文档内容
第 2 课时 矩形的判定
1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)
2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)
一、情景导入
小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两
根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！
二、合作探究
探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形
如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边
形MPNQ的四个顶点都在矩形 ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形
MPNQ是矩形．
解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角
线相等．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AM＝BP＝CN＝DQ，
∴OM＝OP＝ON＝OQ.
∴四边形MPNQ是平行四边形．
又∵OM＋ON＝OQ＋OP，
∴MN＝PQ.
∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线
的条件证明矩形．
探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形
如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是
∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形．
解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．
第 1 页 共 3 页证明：∵GE∥HF，
∴∠GAB＋∠ABH＝180°.
∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，
∴∠1＝∠GAB，∠4＝∠ABH，
∴∠1＋∠4＝(∠GAB＋∠ABH)＝×180°＝90°，
∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.
同理可得∠ACB＝90°.
又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，
∠4＝∠ABH，∠2＝∠FBA，
∴∠2＋∠4＝(∠ABH＋∠FBA)＝×180°＝90°，即∠DBC＝90°.
∴四边形ADBC是矩形．
方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判
定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．
探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形
如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平
行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明
△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可
得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD
是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三
角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
第 2 页 共 3 页(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行
四边形是矩形是解本题的关键．
三、板书设计
通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定
理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合
作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.
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