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1.2 等腰三角形
题型一 等边对等角
1．（25-26八年级上·全国·期末）等腰三角形的一个角是 ，则它的底角是（ ）
A． B． C． D． 或
2．（25-26八年级上·天津西青·月考）等腰三角形有一个角是 ，则它的底角是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，若 相交于点E，若 ， ，
则 的度数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在 中， ，点D在 上，连接 ，若
， ，则 的度数为 ．
5．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图，在 中， ，沿直线 翻折，使得点 与点
重合，若 ，则 的度数是 ．
6．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形 中， ，在 上取一点 ，使
，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点E， 交 于点 ．若
，则 °．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ，点 为 边的中点，连接 ，
为 上一点，连接 ．若 ， ，求 的度数．
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学科网（北京）股份有限公司题型二 三线合一
1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， 是 边上的中线，若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， 于点D，若 ，则 的
长为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在 中， ，D是 的中点， ，则
的大小为 ．
4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 的长为 ．
5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在五边形 中， ， ， ，
点 是 的中点，求证： ．
6．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，在 中， 是边 上的一点，且
．
(1)求证： ；
(2)求 的大小．
7．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：
画出图形，写出已知、求证，并证明）
已知：如图，在 中，______．
求证：______．
题型三 等边三角形的性质
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，将边长为 的等边 沿边 向右平移 得到 ，
则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图， 是等边三角形， 是 边上的高， 是 的中
点， 是 上的一个动点，图中能够表示 的最小值的是下列哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，将两个含 角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一
个等边三角形 ， ，则 的面积为 ．
4．（25-26八年级上·广东·期末）等边三角形 的面积为 ，则其边长为 ．
5．（25-26八年级上·天津津南·月考）如图， 等边三角形， ， ，求证：
．
6．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，点D，E分别是等边三角形 边 、 上的点，且
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学科网（北京）股份有限公司， 与 交于点F．
(1)求证 ．
(2)求 的度数．
题型四 反证法证明中的假设
1．（25-26九年级上·福建福州·月考）用反证法证明： 中， ，则 ，第
一步应假设（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在 中， ，求证： ．若用反证法来证明这个
结论，可以假设（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明命题“在 中， ，则 ”时，首
先应该假设（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设（ ）
A．同弧所对的圆周角不相等 B．同弧所对的圆心角互余
C．同弧所对的圆心角互补 D．同弧所对的圆心角不相等
5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）用反证法证明命题“若 ，则 ”时应先假设（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·江西宜春·月考）用反证法证明“若 的半径为r，点P到圆心的距离 ，则点P
在 的内部”时，首先应假设（ ）
A． B．点P在 内部
C．点P在 上 D．点P在 上或点P在 外部
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学科网（北京）股份有限公司7．（25-26八年级上·河南周口·月考）用反证法证明“已知 ， ，则 ”时，应假设：
．
8．（25-26九年级上·山西朔州·月考）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数
学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果 ，那么 ”，首先应假设
．
题型五 用反证法证明命题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空：
小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤：
①假设在 中， 和 都是直角；
②则 ， ；
③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”）
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线 ，直线 分别与直线 ， 交于点
G，H， 和 是同位角．求证： ．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：一个三角形中最大的内角不小于 ．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
5．（25-26八年级上·山东聊城·月考）用反证法证明：如果 ，那么 ， 中至少有一个大于零．
6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）华东师大版八年级上册数学课本第12—13页的“阅读与思考”：为
什么说 不是有理数．
(1)【阅读与思考】假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得 ，由 的意义可得
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学科网（北京）股份有限公司，即 ______．①
显然， 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．
设 （s是正整数），代入①，得 ______．
显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾．
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数．
(2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面
的过程补充完整．
已知：如图， 是 的一个外角．
求证： ．
证明：假设______________．
在 中， ，
______ ．
∴ ______ ，
∵ ______，
∴ ______，
∴∴与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立，即 ．
(3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为 ，长与宽之比为 ．他想用这张彩纸剪出一个
半径为 的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？
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学科网（北京）股份有限公司题型一 根据等角对等边证明边相等
1．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形 中， 平分 交 边
于点 ，则线段 的长度分别为（ ）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
2．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，已知 平分 ， 平分 ，且 ，设
， ， ，则 的周长是 ．
3．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在 中， ， 将 三
等分，点D， 在 上．
(1)求 的度数；
(2)写出图中所有的等腰三角形．
4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图， 是 的外角．
(1)尺规作图：作 的平分线 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ，求证： 是等腰三角形．
5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点， 相交于点G，
， ， ．求证：
