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能力强化 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
例题练习题答案
例1 【答案】（1）是；（2）否；（3）是；（4）否；（5）否
练1.1 【答案】A
例2 【答案】 2
3x −8x−10 = 0，二次项系数3、一次项系数−8，常数项−10
练2.1 【答案】D
例3 【答案】 解：∵关于x的方程(a−3)x |a−1| +(a+1)x−3 = 0是一元二次方程
∴a−3 ≠ 0，|a−1| = 2
∴a = −1
练3.1 【答案】C
例4 【答案】 2
解：（1）∵x = 12
∴x = 2√3，x = −2√3
1 2
1
2
（2）∵ x = 5
3
2
∴x = 15
∴x = √15，x = −√15
1 2
1
( )2
（3）∵ x+ = 4
2
1 1
∴x+ = 2或x+ = −2
2 2
3 5
∴x = ，x = −
1 2
2 2
1
( )2
（4）∵ x+3 = 16
21 1
∴ x+3 = 4或 x+3 = −4
2 2
∴x = 2，x = −14
1 2
练4.1 【答案】 2
解：（1）∵x = 25
∴x = 5，x = −5
1 2
2
（2）∵4x = 9
9
2
∴x =
4
3 3
∴x = ，x = −
1 2
2 2
2
（3）∵(x−1) = 3
∴x−1 = √3或x−1 = −√3
∴x = 1+√3，x = 1−√3
1 2
2
（4）∵(2x+3) = 49
∴2x+3 = 7或2x+3 = −7
∴x = 2，x = −5
1 2
例5 (1)【答案】C
(2)【答案】D
(3)【答案】 2
①∵x +2x = 0
2 2
∴x +2x+1 = 1即(x+1) = 1
∴x+1 = 1或x+1 = −1
∴x = 0,x = −2
1 2
2
②∵x −4x−1 = 0
2
∴x −4x+4−1 = 4
2
∴(x−2) = 5
∴x−2 = √5或x−2 = −√5
∴x = 2+√5,x = 2−√5
1 21
2
③∵ x +2x−5 = 0
3
1
( )
2
∴ x +6x+9 −5−3 = 0
3
1
2
∴ (x+3) = 8
3
∴x+3 = 2√6或x+3 = −2√6
∴x = −3+2√6,x = −3−2√6
1 2
2
④∵3x −6x−15 = 0
( )
2
∴3 x −2x+1 −15−3 = 0
2
∴3(x−1) = 18
∴x−1 = √6或x−1 = −√6
∴x = 1+√6,x = 1−√6
1 2
练5.1 (1)【答案】D
(2)【答案】 2
解：①∵4x −8x+1 = 0
( )
2
∴4 x −2x+1 +1−4 = 0
2
∴4(x−1) = 3
√3 √3
∴x−1 = 或x−1 = −
2 2
2+√3 2−√3
∴x = ,x =
1 2
2 2
1
2
②∵ x −3x+4 = 0
2
1 9
( )
2
∴ x −6x+9 +4− = 0
2 2
1 1
2
∴ (x−3) =
2 2∴x−3 = −1或x−3 = 1
∴x = 2,x = 4
1 2
例6 (1)【答案】 2
解：m +m+1
1 3
2
= m +m+ +
4 4
1 3
( )2
= m+ +
2 4
3
≥
4
3
2
∴代数式m +m+1的最小值为
4
(2)【答案】 2
解：4−x +2x
( )
2
= 4− x −2x
( )
2
= 4− x −2x+1 +1
2
= 5−(x−1)
≤ 5
2
∴代数式4−x +2x的最大值为5
练6.1 【答案】 2
证明：2x −6x+5
9 9
( )
2
= 2 x −3x+ − +5
4 2
3 1
( )2
= 2 x− +
2 2
1
≥
2
所以不论x为何值，代数式2x 2 −6x+5的值总大于0
能力强化 / 初三 / 暑假第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】B
【解析】一元二次方程有②③，共2个，
故选：B．
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】B
8 【答案】D
9 【答案】B
10 【答案】 1
2
解：方程整理得：x −2x = ，
2
3
2
配方得：x −2x+1 = ，
2
3
2
即(x−1) = ，
2
√6
开方得：x−1 = ± ，
2
√6 √6
解得：x = 1− ，x = 1+ ．
1 2
2 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程的认识与解法课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】B
