文档内容
1.2 等腰三角形 导学案
第2课时 等腰三角形的判定与反证法
1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。
2.理解反证法的基本证题思路，培养逆向思维能力，并能简单应用。
学习重点：等腰三角形的判定及等角对等边的应用。
学习难点：用反证法证明几何命题的思路与写作结构。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角 (简述为： ).
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简说成： ).
②等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都 ，并且每个角都等于 .
2.情境引入
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
可以发现，有两个角相等的三角形是等腰三角形，如何证明这一结论呢？
新知自研：自研课本第16--17页的内容．
【学法指导】
自研课本P16-17页例题上面的内容，思考：
●探究一：等腰三角形的判定
◆1.尝试思考如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应
边就可以了.
【分析】比如作BC的中线，或作∠A的 ，或作BC上的 ，都可以把△ABC分成两
个 的三角形．
【证明】
◆2.知识归纳
等腰三角形的判定定理：
有两个角 的三角形是等腰三角形.(简称“ ”).
符号语言：
在△ABC中，
∵∠B=∠C,
∴ (等角对等边).
◆3.新知探究
例 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
【分析】首先依据“ ”判定△ABC和△DCB全等，得 然后根据等边三角形的判定
定理即可得出结论:
【证明】◆4.练一练
一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是( )
A.40∘ ，70∘ B.30∘ ，90∘ C.60∘ ，50∘ D.40∘ ，20∘
●探究二：反证法
◆1.想一想
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立
吗?如果成立，你能证明它吗?
小明：
如图，在△ABC中, 已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么 .
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠C= , 这与已知条件 矛盾.因此
AB≠AC.
◆2.知识归纳
◎反证法：
像小明那样，在证明时，先假设命题的结论 ，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已
知条件相 的结果，从而证明命题的结论一定 ，这种证明方法称为反证法．
注意：反证法是一种重要的数学证明方法，在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
◆3.新知探究
例 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
【证明】
◆4.知识归纳
用反证法证题的一般步骤:
①假设: 先假设命题的结论 ;② 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件 的结
果;
③结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的 .
◆5.练一练
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
【例题导析】
自研下面例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1如图，已知在△ABC中，∠C=90∘ ，AD是角平分线，过点B作BA 的垂线与AD的延长线相交于点E.
求证：△BDE 是等腰三角形.
【分析】在直角△ACD中根据直角三角形的两锐角互余可以证得 =90°,在直角△ABE中得
到 =90∘,根据等角的余角相等即可证得∠E= ,利用等角对等边即可证得.
【解答】
例2 用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角.
【分析】首先写出命题的已知和求证，然后根据等腰三角形的性质、三角形内角和 定
理、反证法的一般步骤解答即可.【解答】
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.猜想并证明等腰三角形的判定方法，探讨反证法解题的一般步骤；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，总结方法.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是( )
A．任意三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
2.如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补
充的条件不能是( )
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC.已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2 B．3 C．4 D．54.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE为角平分线，CE交BD于点O，那么图中的等腰三角
形个数是( )
A．4 B．6 C．7 D．8
5. 用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设( )
A．a∥b B．c∥b C．a与c相交 D．a与b相交
6.用反证法证明“等腰三角形的底角必为锐角”时，第一步是假设____________________________．
7.如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成
两个小等腰三角形的是____(填序号).
8.如图所示,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,P为射线OC上一点,如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角
形,那么∠ODP的度数为____________.
9.如图，AB=CD，请你添加一个条件可以证明△AED是等腰三角形，你添加的条件是____________.
10.如图所示，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)判断△BOC的形状,并说明理由.11.如图，已知：在同一平面内，直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.(用反证法证明)
12.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
题型一：等腰三角形与个数问题
1．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且
△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，已知△ABC是等腰三角形，B（1，0），∠ABO＝60°，点C在坐标轴上，则满足条件的点C的
个数是（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图
中等腰三角形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，
交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
题型二：等腰三角形的判定证明题
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
6．已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求
证：△AED是等腰三角形．
7．在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题：
在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，画出图形（如图），给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
（1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定△ABC是等腰三角形．
请你用序号在横线上写出所有情形．答： ；
（2）选择第（1）题中的一种情形，说明是△ABC等腰三角形的理由，并写出解题过程．解：我选择
．
8．已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC是等腰三角
形．
题型三： 等腰三角形的性质与判定的综合应用9．如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（ ）
A．15 B．18 C．20 D．23
10．如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则
EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
题型四： 反证法
13．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞
∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（ ）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
14．若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则❑√a＞❑√b”，首先应该假设（ ）
A．❑√a＜❑√b B．❑√a=❑√b C．a＜b D．❑√a≤❑√b
15．用反证法证明“直角三角形两锐角中至少有一个不小于 ”，应先假设这个直角三角形中的每一个
锐角都 ．
16．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l
1
，l
2
被l
3
所截，∠1+∠2＝180°．
求证：假设l
1
l
2
，即l
1
与l
2
相交于一点P，则∠1+∠2+∠P＝ ，
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故假设不成立，所以 ．▲1、等腰三角形的判定定理：
有两个角 的三角形是等腰三角形.(简称“ ”).
▲２、用反证法证题的一般步骤:
①假设: 先假设命题的结论 ;
② 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件 的结果;
③结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的 .
