文档内容
1.2 等腰三角形导学案
第1课时 等腰三角形的性质
1.掌握等腰三角形“等边对等角”“三线合一”及等边三角形的性质，明确两类三角形性质的关联与区别。
2.经历两类三角形性质的推理论证过程，理解证明逻辑，掌握几何证明书写格式。
3.能运用两类三角形性质解决简单角度计算、线段相等判定问题，提升应用能力。
学习重点：等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质及等边三角形的 60∘ 特征。
学习难点：：正确选取辅助线并运用全等三角形性质进行推理、组织几何证明格式。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①n边形的内角和等于 ，外角和等于 .
②正n边形每个内角的度数是: ，正n边形每个外角的度数为 .
③三角形按边分类：不等边三角形→三条边 的三角形.
等腰三角形→腰和底不等的等腰三角形， 三角形(三边都相等的三角形）
2.情景引入
图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
都是 三角形
都是 三角形
新知自研：自研课本第14--15页的内容．【学法指导】
自研课本P14-15页例题上面的内容，思考：
●探究一：等腰三角形的性质1
◆1.尝试交流
我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，你还记得这些性质吗？请你选择其中一条性质进行证明，并与
同伴进行交流.
定理:等腰三角形的两底角 .
这一定理可以简述为： .
转化成几何语言：已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.
【分析】我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个
的三角形.这启发我们，可以作一条 线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个
底角相等.
【证明】
方法一：作底边的中线AD，则BD= .（完成下面的过程）
方法二：作顶角的平分线
证明：作顶角的平分线AD，（完成下面的过程）
◆2.知识归纳
等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角 .(简单说成： .).
几何语言：
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴ . (等边对等角).
◆3.练一练
如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝( )
A．80° B．100° C．140° D．160°
探究点2：等腰三角形的性质2
◆1.议一议
由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征？为什么？与同伴进行交流.
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的 、底边BC上的 .
【解答】
◆2.知识归纳
等腰三角形的性质定理2：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的 、底边上的 重合(简单说成： ）.
几何语言：如图,在△ABC中,AB=AC, ∠1=∠2(已知),
◎∴∵BD=CD, （等腰三角形三线合一）.
AB=AC, BD=CD (已知),
◎∴∵ ,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
AB=AC, AD⊥BC(已知),
◎∴∵ , ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
◆3.练一练
如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是______.
探究点3：等边三角形的性质
◆1.尝试交流
等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？请尝试证明你发现的结论，并与同伴进行交流.
根据定义可知，等边三角形的三条边都相等.
还可以得出：
定理： 等边三角形的三个内角都 ，并且每个角都等于 .
转化成几何语言
已知：如图，在△ABC中， AB=AC=BC．
求证： ．
【证明】◆2.知识归纳
等边三角形的性质定理：
等边三角形的三个内角都 ，并且每个角都等于 .
几何语言：
∵△ABC是等边三角形,
∴AB= = ,
∠A= =60°.
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质.等边三角形 内角的平分线
都与它对边上的高、中线重合.
◆3.练一练
如图所示，△ABC是等边三角形，且点A在直线l上，则∠1+∠2等于______.
◆4.回顾反思
思考：回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形的经验？
总结：
①从生活实例切入，建立直观认知；
②根据动手操作（折叠、测量），猜想图形性质；
③通过逻辑证明（辅助线、全等转化），验证猜想；
④性质应用巩固，深化理解。
【例题导析】
自研课本下面的例1和例2内容，回答问题
典例分析
例1 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和
∠BAC的度数．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AE BC,从而求出∠CDE的度数,然后根据直角三角形两
锐角 求出∠DCE,根据角平分线的定义求出∠ACB的度数,再根据等腰三角形两底角 列式进行
计算即可求出∠BAC的度数.
【解答】
例2 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE，DE.若∠ABE＝40°，
BE＝DE，求∠CED的度数．
【分析】由△ABC为等边三角形,利用等边三角形的性质得到三个内角为 ,根据∠ABE=40°,求出
∠EBC的度数,根据BE=DE,利用等边对 得到∠EBC= ,求出 的度数,利用外角性质即可
求出∠CED的度数
【解答】
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.验证并证明等腰三角形和等边三角形的性质；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1.等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长为( )
A.13 B.14 C.15 D.13或14
2.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,则下列结论不一定正确的是( )
A.BD=CE B.OB=OC
C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE
3.如图所示，在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，O是边BC上任意一点，则点O到AB，AC
边的距离之和等于( )
A.5 B.7.5 C.9 D.10
4.如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为( )
A．120° B．135°
C．145° D．150°
5. 如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列四个结
论正确的是( )
①点P在∠BAC的平分线上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP.
A．全部正确 B．仅①和②正确
C．仅②和③正确 D．仅①和③正确
6.如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=64°，则∠C的度数为_____.7. 如图所示,在△ABC中，AB=AC，AD，CE是三角形的高，垂足分别为D，E，若∠CAD=20°，则∠BCE的
度数为_____.
8.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是_____.
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE.
10.如图所示，已知l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，求∠α
的度数．11.如图所示，△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN
与AM相交于点Q，求∠BQM的度数.
题型一：利用等腰三角形的性质计算
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，若BD＝4，则DC的长是（ ）
A．2 B．4 C．4❑√2 D．8
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝
10cm，则AB的长是（ ）
A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm
3．如图：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD＝BC，则∠A等于（ ）A．30° B．36° C．40° D．42°
4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接
BD，则∠DBC的度数为（ ）
A．30° B．32° C．34° D．36°
4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D．若∠ADE＝
40°，则∠CBD＝ ．
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB．
（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；
（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长．题型二： 等腰三角形中的多结论判断问题
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接
BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；② BD 平分∠ABC；③ BC＝AD；④ OD＝2CD．正确的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝
72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确
的序号有（ ）
A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，CE⊥BD，交AB于点E．关于下面两
个结论，说法正确的是（ ）
结论①∠ADE＝20°；结论②BC＝BE．
A．结论①②都正确 B．结论①②都错误
C．只有结论①正确 D．只有结论②正确
题型三： 利用等腰三角形性质证明
9．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB=AC，AP=AQ．求证：BP=CQ．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A分别作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求证：∠EAB
＝∠DAC．
11．如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，
求证：EC∥DF．
题型三： 利用等边三角形性质计算
12．如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的
度数为（ ）A．120° B．110° C．108° D．106°
13．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
14．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（ ）
3
A．1 B． C．2 D．3
2
15．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为
15，AF＝2，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型四： 利用等边三角形性质证明
16．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．17．如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接
DE．求证：CD＝CE．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求
证：BQ⊥CP．
19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F分别为垂足，△DEF是等边三角
形．
（1）求∠A的度数；（2）求证：EF∥BC．20．如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB＝DC，连接AD交BC于点E．
（1）求证：AD垂直平分BC；
（2）过点D作DF∥AB，AC＝5，FC＝2，求DF的长．
▲1、等腰三角形的性质定理1：
等腰三角形的两个底角 (简单说成： ).
▲2、等腰三角形的性质定理2：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的 、底边上的 重合(简单说成： ）.
▲3、等边三角形的性质定理：
①等边三角形的三个内角都 ，并且每个角都等 .
②等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质.等边三角形 内角的平分线都与它
对边上的高、中线重合.