【解析】 2
∵(m+2)x m −4 +3x−1 = 0是关于x的一元二次方程，
2
∴m −4 = 2，m+2 ≠ 0，
解得：m = ±√6．
故选：B．
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】D
能力强化 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
精选精练
1 【答案】B
【解析】 2
−2(x−1) = x+3，
( )
2
−2 x −2x+1 = x+3，
2
−2x +4x−2 = x+3，
2
−2x +4x−2−x−3 = 0，
2
−2x +3x−5 = 0，
2
2x −3x+5 = 0，
则b = −3，c = 5，
故选：B．
2 【答案】6
【解析】 ∵m是关于x的方程x 2 −2x−3 = 0的一个根，
2
∴m −2m−3 = 0，
2
∴m −2m = 3，2
∴2m −4m = 6，
故答案为：6．
3 【答案】A
【解析】 2 2 2 2
A−B = 10a +2b −7a+6−a −2b −5a+1
2
= 9a −12a+7
4 2 2
( ] 2
2 2
= 9[a − a+ − ) +7−9×(− )
3 3 3
2
( )2
= 9 a− +3，
3
2
( )2
∵9 a− ≥ 0，
3
2
( )2
∴9 a− +3 > 0，即A−B > 0．
3
∴A−B的值是正数．
故选：A．
4 【答案】B
【解析】 √ 2
∵原式 = 27−12a+2a
√ ( )
2
= 2 a −6a+9 +9
√
2
= 2(a−3) +9
2
∴当(a−3) = 0，即a = 3时
√
代数式 27−12a+2a 2 的值最小，为√9即3
故选：B．
5 (1)【答案】−2；
2；
2；
小；
2．
(2)【答案】 2
x −1−(2x−3)2
= x −2x+2；
2
= (x−1) +1 > 0，
2
则x −1 > 2x−3．
6 【答案】解：小聪正确．
2
∵a −4a+5
( )
2
= a −4a+4 +1
2
= (a−2) +1
2
又∵(a−2) ≥ 0
2
∴(a−2) +1 > 0
即该方程的二次项系数不为0
∴无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程
能力强化 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】D
例2 【答案】 2
解：（1）∵x −x−2 = 0，
∴a = 1，b = −1，c = −2，
2
∴Δ = (−1) −4×1×(−2) = 9，
1±√9
∴x = ，
2
∴x = −1，x = 2；
1 2
2
（2）∵2x −5x−1 = 0，
∴a = 2，b = −5，c = −1，
2
∴Δ = (−5) −4×2×(−1) = 33，5±√33
∴x = ，
4
5+√33 5−√33
∴x = ，x = ；
1 2
4 4
2
（3）∵0.3y +y = 0.8，
∴a = 0.3，b = 1，c = −0.8，
2
∴Δ = 1 −4×0.3×(−0.8) = 1.96，
−1±√1.96
∴y = ，
0.6
2
∴y = ，y = −4；
1 2
3
（4）∵x 2 −3√2x+3 = 0，
∴a = 1，b = −3√2，c = 3，
∴Δ = ( −3√2 )2 −4×1×3 = 6，
3√2±√6
∴x = ，
2
3√2+√6 3√2−√6
∴x = ，x = ．
1 2
2 2
练2.1 【答案】 5+√41 5−√41
（1）x = ，x =
1 2
2 2
3+√21 3−√21
（2）x = ，x =
1 2
4 4
（3）x = −3+√11，x = −3−√11
1 2
（4）x = x = √2
1 2
例3 (1)【答案】D
(2)【答案】 2
解：①∵5x = 4x
2
∴5x −4x = 0∴x(5x−4) = 0
∴x = 0或5x−4 = 0
4
∴x = 0，x =
1 2
5
2
②∵x −9 = 0
∴(x+3)(x−3) = 0
∴x−3 = 0或x+3 = 0
∴x = 3，x = −3
1 2
2
③∵x +2x+1 = 0
2
∴(x+1) = 0
∴x = x = −1
1 2
2
④∵x −x−2 = 0
∴(x−2)(x+1) = 0
∴x−2 = 0或x+1 = 0
∴x = 2，x = −1
1 2
2
⑤∵3x −x−4 = 0
∴(x+1)(3x−4) = 0
∴x+1 = 0或3x−4 = 0
