于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：6．
2．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在 中，点 、 在边 上， ，
．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的度数．
55 / 90
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，
等腰三角形的性质是本题的关键．
（1）作 于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到 ， 相减后即可得到正确
的结论．
（2）根据等边三角形的判定得到 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角
的和差关系即可求解．
【详解】（1）证明：作 于点 ，
，
，
，
，
即 ．
（2） ，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ，D是 的中点，E、F分
别在 上，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：
(2)若 ，求 的长
(3)求证：
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意得 ，证明 ，
即可求证；
（2）由（1）得 ， ，再根据勾股定理 即可求解；
（3）由（1）得 ，即可知 ，可推出
，即可求解.
【详解】（1）证明：连接
∵ ，D是 中点
∴
∵
∴
∴
∴
在 和 中
∴
57 / 90
学科网（北京）股份有限公司∴
（2）∵
∴
∴
∴
∴
在 中，
（3）∵
∴
∴
D是 中点
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，面积求解等相关知识点，
解题关键在于熟悉各个知识点，并能综合运用.
4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在四边形 中， ， 平分 ，且 ，
过点 作 于点 ，连接 并延长交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求四边形 面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)16
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解
题的关键．
（1）根据角平分线定义得出 ，进而根据 ，证明 ，根据全等三角形的性质即可
得证；
（2）在 中，勾股定理得出 ，根据四边形 的面积 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图， ， ，
．
平分 ，
．
在 和 中，
．
．
．
．
（2）解：在 中， ， ， ，
．
由（1），知： ，
．
四边形 的面积 ．
5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角 中，点 是 边上一点，
59 / 90
学科网（北京）股份有限公司于点 ， 与 交于点 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ，请判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质
是关键．
（1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得 ，继而证明 为等腰三角形即
可；
（2）由 得 是直角三角形，结合 ，利用直角三角形两锐角互余，求出
，依据 是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为 ，则该三角形为等边三角形，
即可解答．
【详解】（1）证明：∵ 于点D，
∴ 和 都是直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形；
（2）∵ 于点D，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由（1）得 为等腰三角形；
∴ 为等边三角形
6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1， ， ，
60 / 90
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ，设 ，求 的值；
(3)如图2，若 ，延长 交 于 ，设 ， ，猜想 ， 满足的关系式并证明．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3) ，证明见解析
【分析】（1）利用“角角边”证明 ，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，再由 ，可得 ，从而得到
，即可求解；
（3）根据 ，可得 ，证明 为等腰直角三角形，可
， ，再由 是等腰直角三角形，以及 ，可得 ，
，从而得到 ，在 中， 利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解： ，证明如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
62 / 90
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握
全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
题型七 等边三角形的性质与判定
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， ，点D为 边上一点，连接 ，
，过点C在 的右侧作 ，连接 ．若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，证
明 是等边三角形是解题的关键．
由 得 ，由 得 ，进而可得 ，证明
是等边三角形，再由三角形外角的性质即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
是等边三角形，
，
，
63 / 90
学科网（北京）股份有限公司故选：A．
2．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，在 中， ， ， ．将 沿BC
所在直线向右平移得到 ，连接 ．若 ，则线段 的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了平移的性质、等边三角形的判定，解题的关键是利用平移性质得到相等线段，结合角
度条件分析三角形形状并计算．
求出 ，结合 证明 为等边三角形即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
，
， ，
是等边三角形，
∴ ，
故答案为：5．
3．（25-26八年级上·天津·月考）如图，在 中， ， ，点 在边 上， ，
射线 ，垂足为点 ，点 是射线 上的一动点，点 在线段 上，当 的值最小时，则
．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，由题意可得
， ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，由轴对称的性质可得 ，
