文档内容
1.2 等腰三角形 第3课时 教学设计
1.教学内容
本节选自北师大版八年级下册第一章三角形的证明及其应用 1.2《等腰三角形》第 3 课时。核心
知识点是1.等边三角形的两条判定定理①“∠A=∠B=∠C⇒AB=BC=CA”②“等腰三角形有一角
为 60∘ ⇒ 等边三角形” 2.含 30∘ 角的直角三角形性质“直角三角形中，若一锐角为 30∘，则其对边
等于斜边的一半”及比例关系 BC:AC:AB=1:√3:2。 3.反证法的一般步骤与“等角对等边”思想的
迁移应用。
2.内容解析
本节在已掌握“等腰三角形的判定”基础上，通过“等角对等边”思想的迁移，探究等边三角形
的判定，进而引出含 30∘ 角直角三角形的特殊性质。两大定理均属几何证明中的经典结论，其价值在
于：
（1）完善三角形体系，建立“等角—等边”与“角度—边长”对应关系，深化对三角形本质属性的理
解；
（2）为后续综合解题（特别是勾股定理应用、相似与比例、几何模型建构等）提供高效工具；
（3）渗透反证法与分类讨论的思想方法，发展严谨的逻辑思维。
教学实施上，先由情境问题激活旧知，引导学生自主探究、合作验证两条判定定理，再借助“拼三角
尺”实验发现并证明 30∘ 直角三角形定理，通过典型例题展示其在几何推理与实际问题中的应用，最
终构建完整的知识网络，凸显“化已知为未知”“特殊到一般”的数学思想。
1.教学目标
•能用所学的知识证明等边三角形的判定定理。
•掌握含有 30∘ 角的直角三角形的性质及其证明，并能利用这些定理解决一些简单的问题。
2.目标解析
•能口述并书写两条等边三角形判定定理。
•能借助操作或画图发现“30∘—60∘—90∘”三角形边长关系。
•能在几何、测量、实践类问题中运用“直角边等于斜边一半”的结论求解相关量。
3.重点难点
• 教学重点：等边三角形两条判定定理的证明方法与应用。
• 教学难点：正确选用“等角对等边”或反证法组织证明的思路。
学科网（北京）股份有限公司八年级学生已系统学习了三角形的性质、全等三角形判定、等腰三角形判定及反证法雏形，具
有基本的推理论证能力；但对“判定—性质”互逆关系理解不深，且在证等边、构造特殊三角形及应
用比例解决实际问题时易出现：1.不能自如提取“等角对等边”核心线索，证明步骤零散； 2.对 30∘
直角三角形性质多停留在记忆，缺少严谨证明与灵活运用；在解决含有动态、综合几何与函数问题时，
建模与运算能力不足。因此教学中需通过操作实验、对比归纳、分层练习及情境化应用，帮助学生巩
固旧知、突破难点、提升逻辑推理与模型构建能力。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).
反证法的一般步骤:
①假设: 先假设命题的结论不成立;
②归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
③结论: 由矛盾的结果判定假设不正确 ,从而肯定命题的结论正确.
2.情景引入
问题：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等
腰三角形又满足什么条件时是等边三角形呢？
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个条件：
①三个角都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
【设计意图】通过生活化的花架、三角尺情境，引发学生“为什么”的探究欲望，激活旧知。 复习
“等角对等边”和反证法，为后续定理证明奠定基础。问题驱动，明确本节课两大核心任务：等边三
角形的判定定理与含30∘角的直角三角形性质。
学科网（北京）股份有限公司探究点1：等边三角形的判定
1.尝试交流
等边三角形的判定定理的证明：
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
转化为几何语言
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
转化为几何语言
已知： AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
1
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.
2
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
【验证】第二种情况：有一个底角是60°
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证: ABC是等边三角形．
△
学科网（北京）股份有限公司证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
2.知识归纳
等边三角形的判定定理：
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C，
∴ △ABC是等边三角. 形
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
∵AB＝AC，∠A＝ 60°,
或（AB=AC，∠B=60°）
∴ △ABC等边三角形.
定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形.
∵AB＝BC＝CA，
∴ △ABC是等边三角形.
