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2021/1/13 备授课-备课页
能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 平行线的性质与判定综合
例题练习题答案
例1 【答案】A
【解析】A、∵ ∠DAC =∠BCA ，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A正确；
B、根据“ ∠DCB+∠ABC =180∘ ”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故B错
误；
C、根据“ ∠ABD=∠BDC ”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故C错误；
D、根据“ ∠BAC =∠ACD ”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故D错误；
故选：A．
练1.1 【答案】D
【解析】解：∵∠EMD=65°，∠MNB=115°，
∴∠CMN=∠EMD=65°，
∴∠CMN+∠MNB=180°，
∴AB∥DC．
故选：D．
例2 【答案】（1） ∠BCG ； 180∘ ；
∠3
（2） ；两直线平行，内错角相等；
EF//BC
（3） ；两直线平行，同位角相等．
练2.1 【答案】
151∘
【解析】∵AB//CD，
∠1=58∘
，
∠EFD=∠1=58∘
∴ ，
∵FG平分 ∠EFD ，
1 1
∠GFD= ∠EFD= ×58∘ =29∘
∴ ，
2 2
∵AB//CD，
∠FGB=180∘−∠GFD=151∘
∴ ．
151∘
故答案为 ．
例3 【答案】
110∘
练3.1 【答案】解:
∵AD//BC
∴∠DEF =∠EFB=55∘
∠GEF =∠DEF
由对称性知
∴∠GEF =55∘
∴∠GED=110∘
∴∠1=180∘−110∘ =70∘
∴∠2=∠GED=110∘
例4 【答案】BAF；两直线平行，同位角相等；
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BAF；等量代换；
等式的性质；
BAF；CAD；角的和差；
CAD；
内错角相等，两直线平行．
练4.1 【答案】角平分线定义
∠1=∠2
两直线平行,同位角相等
∠3
内错角相等,两直线平行
例5 【答案】证明：∵BE⊥FD，
∠DGE =90∘
∴ ，
∠DEG+∠D=90∘
∴ ，
∵AE∥DF，
∠1=∠D
∴ ，
∠B+∠1=90∘
∵ ，
∠B=∠DEG
∴ ，
∴AB∥CD．
∠DEG+∠D=90∘ ∠1=∠D
【解析】根据三角形内角和定理求出 ，根据平行线的性质求出 ，
∠B=∠DEG
推出 ，根据平行线的判定推出即可．
练5.1 【答案】证明：∵AB∥EF
∠2+∠1+∠ABD=180∘
∴
∠1+∠2=∠3
又∵
∠3+∠ABD=180∘
∴
∴CD∥AB
又∵AB∥EF
∴EF∥CD
例6 【答案】已知；
两直线平行，内错角相等；
已知；
等式的性质；
∠GEB；角的和差；
BF；内错角相等，两直线平行；
两直线平行，内错角相等．
练6.1 【答案】（1）∵
∠A=180∘−∠ABC
，
∴AD∥BC.
（2）∵AD∥BC，
∠1=∠DBC =42∘
∴ ，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∠BDC =∠EFC =90∘
∴ ，
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∴BD∥EF，
∠2=∠DBC =42∘
∴ .
能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 平行线的性质与判定综合
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】B
5 【答案】D
6 【答案】A
7 【答案】D
8 【答案】B
9 【答案】对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；
AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
∠1=∠2
【解析】∵ （已知）
∠2=∠DGF
（对顶角相等）
∠1=∠DGF
∴ （ 等量代换 ）
∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）
∠3+∠C =180∘
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
∠3=∠4
又∵ （已知）
∠4+∠C =180∘
∴
∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）
∠A=∠F
∴ （两直线平行，内错角相等）；
故答案为：对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角
互补；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
10 【答案】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，
∴
∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义），
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴
∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等），
∵
∠1=∠2，
∴
∠1=∠DCA，
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
【解析】推出DG∥AC，根据平行线性质得出 ∠2=∠ACD，求出 ∠1=∠DCA，根据平行线
判定推出即可．
能力强化 / 初一 / 春季
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第 1 讲 平行线的性质与判定综合
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】
25∘
3 【答案】D
【解析】如图，
过三角板上顶点作m的平行线l，
则∠α=∠3+∠4，
∴∠4=∠α-∠3=120°﹣45°=75°
又∵m∥n，m∥l，
∠1=∠2=∠4=75∘
∴ ，
∴∠β=∠1=75°．
故选：D．
4 【答案】对顶角相等；已知；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
5 【答案】内错角相等，两直线平行；
两直线平行，内错角相等；
角平分线的定义；
等量代换.
能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 平行线的性质与判定综合
精选精练
1 【答案】证明：如图，根据光的入射角等于反射角，知
∠1=45∘
，
∠2=45∘
，
∠3=∠4=90∘
∴ ，
∴a∥b．
∠1=45∘ ∠2=45∘ ∠3=∠4=90∘
【解析】根据光的入射角等于反射角可推出 ， ，然后求出 ，
再根据内错角相等，两直线平行证明即可．
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2 【答案】解：BD∥CF，AD∥BF.
以下证明：如图，
∠ABD=∠ACF
∵ ,
∴BD∥CF.
记BF与CD交点为E，过点E作EG//FC交BC于点G，
∠FCD=20∘ ∠F =60∘
∵ ， ，
∴∠CEG=20°，∠BEG=60°，
∠BEC =20∘+60∘ =80∘
∴ .
∠ADC =80∘
又∵ ,
∠BEC =∠ADC
∴ ,
∴AD∥BF.
【解析】先根据同位角相等，得出BD∥CF，再根据同位角相等，得出AD∥BF．
3 【答案】
128∘
DC
【解析】解：延长 ，
∠ABC =∠BCE =∠BCA=26∘
由题意可得： ，
∠ACD=180∘−26∘−26∘ =128∘
则 ．
128∘
故答案为： ．
4 【答案】（1）100，90．
（2）90，90．
（3）90，
理由：
因为∠3＝90°，
所以∠4+∠5＝90°，
∠1=∠4 ∠5=∠6
又由题意知 ， ，
∠2+∠7=180∘−(∠5+∠6)+180∘−(∠1+∠4)
所以
=360∘−2∠4−2∠5
=360∘−2(∠4+∠5)
=180∘
．
由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．
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5 【答案】
32∘
DE BC F
【解析】解：如图，延长 交 于 ．
∵AB//EF
，
∴∠ABC =∠BFD=72∘
，
∴∠CFD=108∘
，
∵∠CDE =∠BCD+∠CFD
，
∴∠BCD=140∘−108∘ =32∘
，
32∘
故答案为 ．
6 【答案】（1）OB∥AC
证明：∵BC∥OA，
∠B+∠O =180∘
∴ ，
∠O =180∘−∠B=80∘
∴ ，
∠A=100∘
而 ，
∠A+∠O =180∘
∴ ，
∴OB∥AC；
（2）解：∵OE平分 ∠BOF ，
∠BOE =∠FOE
∴ ，
∠FOC =∠AOC
而 ，
1 1
∴∠EOC =∠EOF +∠COF = ∠AOB= ×80∘ =40∘
；
2 2
∠OFB=2∠OCB
（3）结论为： ；
∵BC∥OA，
∠OCB=∠AOC ∠OFB=∠AOF
∴ ， ，
∠FOC =∠AOC
∵ ，
∠AOF =2∠AOC
∴ ，
∠OFB=2∠OCB
∴ ．
能力强化 / 初一 / 春季
第 2 讲 平行线模型
例题练习题答案
例1 【答案】C
练1.1 【答案】B
例2 【答案】B
练2.1 【答案】C
例3 【答案】解：（1） ∠2=∠1+∠3 ．
E EF//AB
理由：过点 作 ，
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∵AB//CD
，
∴AB//CD//EF
，
∴∠BEF =∠1 ∠CEF =∠3
， ，
∴∠2=∠BEF +∠CEF =∠1+∠3
；
∠2+∠4=∠1+∠3+∠5
（2） ．
E G M EF//AB GH//AB MN//AB
理由：分别过点 ， ， ，作 ， ， ，
∵AB//CD
，
∴AB//CD//EF//GH//MN
，
∴∠1=∠BEF ∠FEG=∠EGH ∠HGM =∠GMN ∠CMN =∠5
， ， ， ，
∴∠2+∠4=∠BEF +∠FEG+∠GMN +∠CMN
=∠1+∠EGH +∠MGH +∠5
=∠1+∠3+∠5
∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7
（3） ．
E G M K P EF//AB GH//AB MN//AB
理由：分别过点 ， ， ， ， ，作 ， ， ，
KL//AB PQ//AB
， ，
∵AB//CD
，
∴AB//CD//EF//GH//MN//KL//PQ
，
∴∠1=∠BEF ∠FEG=∠EGH ∠HGM =∠GMN ∠KMN =∠LKM
， ， ， ，
∠LKP =∠KPQ ∠QPC =∠7
， ，
∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7
