文档内容
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
第 1 课时 平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力，会推导平方
差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理；
2．通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算；
3．通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直
观，从中体会数形结合的数学思想．
重点：理解并掌握平方差公式的推导和应用．
难点：掌握平方差公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算．
一、导入新课
知识链接
计算：
(x＋1)(y－5)＝xy－5x＋y－5；
(x＋1)(x－5)＝x2－5x＋x－5＝x2－4x－5；
(x＋1)(x－1)＝x2－x＋x－1＝x2－1．
思考积为何从四项变成三项又变为两项？
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：平方差公式的认识
算一算：
(1)(x＋2)(x－2)； (2)(1＋3a)(1－3a)；
(3)(x＋5y)(x－5y); (4)(2y＋z)(2y－z).
议一议：
观察相乘的两个多项式有什么特点？最终结果又有什么特点？小组讨论得出结果．
前一项相同项，后一项互为相反数(也可从加减法的角度理解).最终结果有两项，是乘
式中两项的平方差，即(相同项)2－(互为相反数的项)2.
追问1：为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是二项式？
有的积相加为0.
追问2：能否描述你们发现的规律？(分别从文字语言和符号语言角度引导)
文字语言：两个数的和×这两个数的差＝这两个数的平方差．符号语言：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.证一证：
代数验证(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2.
填一填：
(a－b)(a＋b) a b a2－b2
(1＋x)(1－x) 1 x 12－x2
(－3＋a)(－3－a) －3 a (－3)2－a2
(1＋a)(－1＋a) a 1 a2－12
(0.3x－1)(1＋0.3x) 0.3x 1 (0.3x)2－12
探究二：平方差公式的几何验证
拼一拼：
如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
(1)请表示图①中阴影部分的面积；
a2－b2.
播放PPT——动态展示图形拼接过程
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，这个长方形的长和宽分别是多少？你
能表示出它的面积吗？
长为a＋b，宽为a－b，面积为(a＋b)(a－b).
证一证：
经过以上求面积的过程，你能验证平方差公式吗？
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
追问：还有其他的几何方法解释吗？(给几分钟时间，让学生在纸上自己动手画，然后
小组展示结果，老师对结果加以点评．)
教材P18例1，课件出示，学生独立完成．
教材P18例2，课件出示，学生独立完成，老师追问并总结计算中要注意的事项
(公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式和多项式；若有不能直接应用公式的，
可以先变形再应用).
利用平方差公式进行计算：
(1)103×97；(2)118×122.
(1)103×97＝(100＋3)(100－3)＝1002－32＝10000－9＝9991.
(3)118×122＝(120－2)(120＋2)＝1202－22＝14400－4＝14396.
思考：本节课情境导入的问题你会了吗？(再次出示课件，解决问题，首尾呼应)
三、当堂检测1．计算(x＋2y)(x－2y)的结果是（ B ）
A．x2－2y2 B．x2－4y2
C．2y2－x2 D．4y2－x2
2．计算(300－1)(300＋1)的结果是（ B ）
A．89 998 B．89 999
C．89 996 D．99 991
3．如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部
分剪拼成如图②所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，可以验证的等式是（
A ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a(a－b)＝a2－ab
4．计算：
(1)(x－1)(x＋1)＝x2－1； (2)(m－n)(－m－n)＝n2－m2．
5．若x－y＝4，x＋y＝7，则x2－y2＝28．
6．计算：
(1)(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)； (2)3×2.
原式＝a2－4b2－ab＋4b2＝a2－ab.
原式＝(3＋)(3－)＝32－()2＝8.
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
本节课的学习在于调动学生的积极性，让学生从被动学习转化为主动学习，使他们在
问题情景中发现、探索、总结；经过独立思考，合作交流能证明平方差公式．掌握公式的
结构特征，能正确应用这个公式进行计算．
通过展示几何图形的拼接过程，以问题为驱动，启发学生从两种拼接方法中分别计算
出其面积，体现等面积法，从而感受平方差公式的几何背景，进一步加深对知识的理解并
学以致用，并体会数形结合这一数学思想．