4
∴x = −1，x =
1 2
3
2
⑥∵2(x+5) = x(x+5)
2
∴2(x+5) −x(x+5) = 0
∴[2(x+5)−x](x+5) = 0
∴x+5 = 0或x+10 = 0
∴x = −5，x = −10
1 2
练3.1 (1)【答案】B
(2)【答案】①x = 0，x = 4
1 21 1
②x = ， x = −
1 2
2 2
1
③x = x =
1 2
2
④x = −1，x = −3
1 2
⑤x = 8，x = −3
1 2
9
⑥x = 1，x = −
1 2
2
2
⑦x = 1，x =
1 2
3
例4 (1)【答案】D
(2)【答案】x = √3，x = −√3
1 2
②x = 7+√57，x = 7−√57
1 2
③x = 9，x = −2
1 2
④x = 3，x = 9
1 2
−3+√17 −3−√17
⑤x = ，x =
1 2
4 4
练4.1 【答案】 √3 −√3
（1）x = ，x =
1 2
2 2
（2）x = −3+√10，x = −3−√10
1 2
5+√13 5−√13
（3）x = ，x =
1 2
2 2
（4）x = 6，x = 2
1 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】B
6 【答案】B
7 【答案】D
8 【答案】C
9 【答案】解：（1）2(x−3)−3x(x−3) = 0，
(x−3)(2−3x) = 0，
x−3 = 0或2−3x = 0，
2
所以x = 3，x = ；
1 2
3
2
（2）x −2x = 2，
2
x −2x+1 = 3，
2
(x−1) = 3，
x−1 = ±√3，
所以x = 1+√3，x = 1−√3．
1 2
【解析】①先移项得到2(x−3)−3x(x−3) = 0，然后利用因式分解法解方程；
②利用配方法解方程．
10 【答案】 1+√5 1−√5
（1）x = x = −5（2）x = ，x =
1 2 1 2
2 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
课堂落实答案
1 【答案】A2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】 2
解：（1）x +3x+1 = 0
∵a = 1，b = 3，c = 1，
2 2
∴Δ = b −4ac = 3 −4×1×1 = 5 > 0，
−3±√5 −3±√5
∴x = = ，
2×1 2
−3+√5 −3−√5
∴x = ，x = ；
1 2
2 2
2
（2）(x−2) = 3x−6
2
∴(x−2) = 3(x−2)
2
∴(x−2) −3(x−2) = 0
∴(x−2)(x−2−3) = 0
∴x−2 = 0或x−5 = 0，
∴x = 2，x = 5．
1 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
精选精练
1 (1)【答案】 2
解：∵2x −7x+1 = 0，
2 2
∴Δ = b −4ac = (−7) −4×2×1 = 41，
7±√41
∴x = ，
4
7+√41 7−√41
∴x = ，x = ；
1 2
4 4【解析】 2
求出b −4ac的值，再代入公式求出即可；
(2)【答案】∵x(x−3)+x−3 = 0．
∴x(x−3)+x−3 = 0，
∴(x−3)(x+1) = 0，
∴x−3 = 0，x+1 = 0，
∴x = 3，x = −1．
1 2
【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
2 (1)【答案】 2
解：∵x −2x = 0；
∴x(x−2) = 0，
∴x = 0或x−2 = 0，
∴x = 0，x = 2；
1 2
【解析】利用因式分解法求解即可；
(2)【答案】方法一：
2
∵x −6x−1 = 0
2
∴x −6x+9 = 10
2
∴(x−3) = 10
∴x−3 = √10或x−3 = −√10
∴x = 3+√10，x = 3−√10．
1 2
方法二：
2
∵x −6x−1 = 0
∴a = 1，b = −6，c = −1，
2
∴Δ = (−6) −4×1×(−1) = 40，
6±√40
∴x = = 3±√10，
2
∴x = 3+√10，x = 3−√10．
1 2
3 (1)【答案】 2
解：∵x −10x+9 = 0
∴(x−9)(x−1) = 0
∴x−9 = 0或x−1 = 0∴x = 9，x = 1
1 2
【解析】根据因式分解法，可得答案；
(2)【答案】 2
∵x −3x−1 = 0
∴a = 1，b = −3，c = −1，