．
结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．
练3.1 【答案】A
【解析】解：过E作EM∥AB，过F作FH∥AB，过G作GN∥AB，
∵AB∥CD，
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∴AB∥EM∥GN∥CD∥FH，
∴∠B=∠BEM，∠FEM=∠HFE，∠HFG=∠FGN，∠D=∠NGD，
∴∠B+∠EFH+∠HFG+∠D=∠BEM+∠MEF+∠FGN+∠NGD，
∴∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠FGD，
故选：A．
例4 【答案】
60∘
练4.1 【答案】C
例5 【答案】（1）180；360；540；720；
以图2为例：
A A P //A M
过 2作 2 1
∵A N //A M
3 1
∴A N //A P
3 2
∴∠1+∠A =180∘ ∠2+∠A =180∘
1 ； 3
∴ 360∘
三个角和为
180(n−1)
（2） ．
练5.1 【答案】解：（1）∵AB∥CD，
∠A+∠C =180∘
∴
（2）如图（2），过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∠A+∠APE =180∘ ∠C +∠CPE =180∘
∴ ， ，
∠A+∠APC +∠C =180∘+180∘ =360∘
∴ ；
（3）如图（3），过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥CD∥FH，
∠A+∠AEG=180∘ ∠GEF +∠HFE =180∘ ∠HFC +∠C =180∘
∴ ， ， ，
∠A+∠AEF +∠EFC +∠C =180∘×3=540∘
∴ ．
例6 【答案】解：过 C 作 CF//DE ．
∵CF//DE
（作图）
AB//DE
（已知）
∴AB//DE//CF
（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠BCF =∠B=80∘
（两直线平行，内错角相等）
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∠DCF +∠D=180∘
（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠D=140∘
又 （已知）
∴∠DCF =40∘
（等量代换）
∵∠BCD=∠BCF −∠DCF
又 （角的和差定义）
∴∠BCD=80∘−40∘
（等量代换）
∠BCD=40∘
即 ．
练6.1 【答案】（1）若 ∠E =60∘ ，则 ∠F =90∘ ；
（2）分别过点E，F作 EM //AB ， FN //AB
EM //AB//FN
∴
∠B=∠BEM =30∘ ∠MEF =∠EFN
∴ ，
AB//CD AB//FN
又∵ ，
CD//FN
∴
∠D+∠DFN =180∘
∴
∠D=120∘
又∵
∠DFN =60∘
∴
∠BEF =∠MEF +30∘ ∠EFD=∠EFN +60∘
∴ ，
∠EFD=∠MEF+60∘
∴
∠EFD=∠BEF +30∘
∴
能力强化 / 初一 / 春季
第 2 讲 平行线模型
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∠ABE =∠BEF ∠D=∠FED
∴ ， ，
∠BED=∠B+∠D=23∘+42∘ =65∘
∴ ．
故选：C．
2 【答案】C
3 【答案】A
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4 【答案】解：如图2，过点 P 作直线 c 平行于直线 a ，
∵a//c
（已知）
∴∠1=∠3
∵a//b
又 （已知）
∴c//b
（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠2=∠4
，
∴∠1+∠2=∠3+∠4
（等式性质）
∠3+∠4=∠APB=100∘
而 （已知）
∴∠1+∠2=100∘
（等量代换）
∵∠1=55∘
∴∠2=100∘−55∘ =45∘
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】D
8 【答案】B
9 【答案】C
10 【答案】解：
（1）如图①，过点E作EF∥AB，
∵AB//CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠A=∠AEF ∠C =∠CEF
，
∴∠A+∠C =∠AEC
E EF//AB
（2）如图②，过点 作
∵AB//EF
∴∠A+∠AEF =180∘
①
∵AB//CD
∴CD//EF
∴∠C +∠CEF =180∘
②
∴ + ∠A+∠AEF +∠C +∠CEF =360∘
① ②得
∵∠AEF +∠CEF =∠AEC
∴∠A+∠E+∠C =360∘
E F G EH//AB//FM//GN
（3）如图③，分别过点 、点 、点 作
∵EH//AB//FM//GN
∴∠A+∠AEH =180∘
①
∠HEF +∠NGF =∠EFG=28∘
②
∠NGC +∠C =180∘
③
①+②+③得
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∠A+∠AEH+∠HEF +∠NGF+∠NGC +∠C
=∠A+∠AEF +∠FGC +∠C
=180∘+28∘+180∘ =388∘
∠A+∠E+∠G+∠C=388∘
∴
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第 2 讲 平行线模型
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】解：（1）当点M在线段EF左边时， ∠EMF =∠AEM +∠MFC ．
M MP//AB
证明：过点 作 ．
∵AB//CD
，
∴MP//CD
．
∴∠4=∠3
．
∵MP//AB
，
∴∠1=∠2
．
∵∠EMF =∠2+∠3
，
∴∠EMF =∠1+∠4
．
∴∠EMF =∠AEM +∠MFC
；
当点M在线段EF右边时， ∠AEM +∠EMF +∠MFC =360∘ ．
M MQ//AB
证明：过点 作 ．
∵AB//CD
，
∴MQ//CD
．
∴∠CFM +∠1=180∘
；
∵MQ//AB
，
∴∠AEM +∠2=180∘
．
∴∠CFM +∠1+∠AEM +∠2=360∘
．
∵∠EMF =∠1+∠2
，
∴∠AEM +∠EMF +∠MFC =360∘
；
∠EMN +∠MNF −∠AEM −∠NFC=180∘
（2）如图2第一个图： ；
∠EMN −∠MNF +∠AEM +∠NFC =180∘
如图2第二个图： ．
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4 【答案】D
5 【答案】
12∘
能力强化 / 初一 / 春季
第 2 讲 平行线模型
精选精练
1 【答案】证明：如图，作EM∥AB，FN∥AB，则AB∥EM∥FN∥CD
∠1=∠3 ∠2=∠4 ∠EFN=∠FEM
∴ ， ，
∠1=∠2
∵
∠DFE=∠AEF
∴
2 【答案】（2）如图2所示，猜想： ∠EGF =90∘ ；
∠EGF =∠BEG+∠GFD
证明：由结论（1）得 ，
∵EG FG ∠BEF ∠EFD
、 分别平分 和 ，
∴∠BEF =2∠BEG ∠EFD=2∠GFD
， ，
∵BE//CF
，
∴∠BEF +∠EFD=180∘
，
∴2∠BEG+2∠GFD=180∘
，
∴∠BEG+∠GFD=90∘
，
∵∠EGF =∠BEG+∠GFD
，
∴∠EGF =90∘
；
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G G H//AB
（3）证明：如图3，过点 1作 1 ，
∵AB//CD ∴G H//CD
， 1 ，
∠G =∠1+∠3 ∠EG F =∠BEG +∠G FD
由结论（1）可得 2 ， 1 1 1 ，
∴∠3=∠G FD
2 ，
∵FG ∠EFD
2平分 ，
∴∠4=∠G FD
2 ，
∵∠1=∠2
，
∴∠G =∠2+∠4
2 ，
∵∠EG F =∠BEG +∠G FD
1 1 1 ，
∴∠EG F +∠G =∠2+∠4+∠BEG +∠G FD
1 2 1 1
=∠BEF +∠EFD
，
∵AB//CD
，
∴∠BEF +∠EFD=180∘
，
∴∠EG F +∠G =180∘
1 2 ．
3 【答案】（1） ∵ EB//FC ，∴ ∠B+∠C =180∘ ；
（2） 如图，过点A作 AG//EB ， 已 知 FC //EB ， ∴ AG//CF ， 则
∠BAG=∠B ∠CAG=∠C
， ，
∠BAG+∠CAG=∠B+∠C ∠A=∠B+∠C
∴ ，即 ；
（3） 如图，过点A作AG//EB ，已知FC //EB ，∴AG//CF，
则∠B+∠BAG=180∘ ，∠C +∠CAG=180∘ ，
∴∠B+∠BAG+∠C +∠CAG=180∘+180∘ ，
即∠A+∠B+∠C =360∘ ；
（4） 如图，过点A作AG//EB ， 已 知 FC //EB ， ∴AG//CF ， 则
∠GAC =∠C，∠GAB=∠B，
又∵∠GAC =∠BAC +∠GAB，∴∠C =∠A+∠B；
（5） 如图，过点A作 AG//CF ， 已 知 FC //EB ， ∴ AG//BE ， 则
∠BAG=∠B ∠CAG=∠C
， ，
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∠BAG=∠BAC +∠CAG ∠B=∠A+∠C
又∵ ，∴
4 【答案】（1）如图1，过B作 BM //AD ，则 ∠DAB+∠ABM =180∘ ，
∠DAB+∠ABC +∠BCE =360∘
∵ ，
∠MBC +∠BCE =180∘ BM //CE BM //AD//CE
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）如图2，过B作 BM //AD ，过F作 FN //AD ，
AD//CE
∵已证 ，
BM //FN //AD//CE
∴ ，
∠FAH =∠AFN ∠FCG=∠CFN ∠BAH =∠ABM
∴ ， ， ，
∠MBC =∠GCB
，
∠ABC =∠ABM +∠CBM =∠BAH +∠BCG
∴ ，
∠AFC =∠AFN +∠CFN =∠FAH +∠FCG
，
∵ ∠BCF =∠BCG ，CF与 ∠BAH 的平分线交于点F，
1
∠FCG=2∠BCG ∠AFN = ∠BAH
∴ ， ，
2
1
∴∠AFC =2∠BCG+ ∠BAH，
2
2∠ABC −∠AFC =2(∠BCG+∠BAH)−
∴
1 3
(2∠BCG+ ∠BAH)= ∠BAH =90∘
2 2
∠BAH =60∘
∴ ；
（3）②正确
∠APQ=∠HAP +∠GQP
证明：如图3，由（1）（2）证明可知 ，
∵QR平分 ∠PQG ， PN平分∠APQ， PM //QR ，
1 1
∠NPQ= ∠APQ ∠MPQ=∠RQP = ∠PQG
∴ ， ，
2 2
∠NPM =∠NPQ−∠MPQ
∴
1 1 1
= ∠APQ− ∠PQG= ∠HAP
，
2 2 2
∵点P是AB上一点，
∠HAP =∠BAH =60∘
∴ ，
1
∴∠NPM = ∠BAH =30∘ ，即②正确；
2
3
∠APQ+∠NPM = ∠BAH +∠PQG