，从而可得 ，当 、 、 三点共线且 时， 的值最小，即
64 / 90
学科网（北京）股份有限公司此时 最小，证明 、 、 三点共线，求出 ，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌
握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
，
由轴对称的性质可得 ， ，
∴ ，
∴当 、 、 三点共线且 时， 的值最小，即此时 最小，
∵ ，
∴ 、 、 三点共线，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形 中， ， ， ，若
， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质， 角直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线
65 / 90
学科网（北京）股份有限公司构造直角三角形．
延长 、 交于点 ，可得 是等边三角形，设 ，则 ，
．在 中， ，那么 ，即可建立方程求解．
【详解】解：延长 、 交于点 ．
，
．
， ，
，
是等边三角形．
设 ，
， ．
∵在 中， ，
，
，
解得 ，
．
5．（25-26八年级上·天津西青·月考）如图，草地边缘 与小河河岸 在点 处形成 的夹角．已知
，牧民赶着羊从 地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到 地．
（1）能否求出整个过程所走的最短路程？ ．（用“能”或“否”填空）；
（2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由
【答案】 能
【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质．
（1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程；
66 / 90
学科网（北京）股份有限公司（2）作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，分别交直线 ， 于点B，
C，连接 ， 即为放牧所走的最短路线．连接 ，根据轴对称的性质可知
， ， ， ， ，即
， ，进而根据等边三角形的判定和性质作答即可．
【详解】解：（1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程；
故答案为：能；
（2）如图，作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，分别交直线 ，
于点B，C，连接 ， 即为放牧所走的最短路线．
连接 ，
∵作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，
∴ ， ， ， ， ，
即 ，
，
∵ ，
67 / 90
学科网（北京）股份有限公司∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·全国·期末）如图， 是等边三角形，D是 延长线上一点， 平分 ，
且 ． 求证： 是等边三角形．
【答案】答案见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三
角形的性质定理和判定定理，三角形全等的判定定理和性质定理，并熟练应用．
根据等边三角形的性质和角平分线的定义，先证 ，得 ， ，根据有一
个角是 的等腰三角形是等边三角形，即可得答案．
【详解】证明： 是等边三角形
，
，
平分 ，
，
，
在 和 中
，
， ，
，
是等边三角形．
7．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在 中， ， ，点 是 外一点，且
68 / 90
学科网（北京）股份有限公司，过点 作 分别交 ， 于点 ， ．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1) 是等边三角形，理由见解析
(2)5
【分析】本题主要考查的等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
（1）由 ， ，得 是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得
，即可得出结论；
（2）连接 ，交 于点 ，由 ， ，得 是线段 的垂直平分线，根据等边三角
形三线合一得 ，再根据平行线的性质得 ，根据等角对
等边得 ，即可求解．
【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下：
， ，
是等边三角形．
．
，
， ．
．
是等边三角形．
（2）如图，连接 ，交 于点 ，
69 / 90
学科网（北京）股份有限公司， ，
是线段 的垂直平分线．
．
又 ，
．
，
．
．
．
．
由（1）知 是等边三角形，
．
．
8．（25-26八年级上·天津·月考）如图，等腰 中， ， ， ，点D在线段
上运动（不与 ， 重合），将 与 分别沿直线 ， 翻折得到 与 ．
(1) 的长度为_______；
(2)求 的度数；
(3)当点D是 的中点时，判断 是何种三角形，并说明理由．
【答案】(1)
70 / 90
学科网（北京）股份有限公司(2)
(3) 是等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
（1）由折叠的性质即可得出结果；
（2）由折叠的性质可得 ， ，结合题意求出 ，即可得
出结果；
（3）由折叠的性质可得 ， ，证明 为等边三角形，得出 ，
，同理可得 是等边三角形，得出 ， ，求出 ，结合题
意得出 ，即可得证．
【详解】（1）解：∵将 与 分别沿直线 ， 翻折得到 与 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵将 与 分别沿直线 ， 翻折得到 与 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 是等边三角形，理由如下：
∵将 与 分别沿直线 ， 翻折得到 与 ，
∴ ， ，
∵等腰 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
71 / 90
学科网（北京）股份有限公司同理可得： 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
题型八 含30°角的直角三角形
1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在 中， ，则
的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识点．先根据直角三角形两锐角互余得到
，再由外角结合等腰三角形的判定得到 ，最后由含 角的直角三角形的性质即可求
解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知 中， ， ， 平分 ，且
交 于点D， ，那么 的长是（ ）
72 / 90
学科网（北京）股份有限公司A． B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的性质与角平分线的定义，通过角度计算得到线段的等量关系是解题关键．
根据 ， ， 平分 ，可得 ， ，再由 ，可得
，根据 可得 长度．