2
∴Δ = b −4ac = 9−4×1×(−1) = 13 > 0，
3±√13
∴x = ，
2
3+√13 3−√13
∴x = ，x = ．
1 2
2 2
【解析】根据公式法，可得答案．
4 (1)【答案】∵x(2x−5) = 4x−10
∴x(2x−5)−2(2x−5) = 0
∴(2x−5)(x−2) = 0
∴2x−5 = 0或x−2 = 0
5
∴x = ，x = 2
1 2
2
【解析】用因式分解法求解即可；
(2)【答案】 2
∵2x +5x+1 = 0
∴a = 2，b = 5，c = 1
2
∴Δ = 5 −4×2×1 = 17
−5±√17 −5±√17
∴x = =
2×2 4
−5+√17 −5−√17
∴x = ，x =
1 2
4 4
【解析】用公式法求解即可；
(3)【答案】 2
∵x +5x+7 = 3x+6
2
∴x +2x+1 = 0
2
∴(x+1) = 0∴x = x = −1
1 2
【解析】用因式分解法求解即可．
5 【答案】 5
（1）x = ± ；
4
（2）x = ±2√2−1 ．
6 【答案】 2
解：∵2x +12x+10 = 0
2
∴x +6x+5 = 0
2
∴(x+3) = 4
∴x = −1,x = −5
1 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 3 讲 判别式与韦达定理
例题练习题答案
例1 (1)【答案】A
(2)【答案】C
(3)【答案】 2
证明：∵x +ax+a−1 = 0是一元二次方程
2 2
∴Δ = a −4(a−1) = (a−2) ≥ 0，
∴关于x的一元二次方程x 2 +ax+a−1 = 0总有实数根．
练1.1 (1)【答案】C
(2)【答案】C
(3)【答案】C
例2 (1)【答案】 解：∵x 2 +x+a = 0是关于x的方程
2
∴Δ = 1 −4a
如果方程有两个不等的实数根
2
则Δ = 1 −4a > 01
∴a <
4
②如果方程有两个相等的实数根
2
则Δ = 1 −4a = 0
1
∴a =
4
③如果方程没有实数根
2
则Δ = 1 −4a < 0
1
∴a >
4
(2)【答案】 2
解：∵关于x的方程mx +(m−2)x+2 = m有两个相等的实数根
∴m ≠ 0，且Δ = 0
2
又Δ = (m−2) −4⋅m⋅(2−m)
2
= 5m −12m+4
2
∴5m −12m+4 = 0
2
∴m = 2或m =
5
又∵m是整数
∴m = 2
练2.1 (1)【答案】A
(2)【答案】C
例3 【答案】D
练3.1 【答案】B
例4 【答案】D
练4.1 【答案】C
例5 【答案】4
3练5.1 【答案】7
2
2
例6 (1)【答案】 26
−
3
18
(2)【答案】10
(3)【答案】14
练6.1 (1)【答案】C
(2)【答案】C
(3)【答案】C
能力强化 / 初三 / 暑假
第 3 讲 判别式与韦达定理
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
3 【答案】A
4 【答案】A
5 【答案】B
6 【答案】C
7 【答案】D
8 【答案】D
9 【答案】A
10 【答案】m = 3
能力强化 / 初三 / 暑假第 3 讲 判别式与韦达定理
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 3 讲 判别式与韦达定理
精选精练
1 【答案】 2
证明：∵x −(m−3)x−m = 0
2
∴Δ = [−(m−3)] −4×1×(−m)
2
= m −6m+9+4m
2
= m −2m+9
2
= (m−1) +8
> 0
∴方程有两个不相等的实数根
2 (1)【答案】解：将x = 1代入原方程，得：1+a+a−2 = 0，
1
解得：a = ．
2
【解析】代入x = 1可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；
(2)【答案】 2 2
证明：Δ = a −4(a−2) = (a−2) +4．
2
∵(a−2) ≥ 0，
2
∴(a−2) +4 > 0，即Δ > 0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
3 (1)【答案】根据题意得k ≠ 0且Δ = 36+16k ≥ 0，
9
解得k ≥ − 且k ≠ 0．
4
9
即当k ≥ − 且k ≠ 0时，原方程有解；
4
(2)【答案】根据题意得k ≠ 0且Δ = 36+16k < 0，
9
解得k < − ，
4
9
即当k < − 时，原方程无解．
4
4 (1)【答案】 3
当k = 0时，x = ，满足题意，