∴
2
=90∘+∠PQG ∠PQG
，值随 的变化而变化，即①不正确．
5 【答案】B
6 【答案】B
能力强化 / 初一 / 春季
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第 3 讲 平行线的综合探究
例题练习题答案
例1 【答案】如果两个角是等角的补角,那么它们相等
练1.1 【答案】两条直线被第三条直线所截
同位角相等
例2 【答案】A
练2.1 【答案】D
例3 【答案】C
练3.1 【答案】C
2×(2−1)
【解析】 =1
∵平面内不同的两点确定1条直线，可表示为： ；
2
3×(3−1)
=3
平面内不同的三点最多确定3条直线，可表示为： ；
2
4×(4−1)
=6
平面内不同的四点最多确定6条直线，可表示为： ；以此类推，可得：
2
n(n−1)
平面内不同的n点最多可 确 定 (n≥2) 条 直 线 ． 由 已 知 可 得 ：
2
n(n−1)
=15
．
2
n=−5 n=6
解得 （舍去）或 ．
故选：C．
例4 (1)【答案】C
(2)【答案】B
【解析】邻补角有：∠AOC与∠AOD，∠AOD与∠BOD，∠BOD与∠BOC，∠BOE与∠AOE，
∠BOC与∠AOC，∠COE与∠DOE．所以共6对．
练4.1 【答案】A
例5 【答案】32；16；16
练5.1 【答案】3
例6 【答案】证明：（1）如图1， ∵∠EMN =∠MNF =b ，
∴EM//NF
，
∵∠AEM =∠NFD=a a=b
，且 ，
∴∠AEM =∠EMN =∠MNF =∠NFD
，
∴AB//MN MN//CD
， ，
∴AB//CD
，
FN AB G
（2）①如图2，延长 交 于 ，
∵ME//FN
，
∴∠AEM =∠AGF
，
∵∠AEM =∠NFD
，
∴∠AGF =∠NFD
，
∴AG//CD
，
AB//CD
即 ；
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EI CD G
②如图3，延长 交 于 ，
1 1
∵∠AEM =a ∠PEM = ∠AEM = a
， ，
2 2
1 3
∴∠PEB=180∘−∠AEP =180∘−a− a=180∘− a
，
2 2
∵EI ∠PEB
平分 ，
1 1 3 3
∴∠BED= ∠PEB= (180∘− a)=90∘− a
，
2 2 2 4
∵FI ∠NFD ∠NFD=a
平分 ， ，
1
∴∠DFI = a
，
2
∵AB//CD
，
3
∴∠BED=∠IGF =90∘− a
，
4
1 3
ΔFIG ∠EIF =∠GFI +∠IGF = a+90∘− a
中， ，
2 4
1
∵∠MNP = ∠FNP ∠MNF =b
， ，
2
1 1
∴∠MNP = ∠MNF = b
，
3 3
ΔEMQ ΔPQN ∵∠M +∠MEQ=∠P +∠PNQ
在 和 中， ，
1 1
∴b+ a=∠P + b
，
2 3
1 1
∴∠P =b+ a− b
，
2 3
∵∠P =∠EIF
，
1 1 1 3
∴b+ a− b= a+90∘− a
，
2 3 2 4
12b+6a−4b=6a+1080−9a
，
8b=1080−9a
，
9a=1080−8b
，
1080−8b
a=
；
9
1080−8b
a=
故答案为： ．
9
练6.1 【答案】解：（1）∵BE⊥DE，
∴RtΔBDE中，∠BDE+∠DBE =90∘ ，
又∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD+∠CDB=2(∠BDE+∠DBE)=180∘
，
∴AB//CD；
（2）如图，∵∠ABE :∠EBF =3:2，BE平分∠ABD，
∴ ∠ABE =∠DBE =3α ∠EBF =2α ∠DBF =α
可设 ，则 ， ，
∵ΔBDF ∠DFB=150∘
中， ，
∴∠BDF =180∘−150∘−α=30∘−α
，
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∵RtΔBDE ∠E =90∘
中， ，
∴∠BDE =90∘−3α
，
∴∠BDE =3∠BDF
，
∵DE ∠BDC
又 平分 ，
∴∠EDC =∠BDE =3∠BDF
；
∵DK ∠BDH DE ∠BDC
（3）如图， 平分 ， 平分 ，
1 1
∴∠BDK = ∠BDH ∠BDE = ∠BDC
， ，
2 2
1 1 1
∴∠EDK =∠BDE−∠BDK = ∠BDC − ∠BDH = (∠BDC −∠BDH
2 2 2
∵AB//CD
又 ，
∴∠CDH =∠BHD
，
1
∴∠EDK = ∠DHB
．
2
1
∠EDK = ∠DHB
故答案为： ．
2
能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 平行线的综合探究
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线．
故选：D．
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】C
5 【答案】D
6 【答案】C
【解析】与∠1互为同旁内角的是：∠CAB、∠2、∠EAB，共3个．
7 【答案】（1）6
（2）12
n(n−1)
（3）
【解析】三条直线相交，单个角组成的对顶角有3对，两个角合在一起看成一个角组成的对顶角有3
对，两种情况加在一起即可；
四条直线相交，单个角组成的对顶角有4对，两个角合在一起看成一个角组成的对顶角有4
对，三个角和在一起看成一个角组成的对顶角有4对，三种情况加在一起即可；
n条直线相交，单个角组成的对顶角有n对，两个角和在一起看成一个角组成的对顶角有n
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对，… (n−1) 个角合在一起看成一个角组成的对顶角有n对， (n−1) 种情况加在一起即
可．
8 【答案】（1） 6
16
（2）
2n2+4n
（3）
9 【答案】（1）证明： ∵BC//OA ，
∴∠C +∠COA=180∘ ∠BAO+∠ABC =180∘
， ，
∵∠C =∠BAO =100∘
，
∴∠COA=∠ABC =80∘
，
∴∠COA+∠OAB=180∘
，
∴OC//AB
．
∵∠AOB=∠EOB=30∘ ∠AOC =80∘
（2）①. ， ，
∴∠COE =80∘−60∘ =20∘ ∠COB=80∘−30∘ =50∘
， ，
∵OF ∠COB
平分 ，
1
∴∠COF = ∠COB=25∘
，
2
∴∠EOF =25∘−20∘ =5∘
∠EOF =x ∠BOC =6x ∠BOF =3x
② . 如 图 ② 中 ， 设 ， 则 ， ，
∠BOE =∠AOB=4x
，
∵∠AOB+∠BOC +∠OCB=180∘
，
∴4x+6x+100∘ =180∘
，
∴x=8∘
，
∴∠ABO =∠BOC =6x=48∘
．
∠EOF =x ∠BOC =6x ∠BOF =3x
如 图 ③ 中 ， 设 ， 则 ， ，
∠BOE =∠AOB=2x
，
∵∠AOB+∠BOC +∠OCB=180∘
，
∴2x+6x+100∘ =180∘
，
∴x=10∘
，
∴∠ABO =∠BOC =6x=60∘
．
∠ABO 48∘ 60∘
综上所述，满足条件的 为 或 ．
10 【答案】（1）证明：过点 B 作 BM//AD ，
∴∠DAB+∠ABM =180∘
，
∵∠DAB+∠ABC +∠BCE =360∘
，
∴∠MBC +∠BCE =180∘
，
∴BM//CE
，
∴AD//CE
；
∠BAF =x∘ ∠BCF =y∘
（2）解：设 ， ，
∵∠BCF =∠BCG CF ∠BAH F
， 与 的平分线交于点 ，
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∴∠HAF =∠BAF =x∘ ∠BCG=∠BCF =x∘ ∠BAH =2x∘
， ， ，
∠GCF =2y∘
，
B BM//AD F FN//AD
过点 作 ，过点 作 ，
∵AD//CE
，
∴AD//FN//BM//CE
，
∴∠AFN =∠HAF =x∘ ∠CFN =∠GCF =2y∘
， ，
∠ABM =∠BAH =2x∘ ∠CBM =∠GCB=y∘
， ，
∴∠AFC =(x+2y)∘ ∠ABC =(2x+y)∘
， ，
∵∠F 2∠B
的余角等于 的补角，
∴90−(x+2y)=180−2(2x+y)
，
x=30
解得： ，
∴∠BAH =60∘
．
能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 平行线的综合探究
课堂落实答案
1 【答案】假
【解析】
2 【答案】D
3 【答案】C
A ∠1 ∠4
【解析】解： 、 和 是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；
B ∠2 ∠4
、 和 是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；
C ∠3 ∠4
、 和 是同旁内角，故本选项正确；
D ∠4 ∠5
、 和 是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误；
C
故选： ．
4 【答案】C
【解析】根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点，
故这三条直线的交点个数为2．
故选：C．
5 【答案】解 ： （ 1 ） ∵BD 平 分 ∠ABC ， ∴ ∠ABD=∠DBC ， ∵ ∠DBC =∠D ， ∴
∠ABD=∠D ，∴CD∥AB；
（2）CD是∠ACE的角平分线．理由如下：∵CD∥AB，∴ ∠DCE =∠ABE ，
∠ACD=∠A ，∵ ∠A=∠ABE ，∴ ∠ACD=∠DCE ，即CD是∠ACE的角平分线．
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能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 平行线的综合探究
精选精练
1 【答案】 1) 命题的条件是“ a2 =b2 ”，结论是“ a=b ”，逆命题是“如果 a=b ，那么
a2 =b2
”，逆命题为真；
2)
命题的条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”，逆命题是“如果同位角相等，
那么这两直线平行”，逆命题为真．
2 【答案】 ∠ACD , ∠ACE ; ∠DCE , ∠ACE ; ∠A , ∠B
3 【答案】解：一条直线把一个平面分成2部分，
两条直线可以把一个平面分成4部分，
三条直线可以把一个平面分成7部分，
四条直线可以把一个平面分成11部分，
…
，
a =2 a =4 a =7 a =11 …
设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ，
a −a =2
则 2 1 ，
a −a =3
3 2 ，
a −a =4
4 3 ，
a −a =5
5 4 ，
…
，
a −a =n
n n−1 ，
所 以 ，
n(n+
a =2+2+3+4+5+…+n=1+1+2+3+4+5+…+n=
n 2
n(n+1)
n +1
故， 条直线可以把一个平面分成 部分．
2
4 【答案】解：（1）有6对对顶角，12对邻补角；
（2）有12对对顶角，24对邻补角；
m m(m−1) 2m(m−1)
（3）有 条直线时，有 对对顶角， 对邻补角.
