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第 02 讲 一定是直角三角形吗
1.熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题.
2.理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数.
3.熟练掌握分类讨论的数学思想.
知识点01 勾股定理的逆定理
1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的
直角三角形.
2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形.
证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x.
根据勾股定理b2－x2=c2－（a ±x）2 将a2+b2=c2代入得±2ax=0 ∴x=0
∴点D与点C重合 ∴AC⊥CB ∴△ABC为直角三角形
注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形.
【微点拨】
1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
3）当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形.知识点02 勾股数
1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数
2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
【微点拨】这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如：3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数.在考察
勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2.
题型01 勾股树(数)问题
【典例1】（2022秋·广东清远·八年级期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．10，12，14
【答案】D
【分析】分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
【详解】解：A． ， ，
，
即3，4，5是勾股数，故本选项不符合题意；
B． ， ，
，
即7，24，25是勾股数，故本选项不符合题意；
C． ， ，
，
即8，15，17是勾股数，故本选项不符合题意；
D． ， ，
，
即10，12，14不是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，如果两数的平方和等于第三个数的平方，那么这三个数叫勾股数．
【变式1】（2023春·广东中山·八年级校联考期中）以下四组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边
的平方．【详解】解：A. ，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B. ，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C. ，是勾股数，故本选项符合题意；
D. ，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足 的三个正整数称为勾股数．
【变式2】（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）下列是勾股数的一组数是（ ）
A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、
【答案】B
【分析】根据勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．
【详解】解：A． 、 、 不是整数，此数组不是勾股数，不合题意；
B． ，此数组是勾股数，符合题意；
C． ，此数组不是勾股数，不合题意；
D． ，此数组不是勾股数，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知 的
三边满足 ，则 是直角三角形．
题型02 判断三边能否构成直角三角形
【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）满足下列条件的 是直角三角形的是（ ）
A．8，10，7 B．2，3，4 C．5，12，14 D．1， ，2
【答案】D
【分析】验证选项中每组数据，看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若等于则为直角三角形，
否则就不是直角三角形．
【详解】解：选项A：两条较短边平方和为： ， 不是直角三角形，故选项
A不合题意；
选项B：两条较短边平方和为： ， 不是直角三角形，故选项B不合题意；
选项C：两条较短边平方和为： ， 不是直角三角形，故选项C不合题
意
选项D：两条较短边平方和为： ， 是直角三角形，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，则此三角形为直角三角形．
【变式1】（2023春·广东广州·八年级校考期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．1， ， D．13，14，15
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角
三角形判定即可；如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可；
【详解】A、 ，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
B、 ，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
C、 ，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、 ，
此三角形是直角三角形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，
确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
【变式2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）下列各组数中，不能构成直角三角形三边
的一组是（ ）
A．1，1， B．1，2， C．3，5，7 D．3，4，5
【答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、∵ ，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵ ，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵ ，∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵ ，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那
么这个三角形就是直角三角形．
题型03 图形上与已知两点构成直角三角形的点
【典例1】（2023秋·八年级单元测试）在如图所示的 的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也
在格点上，满足 为以 为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，
以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形．
【答案】2
【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理得：
AD2=BD2=12+32=10，
AC2=12+22=5，
AB2=22+42=20，
BC2=CD2=25，
∴AD2+BD2=AB2，AC2+AB2=BC2，
∴能够组成2个直角三角形，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理得出直角三角形．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有 ， ， 三点， ， 两点之间的距离为
，点 到直线 的距离为 ，且 为直角三角形，则满足上述条件的点 有______个．
【答案】8
【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则 ；（2）AB为直角边， 或 ；
【详解】（1）当AB为斜边时，点 到直线 的距离为 ，即AB边上的高为 ，符合要求的C点
有4个，如图：
（2）当AB为直角边时， 或 ，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
题型04 在网格中判断直角三角形
【典例1】（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方
形的顶点，则 的度数为_________．
【答案】
【分析】根据勾股定理得到 ， ， 的长度，再判断 是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接 ，由题意， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出 是等腰直角
三角形是解决本题的关键．
【变式1】（2021秋·福建三明·八年级统考期中）如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正
方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．
（1）求 的周长；
（2）判断 是不是直角三角形，并说明理由.