2
当k ≠ 0时，由题意得：Δ = 36−36k ≥ 0且k ≠ 0，
解得：k ≤ 1且k ≠ 0；
综上k的取值范围是k ≤ 1；
(2)【答案】由题意得：Δ = 36−36k = 0
解得：k = 1
2
∴原方程化为：x −6x+9 = 0
解得：x = x = 3
1 2
【解析】只要让根的判别式△=b2 ﹣4ac=0，求得k的值，进而求得方程的解即可．
5 【答案】 解：∵关于x的一元二次方程x 2 +(2k−1)x+k 2 +1 = 0有实数根x 、x ，
1 2
2
∴x +x = −(2k−1)，x x = k +1，
1 2 1 2
2 2 ( )2
∵x +x = x +x −2x x = 17，
1 2 1 2 1 2
( )
2 2
∴[−(2k−1)] −2 k +1 = 17，
解得：k = 1+√10，k = 1−√10，
1 2
2 2
又∵方程x +(2k−1)x+k +1 = 0有两个实数根，( )
2 2
∴Δ = (2k−1) −4 k +1 ≥ 0，
3
∴k ≤ −
4
∴k = 1+√10不合题意，舍去；
1
故符合条件的k的值为1−√10．
【解析】 2 2 ( )2
依据根与系数关系，表示出两根的和与两根的积，依据x +x = x +x −2x x ，即
1 2 1 2 1 2
可得到关于k的方程，即可求得k的值．
6 (1)【答案】解：∵方程只有一个实根
1
∴1−2k = 0，即k =
2
1 1 1
( )
∴原方程变形一元一次方程−2 +1 x− × = 0
2 2 2
1
解得：x = −
12
【解析】 1
方程只有一个实根，则1−2k = 0，即k = ，于是原方程变形一元一次方程
2
1 1 1
( )
﹣2 +1 x− × = 0，然后解此方程即可；
2 2 2
(2)【答案】 ∵ 方程有两个不相等的实根
1
∴1−2k ≠ 0，即k ≠ 且Δ > 0
2
1
( )
∴ 4(k+1) 2 −4(1−2k)× − k > 0
2
2
∴ k > −
5
1
− k
−2(k+1) 2
∵ x +x = − ，x ⋅x =
1 2 1 2
1−2k 1−2kx +x
1 1 1 2
而 + = −6，即 = −6
x x x x
1 2 1 2
2(k+1)
∴ = −6，解得k = 2
1
− k
2
∴ k的值为2
【解析】 2
由于方程有两个不相等的实根，Δ > 0，得到k＞− ，然后根据根与系数的关系得到
5
1
− k
x +x
−2(k+1) 2 1 1 1 2
x +x = − ，x ⋅x = ，再有 + = −6变形为 = −6，
1 2 1 2
1−2k 1−2k x x x x
1 2 1 2
即可得到关于k的方程，解方程即可．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 4 讲 二次函数的图象与性质（一）
例题练习题答案
例1 (1)【答案】C
(2)【答案】−2
练1.1 (1)【答案】a ≠ 2
(2)【答案】0
例2 (1)【答案】C
(2)【答案】C
(3)【答案】5
【解析】解：∵y=(2-m)x|m|-3
是二次函数,∴|m|-3=2,解得m=5或m=-5,
∵抛物线图象开口向下,∴2-m<0,解得m>2,∴m=5,故答案为：5．
(4)【答案】a > a > a
1 2 3
练2.1 (1)【答案】D
(2)【答案】C
(3)【答案】A
例3 【答案】
2 2
y = x +2 y = x −2
开口方向 向上 向上
对称轴 x = 0 x = 0
顶点坐标 (0,2) (0, −2)
当x < 0时，y随x增大而减小； 当x < 0时，y随x增大而减小；
增减性
当x ≥ 0时，y随x增大而增大 当x ≥ 0时，y随x增大而增大
最值 x = 0时，有最小值，最小值为2 x = 0时，有最小值，最小值为−2
练3.1 【答案】(0, −1)；x = 0； > 0； < 0；0 ；大；−1
例4 【答案】D
【解析】 2
与抛物线y = −x +1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线
2
y = −x +1只有二次项系数不同．
2
即y = x +1，故选：D．
练4.1 【答案】A
例5 【答案】
2 2
y = (x+3) y = (x−3)
开口方向 向上 向上
对称轴 x = −3 x = 3
顶点坐标 (−3,0) (3,0)
当x < −3时，y随x增大而减小； 当x < 3时，y随x增大而减小；
增减性
当x ≥ −3时，y随x增大而增大 当x ≥ 3时，y随x增大而增大
最值 x = −3时，最小值为0 x = 3时，最小值为0
练5.1 【答案】C