5 【答案】解：（1）图1中：有2对同旁内角；图2中：有8对同旁内角；
图3中：有18对同旁内角；图4中：有32对同旁内角；
n(n 2n2
（2）图 是正整数）中有 对同旁内角．
6 (1)【答案】∵AM∥BN，∴ ∠ACB=∠CBN ；
故答案为：CBN；
(2)【答案】∵AM∥BN，
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∠ABN +∠A=180∘
∴ ，
∠A=60∘
∵ ，
∠ABN =120∘
∴ ，
∠ABP +∠PBN =120∘
∴ ，
∵BC平分 ∠ABP ，BD平分 ∠PBN ，
∠ABP =2∠CBP ∠PBN =2∠PBD
∴ 、 ，（ 角平分线的定义）
2∠CBP +2∠DBP =120∘
∴ ，
∠CBD=∠CBP +∠DBP =60∘
∴ ，
120∘ 2∠PBD 60∘
故答案为： ； ；角平分线的定义； ；
∠APB:∠ADB=2:1
(3)【答案】不变， ．
∵AM∥BN，
∠APB=∠PBN ∠ADB=∠DBN
∴ ， ，
∵BD平分 ∠PBN ，
∠PBN =2∠DBN
∴ ，
∠APB:∠ADB=2:1
∴ ；
【解析】由AM∥BN得 ∠APB=∠PBN 、 ∠ADB=∠DBN ，根据BD平分 ∠PBN 知
∠PBN =2∠DBN ∠APB:∠ADB=2:1
，从而可得 ；
(4)【答案】∵AM∥BN，
∠ACB=∠CBN
∴ ，
∠ACB=∠ABD ∠CBN =∠ABD
当 时，则有 ，
∠ABC +∠CBD=∠CBD+∠DBN
∴ ，
∠ABC =∠DBN
∴ ，
∠ABN =120∘ ∠CBD=60∘
由（1）可知 ， ，
∠ABC +∠DBN =60∘
∴ ，
∠ABC =30∘
∴ ，
30∘
故答案为： ．
能力强化 / 初一 / 春季
第 4 讲 实数化简与运算
例题练习题答案
例1 (1)【答案】C
−−−−−−−−−
(2)【答案】①∵√x+2y−7+|x−1|=0
，
x−1=0 x+2y−7=0 x=1 y =3
∴ ， ，解得： ， ．
x+y =1+3=4
② ．
±2
∵4的平方根为 ，
x+y ±2
∴ 的平方根为 ．
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3a−2≥0
(3)【答案】由算术平方根的非负性可得 { ，
2−3a≥0
2
3a−2=0 a=
∴ ，
3
1 1
b=2 + =2
∴ ， ，
a b
−−−−−−
1 1 –
±√ + =±√2
∴
a b
练1.1 (1)【答案】C
(2)【答案】C
(3)【答案】C
5
例2 (1)【答案】3，
2
(2)【答案】2，2
3
(3)【答案】-2，
2
练2.1 【答案】-3
例3 【答案】A
练3.1 【答案】D
例4 【答案】19
–
练4.1 【答案】2+√7
–
例5 【答案】（1）-0.8（2）√3
–
练5.1 【答案】（1）1（2）√3−1
例6 【答案】①24.77；②0.006137
−−−−
【解析】①∵√6.137≈2.477，
−−−−
∴√613.7≈24.77；
②若√3 − 6 − .1 − 3 − 7≈1.8308，且√3 − x − ≈0.18308，
则x=0.006137，
故答案为：①24.77；②0.006137
练6.1 【答案】503.6
能力强化 / 初一 / 春季
第 4 讲 实数化简与运算
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】B
−−−−−−−−
【解析】解：∵ √(2a−1)2 =1−2a，
∴1−2a≥0，
1
a≤
解得 ．
2
故选：B．
3 【答案】D
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4 【答案】B
±3
【解析】∵9的平方根是 ，∴①错误；
−− −−
√16 =4 √16 ±2
∵ ，∴ 的平方根是 ，∴②正确；
−0.003
∵ 有立方根，是一个负的立方根，∴③错误；
−−
√327 =3
∵27的立方根只有一个，是 ，∴④错误；
∵0的平方根是0，0的算术平方根也是0，
∴0的平方根等于0的算术平方根，∴⑤正确；
即正确命题的个数是2，
故选：B．
5 【答案】B
−−−−−
√(−2)2
【解析】解：A、 =2，故A错误；
−−−−−
√3(−2)3
B、 =-2，故B正确；
−−−−−
√(±2)2
C、 =2，故C错误；
−−
√323
D、 =2，故D错误．
故选：B．
6 【答案】C
(√2 – )0 √38 – √9 – −0.333… 3.1415
【解析】 ， ，0， ， ， 是有理数，
√34 – 0.010010001… π √5 –
， ， ， 是无理数，
2
故选：C．
7 【答案】B
2 3
8 【答案】解：（1）原式 =9× +8×
3 4
=6+6
=12
；
=4+3−4
（2）原式
=3
．
– –
9 【答案】解： ∵2<√7<3 ， ∴7<5+√7<8 ，
– –
∴m=7 a=5+√7−7=−2+√7
， ，
–
∵2<5−√7<3
– –
∴n=2 b=5−√7−2=3−√7
， ，
∴(a+b)2015−mn=(−2+√7 – +3−√7 – )2015−7×2
=1−14
=−13
．
10 【答案】（1） 0.04 ； 0.4 ；4；40；
84.85 0.02683
（2）① ； ；②3800；
−−
（3）当
a=0 时，√a =a
；
−−
当
0a
；
−−
当
a=1 时，√a =a
；
−−
当
a>1 时，√a 0
解：∵ ，
∴x、y同号，
x、y都是负数时， (x,y) 在第三象限，
x、y都是正数时， (x,y) 在第一象限，
P (x,y)
所以，点 在第一象限或第三象限．
故选：B．
练2.1 【答案】D
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例3 【答案】5，3
(−3,5)
【解析】∵点的坐标为 ，
∴点到x轴的距离等于其纵坐标5的绝对值，即为5；
点到y轴的距离等于其横坐标 −3 的绝对值，即为3．
所以答案分别填5，3．
练3.1 【答案】D
例4 【答案】C
练4.1 【答案】C
【解析】∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标等于0，
又∵点P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标是 ±2 ，
故点P的坐标为 (2,0) 或 (−2,0) ．
故选：C．
例5 (1)【答案】 (−1,1)
(−1,2)
(6,−6)
(2)【答案】
(1,2)
(3)【答案】
(4)【答案】2
A (8,4) B (9,0) C (6,−1)
(5)【答案】由平移易知 1 ， 1 ， 1 ，在平面直角坐标系中顺次连接各点即
可．
练5.1 (1)【答案】点D、E如图所示， D(−3,−1) ， E(3,−1) ；
【解析】根据平移条件作出点D、E即可解决问题；
ΔDEC
(2)【答案】 如图所示，
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157928&lessonIds=1127830888,1127830889,1127830890,1127830891,1127830… 26/812021/1/13 备授课-备课页
【解析】连接CD、DE、EC即可；
例6 (1)【答案】15
(2)【答案】10
如图建立坐标系，则 A(0,2) ， B(4,0) ， C(2,6) ，如图作矩形BEDO，
S =S −S −S −S
ΔABC BEDO ΔAOB ΔDCA ΔBCE
1 1 1
=4×6− ×2×4− ×2×4− ×2×6
2 2 2
=24−4−4−6
=10
1
(3)【答案】(±6,0)
提示，
S
ΔABC
=
2
AB⋅|x
C
|
练6.1 (1)【答案】解: A(−1,2) , B(−2,−1) , C(2,−1) ;
(2)【答案】画图如下:
ABCD =4×3=12
四边形 的面积 .
例7 【答案】 P 2 (1,−1)
P (1,1)
7
P (1,−3)
100
【解析】按照题目要求操作下去，
P (1,1) P P
可知 7 ，即 7和 1重合，
P P
且 7的下一步操作和 1的下一步操作一样，
6 100 6 4
所以周期为 ， / 余 ，
P P
∴ 100和 4的坐标相同．
练7.1 【答案】B
能力强化 / 初一 / 春季
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第 5 讲 平面直角坐标系
自我巩固答案
1 (1)【答案】（1）∵点P（ 3m−6 ， m+1 ）在y轴上，
3m−6=0
∴ ，
m=2
解得 ，
m+1=2+1=3
∴ ，
∴点P的坐标为（0，3）；
(2)【答案】（2）点P（ 3m−6 ， m+1 ）在x轴上，
m+1=0
∴ ，
m=−1
解得 ，
3m−6=−9
∴ ，
∴点P的坐标为（ −9 ，0）；
(3)【答案】（3）∵点P（ 3m−6 ， m+1 ）的纵坐标比横坐标大5，
m+1=3m−6+5
∴ ，
m=1
解得 ，
3m−6=−3
∴ ，
m+1=2
，
点P的坐标为（ −3 ，2）；
(4)【答案】∵点P在过点 A(−1,2) ，且与x轴平行的直线上．
m+1=2
∴ ,
m=1
∴ ,
3m−6=−3
∴ ,
P (−3,2)
∴ .
2 【答案】A
【解析】解：如图所示：
在新坐标系中原来的点A的坐标是 (1+3,−1−5) ，即 (4,−6) ，
故选：A．
3 【答案】B
4 【答案】D
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5 【答案】D
(−3,2) (2,2) (2,2)
【解析】在坐标系中，点 先向右平移5个单位得 ，再把 向下平移3个单位后的坐
标为 (2,−1) ，则A点的坐标为 (2,−1) ．
故选：D．
6 (1)【答案】解:如图,
S =S −S −S
(2)【答案】如图所示, △ABC 梯形ADEC △ABD △BCE
1 1 1
= ×(1+4)×5− ×1×4− ×1×4
2 2 2
=12.5−2−2
=8.5
,
△ABC 8.5
答: 的面积为 .
7 【答案】解：（1） A 1 (−3,5) ， B 1 (0,6) ， C 1 (−1,4) ；
（2）△ABC的面积
1 1 1
=3×2− ×1×2− ×1×2− ×1×3
2 2 2
=6−1−1−1.5
=6−3.5
=2.5
．
8 【答案】解：（1）如图所示：
1 1 1
S 3×4− ×3×2− ×4×1− ×2×2
ΔABO＝
2 2 2
＝5；
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A′(2,0) B′(4,−2) O′(0,−3)
（2） ， ， ．
9 【答案】A
P n
【解析】解：由题中规律可得出如下结论：设点 m的横坐标的绝对值是 ，
y 4(n−1) 4n−3
则在 轴右侧的点的下标分别是 和 ，
y 4n−2 4n−1
在 轴左侧的点的下标是： 和 ；
P 2016=4(n−1) 2016=4n−3 2016=4n−2
判断 2016的坐标，就是看 和 和 和
2016=4n−1
这四个式子中第一个有整数解，从而判断出点的横坐标，
P P (505,1008)
点 第2016次跳动至点 2016的坐标是 ．
A
故选： ．
10 【答案】B
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 平面直角坐标系
课堂落实答案
1 【答案】4
【解析】坐标系中点到x轴的距离即纵坐标的绝对值．
2 (1)【答案】B
【解析】
(2)【答案】D
【解析】
(3,−3)
(3)【答案】
3a−9+1−a=0
【解析】 ．
2a=8
a=4
∴p点的坐标为 (3,-3)
3 【答案】B
4 【答案】 5
5 【答案】B
能力强化 / 初一 / 春季
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第 5 讲 平面直角坐标系
精选精练
1 【答案】A
2 (1)【答案】如图， △A 1 B 1 C 1为所作图形，点 A 1， B 1， C 1的坐标分别为 (−4,−3) ， (2,−2) ，
(−1,1)
；
【解析】利用点平移的规律写出A 1，B 1，C 1的坐标，然后描点可得△A 1 B 1 C 1；