3.练一练
下列说法不正确的是 ( )
A.三边相等的三角形是等边三角形
B.三个角相等的三角形是等边三角形
C.有一个角为60°的三角形是等边三角形
D.顶角为60°的等腰三角形是等边三角形
解：C
学科网（北京）股份有限公司【设计意图】以“角—边”对应关系为线索，利用等腰判定定理推导等边判定定理，培养迁移与转化
意识。两种60°情形的对比，帮助学生完整理解定理2 的适用范围。
探究点2：含30°角的直角三角形的性质
1.尝试思考
(1)用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？你能拼成一个等边三角形吗？
解：等边三角形 等腰三角形
(2)在上述拼接过程中，你发现了什么结论？
解：如图，两个完全相同的含 30°角的三角尺，可以拼成一个等边三角形.
由此可以发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半.
2.新知探究
已知:如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.
1
求证:BC= AB.
2
证明: 如图，延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵ ∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°.
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS） .
∴ AB=AD（全等三角形的对应边相等）.
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠BAC=30°，∠ACD=90°，
∴∠B=180°-30°-90°=60°.
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，
学科网（北京）股份有限公司1 1
∴BC= BD= AB．
2 2
3.新知归纳
含30°角的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°．
1
∴BC= AB(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
2
推论：BC:AC:AB=1:√3:2.
4.练一练
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC的长为( )
A.6 B.6√2 C.6√3 D.12
解：A
5.典例分析
例1 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，ED的延长线交 BC的延长线于F，EF⊥AB，CD=CF且
∠F=30°.求证: ABC是等边三角形.
△
证明:∵CD=CF,
∴∠CDF=∠F=30°，
∵∠ACB=∠CDF+∠F=60°，
∵EF⊥AB，
∴∠F+∠B=90°，
∴∠B=60°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°，
∴∠A=∠B=∠ACB，
学科网（北京）股份有限公司∴△ABC是等边三角形.
例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高.
1
求证：CD= AB.
2
解：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°，
1
∴CD= AC(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半),
2
1
∴CD= AB.
2
【设计意图】通过操作三角尺“拼图”体验发现规律，增强直观感受。证明过程多次调用“全等—对
应边相等”和“等边判定”，巩固旧知、形成迁移。即时练习强化定理的应用，突出结论的高效性。
1．如图所示,已知△ABC,D是BC上的一点,连接AD,下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是(
)
A.AB=AC,∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD
C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
解：C
2. 如图所示，AC=BC=10 cm，∠B=15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
学科网（北京）股份有限公司解:C
3.如图，BE是等边△ABD的中线，作BC⊥AB，交AD的延长线于点C．若CE=9，则AB的长为（
）
A．8 B．4 C．5 D．6
解：D．
4.如图所示，已知∠AOB=60 ，点P在OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若
MN=2cm，则OM的长度为（ ）
∘
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
解：B
5.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,
然后套进衣服后松开即可.如图①所示,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图②,则此时
A,B两点之间的距离是____cm.
解：18
6.如图所示,一棵树在一次强台风中于离地面4 m处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前
的高度为_____m.
解：12
7.已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.
学科网（北京）股份有限公司证明：∵ AB=BC，
∴ △ABC是等腰三角形，
又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.
∴ ∠EDF=∠FDC=60°，
又∵DF∥BA，
∴ ∠FDC=∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
8.已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．
AB
求证:BD= .
4
证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°
AB
∴BC= ，∠B=60°．
2
∴∠BCD=30°，
CB
∴BD= ,
2
AB
∴BD= .
4
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=60cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在
AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，
P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
解：∵在△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
学科网（北京）股份有限公司∵AB=60cm，点P的运动速度为2cm/s，
∴0≤t≤30，
∵点P的运动时间为 t s，
∴AP=2t cm，BQ=t cm，
∴BP=60−2tcm，
当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形，
即60−2t=t，
解得：t=20；
∴当t=20时，△PBQ为等边三角形.
【设计意图】对焦本节两大核心结论——“等边三角形的判定”与“含30∘角直角三角形的性质”，配
套选择、作图、证明、应用四类题目，难度层层递进。
主板书 副板书
1.2 等腰三角形 第3课时 例题
探究点 等边三角形的判定定理
探究点 含30°角的直角三角形的性质 学生练习板演
课堂小结
1.必做题：习题1.2第8，9，13题。
2.探究性作业：习题1.2第14，15题。
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