【答案】（1）△ABC的周长为 ；（2）△ABC不是直角三角形，理由见解析．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC的长，然后可求周长；
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：（1）如图，根据题意由勾股定理，得
， ，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ，
（2）△ABC不是直角三角形，理由是：
∵在△ABC中，AB2+BC2=13+45=58，AC2=64，
即AB2+BC2≠AC2，
∴△ABC不是直角三角形.
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级期末）如图，方格中小正方形的边长为1， 的三个顶点都在小
正方形的格点上，求：(1) 的周长；
(2)请判断 是否是直角三角形，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 不是直角三角形．见解析
【分析】（1）根据勾股定理求得 的三条边长后，再求该三角形的周长；
（2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】（1）解：根据勾股定理知， ， ， ，
故 的周长 ；
（2） 不是直角三角形．
理由：由（1）可知， ， ， ， ，
，即 ，
∴ 不是直角三角形．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个
三角形就是直角三角形是解题的关键．
题型05 利用勾股定理的逆定理求解
【典例1】（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知，如图，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且
∠A=90°．
(1)求BD的长．
(2)判断△BCD是什么三角形，并说明理由？
【答案】(1)5
(2)直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）如图，在△ABD中，AB=3，AD=4，∠A=90°，
∴由勾股定理得 ，
即BD=5
（2）△BCD是直角三角形．理由如下：
在△BCD中，BC=13，CD=12，BD=5，
∴ ， ，
∴ ，
∴△BCD是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
【变式1】（2023春·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在 中， 于点D， ，
， ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)求点D到 的距离之和．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据己知数据利用勾股定理的逆定理即可证明．
（2）根据（1）中求得 的长度，再利用等面积法求出点D到 的距离，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ；
在 中， ，即 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（2）解：过点D作 ， ，垂足分别为点E、F，，
，即 ，
∴ ，
，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理和三角形高的问题，熟练运用勾股定理逆定理和等面积法求高是解题的关键．
【变式2】（2023春·安徽六安·八年级校联考阶段练习）已知：如图，四边形 中， ，
， ，且 ．试求：
(1)四边形 的面积．（结果保留根号）
(2) 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，由勾股定理求出 的值，结合勾股定理逆定理可推出 ，然后根据
进行求解，即可得到答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得 ，然后根据 进行计算即
可得到答案．
【详解】（1）解：连接 ，， ，
，
， ，
，
即 ，
，
；
（2）解： ，
，
．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意
作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
题型06 勾股定理逆定理的实际应用
【典例1】（2023春·广西钦州·八年级浦北中学校考阶段练习）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳
动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如
图所示的四边形土地 ．经测量， ， ， ， ， ，请计算
该四边形土地的面积．
【答案】该四边形土地的面积为
【分析】连接 ，则 为直角三角形， 为斜边，通过勾股定理求 ，根据 判定
为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该菜地的面积．
【详解】解：连接∵
∴在 中
∴
∵ ，
∴
∴ 是直角三角形，且
答：该四边形土地的面积为 .