(2)【答案】平移后点P的对应点P 1的坐标为(a−3,b−4)；
【解析】利用点平移的规律，平移后的对应点的横坐标减3，纵坐标减4，于是可得
P
1
(a−3,b−4)；
1 1 1
(3)【答案】△ABC的面积 =4×6− ×6×1− ×3×3− ×4×3=10.5 ．
2 2 2
3 【答案】解：（1）如图所示，△ A 1 B 1 C 1即为所求；
(1,−2) (3,−1) (−2,1)
（2） ， ， ；
1 1 1 9
（3）△ABC的面积为： 3×5− ×3×3− ×1×2− ×2×5= ．
2 2 2 2
4 【答案】解：（1）如图所示：
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（2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E．
∴四边形DOEC的面积=3×4=12，
1
△BCD的面积= ×2×3 =3，
2
1
△ACE的面积= ×2×4 =4，
2
1
△AOB的面积= ×2×1 =1．
2
∴△ABC的面积 = 四边形DOEC的面积-△ACE的面积-△BCD的面积-△AOB的面积
=12−4−3−1=4
．
1 1
(3)当点P在x轴上时，△ABP的面积= AO⋅BP =4，即： ×1×BP =4 ，解得：
2 2
BP=8，
所以点P的坐标为 (10,0) 或 (−6,0) ；
1 1
当点P在y轴上时，△ABP的面积= ×BO×AP =4，即 ×2×AP =4 ，解得：
2 2
AP=4．
所以点P的坐标为 (0,5) 或 (0,−3) ．
所以点P的坐标为 (0,5) 或 (0,−3) 或 (10,0) 或 (−6,0) ．
5 【答案】 (−3,1) ， (0,4) ； −10 −b+2>0
{ {
∴ ， ，
−a+1>0 b>0
−10 ，
06−3(x−3)
【解析】解：去分母得 ．
故选：D．
练2.1 【答案】C
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【解析】解：由题意知，原解题过程中去分母、去括号和系数化为1这3步出现错误，
故选：C．
例3 【答案】解：（1） 3−3x≥2x+9
−5x≥6
6
x≤−
；
5
2x+10≤3x−15
（2） ，
2x−3x≤−15−10
，
−x≤−25
，
x≥25
；
3(x+3)<5(2x−5)−15
（3） ，
3x+9<10x−25−15
，
3x−10x<−25−15−9
，
−7x<−49
，
x>7
．
3(2x−1)−2(5x+2)>−12
（4）
6x−3−10x−4>−12
−4x>−5
5
x<
．
4
练3.1 【答案】解：（1）去括号，得： x−3x+3<8−x ，
−x<5
移项、合并同类项，得： ，
x>−5
则 ；
2(2x−1)−(9x+2)≤6
（2）去分母，得： ，
4x−2−9x−2≤6
去括号，得： ，
4x−9x≤6+2+2
移项，得： ，
−5x≤10
合并同类项，得： ，
x≥−2
系数化为1得： ．
例4 【答案】 −2 ， −1
2(x−1)−3x≤0
【解析】解： ，
2x−2−3x≤0
，
2x−3x≤2
，
−x≤2
，
x≥−2
，
2(x−1)−3x≤0 −2 −1
所以不等式 的负整数解为 ， ，
−2 −1
故答案为： ， ．
练4.1 (1)【答案】C
x−2 x+2
【解析】解： +1≤ ，
3 4
4(x−2)+12≤3(x+2)
，
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4x−8+12≤3x+6
，
4x−3x≤6+8−12
，
x≤2
，
∵x
是正整数，
∴x
的值是1，2．
故选：C．
5(x−1)−4>10x−2(2x+3)
(2)【答案】解：去分母得： ，
5x−5−4>10x−4x−6
去括号得： ，
5x−10x+4x>5+4−6
移项得： ，
−x>3
合并得： ，
x<−3
系数化1得： ，
−4
则不等式的最大整数解为 ．
例5 (1)【答案】解：① 2x+23(x−a)
② ，
2x+2−6>3x−3a
，
2x−3x>−3a−2+6
，
−x>−3a+4
，
x<3a−4
．
(2)【答案】B
练5.1 (1)【答案】2
1
【解析】解：解不等式 (x−m)>3−m ，
3
x−m>9−3m，
∴x>9−2m，
∵解集为x>5，
∴9−2m=5，
解得m=2，
故答案为2．
(2)【答案】22
2x−a
【解析】 ≥4x+6 ，
3
2x−a≥12x+18
，
−10x≥18+a
，
18+a
x≤
，
−10
x≤−4
∵不等式的解集为 ，
18+a
=−4
∴ ，
−10
a=22
解得： ，
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故答案为：22．
例6 (1)【答案】C
−1
(2)【答案】 （小于0的数即可）
练6.1 (1)【答案】 m<−3
(2)【答案】C
2
【解析】解： ∵ 不等式 (1−k)x>2 可化为 x< ，
1−k
∴1−k<0
k>1
解得： ．
C
故选： ．
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 一元一次不等式
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
|m|−3=1 m+4≠0 |m|=4 m≠−4
【解析】解：根据题意 ， 解得 ，
m=4
所以 ．
故选：A．
3 【答案】解：（1） 4x+5>2x+2 ，
4x−2x>2−5
，
2x>−3
，
3
x>−
．
2
4x−4+3≤3x
（2） ，
4x−3x≤4−3
，
x≤1
．
12−3(x+4)>2(1−x)
（3）去分母，得： ，
12−3x−12>2−2x
去括号，得： ，
−3x+2x>2−12+12
移项，得： ，
−x>2
合并同类项，得： ，
x<−2
系数化为1，得： ，
2(y+1)−3(2y−5)≥12
（4）两边都乘以12得， ，
2y+2−6y+15≥12
去括号得， ，
−4y ≥−5
移项，合并同类项得， ，
5
系数化为1得，y ≤ .
4
4 【答案】解：（1）去括号，得： 8x−2≥5x−8 ，
8x−5x≥−8+2
移项，得： ，
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157928&lessonIds=1127830888,1127830889,1127830890,1127830891,1127830… 48/812021/1/13 备授课-备课页
3x≥−6
合并同类项，得： ，
x≥−2
系数化为1，得： ，
不等式的解集在数轴上表示如下：
4(2x−1)≤3(3x+2)−12
（2）去分母，得： ，
8x−4≤9x+6−12
去括号，得： ，
8x−9x≤6−12+4
移项，得： ，
−x≤−2
合并同类项，得： ，
x≥2
系数化为1，得： ，
将解集表示在数轴上如下：
5 【答案】B
4(x+1)≤24
【解析】解： ，
4x+4≤24
，
4x≤20
，
x≤5
，
4(x+1)≤24
不等式 的最大整数解是5．
B
故选： ．
6 【答案】A
x+3−6≥4(x−3)
【解析】解： ，
x+3−6≥4x−12
，
x−4x≥−12−3+6
，
−3x≥−9
，
x≤3
，
则不等式的非负整数解有0、1、2、3这4个数，
A
故选： ．
7 【答案】A
x≤−1
【解析】解：根据图示知，原不等式的解集是： ；
∵3x−2a≤−2
又 ，
−2+2a
∴x≤
，
3
−2+2a
∴ =−1
，
3
1
解得，a=− ；
2
A
故选： ．
8 【答案】解：不等式整理得： x−m>6−3m ，
x>6−2m
解得： ，
x>3 6−2m=3
由不等式的解集为 ，得到 ，
m=1.5
解得： ．
9 【答案】C
(a−1)x1
【解析】∵不等式 的解集为 ，
∴未知数的系数是负数，
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a−1<0
即 ，
a<1
解得； ；
故选：C．
10 【答案】C
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 一元一次不等式
课堂落实答案
1 【答案】C
A x+y ≥1
【解析】解： 、 含有两个未知数，不是一元一次不等式，与要求不符；
1
B x− ≥2
、 的分母中含有未知数，不是一元一次不等式，与要求不符；
x
C x−3>0
、 是一元一次不等式，与要求相符；
x
D x+ =3
、 是一元一次方程，与要求不符．
2
C
故选： ．
2+x 2x−1
2 【答案】解： ≥ ，
2 3
3(2+x)≥2(2x−1)
，
6+3x≥4x−2
，
3x−4x≥−2−6
，
−x≥−8
，
x≤8
，
在数轴上表示为：
3 【答案】C
【解析】解：3(x−2)≤5−x，
3x−6≤5−x，
3x+x≤5+6，
4x≤11，
11
x≤
，
4
3(x−2)≤5−x
所以不等式 的非负整数解有0，1，2，共3个，
故选：C．
4 【答案】30．
1 a
【解析】解：解不等式 3x− a≤0 得 x≤ ，
2 6
∵ x≤5
不等式的解集为 ，
a
∴ =5
，
6
a=30
解得 ，
故答案为：30．
3
5 【答案】a> ．
2
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1
【解析】解： ∵(3−2a)x<1 的解集是 x> ，
3−2a
∴3−2a<0
，
3
a>
解得 ，
2
3
故答案为：a> ．
2
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 一元一次不等式
精选精练
1 【答案】A
x2+x<1
【解析】解：（1）不等式 的未知数的最高次数是2，所以它不是一元一次不等式；
1
+2>0
（2） 是分式不等式，所以它不是一元一次不等式；
x
x−3>y+4
（3）不等式 中含有两个未知数，所以它不是一元一次不等式；
2x+3<8 x x
（4）不等式 中只有一个未知数 ，且 的次数是1，所以它是一元一次不等
式；
综上所述，以上式子中是一元一次不等式的只有（4）．
A
故选： ．
2 【答案】解：去分母得， x+9−2(1−2x)≤6+3(3x−1) ，
x+9−2+4x≤6+9x−3
去括号，得 ，
x+4x−9x≤6−3+2−9
移项，得 ，
−4x≤−4
合并同类项，得 ，
x≥1
系数化为1，得 ．
3 【答案】解：（1）两边应该同时乘以6，
=3−2(x−2)
不等式左边 ，
=1×6
右边 ，
即从第一步开始出错，出错原因是去分母时漏乘常数项，
故答案为：一，去分母时漏乘常数项，
3−2(x−2)>1×6
（2）不等式两边都乘以6得： ，
3−2x+4>6
去括号得： ，
−2x>−1
移项，合并同类项得： ，
1
x<
解得： ．
2
1
x<
即不等式的解集为： ．
2
4 【答案】A
m−1
【解析】解：解不等式2x−m+1>0，得：x> ，
2
∵
不等式有最小整数解2，
m−1
∴1≤ <2
，
2
3≤m<5
解得： ，
A
故选： ．
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5 【答案】6．
x+5 ax−2
【解析】解： −1< ，
2 2
x+5−21
该不等式的解集为 ，
5
∴1−a<0 − =1
且 ，
1−a
a=6
解得 ，
故答案为：6．
6 【答案】 m<2 ．
mx−3>2x+m
【解析】解： ，
(m−2)x>m+3
，
m+3
∵一元一次不等式的解集是x< ，
m−2
∴m−2<0
，
∴m m<2
的取值范围是 ．
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 一元一次不等式组
例题练习题答案
例1 (1)【答案】A
(2)【答案】A
练1.1 (1)【答案】C
(2)【答案】
(3)【答案】B
例2 (1)【答案】解不等式 −2x<6 ，得： x>−3 ；
3(x+1)≤2x+5 x≤2
解不等式 ，得： ；
−3−3
【解析】解不等式 ，得： ；
3(x+1)≤2x+5 x≤2
解不等式 ，得： ；
−3−3
， ；
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x≥1
∴原不等式组的解集为． .