例6 【答案】D
练6.1 【答案】D
【解析】 2
对于函数y = −2(x−m) 的图象，
∵a = −2 < 0，
∴开口向下，对称轴x = m，顶点坐标为(m,0)，函数有最大值0，
故A、B、C正确，
故选：D．
能力强化 / 初三 / 暑假第 4 讲 二次函数的图象与性质（一）
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】C
5 【答案】B
6 【答案】B
【解析】 2
（1）y = 2x 开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；
2
（2）y = −2x 开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；
2
（3）y = 2x +1开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为(0,1)．
故选：B．
7 【答案】D
8 【答案】A
9 【答案】A
10 【答案】 1
2
函数y = x −3的对称轴为x = 0，顶点坐标为(0, −3)；
3
1
2
函数y = x 的对称轴为x = 0，顶点坐标为(0,0)．
3
能力强化 / 初三 / 暑假第 4 讲 二次函数的图象与性质（一）
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】D
【解析】 ∵ y = −x 2 +2，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,2)，在对称轴的右侧，y随x的增大而减
小，
∴ A、B、C都不正确，
∵ Δ = −4×(−1)×2 = 8 > 0，
∴ 抛物线与x轴有两个交点，
∴ D正确．
5 【答案】A
能力强化 / 初三 / 暑假
第 4 讲 二次函数的图象与性质（一）
精选精练
1 【答案】0
2 【答案】−1
【解析】 2
∵m −m = 2
∴m = 2或m = −1
∵m−1 ≠ 0
∴m ≠ 1
∴当m = 2或−1时，这个函数都是二次函数，
∵m−1 < 0，m < 1
∴m = −1．3 【答案】C
【解析】A、根据一次函数得出a < 0，b > 0，根据二次函数得出a > 0，则a的取值互相矛盾，故本
选项错误；
B、根据一次函数得出a > 0，b < 0，根据二次函数得出a > 0，则ab < 0，故本选项错误；
C、根据一次函数得出a < 0，b < 0，根据二次函数得出a < 0，则ab > 0，故本选项正确；
D、根据一次函数得出a < 0，b > 0，根据二次函数得出a < 0，则ab < 0，故本选项错误；
故选：C．
4 【答案】C
【解析】解：当a < 0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a > 0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
5 【答案】D
【解析】A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n 2
< 0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m > 0，由直线可知，−m > 0，错误；
C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m < 0，由直线可知，−m < 0，错误；
D、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m < 0，由直线可知，−m > 0，正确，
故选：D．
6 【答案】D
能力强化 / 初三 / 暑假
第 5 讲 二次函数的图象与性质（二）
例题练习题答案
例1 【答案】开口向上，对称轴为x = 1，
顶点坐标为(1,2)；
x < 1时，递减；
x > 1时，递增；
x = 1时，有最小值为2．练1.1 【答案】C
【解析】∵a = 2 > 0，
∴抛物线开口方向向上；
2
∵二次函数解析式为y = 2(x+2) −1，
∴顶点坐标为(−2, −1)，对称轴x = −2．
故选：C．
例2 【答案】C
练2.1 【答案】B
【解析】 2
∵y = 3(x−4) −2，
∴抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为x = 4，故B正确；
当x = 4时，y有最小值−2，故C不正确；
当x < 3时，y随x的增大而减小，故D不正确；
故选：B．
例3 【答案】 2
y = 2(x−1) −3；(1, −3)；x = 1.