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学科网（北京）股份有限公司(1) ；
(2) 是等腰三角形．
6．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在 中，点 在 上，点 在 上， ，
， 与 相交于点 ．
(1)证明： ．
(2)证明： 是等腰三角形．
7．（25-26八年级上·云南红河·期中）如图， 是 的角平分线， 交 于点 ，求证：
是等腰三角形．
8．（25-26八年级上·河北衡水·期中）在 中，D是 边上的一点， ， ，
．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，试用a、b表示 的周长．
题型二 格点图中画等腰三角形
1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在 的正方形网格中，A，B是两个格点，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司在网格中找到一个格点C，使得 是以 为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个．
2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在 的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中 ，
两个格点，请在图中再寻找另一个格点 ，使 成为等腰三角形，则满足条件的点 有 个．
3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在如图所示的 的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
(1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为8个平方单位的等腰三角形；
(2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条斜边长为 的直角三角形．
4．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图在 网格中，点 ， 为格点，按要求画出格点三角形．
(1)在图①中画出以 为腰的等腰三角形 ，则你画的等腰三角形的周长为______．
(2)在图②中画出以 为底的等腰三角形 ，则你画的等腰三角形的面积为______．
5．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个
单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求
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学科网（北京）股份有限公司作图，使所作图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中以 为腰画一个等腰三角形 ；
(2)在图②中以 为底边画一个等腰三角形．
6．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称
为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作
图痕迹．
(1)在图①中，以 为腰画一个等腰三角形 ；
(2)在图②中，以 为边画一个三角形 ，使 ；
(3)在图③中，画 的高线 ．
题型三 找出图中的等腰三角形
1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中， 是角平分线，则图中
的等腰三角形共有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 平分 交 于
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学科网（北京）股份有限公司点 ， 交 于点 ，则图中共有等腰三角形（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图， 平分 ，点E在 上，且 ；找出图形中的
等腰三角形，并加以证明．
4．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在 中，点D在边 上， ．
(1)写出以点B为顶点的三角形；
(2)写出以 为边的三角形；
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形．
5．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，在 中， 于点 是 上一点， ．
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
(2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形．
6．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，在 中，点D，E在边 和边 上，且
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学科网（北京）股份有限公司．
(1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形；
(2)找出图中所有的等腰三角形．
题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点
1．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）平面直角坐标系中，已知点 和 ，若动点 在 轴上运
动，则使 为等腰三角形的点 有（ ）个．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知 AOB，在x轴上确定点
C，使 ABC为等腰三角形，若 ，则符合条件的点 共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在 中， ， ，若点P为直线
上一点，且 为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在 中， ，在直线 上取一点 ，使
得 为等腰三角形，则符合条件的点 共有（ ）个．
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学科网（北京）股份有限公司A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线 相交形成的夹角中，锐角为 ，交点为 ，点 在
直线 上，直线 上存在点 ，使以点 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点 有 个．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线 、 交于点 ， 为直线 上一定点， 为直线 上一
动点， ．若以点 、 、 为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：
(1)如图1，当 时，满足条件的等腰三角形有 个；
(2)如图2，当 时，满足条件的等腰三角形有 个．
7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在直线 上能否找到点A，使以 为一边的 是等腰
三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来．
题型五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
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学科网（北京）股份有限公司1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点C在坐标
轴上，若 是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．7个
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ， ．点 为直线 上
一动点，若点 与 三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点 的位置有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在 中， ， ，以 的一边为边
画等腰三角形，使得它的第三个顶点在 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（24-25八年级上·全国·期中）点 是等边三角形 所在平面上一点，若 和 的三个顶点所组
成的 、 、 都是等腰三角形，则这样的点 的个数为
5．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中， 的三个顶点的位置如图所示．
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学科网（北京）股份有限公司(1)请画出 关于 轴对称的
(2)直接写出 ， ， 三点的坐标；
(3)在 轴上找出点 ，使得点 到点 、点 的距离之和最短（保留作图痕迹）
(4)点 在坐标轴上，且满足 是等腰三角形，符合条件的 点有 个．
6．（22-23八年级上·湖北鄂州·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移
3个单位，再向下平移1个单位到△ABC ，△ABC 和△ABC 关于x轴对称
1 1 1 1 1 1 2 2 2
(1)画出△ABC 和△ABC ；
1 1 1 2 2 2
(2)在x轴上确定一点P，使BP+AP的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）；
1
(3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有 个.