练2.1 【答案】不等式组的解为： −2x
①
{
1−2x≥ x+7 ，
2 ②
x>−2
解①得： ，
x≤−1
解②得： ，
−2−1
例4 【答案】 （1）解：原不等式组可化为{ 4 ① ，
−2−3x <1
②
4
2
x<
由①得， ；
3
x>−2
由②得， ，
2
−2m
②
x>3
∵解不等式①得： ，
x>3
不等式组的解集为 ，
m≤3
∴ ．
m≤3
故答案为 ．
练5.1 【答案】D
例6 【答案】C
练6.1 【答案】解不等式 x−a>b ，得： x>b+a ，
a+2b+4
2x−a<2b+4 x<
解不等式 ，得： ，
2
23
由②得：
x>3
∴原不等式组的解集是
x−3<0
①
{
②解：
2(x+1)≤x+3
②
由①得：x<3
由②得：x≤1
∴原不等式组的解集是x≤1
2x−5<0
{ ①
③解：
x−2(x+1)<0
②
5
x<
由①得：
2
x>−2
由②得：
5
−23x+3
②
x>−2
由①得：
x<−7
由②得：
∴原不等式组无解
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(2)【答案】
⎧⎪⎪ 1−3x
<2 ①
5
⎨
解：先写成不等式组的形式 2x−7
⎩⎪⎪2≤1−
②
3
由①得：x>−3
由②得：x≤2
∴原不等式组的解集是−3−
解不等式②，得 ；
3
5
− m−1
【解析】∵m+2>m-1，∴{ 的解集为x>m+2，∴m+2=-1，∴m=-3
x>m+2
9 【答案】A
1
【解析】解不等式 (x+2)−3>0 ，得： x>4 ，
2
x>4 m≤4
由不等式组的解集 知 ，
故选：A．
10 【答案】D
x<3
【解析】不等式组变形得： { ，
x0
②
x≤1
解不等式①得： ；
x>−2
解不等式②得： ；
在数轴上表示如下：
故选：B．
3 【答案】C
4 【答案】C
2x−1<3
①
【解析】解：已知{
x−2
【解析】由（1）
x≥4
由（2）
x≥4
所以 ．
x≤6
由（3）
4≤x≤6
故解集是 ．
4 【答案】 5
2
2x−b≥0
①
【解析】{
x+a≤0
②
b
x≥
∵解不等式①得： ，
2
x≤−a
解不等式②得： ，
2x−b≥0
{ 3≤x≤4
∵不等式组 的解集为 ，
x+a≤0
b
≤x≤−a
∴不等式组的解集为： ，
2
b
=3 −a=4
∴ ， ，
2
b=6，a=−4，
∴−4x+6<0，
3
x>
，
2
3
x>
故答案为： ．
2
6 【答案】D
x−a>−1
【解析】解：解 { ，得 a−1−1
{ x 0⩽x⩽4
由不等式组 的解集中任意一个 的值均不在 的范围内，得
x−a⩽2
a+2<0 a−1≥4
或 ，
a≥5 a<−2
解得 或 ，
故选：D．
能力强化 / 初一 / 春季
第 11 讲 含参不等式
例题练习题答案
m+4
例1 【答案】解方程 2x−m=4 ，得： x= ，
2
∵方程的解是非负数，
m+4
≥0
∴ ，
2
m≥−4
解得： ．
m+4
【解析】解方程用含m的式子表示x，根据方程的解是非负数得 ≥0 ，解不等式即可得．
2
练1.1 【答案】 m≤2
5x+2y =11a+18,
①
例2 【答案】（1）{
2x−3y =12a−8,
②
19x=57a+38
①×3+②×2，得： ，
x=3a+2
解得 ，
x=3a+2 15a+10+2y =11a+18
将 代入①，得：
y =−2a+4
解得 ；
3a+2>0,
{
（2）根据题意，得： ，
−2a+4>0.
2
− 0 a>−3
由题意得， ， ，
−2a−2≥0 a≤−1
， ，
−3−2a−2≥2，
④错．
故选：B．
例3 【答案】解：去括号得，3m−6x=4x−2m，
移项得，−6x−4x=−2m−3m，
合并同类项得，−10x=−5m，
1 1
x= m< ×4=2
系数化为1得， ，
2 2
x<2
所以 .
练3.1 【答案】A
例4 (1)【答案】B
a≥3
(2)【答案】
练4.1 (1)【答案】A
(2)【答案】C
7−m 7−m
【解析】解：解方程 3x+m=7 ，得： x= ，由题意得 是正整数，
3 3
m= −2 −5 −8
解得： 4、1、 、 、 …，
t−2(t−1)≤3 t≥−1
解不等式 ，得： ，
2m+2+t
≥t t≤m+1
解不等式 ，得： ，
3
∵ ∴m+1≥−1 ∴m≥−2 m −2
不等式组有解， ， ，则 为4、1、 ，
∴ m 4+1+(−2)=3
符合条件的整数 的值的和为 ，故选：C．
例5 【答案】C
练5.1 【答案】A
m−1
【解析】解不等式 3x−m+1>0 ，得： x> ，
3
∵不等式有最小整数解2，
m−1
1≤ <2
∴ ，
3
4≤m<7
解得： ，
故选：A．
例6 【答案】B
x−a<1
【解析】{ ①
，
x≥1
②
x<1+a
∵解不等式①得： ，
1≤x<1+a
∴不等式组的解集为 ，
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∵不等式组的整数解有3个，
3<1+a≤4
∴ ，
20
∵ ，
1
0
根据题意得： ，
3 3
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1
a>−
解得： ，
10
=8a+11−10a−1=10−2a
则原式 .
5
5 【答案】m≤
2
⎧x≥m
【解析】
由不等式组可知⎩ ⎨
x≤
5有解；
2
5
m≤
∴ ；
2
5
m≤
故答案为： ．
2
6 【答案】A
x−m<0 x2(x−1) x>−1
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
m≤−1
∴ ，
故选：A．
7 (1)【答案】C
−30.5
解得： ，
−1(x−a)>0
{ 2 ①
，
x−1≥ 2x+1
3 ②
∵ x0
关于 、 的方程组 的解满足 ，
3x+y =1+k
1 x−2(x−1)≤3 ①
∴1− k>0 k<4 {
4 ，得 ， 2k+x ≥x ，
3 ②
x≥−1 x≤k
由①，得 ，由②，得 ，
x−2(x−1)≤3
∵ x { ∴−1≤k k≥−1
于 的不等式组 2k+x ≥x 有解， ，得 ，
3
−1≤k<4 ∴ k −1+0+1+2+3=5
由上可得， ， 符合条件的整数 的值的和为： ，
D
故选： ．
10 【答案】B
x−a>0 x>a
【解析】∵解不等式 得： ，
3x+4<13 x<3
解不等式 得： ，
a0
∵关于x的不等式组 { 有且只有3个整数解，
3x+4<13
−1≤a<0
∴ ，
故选：B．
能力强化 / 初一 / 春季
第 11 讲 含参不等式
课堂落实答案
x=2a+1
1 【答案】解方程组得： { ，
y =a−2
x>y >0
∵ ，
2a+1>a−2
{
∴ ，
a−2>0
a>2
解得： .
2 【答案】C
2x−1<3
①
【解析】解：已知 {
x1
x+4≥3(m+1) x≥3m−1
【解析】由不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
3m−1>m+1
∴ ，
m>1
解得： ，
m>1
故答案为： ．
5 【答案】 6[−1.2]
(2)【答案】∵ ，
x>−2
∴ ．
x>[−1.2]
∵关于x的不等式组 { 有且只有两个整数解，
x[−1.2] ，可求出 x>−2 ，结合原不等式组只有两个整数解，即可找出a的取
值范围；
[x]=2
(3)【答案】∵ ，
2≤x<3
∴ ．
[x]=2
{
∵不等式组 无解，
a0 m<0
(2)【答案】 >0 可以化为：① { 或② { ；
n n>0 n<0
【解析】根据除法法则得出即可；
(3)【答案】解：根据除法法则可得：
x+3>0 x+3<0
{ {
① 或② ，
x−1>0 x−1<0
解不等式组①得：x>1，解不等式组②得：x<−3，
x+3
>0 x>1 x<−3
所以 的解集是 或 ．
x−1
【解析】先得出两个不等式组，再求出每个不等式组的解集即可．
6 【答案】（1）∵
x2−16=(x+4)(x−4)
，
x2−16>0 (x+4)(x−4)>0
∴ 可化为
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
x+4>0 x+4<0
{ {
得 或 ，
x−4>0 x−4<0
x>4
解第一个不等式组，得 ，
x<−4
解第二个不等式组，得 ，
(x+4)(x−4)>0 x>4 x<−4
∴ 的解集为 或 ，
x2−16>0 x>4 x<−4
即一元二次不等式 的解集为 或 ．
x−1
>0
（2）∵ ，
x−3
x−1>0 x−1<0
{ {
∴ 或 ，
x−3>0 x−3<0
x>3 x<1
解得： 或
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 不等式（组）的应用
例题练习题答案
例1 【答案】解：设做对x道，则做错或不做有 (25−x) 道，
4x−2(25−x)≥60
列式 ，
4x−50+2x≥60
化简得 ，
55
x≥
解得 ．
3
∵x为整数，
∴至少应选对19道题．
答：至少应答对19道题．
练1.1 【答案】B
【解析】这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是：
3x−(32−x)≥48
．
故选：B．
例2 【答案】解：设小明家每月用水 x 立方米．
5×1.8=9<15
∵ ，
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∴小明家每月用水超过5立方米，
(x−5)
则超出 立方米，按每立方米2元收费，
5×1.8+(x−5)×2≥15
列出不等式为： ，
x≥8
解得： ．
答：小明家每月用水量至少8立方米．
练2.1 【答案】B
0.48×200+0.53×200
【解析】解：
=96+106
=202
（元），
故七月份电费支出不超过200元时，用电量不超过400度，
0.48×200+0.53×(x−200)≤200
依题意有 ，
12
x≤396
解得 ．
53
答：李叔家七月份最多可用电的度数是396度．
例3 【答案】A
练3.1 【答案】B
【解析】因支付车费为 17.2 元，所以x肯定大于3km，故有
1.4(x−3)+6≤17.2
，
x≤11
解得： ．
可求出x的最大值为11千米．
答：此人从甲地到乙地经过的路程最多为11千米．
故选：B．
例4 【答案】C
练4.1 【答案】 1≤4x+2−6(x−2)<6
【解析】设有x间宿舍，则学生有 (4x+2) 人，由题意得：
1≤4x+2−6(x−2)<6
，
1≤4x+2−6(x−2)<6
故答案为： ．
例5 【答案】解：（1）设每本文学名著 x 元，动漫书 y 元，
20x+40y =1520
{
可得：
20x−20y =440
x=40
{
解得： ，
y =18
40 18
答：每本文学名著和动漫书各为 元和 元；
x (x+20)
（2）设学校要求购买文学名著 本，动漫书为 本，根据题意可得：
x+x+20≥72
{
40x+18(x+20)≤2000
820
26≤x≤
解得： ，
29
因为取整数，
x 26 27 28
所以 取 ， ， ；
26 46
方案一：文学名著 本，动漫书 本；
27 47
方案二：文学名著 本，动漫书 本；
28 48
方案三：文学名著 本，动漫书 本．
练5.1 【答案】C
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【解析】设 招 聘 A 工 种 工 人 x 人 ， 则 招 聘 B 工 种 工 人 (120−x) 人 ， 根 据 题 意 得
800x+1000(120−x)≤112400
{
120−x≥2x
38≤x≤40
得
∵x为整数，
x=38 39 40
∴ ， ， ．
∴招聘工种工人的方案有：
①A工种工人38人，B工种工人82人；
②A工种工人39人，B工种工人81人；
③A工种工人40人，B工种工人80人．
7x+3(40−x)≤226
例6 【答案】 {
依题意有： ，
4x+10(40−x)≤250
25≤x≤26.5
解得： ，
∵x为整数，
∴x取25或26，
该工厂的生产方案有：
方案一：生产A产品25件，B产品15件；
方案二：生产A产品26件，B产品14件；
≤226
【解析】本题中的不等式关系为：生产A产品用的甲原料+生产B产品用的甲原料 ，生产A产
≤250
品用的乙原料+生产B产品用的乙原料 ，由此可得出不等式组，得出自变量的取值范
围，然后根据自变量的取值范围得出符合条件的自变量的值．
练6.1 (1)【答案】设租用甲车x辆，则乙车 (10−x) 辆．根据题意，得
40x+30(10−x)≥340
{
，
16x+20(10−x)≥170
解，得
4≤x≤7.5
．
又x是整数，
x=4
∴ 或5或6或7．
共有四种方案：
①甲4辆，乙6辆；
②甲5辆，乙5辆；
③甲6辆，乙4辆；
④甲7辆，乙3辆．
4×2000+6×1800=18800
(2)【答案】①甲4辆，乙6辆；总费用为 元；
5×2000+5×1800=19000
②甲5辆，乙5辆；总费用 元；
6×2000+4×1800=19200
③甲6辆，乙4辆；总费用为 元；
7×2000+3×1800=19400
④甲7辆，乙3辆．总费用为 元．
故选方案①租车费用最省．
能力强化 / 初一 / 春季
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第 12 讲 不等式（组）的应用
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】B
4 【答案】A
【解析】
5 【答案】B
【解析】依题意得：1.5（x﹣3）≤11﹣5，
