文档内容
1.2 等腰三角形 第2课时 教学设计
1.教学内容
本节选自北师大版初中数学八年级下册第一章《三角形的证明及其应用》第1.2节“等腰三角
形”第2课时，核心知识点包括“等腰三角形的判定定理”与“反证法”的应用。通过对“等角对等
边”及“由矛盾得结论”的逻辑推演，帮助学生建立稳固的几何推理基础。
2.内容解析
本课重点阐明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的判定思路，鼓励学生利用全等三角形构
造来证明 AB=AC；同时通过小明关于“若两个角不相等，则其所对边也不相等”的推理，引入反证
法的基本证题思路，使学生熟悉“假设结论不成立→得到矛盾→断定结论成立”的过程，并结合实例
体会反证法在三角形证明中的特别作用。
1.教学目标
•理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。
•理解反证法的基本证题思路，培养逆向思维能力，并能简单应用。
2.目标解析
• 通过探究“等角对等边”，使学生能使用基本的几何作图与全等三角形知识，熟练论证“有两个角
相等的三角形是等腰三角形”。
• 通过讨论反证法实例，引导学生掌握反证法的基本过程，增强他们的逻辑思维与逆向思维能力，能
够在简单几何问题中灵活运用。
3.重点难点
• 教学重点：等腰三角形的判定及等角对等边的应用。
• 教学难点：用反证法证明几何命题的思路与写作结构。
学生已有三角形基本性质和全等判定法的认知基础，能理解等腰三角形“底边上的高、中线、
角平分线三线合一”的特点。但对“等角对等边”这一逆定理以及反证法的思维方法尚缺乏足够经验，
易在假设步骤与推导矛盾环节出现混乱，需要强化操作演示与思路梳理，帮助学生培养清晰、严谨的
几何推理方法。创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等(简述为：等边对等角).
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(三线合一).
②等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
2.情境引入
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
可以发现，有两个角相等的三角形是等腰三角形，如何证明这一结论呢？
【设计意图】通过复习等腰三角形、等边三角形的基本性质，激活学生已有知识背景；结合“两个角
相等是否推出两边相等”这一情境，引发学生思考，为新课的探究做好铺垫，激发他们的兴趣并明确
接下来的学习方向。
探究点1：等腰三角形的判定
1.尝试思考
如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为
对应边就可以了.
解：
分析：比如作BC的中线，或作∠A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三
角形．
证明：过A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC.
在△ABD与△ACD中，
∠ADB=∠ADC，∠B=∠C，AD=AD，∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∴AB=AC.
2.知识归纳
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).
符号语言：
在△ABC中，
∵∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边).
3.新知探究
例 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
4.练一练
一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是( )
A.40∘ ，70∘ B.30∘ ，90∘ C.60∘ ，50∘ D.40∘ ，20∘
解：A
【设计意图】通过作特殊线段（如高、中线或角平分线）让学生直观感受三角形的全等推理；再结合
例题解析，突出“等角对等边”在判断等腰三角形中的核心地位，完成对等腰三角形判定的深度理解。
探究点2：反证法
1.想一想
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论
成立吗?如果成立，你能证明它吗?小明：
如图，在△ABC中, 已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠C=∠B, 这与已知条件∠B≠∠C矛盾.因此
AB≠AC.
教师提问：你能理解他的推理过程吗?
2.知识归纳
◎反证法：
像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知
条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
注意：反证法是一种重要的数学证明方法，在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
3.新知探究
例 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
4.知识归纳
用反证法证题的一般步骤:
①假设: 先假设命题的结论不成立;
② 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结
果;
③结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
5.练一练
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°
解：C
6.典例分析
例1如图，已知在△ABC中，∠C=90∘ ，AD是角平分线，过点B作BA 的垂线与AD的延长线相交于
点E.求证：△BDE 是等腰三角形.
解：∵ 在Rt△ACD中，∠ADC+∠DAC=90∘，
又∵∠BDE=∠ADC，
∴∠BDE+∠DAC=90∘，
∵Rt△ABE 中，∠E+∠BAE=90∘，
又∵AD是∠BAC 的平分线，
即∠BAE=∠DAC ，
∴∠E=∠BDE，
∴BE=BD ，
∴△BDE 是等腰三角形.
例2 用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角.
已知:在△ABC中，AB=AC.
求证:∠B，∠C必为锐角.
证明:假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角，
∵AB=AC，∴∠B=∠C,
当∠B=∠C为直角时，∠B+∠C=180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾;
当∠B=∠C为钝角时，∠B+∠C>180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾.
综上所述，假设不成立，∴∠B，∠C必为锐角.
∴等腰三角形的底角必定是锐角.
【设计意图】通过“假设-归谬-结论”的逻辑线，让学生运用反证法解决实际几何问题，激发逆向思
维和逻辑推理能力。结合例题分析，让学生体会反证法在几何中的独特价值，完成对关键难点的突破。
1.如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是( )
A．任意三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形解：C
2.如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那
么你补充的条件不能是( )
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
解：C．
3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC.已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解：C.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE为角平分线，CE交BD于点O，那么图中的等
腰三角形个数是( )
A．4 B．6 C．7 D．8
解：D．
5. 用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设( )
A．a∥b B．c∥b C．a与c相交 D．a与b相交
解：C
6.用反证法证明“等腰三角形的底角必为锐角”时，第一步是假设____________________________．
解：等腰三角形的底角都为直角或钝角
7.如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角
形分成两个小等腰三角形的是____(填序号).解：②
8.如图所示,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,P为射线OC上一点,如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰
三角形,那么∠ODP的度数为____________.
解：30°或75°或120°
9.如图，AB=CD，请你添加一个条件可以证明△AED是等腰三角形，你添加的条件是____________.
解：BD=CA(答案不唯一)
10.如图所示，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
解： (1)证明:在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)△BOC是等腰三角形.理由如下:
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
∴∠OBC=∠OCB,
∴BO=CO,
∴△BOC是等腰三角形.11.如图，已知：在同一平面内，直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.(用反证法证明)
证明：如图．假设a与b相交，
则过点M有两条直线平行于直线c，
这与“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”相矛盾，所以a∥b .
12.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
解：(1)∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB.
(2)CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，由(1)得∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED.
【设计意图】此部分习题紧密围绕“等腰三角形判定定理”与“反证法”，结合各类图形与综合性问
题，帮助学生在做题过程中稳固所学。通过观察、画图、分析与解答，学生既可复习几何基本理论，
又能内化反证思维方法。主板书 副板书
1.2 等腰三角形 第二课时 例题
探究点1 等腰三角形的判定
探究点 2 反证法 学生练习板演
课堂小结
1.必做题：习题1.2第6，7，11题。
2.探究性作业：习题1.2第12题。