题型六 等腰三角形的性质与判定
1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作
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学科网（北京）股份有限公司交 于 ，交 于N，若线段 ，则 ．
2．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在 中，点 、 在边 上， ，
．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的度数．
3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ，D是 的中点，E、F分
别在 上，且 ．
(1)求证：
(2)若 ，求 的长
(3)求证：
4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在四边形 中， ， 平分 ，且 ，
过点 作 于点 ，连接 并延长交 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ， ，求四边形 面积．
5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角 中，点 是 边上一点，
于点 ， 与 交于点 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ，请判断 的形状，并说明理由．
6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1， ， ，
(1)求证： ；
(2)若 ，设 ，求 的值；
(3)如图2，若 ，延长 交 于 ，设 ， ，猜想 ， 满足的关系式并证明．
题型七 等边三角形的性质与判定
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中， ，点D为 边上一点，连接 ，
，过点C在 的右侧作 ，连接 ．若 ，则 的度数为
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，在 中， ， ， ．将 沿BC
所在直线向右平移得到 ，连接 ．若 ，则线段 的长为 ．
3．（25-26八年级上·天津·月考）如图，在 中， ， ，点 在边 上， ，
射线 ，垂足为点 ，点 是射线 上的一动点，点 在线段 上，当 的值最小时，则
．
4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形 中， ， ， ，若
， ，求 的长．
5．（25-26八年级上·天津西青·月考）如图，草地边缘 与小河河岸 在点 处形成 的夹角．已知
，牧民赶着羊从 地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到 地．
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学科网（北京）股份有限公司（1）能否求出整个过程所走的最短路程？ ．（用“能”或“否”填空）；
（2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由
6．（25-26八年级上·全国·期末）如图， 是等边三角形，D是 延长线上一点， 平分 ，
且 ． 求证： 是等边三角形．
7．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在 中， ， ，点 是 外一点，且
，过点 作 分别交 ， 于点 ， ．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的长．
8．（25-26八年级上·天津·月考）如图，等腰 中， ， ， ，点D在线段
上运动（不与 ， 重合），将 与 分别沿直线 ， 翻折得到 与 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1) 的长度为_______；
(2)求 的度数；
(3)当点D是 的中点时，判断 是何种三角形，并说明理由．
题型八 含30°角的直角三角形
1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在 中， ，则
的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知 中， ， ， 平分 ，且
交 于点D， ，那么 的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．
3．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，在 中， ， 是 边上的高， ，
，则 的长为 ．
4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图， 为等边三角形，过点B作 ，过点A作
，垂足为D，已知 的周长是24，则 的长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司5．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ， ， ．点 是 边上的一个动点，当 时，则
的度数为 ．
6．（2026九年级·全国·专题练习）如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷
达站测得 米，仰角为 ，3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处
的仰角为 ．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米/秒，参考
数据： ）
7．（25-26八年级上·全国·期末）如图， 是等边三角形， 是 边上一点，以 为一边向上作等
边 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：
(2)若 ，求 的度数
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的长
8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在 中， ，连接 ，过点 作 ，交
的延长线于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ；
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
题型一 等腰三角形的综合应用
1．（25-26八年级上·山西忻州·月考）高效路径规划中的转化策略
在数学与实际问题解决中，我们常常通过转化，将陌生情境转化为熟悉模型．“最短路径”问题便是经典
范例，其核心思想在物流规划、电路设计、交通优化等领域有着广泛应用．
情境导入
某新建社区计划在主干道 上设立一个便民配送中心 ，用于同时服务位于 同侧的居民区 和商业区 ．
为保证配送效率，需确定点 的位置，使得从 到 ，再从 到 的总路程 最短．该问题可抽象为
以下几何模型：
问题一：基础模型构建
（1）如图1，已知直线 外有两点 和 位于 异侧．请你在直线 上确定一个点 ，使 最短（保留
作图痕迹，不写作法），这其中的道理是_____________．
问题二：实际应用作图
（2）已知直线 及同侧两点A，B的位置如图2所示．请使用尺规作图，在 上标出使 最短的点
的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
问题三：拓展情境探究
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学科网（北京）股份有限公司（3）如图3，该社区进一步优化服务，在两条交叉的道路 与 旁分别设立了“智能快递柜”与“便民
缴费点”．居民王阿姨需要从家 出发，先到道路 上的快递柜 取件，再到道路 上的缴费点 办理
业务，最后回到家 ．
①请分别在边 ， 上各找一点E，F，使得走过的路程最短．（辅助线用虚线，最短路径用实线表
示）
②若 ， ，求 的周长的最小值．
2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）在 和 中， ，射线
相交于点 ．
(1)如图1，当 时，则 与 的数量关系为：___________， ____________ ；
(2)如图2，当 时，请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由；
(3)如图3，当 时，连接 ，当 三点刚好在同一直线上时，请直接写出 的度
数．
3．（25-26八年级上·北京海淀·月考）如图， 是等边三角形，D，E两点是边 和 上的动点
（点D不与点B重合），满足 ， 与 交于点F．
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学科网（北京）股份有限公司(1)直接写出 的度数；
(2)作点B关于直线 的对称点M，连接 ，点N为 的中点，连接 ．
①依题意补全图形：
②请写出一个k的值，使得对于满足上述条件的任意一点F，总有 成立，并证明．
③设等边三角形的边长为2，直接写出 周长的最小值为__________．
4．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图1，在等边三角形 中， 于D， 于E，
与 相交于点O．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点G是线段 上一点， 平分 ， ， 交 所在直线于点F．求证：
；
(3)如图3，若点G是线段 上一点（不与点O重合），连接 ，在 下方作 ，边 交
所在直线于点F．猜想： 、 、 三条线段之间的数量关系，并证明．
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