x﹣3≤4，
x≤7．
因此甲地到乙地路程的最大值是7千米．
故选：B．
6 【答案】A
【解析】 解：设小明买了x包小零食，依题意得：
小明剩下的人民币可以表示：200﹣20﹣140﹣5﹣15x，
整理得：（35﹣15x）元﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
0＜20+140+5+15x＜200，
解得：0＜x＜ ，
又∵x是取正整数，
∴x的取值为1或2，
（Ⅰ）当x＝1时代入①得：35﹣15x＝35﹣15×1＝20元，
（Ⅱ）当x＝2时代入①得：35﹣15x＝35﹣15×2＝5元．
从A、B、C、D四个选项中，符合题意只有A答案．
故选：A．
7 【答案】设一共带了x顶帐篷，
4x+19<6x 19 25
{ 6(x−1) 2 2
又x为整数，所以x可取10、11、12．
x=10
当 时，学生有59；
x=11
当 时，学生有63；
x=12
当 时，学生有67．
一共有三种情况：
情况一：一共带了10个帐篷，共59个学生；
情况二：一共带了11个帐篷，共63个学生；
情况三；一共带了12个帐篷，共67个学生．
8 【答案】（1）设A种教学用具每件x元，B种教学用具每件y元，
x−y =8
{
依题意得： ，
2x+3y =116
x=28
{
解得： ．
y =20
答：A种教学用具每件28元，B种教学用具每件20元；
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（2）设购买A种教学用具m件
28m+20(40−m)≤900
{
则有： ，
28m+20(40−m)≥880
25
10≤m≤
解得： ．
2
∵m取正整数
∴m的最大值是12
答：A种教学用具最多能够购买12件．
9 【答案】解：（1）购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，
a=b+2
{
，
2a+6=3b
a=12
{
解得： ．
b=10
a b
故 的值为12， 的值为10；
A m
（2）设购买 型号设备 台，
12m+10(10−m)⩽105
，
5
m⩽
解得： ，
2
A B
故所有购买方案为：当 型号为0， 型号为10台；
A B
当 型号为1台， 型号为9台；
A B
当 型号为2台， 型号为8台；有3种购买方案；
m=0 10−m=10 200×10=2000
（3）当 ， 时，每月的污水处理量为： 吨
<2040
吨，不符合题意，应舍去；
m=1 10−m=9 240+200×9=2040
当 ， 时，每月的污水处理量为： 吨
=2040
吨，符合条件，
12+10×9=102
此时买设备所需资金为： 万元；
m=2 10−m=8 240×2+200×8=2080
当 ， 时，每月的污水处理量为： 吨
>2040
吨，符合条件，
12×2+10×8=104
此时买设备所需资金为： 万元；
A B
所以，为了节约资金，该公司最省钱的一种购买方案为：购买 型处理机1台， 型处理机
9台．
10 (1)【答案】设租A型车x辆，则租B型车 (5−x) 辆，
200x+150(5−x)≤980
根据题意得： ，
23
x≤
解得： ，
5
∵x取整数，
x=0
∴ 、1、2、3、4，
∴该学校的租车方案有：租A型车0辆、B型车5辆；租A型车1辆、B型车4辆；租A型
车2辆、B型车3辆；租A型车3辆、B型车2辆；租A型车4辆、B型车1辆．
【解析】设租A型车x辆，则租B型车 (5−x) 辆，根据总费用=单价 × 数量结合租金费用不超过
980元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合x取正
整数即可找出各租车方案；
(2)【答案】设租A型车x辆，则租B型车 (5−x) 辆，
40x+20(5−x)≥150
根据题意得： ，
5
x≥
解得： ，
2
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23
∵x取整数，且 x≤ ，
5
x=3
∴ 或4．
x=3
当 时，租车费用为
200×3+150×2=900
（元）；
x=4
当 时，租车费用为
200×4+150×1=950
（元）．
900 <950
∵ ，
∴当租A型车3辆、B型车2辆时，租车费用最低．
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 不等式（组）的应用
课堂落实答案
1 【答案】 4x+2<0
2 【答案】2a﹣3≥5
【解析】a的2倍与3的差不小于5，用不等式表示为：2a﹣3≥5．
故答案为：2a﹣3≥5．
3 【答案】D
4 【答案】A
【解析】设购买x本笔记本，
2×6+(x−2)×6×0.7<0.8×6x
根据题意得： ，
x>6
解得： ，
∵x为正整数，
∴最少购买7本笔记本．
故选：A．
5 【答案】C
【解析】设小明答对x道题，
10x−5(20−x)>85
依题意，得 ．
1
x>12
解得 ．
3
x取最小整数为13．
答：小明至少答对13道题才能超过85分．
故选：C．
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 不等式（组）的应用
精选精练
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1 【答案】7
【解析】设至多打x折
x
1200× −800 ≥800×5%
则 ，
10
x≥7
解得 ，
即最多可打7折．
故答案为：7．
2 【答案】B
3 【答案】解：设班级学生的人数为 x 人，由题意得
3x+5<4(x−1)+4
{
，
3x+5⩾4(x−1)+1
5500
2 2
15 0
，
500−a>0
125 ≤a<500
解得 ．
w=2a+5(500−a)=−3a+2500
又 ，
w随a的增大而减小，
则a=125时，w最大， w=−375+2500=2125 （万元）．
30x<500
【解析】设原先每天生产x台．根据题意，得 { ，且x是整数，据此求得x的
30(x+1)>500
值，把利润表示成x的函数，然后利用函数的性质求解．
能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 数据统计
例题练习题答案
例1 (1)【答案】C
(2)【答案】D
(3)【答案】B
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(4)【答案】D
练1.1 【答案】C
【解析】所抽取的10块电池的使用寿命是总体的一个样本，
故选：C．
例2 【答案】3000
【解析】根据题意得：
150
8000× =3000
（名），
400
答：全县九年级学生中有3000名学生看过《战狼2》．
故答案为：3000．
练2.1 【答案】1200
例3 (1)【答案】A
(2)【答案】D
练3.1 (1)【答案】A
(2)【答案】A
例4 (1)【答案】运动的人数为20人，占的比例为 20% ，则全部调查人数： 20÷20%=100 人；
【解析】由“运动”的人数和所占比例，求出全部调查人数；
30÷100 =30%
(2)【答案】阅读的人数为30人，则阅读占的比例： ，其它占的比例
=1−20%−40%−30%=10%
， 则 表 示 其 它 的 扇 形 的 圆 心 角 ：
360∘×10%=36∘
；
【解析】根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比*360度计算
出“其它”在扇形图中所占的圆心角；
100×10%=10 =100×40%=40
(3)【答案】其它的人数： 人，娱乐的人数 人，如图．
【解析】根据各项的比例，求出各项的人数，补全折线图．
练4.1 【答案】解：（1）抽样调查；
A=20 B=40
（2） ， ；
5
300000× =150000 )
（3）成年人有： （人 ，
3+5+2
108
×100%=30%，
360
150000×30%=45000 )
喜爱娱乐类节目的成年人有： （人 ．
例5 (1)【答案】 50≤x≤59 ； 60≤x≤69 ； 70≤x≤79 ； 80≤x≤89 ； 90≤x≤99 ；
5；10；15；6；4；
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【解析】将样本数据适当分组，制作频数分布表：
分
50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x
组
频
5 10 15 6 4
数
故依次填写：
50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99
； ； ； ； ；
5；10；15；6；4；
(2)【答案】根据频数分布表，绘制频数直方图：
(3)【答案】从图可以看出，这40名学生的成绩都分布在50~100分范围内，分数在70~80之间的
人数最多．
练5.1 (1)【答案】根据题意可得：
40×45%=18，
−
40 （2+6+18+9+2）=3，
3÷40=7.5%，
2÷40=5%，
填表如下：
分组 频数 百分比
600≤x＜800 2 5%
800≤x＜1000 6 15%
1000≤x＜1200 18 45%
1200≤x＜1400 9 22.5%
1400≤x＜1600 3 7.5%
1600≤x＜1800 2 5%
合计 40 100%
(2)【答案】根据（1）所得的数据，补全频数分布直方图如下：
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(3)【答案】根据图表可知：
大于1000而不足1600的占
45%+22.5%+7.5%=75%，
450×0.75=337.5≈338（户），
答：该居民小区家庭属于中等收入（大于1000不足1600元）的大约有338户．
例6 (1)【答案】方案三
【解析】由于学生总数比较多，采用抽样调查方式，方案一、方案二只涉及到男生和女生一个
方面，过于片面，则应选方案三；
5÷10%=50
(2)【答案】根据题意得： （人）
50−5−15=30
了解一点的人数是： （人）
30
×100%=60%
了解一点的人数所占的百分比是：
50
1−60%−10%=30%
比较了解的所占的百分是：
补图如下：
108∘
(3)【答案】
(4)【答案】240
练6.1 (1)【答案】2，50
【解析】（1）∵A、B两组捐款户数的比为1：5，B组捐款户数为10，
∴A组捐款户数为2，
本次抽样调查的样本容量是：
（2+10）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）＝50，
故答案为：2，50；
(2)【答案】C组捐款户数为：50×40%＝20，
故答案为：20，
补全的“捐款户数直方图”如下图所示：
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(3)【答案】500×（28%+8%）＝180（户），
答：全社区捐款不少于300元的户数是180．
能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 数据统计
课堂落实答案
1 【答案】D
【解析】A．了解全国中小学生的睡眠时间适合抽样调查；
B．了解全国初中生的兴趣爱好适合抽样调查；
C．了解江苏省中学教师的健康状况适合抽样调查；
D．了解航天飞机各零部件的质量适合全面调查；
故选：D．
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】B
【解析】由频数直方图可以看出：顾客等待时间不少于6分钟的人数即最后两组的人数为5+2=7
人．
故选：B．
5 【答案】（1）8， 8 %，40%，50；
（2）如图所示：
16+4
×600 =240
（3）优秀的人数为 人．
50
能力强化 / 初一 / 春季
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第 14 讲 期末复习
例题练习题答案
例1 【答案】C
例2 【答案】C
∵∠DEC +∠C =180∘ ∴DE//BC
【解析】 ， （两直线平行，同旁内角互补）
A ∵DE//BC ∴∠1=∠C
解： 、 ， （同位角相等，两直线平行），应为：两直线平
行，同位角相等，故错误；
B ∵∠2=∠3 ∴DE//BC
、 ， （两直线平行，内错角相等），应为：内错角相等，两直
线平行，故错误；
C ∵DE//BC ∴∠2=∠3
、 ， （两直线平行，内错角相等），正确；
D ∵∠DEC +∠C =180∘ ∴DE//BC
、 ， （两直线平行，同旁内角互补），应为：同
旁内角互补，两直线平行．
C
故选： ．
例3 (1)【答案】2
(2)【答案】D
−− −−
例4 (1)【答案】∵ 3<√15 <4 ，∴a＝3， b=√15 −3 ．
−−
a2+b−√15
(2)【答案】
−− −−
=32+√15 −3−√15
=9−3
=6
．
例5 【答案】（1） (−3,2) ， (2,5) ， (3,−1)
（2）见图
33
（3）
2
例6 (1)【答案】解:∵点在第四象限且到x轴距离为1,到y轴距离为5,
∴点的横坐标是5,纵坐标是−1,
∴点A的坐标为(5,−1);
(2)【答案】∵点B(a+1,−2a+10)在第一、三象限的角平分线上,
∴a+1=−2a+10,
解得a=3;
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∴ B (4,4)
点 的坐标是 ,
OB2 =32AB2 =26OA2 =26
由勾股定理得 , , ,
∴OB2+AB2 ≠OA2AB=OA
, ,
∴△ABO
是等腰三角形.
