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第一章 三角形的证明
1.2 等腰三角形
第 2 课时 等腰三角形的判定与反证法
【素养目标】
1. 掌握等腰三角形的判定定理并学会运用.(重、难点)
2. 理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明。 (重点)
3. 通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程， 发展推理能力， 培养分析、
归纳问题的能力。
【情境导入】
问题：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
如图，位于海上B 、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测
得∠B =∠C . 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发， 能不能同时赶到出
事地点(不考虑风浪因素)?
【合作探究】
探究点一、等腰三角形的判定
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。 反过来， 有两个角相等的三
角形是等腰三角形吗？
第 1 页建立数学模型：
如图，在 △ABC 中，∠B=∠C ，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系？
你能验证你的结论吗？
方法思考：
① 作高 AD 可以吗？
② 作角平分线 AD 呢？
③ 作中线 AD 呢？
【证一证】
证明： 过 A 作 AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D .
还有别的方法吗？
【知识要点】
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
(简称 “等角对等边”).
应用格式：
在 △ABC 中， ∵∠B =∠C ,
∴AB = AC (等角对等边).
辨一辨：如图，下列推理正确吗？
∵ ∠1=∠2 ∵ ∠1=∠2
∴ BD = DC (等角对等边). ∴ DC = BC (等角对等边)
第 2 页【典例精析】
例1 已知：如图，AB = DC ，BD = CA ，BD与CA相交于点E .
求证： △AED是等腰三角形。
【练一练】
1.已知： 如图，在△ABC 中， AB = AC , 点D,E分别是AB,AC上的点，且
DE//BC . 求证： △ADE 为等腰三角形。
探究点二、反证法
想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等， 那么这两个角所对
的边也不相等。 你认为小明这个结论成立吗？ 如果成立， 你能证明它吗？
小明是这样想的：
如图，在△ABC中，已知∠B ≠ ∠C ，此时，AB与AC要么相等，要么不相等。
假设AB = AC，那么根据定理“等角对等边”可得∠C = ∠B ，这与已知条
件是 ∠B ≠∠C , 相矛盾，因此 AB ≠ AC .
你能理解他的推理过程吗？
【知识要点】
第 3 页在证明时， 先假设命题的结论不成立， 然后推导出与定义、基本事实、
已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立， 这种证明
方法称为反证法。
【方法总结】
用反证法证题的一般步骤
1. 假设：先假设命题的结论不成立；
2. 归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定
理或已知条件相矛盾的结果；
3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。 已知：△ABC .
求证：∠A,∠B,∠C 中不能有两个角是直角。
【练一练】
2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角≤60°. 已知：△ABC .
求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60∘ .
证明： 假设 __________________________________________ ,
则 __________________________________________ .
∴ __________________________________________ ,
即 __________________________________________ .
这与 __________________________________________ 矛盾，
故假设不成立。 ∴ __________________________________________ .
第 4 页当堂反馈
1.在△ABC中，∠B＝∠C.若AC＝4，则AB的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD的长为 ( )
A.3 cm B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm
第2题图 第3题图
3.把两个全等的含30°角的直角三角板按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三
角形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4. 用 反 证 法 证 明 “ 等 角 对 等 边 ” ， 应 先 假 设
__________________________________.
5.如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠DBC＝36°.
(1)求∠1的度数；
(2)求证：BC＝BD＝AD.
第 5 页参考答案
探究点一、等腰三角形的判定
【证一证】
证明：过A作AD平分∠BAC 交BC于点D .
∠B=∠C,
{
在△ABD与△ACD 中， ∠1=∠2, ∴△ABD≌△ACD (AAS).
AD = AD,
∴ AB = AC .
辨一辨：错，因为都不是在同一个三角形中。
例1 证明：∵AB = DC,BD = CA,AD = DA ,
∴ △ABD≅△DCA (SSS). ∴∠ADB=∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴AE = DE (等角对等边).∴△AED 是等腰三角形。
【练一练】1. 证明： ∵AB = AC , ∴∠B =∠C .
又 ∵ DE∥BC ,∴∠ADE =∠B,∠AED =∠C .
∴∠ADE =∠AED .∴△ADE 为等腰三角形。
探究点二、反证法
例2 证明： 假设∠A,∠B,∠C 中有两个角是直角， 不妨设∠A和∠B是直角，
∠A = 90∘,∠B=90∘ . 于是∠A+∠B+∠C = 90∘+90∘+∠C>180∘ .
这与三角形的内角和定理矛盾，因此∠A 和 ∠B 是直角的假设不成立。
所以一个三角形中不能有两个角是直角。
【练一练】2. 证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于 60∘ ,
则 ∠A>60∘,∠B>60∘,∠C>60∘ .
∴∠A+∠B+∠C>60∘+60∘+60∘=180∘ ,
即 ∠A+∠B+∠C>180∘ .
这与 三角形的内角和为 180∘ 矛盾，故假设不成立。
∴ △ABC 中至少有一个内角小于或等于 60∘ .
当堂反馈
1. C. 2. A. 3.D.
4. 某三角形中的两个角相等，这两个角所对的边不相等 .
5.(1)解：在△ABC中，∵∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°，
∴∠1=∠ABC -∠DBC=36°.
(2)证明：在△BCD中，
∵∠2=180°-∠DBC -∠C=72°,
∴∠2=∠C. ∴ BD = BC.
第 6 页∵∠1=∠A = 36°,∴ BD = AD. ∴BC = BD = AD.
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