【详解】解： ， ，
，
BD平分 ，
，
，
，
，
．
故选：B．
3．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，在 中， ， 是 边上的高， ，
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查含 角的直角三角形，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，
73 / 90
学科网（北京）股份有限公司那么它所对的直角边等于斜边的一半．由 角的直角三角形的性质推出 ，即可得解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 边上的高，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ 的长为 ．
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 为等边三角形，过点B作 ，过点A作
，垂足为D，已知 的周长是24，则 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的
直角边为斜边的一半．
首先求出 ， ，然后得到 ，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】∵ 为等边三角形， 的周长是24，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
74 / 90
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故答案为：4．
5．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ， ， ．点 是 边上的一个动点，当 时，则
的度数为 ．
【答案】75°/75度
【分析】本题主要考查了含 角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线间距离相等．
直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形的两底角相等．掌握直角三角形和等腰
三角形的性质是解题的关键．
过点 作 ，由 ，则有 ，根据 ，可计算出 ，在 中，
，则有 ，所以 ，根据等腰三角形性质即可计算出 ．
【详解】解：过点 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，则有 ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ．
故答案为： ．
75 / 90
学科网（北京）股份有限公司6．（2026九年级·全国·专题练习）如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷
达站测得 米，仰角为 ，3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处
的仰角为 ．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米/秒，参考
数据： ）
【答案】火箭从A到B处的平均速度约为335米/秒
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，解一
元一次方程，解题的关键是掌握以上性质．
设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，表示出相关线段的长度，利用勾股定理和含 角的直角三角形
的性质，求出相关线段的长度，利用等腰直角三角形的判定和性质得出 ，然后利用线段相等列出
方程求解即可．
【详解】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知， ，
在 中， ， 米，
米，
∴由勾股定理得 （米）．
米，
（米），
在 中， ，
．
76 / 90
学科网（北京）股份有限公司，
，
解得 ．
答：火箭从A到B处的平均速度约为335米/秒．
7．（25-26八年级上·全国·期末）如图， 是等边三角形， 是 边上一点，以 为一边向上作等
边 ，连接 ．
(1)求证：
(2)若 ，求 的度数
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的长
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明 是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质和 即可证明结论；
（2）求出 的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案；
（3）根据（2）所求，结合等边三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
77 / 90
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在 中， ，连接 ，过点 作 ，交
的延长线于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ；
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含 度角的直角三角形的性质；
（1）根据平行四边形的性质可得 ，根据平行线的性质可得 ，进而根据直
角三角形的两个锐角互余，即可求解；
（2）根据含 度角的直角三角形的性质得出 ，进而证明四边形 是平行四边形，得出
，即可得出 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
78 / 90
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴
又∵
∴ ，
∴ ．
题型一 等腰三角形的综合应用
1．（25-26八年级上·山西忻州·月考）高效路径规划中的转化策略
在数学与实际问题解决中，我们常常通过转化，将陌生情境转化为熟悉模型．“最短路径”问题便是经典
范例，其核心思想在物流规划、电路设计、交通优化等领域有着广泛应用．
情境导入
某新建社区计划在主干道 上设立一个便民配送中心 ，用于同时服务位于 同侧的居民区 和商业区 ．
为保证配送效率，需确定点 的位置，使得从 到 ，再从 到 的总路程 最短．该问题可抽象为
以下几何模型：
问题一：基础模型构建
（1）如图1，已知直线 外有两点 和 位于 异侧．请你在直线 上确定一个点 ，使 最短（保留
作图痕迹，不写作法），这其中的道理是_____________．
问题二：实际应用作图
（2）已知直线 及同侧两点A，B的位置如图2所示．请使用尺规作图，在 上标出使 最短的点
的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
问题三：拓展情境探究
（3）如图3，该社区进一步优化服务，在两条交叉的道路 与 旁分别设立了“智能快递柜”与“便民
缴费点”．居民王阿姨需要从家 出发，先到道路 上的快递柜 取件，再到道路 上的缴费点 办理
业务，最后回到家 ．
①请分别在边 ， 上各找一点E，F，使得走过的路程最短．（辅助线用虚线，最短路径用实线表
79 / 90
学科网（北京）股份有限公司示）
②若 ， ，求 的周长的最小值．
【答案】（1）见解析，两点之间，线段最短；（2）见解析；（3）①见解析；②10