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股
定理的逆定理判定 是直角三角形是解题的关键．
【变式1】（2023春·福建莆田·八年级统考期中）为响应政府“公园城市建设”的号召，某小区进行小范围
绿化，要在一块如图所示的四边形空地进行绿化改造，测得 ， ， ， ，
．
(1)若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m，求铺设这条鹅卵石路的最低花费．
(2)如果种植草皮的费用是200元 ，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？
【答案】(1)铺设这条鹅卵石路的最低花费为 元．
(2)整块空地上种植草皮共需投入 元．
【分析】（1）如图，连接 ，再利用勾股定理先求解 ，从而可得答案；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明 ，可得整块空地的面积为： ，再计
算总费用即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∵铺设成本为120元/m，
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为 （元）．
（2）∵ ， ， ．
∴ ，
∴ ，
∴整块空地的面积为： ，
∵种植草皮的费用是200元 ，
∴整块空地上种植草皮共需投入 （元）．
【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的实际应用，理解题意，确定勾股定理与勾股定理的
逆定理是使用情境是解本题的关键．
【变式2】（2023春·广东汕头·八年级校考期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两
个取水点A，B，其中 ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定
在河边新建一个取水点 H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路 ．测得 千米， 千
米， 千米．
(1)问 是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线 的长．
【答案】(1)是，见解析
(2) 千米
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得 是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短
即可解答；
（2）设 ，则AH=x-3，在 中，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）∵
，
∴
∴
∴ 是从村庄C到河边的最近路
（2） ，则
在 中
∴
解得：
∴原来的路线 的长为 千米
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解
题的关键．
一、选择题
1．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考阶段练习）满足下列条件的 ，不是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理以及角的度数对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，
设 ， ， ，
，不是直角三角形，符合题意；
B、 ，则设 ， ， ，
，
，，是直角三角形，不符合题意；
C、由 得 ，是直角三角形，不符合题意；
D、 ，且 ，
，是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，灵活运用直角三角形的定义及勾股定理的逆定理是解决
问题的关键．
2．（2023春·广东汕头·八年级校联考阶段练习）一块三角形木板，测得 ， ， ，则三
角形木板 的面积为（ ）
A．60 B．30 C．65 D．45
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理，得 为直角三角形，故可求出面积．
【详解】解： ，
，
，
即 是直角三角形，
，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解本题要熟练掌握勾股定理的逆定理这个知识点．
3．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼
成一个直角三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，8cm B．3cm，4cm，5cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，5cm，8cm
【答案】B
【分析】由勾股定理的逆定理可判断A，B，由三角形的三边关系可判断C，D不能组成三角形，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，故A不符合题意；
∵ ，故B符合题意；
∵ ，不能组成三角形，故C不符合题意；
∵ ，不能组成三角形，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是三角形三边的关系，勾股定理的逆定理的应用，熟记三角形的三边关系与勾股定理
的逆定理是解本题的关键．
4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 ，
则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
【答案】B
【分析】将原式整理为 ，即可判断.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴这个三角形是直角三角形；
故选：B.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟练掌握勾股定理逆定理、得出 是解题
的关键.
5．（2023春·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）下列由三条线段 、 、 构成的三角形：①
， ， ；② ， ， ；③ ；④ ，
， （ 为大于1的整数）；其中能构成直角三角形的是（ ）
A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】判断一组数能否成为直角三角形，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方，将题目
中的各题一一作出判断即可．
【详解】解：① ，
，故能构成直角三角形，符合题意；
② ，
，故能构成直角三角形，符合题意；
③ ，
令 ，，
，
，
、 、 不能构成直角三角形，不符合题意；
④ ， ， ，
，故能构成直角三角形，符合题意；
综上所述：①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时注意是两较短边的平方和等于最长边的平方．
二、填空题
6．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）有四个三角形，分别满足以下条件：①
；②三个角之比为3：4：5；③三边长分别为 、 、 ；④三边之比为
5：12：13．其中是直角三角形有______个．
【答案】2
【分析】根据三角形内角和定理判断①，②，根据勾股定理的逆定理判断③，④．
【详解】解：① ，则 ， ，
∴ ，解得： ，故不是直角三角形；
②三个角之比为3：4：5，则最大角为 ，故不是直角三角形；
③三边长分别为 、 、 ，
则 ，故是直角三角形；
④三边之比为5：12：13，设三边为 ， ， ，
则 ，故是直角三角形；
∴是直角三角形有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理逆定理的应用，灵活求解，只要与 进行比较即可，
技巧性较强．
7．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）若a、b、c是 的三边长，且满足关系式
，则 的形状为__________．
【答案】直角三角形
【分析】根据题意及三角形的边长为正数，得出 ，再移项即可得出答案．【详解】 ，a、b、c是 的三边长
，
的形状为直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
8．（2023春·福建南平·八年级统考阶段练习）如图，在边长为 的小正方形组成的网格中， 的三个