x=1
例7 (1)【答案】{
y =2
29
(2)【答案】
4
例8 (1)【答案】解:由题意联立方程组得:
2x+5y =−26 mx+ny =−8 x=2
{ { {
与 的解相同,解得
3x−5y =36 mx−ny =−4 y =−6
x=2 mx+ny =−8 1
{ { m=−3n=
把 代入 ,解得 , .
y =−6 mx−ny =−4 3
1 1
(2)【答案】把 m=−3 , n= 代入 m+36n=−3+36× =9
3 3
∴m+36n 3
的算术平方根为 .
例9 【答案】解：（1）设需甲种车型 x 辆，乙种车型 y 辆，
根据题意得：
5x+8y =120
{
，
400x+500y =8200
x=8
{
解得： ，
y =10
答：需甲种车型8辆，乙种车型10辆，
m n
（2）设参与运送的甲种汽车为 辆，乙种汽车为 辆，
(15−m−n)
则参与运送的丙种汽车为 辆，
根据题意得：
5m+8n+10(15−m−n)=120
，
5m+2n=30
整理得： ，
m=1 n=12.5
当 时， （不合题意，舍去），
m=2 n=10
当 时， （符合题意），
m=3 n=7.5
当 时， （舍去），
m=4 n=5
当 时， （符合题意），
m=5 n=2.5
当 时， （舍去），
m=6 n=0
当 时， （舍去），
m=2 n=10 15−2−10=3 )
则当 ， 时， （辆 ，
m=4 n=5 15−4−5=6 )
当 ， 时， （辆 ，
答：参与运送的甲种汽车为2辆，乙种汽车为10辆，丙种汽车为3辆或甲种汽车为4辆，乙
种汽车为5辆，丙种汽车为6辆．
例10 【答案】解：（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人，理由如下：
a
设两校人数之和为 ，
a>200 a=18000÷75=240
若 ，则 ；
13
100 200
若 ，则 ，不合题意，
17
∴
两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人．
x y
（2）设甲校报名参加旅游的学生有 人，乙校报名参加旅游的学生有 人，则
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x+y =240
100 200 {
②当 时，得 ，
75x+90y =20800
x=531
{ 3
解得： ，（不合题意舍去）；
y =1862
3
答：甲校报名参加旅游的学生有160人，乙校报名参加旅游的学生有80人．
5a+4na=420 (5+4n)a=420
（3）由题意可知： ，即 ，
∵420 =2×3×7×2×5 5+4n
， 为奇数，
∴5+4n=21 5+4n=15 5+4n=35 5+4n=105
或 或 或 ，
5 15
n=4 n= n= n=25
解得 或 （舍去）或 （舍去）或 ．
2 2
∴n的值为：4或25．
例11 【答案】解：设□中的数为a
2x+1 x+5
− ≥a
则
3 2
4x+2−3x−15≥6a
x≥6a+13
得
6a+13=7
由题意，得 .
a=−1
得 .
−1
即□中的数为 .
x+2y =1
例12 (1)【答案】{ ①
，
x−2y =m
②
2x=1+m
①+②得 ，
1+m
x=
解得 ，
2
把x的值代入①得：
1−m
y =
，
4
x= m+1
{ 2
所以方程组的解是 ．
y = 1−m
4
【解析】两式相加进行消元即可．
m+1 1
(2)【答案】 { 2 ＞
由题意可得不等式组
1−m ≥−1
4
解得1＜m≤5．
【解析】把解得的x、y的值按要求列成不等式，解不等式即可．
例13 【答案】B
例14 【答案】解：（1）12吨 =12000 千克
x 2x
设每箱橘子 千克，则每箱苹果 千克，由题意得：
12000 12000
= +400
x 2x
12000 6000
∴ = +400
x x
x=15
解得
x=15 x=15
经检验， 时，分式方程的分母不为0，且符合问题的实际意义，故 是原方程
的解
∴
每箱桔子15千克．
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y (6−y)
（2）①设至少需要 辆乙车，则甲车的数量为 ，由题意得：
12(6−y)+20y ⩾102
∴72−12y+20y ⩾102
15
∴y ⩾
4
至少需要4辆乙车．
20×5=100 )<102
②由①知至少需要4辆乙车，而5辆乙车可以运输 （吨 吨，
故 运 这 些 桔 子 到 山 东 至 少 需 要 的 运 费 为 ：
3500×(6−4)+5000×4=7000+20000=27000 )
（元 ．
答：运这些桔子到山东至少需要27000元运费．
例15 (1)【答案】50
50−3−7−10−24=6
(2)【答案】解：5级抽取的天数 天，空气质量等级天数统计图；
(3)【答案】72
24+6
(4)【答案】365× ×100%=219
（天），
50
答：2019年该城市有219天不适宜开展户外活动．
能力强化 / 初一 / 春季
第 14 讲 期末复习
自我巩固答案
1 【答案】A
2 (1)【答案】∵DC∥FP，
∴∠3=∠2，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠1，
∴DC∥AB；
【解析】由DC∥FP知 ∠3=∠2=∠1 ，可得；
∠DEF =28∘
(2)【答案】∵DC∥FP，DC∥AB， ，
∠DEF =∠EFP =28∘
∴ ，AB∥FP，
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∠AGF =80∘
又∵ ，
∠AGF =∠GFP =80∘
∴ ，
∠GFE =∠GFP +∠EFP =80∘+28∘ =108∘
∴ ，
又∵FH平分∠EFG，
1
∠GFH = ∠GFE =54∘
∴ ，
2
∠PFH =∠GFP −∠GFH =80∘−54∘ =26∘
∴ ．
【解析】由（1）利用平行线的判定得到AB∥PF∥CD，根据平行线的性质得到∠AGF=∠GFP，
∠DEF =∠EFP ，然后利用已知条件即可求出∠PFH的度数．
3 【答案】A
4 【答案】A
5 【答案】A
6 【答案】A
x=2
7 【答案】解:把 { 代入 5x−cy =1 ,得 10−3c =1 , 解得 c =3 ,
y =3
x=2 x=3 2a+3b=3
{ { ax+by =3 {
把 和 都代入 组成方程组
y =3 y =6. 3a+6b=3.
a=3
{
解得
b=−1
a=3b=−1c =3
所以 , , .
8 【答案】解：（1）设甲队有 x 辆汽车，乙队有 y 辆汽车，
根据题意得：
x+y =20
{
，
3(100x+80y)=5520
x=12
解得：{ ，
y =8
答：甲队有12辆汽车，乙队有8辆汽车，
m
（2）设甲队最多可以抽调 辆汽车走，
根据题意得：
7[100(12−m)+80×8]⩾15000−5520
，
34
m⩽
解得： ，
7
m
最大的整数是4，
答：甲队最多可以抽调4辆汽车走．
9 【答案】解：（1） ∵A(4,0) ，点 C 在 x 轴上， AC =5 ，
∴ C (−1,0) (9,0)
点 的坐标是 或 ．
∵S =10
（2） ΔABC ，
1
∴S = ×5×|y|=10
ΔABC 2 ，
∴|y|=4
，
y =4 −4
解得： 或 ，
∴ B B(3,−4) (3,4)
点 坐标是 或 ．
10 【答案】解：（1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是
25-35之间；
（2）“经常（购物）”和“偶尔（购物）”共占的百分比为40%+22%=62%，
则这次接受调查的职工中“参与网购”的人数是350×62%=217（人）；
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（3）根据题意得：
“从不（网购）”的占“25-35”岁年龄段接受调查人数的百分比为
22
×100%=20%；
110
（4）根据题意得：4000×（1-40%-22%）=1520（人），
则该企业“从不（网购）”的人数是1520人．
能力强化 / 初一 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】D
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】A
5 【答案】B
6 【答案】C
7 【答案】D
8 【答案】D
9 【答案】D
10 【答案】A
11 【答案】70
−− −− −−−
12 【答案】 √350 <π+1<√27 <|√120−4|
13 【答案】 m>3
2
14 【答案】
7
15 【答案】2
16 【答案】5
17 【答案】 5≤a<6
18 【答案】（1）6；（2）496、 (52,52)
19 【答案】
⎧⎪⎪x= 1
1
6
1 x=4
⎨ {
解：（1）
⎩⎪⎪y
=
26；（2）
y =3
11
3 5
20 【答案】（1） ≤x<6 ；（2） −9≤x≤
2 2
21 【答案】对顶角相等
已知
等量代换
AB；CD；同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
x+y =22
22 【答案】解：（1）设买圆珠笔x支，钢笔y支，由题意可得 {
5x+6y =120
x=12
{
解得
y =10
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157928&lessonIds=1127830888,1127830889,1127830890,1127830891,1127830… 80/812021/1/13 备授课-备课页
（2）设买圆珠笔x支，则买钢笔的数目为 22−x 支．
4.5x+4.8(22−x)≤100 2
{ 18 ≤x<22
由题意可得 ，解得 ，
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