【分析】（1）利用两点之间，线段最短求解；
（2）作点 关于直线的对称点 ，连接 ，利用两点之间，线段最短求解；
（3）①分别作点 关于 、 的对称点 、 ，连接 分别交 、 于点 、 即可求解；
②先得出 垂直平分 ，从而可得 ， ， ，于是有 ，
从而可证明 ，根据全等三角形的性质可得 ， ，再证明
，根据全等三角形的性质可得 ， ，从而可得 ，然后证明
是等边三角形，从而可得 ， ，进而求得 ，即可得出 的周长的
最小值为10．
【详解】（1）解：如图1，点 即为所求．
这其中的道理是两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短；
（2）解：如图2，点 即为所求；
（3）①解：如图3，点 ，点 即为所求；
80 / 90
学科网（北京）股份有限公司②解：连接 ， ， ，
由题意得： 垂直平分
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
81 / 90
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为10．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，全等的性质和 综合，等边三角形的判定和性质，根据成轴对
称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）在 和 中， ，射线
相交于点 ．
(1)如图1，当 时，则 与 的数量关系为：___________， ____________ ；
(2)如图2，当 时，请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由；
(3)如图3，当 时，连接 ，当 三点刚好在同一直线上时，请直接写出 的度
数．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得 ， ， ，利用 可证
，根据全等三角形的性质可得 ， ；
（2）仿照（1）可证 ，根据全等三角形的性质可得 ， ，根据三角形
外角的性质可以求出 ；
（3）可证 ，根据全等三角形的性质可得 ，根据对顶角相等可得
，根据三角形内角和定理可得 ．
【详解】（1）解： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
又 ， ，
在 和 中， ，
，
， ，
， ，
，
；
故答案为： ， ；
（2）解： ， ，
理由如下：
，
，
，
又 ， ，
在 和 中， ，
，
， ，
， ，
，
是 的外角，
，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司；
（3）解：如下图所示，
，
，
，
又 ， ，
在 和 中， ，
，
，
又 ，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外
角的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理和三角形外角的性质找角之间的关系．
3．（25-26八年级上·北京海淀·月考）如图， 是等边三角形，D，E两点是边 和 上的动点
（点D不与点B重合），满足 ， 与 交于点F．
(1)直接写出 的度数；
(2)作点B关于直线 的对称点M，连接 ，点N为 的中点，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司①依题意补全图形：
②请写出一个k的值，使得对于满足上述条件的任意一点F，总有 成立，并证明．
③设等边三角形的边长为2，直接写出 周长的最小值为__________．
【答案】(1)
(2) 见解析；②当 时， ，证明见解析；③6
①
【分析】（1）由等边三角形的性质可得 ， ，则可证明 ，
得到 ，再根据三角形外角的性质可得答案；
（2）①根据题意画出图形即可；②延长 到Q，使得 ，连接 ，可证明
，得到 ， ，则可证明 ，得到 ；延长 到
P，使得 ，连接 ，则 是等边三角形，证明 ，得到
，则可证明 是等边三角形，据此可得结论；③作点M关于直线
的对称点T，连接 ，可证明 的周长 ，则当D、C、T三点共线时，
有最小值，即此时 的周长有最小值，最小值为线段 的长加上2；证明 是等边三
角形，得到 ，则 ，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①依题意补全图形如图所示；
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学科网（北京）股份有限公司②当 时， ，证明如下：
由（1）知 ，
如图所示，延长 到Q，使得 ，连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ；
由轴对称的性质可得 ；
∵点N为 的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，延长 到P，使得 ，连接 ，则 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
③如图所示，作点M关于直线 的对称点T，连接 ，
∵等边 的边长为2，
∴ ，
由轴对称的性质可得 ，
∴ 的周长 ，
∵点M为定点，
∴点T为定点，
∵ ，
∴当D、C、T三点共线时， 有最小值，即此时 的周长有最小值，最小值为线段 的长
加上2；
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确作出
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图1，在等边三角形 中， 于D， 于E，
与 相交于点O．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点G是线段 上一点， 平分 ， ， 交 所在直线于点F．求证：
；
(3)如图3，若点G是线段 上一点（不与点O重合），连接 ，在 下方作 ，边 交
所在直线于点F．猜想： 、 、 三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，证明见解析
【分析】（1）利用等边三角形的“三线合一”性质，结合“直角三角形 角所对的直角边是斜边的一
半”进行证明．
（2） 是等边三角形的中垂线，可得 ，再通过角的计算推导角的关系，结合全等三角形证明线
段相等．
（3）通过构造全等三角形，将 、 转化为 的组成部分，进而推导线段的和差关系．
【详解】（1）证明： 为等边三角形，
， ，
又 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司平分 ， 平分 ，
， ，
， ，
又 在 中， ， ，
，
．
（2）证明： ， ，
， ，
，
又 平分 ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中 ，
，
．
（3）
证明如下：
如图，连接 ，在 上截取 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
， ，
， ，
又 ， 等边三角形．
， ，
， ，
，
在 和 中 ，
， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义．紧扣等边三角形的性
质，通过证明全等三角形，将线段、角的关系进行转化是解题关键．
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