顶点均在格点上则 边上的高为___________．
【答案】2
【分析】根据勾股定理逆定理证明 是直角三角形，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意得，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ；
过点A作 于点D，如图，
∴ ，
∴ ，即 边上的高为2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了勾股定理以及逆定理，熟记勾股定理及逆定理是解题的关键．
9．（2023春·全国·八年级期末）如图，在 中， 是 内一点，连接 、 ，且 ．
已知 ， ， ， ．则图中阴影部分的面积为________．【答案】
【分析】先根据勾股定理求出 ，然后根据勾股定理的逆定理，得 是直角三角形，根据阴影部分
的面积 等于 ，即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
设阴影部分的面积 ，
∴ ，
∴ ，
∴设阴影部分的面积为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用和勾股定理的逆定理．
10．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在
小正方形的顶点上．
（1）线段 的长为______；
（2）若 ，则 三条线段首尾顺次相接______（填“能”或“不能”）构成直角三角
形．
【答案】 能
【分析】（1）直接利用勾股定理得出 的长；（2）直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．
【详解】解：（1）线段 的长是： ；
故答案为： ；
（2） 三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形．
理由：∵ ，
∴ ，
∴ 三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形．
故答案为：能．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的
形状．
三、解答题
11．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）已知 的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足
，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】直角三角形，见解析
【分析】利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值进而求出即可．
【详解】解： 是直角三角形，理由：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理及非负数的性质，根据题意得出a，b，c的值是解题关键．
12．（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）在 中， 是 上一点， ， ， ，
，求 的的周长．
【答案】48
【分析】先根据 ， ， ，利用勾股定理的逆定理求证 是直角三角形，再利用勾
股定理求出 的长，然后计算三角形周长即可得出答案．
【详解】解： ，是直角三角形，
，
在 中， ，
，
的的周长 ．
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键．
13．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）如图，四边形 中， ， ， ，
，且 ，
求四边形 的面积．
【答案】
【分析】如图所示，连接 ，先利用勾股定理求出 ，进而利用勾股定理的逆定理证明 是
直角三角形，即 ，由此根据四边形 的面积 进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， ， ，
∴根据勾股定理得
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴∴ 是直角三角形，即 ．
∴四边形 的面积 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的
关键．
14．（2023春·广东广州·八年级期中）如图，已知等腰 的底边 ， 是腰 上一点，连接
，且 ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；
（2）设 ，根据等腰三角形的性质可得 ，在直角三角形 中，由勾股定理可
得 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明： ，
， ，
即
为直角三角形；
（2）解：设 ，
是等腰三角形，
．
为直角三角形，
为直角三角形，
，
即 ，
解得： ，故 的长为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练
掌握勾股定理的逆定理．
15．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，连接 ．
(1)判定 的形状，并说明理由；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1) 为等腰直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求得 ，再根据勾股定理的逆定理求解即可；
（2）四边形的面积 ，再计算即可．
【详解】（1）解：在 中， ，
则 ， ，
∵ ，即
∴ 为等腰直角三角形， ；
（2）解：四边形的面积
．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是灵活勾股定理的逆
定理进行证明．
16．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在 中， 于D，
，(1)求 的值．
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 是直角三角形，理由如下
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）先求出 ，再利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）解：在 中， ，
在 中， ；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
17．（2022春·八年级单元测试）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长都是 ，四边形 的顶
点都在格点上（格点：小正方形的顶点）．
(1)四边形 的边 的长；
(2)连接 ，试判断 的形状．
【答案】(1) ；(2) 是直角三角形．
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理求得 ， ， 的值，再利用勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】（1）解： ；
（2）解：如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理．熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一
定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
18．（2022春·八年级单元测试）如图， 地到 ， 两地分别有笔直的道路 ， 相连， 地与 地
之间有一条河流通过， ， ， 三地的距离如图所示．
(1)如果 地在 地的正东方向，那么 地在 地的什么方向？请说明理由．
(2)现计划把河水从河道 段的某个点 引到 地，求 ， 两点间的最短距离．
【答案】(1)正北方向，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理得到逆定理得到 是直角三角形，于是得到 地在 地的正北方向；
（2）作 于 ，则 的长是 ， 两地的最短距离，根据三角形的面积公式列方程即可得到结
论．
【详解】（1）解：正北方向，理由如下：，
是直角三角形，
地在 地的正北方向；
（2）作 于 ，
则 的长是 ， 两地的最短距离，
是直角三角形，
，
， 两点间的最短距离 ，
答： ， 两点间的最短距离是 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键．