练3.1 【答案】D
【解析】 2 2
∵y = x −4x+7 = (x−2) +3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）．
例4 【答案】(1)开口向上，对称轴为x = −3，顶点坐标为(−3, −10)；
(2)x > −3；
(3)x = −3，y有最小值，最小值为−10．
练4.1 【答案】向下;
x = 2；
(2,3)x < 2
例5 (1)【答案】A
(2)【答案】A
(3)【答案】C
练5.1 (1)【答案】D
(2)【答案】D
(3)【答案】C
能力强化 / 初三 / 暑假
第 5 讲 二次函数的图象与性质（二）
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】A
【解析】 2
由y = 2(x−3) +1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,1)．
故选：A．
3 【答案】D
【解析】A、a = 2 > 0，则函数开口向上，故正确；
B、对称轴是x = 1，故正确；
C、顶点坐标是(1, −3)，故正确；
D、最小值是−3，故错误．
4 【答案】C
【解析】 2
∵二次函数y = 2(x−3) −2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(3, −2)，对称轴为x = 3，
∴当x ≤ 3时，y随x的增大而减小，
故①、②、④正确，
令x = 0可得y = 16，故图象与y轴的交点坐标为(0,16)，
故③不正确，∴正确的有3个，
故选：C．
5 【答案】B
6 【答案】A
7 【答案】C
8 【答案】 1 1
2 2
∵y = x −4x+5 = (x−4) −3，
2 2
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x = 4，顶点坐标是(4, −3)．
【解析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
9 【答案】C
10 【答案】A
能力强化 / 初三 / 暑假
第 5 讲 二次函数的图象与性质（二）
课堂落实答案
1 【答案】C
【解析】 2
二次函数y = (x−1) +1的图象的顶点坐标是(1,1)．
故选：C．
2 【答案】D
3 【答案】D
4 【答案】 2
解：y = −2x +8x−8，
∵a = −2 < 0，
∴抛物线开口向下．
( )
2 2 2
∵y = −2x +8x−8 = −2 x −4x+4 = −2(x−2) ，
∴对称轴为直线x = 2，顶点坐标为(2,0)．
【解析】根据二次项系数得出抛物线的开口方向，将一般式转化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐
标．
5 【答案】C能力强化 / 初三 / 暑假
第 5 讲 二次函数的图象与性质（二）
精选精练
1 【答案】D
2 【答案】C
【解析】 1 1
2 2
由解析式可知y = (x−h) +k的顶点坐标为(h,k)；y = (x−m) +n的顶点坐标为(m,n)．
4 2
A、由于两抛物线有相同的对称轴，可得h = m命题正确，故本选项错误；
B、由两抛物线顶点位置可知，k > n命题正确，故本选项错误；
C、由两抛物线顶点位置可知，k = n命题错误，故本选项正确；
1
2
D、由y = (x−h) +k的位置可知，h > 0，k > 0命题正确，故本选项错误；
4
故选C．
3 【答案】B
【解析】∵开口向上，
∴a > 0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c < 0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b > 0，
∴bc < 0，
∴一次函数y = ax+bc的图象不经过第二象限．
故选：B．
4 【答案】A
【解析】 b
A、由抛物线可知，a < 0，x = − < 0，得b < 0，由直线可知，a < 0，b < 0，故本选
2a
项正确；
B、由抛物线可知，a > 0，由直线可知，a < 0，故本选项错误；b
C、由抛物线可知，a > 0，x = − > 0，得b < 0，由直线可知，a > 0，b > 0，故本选项
2a
错误；
D、由抛物线可知，a > 0，由直线可知，a < 0，故本选项错误．
故选：A．
5 【答案】D
【解析】 2
①如图，∵二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象与x轴的两个交点分别为(−1,0)，(3,0)，
b
∴该抛物线的对称轴是x = − = 1，
2a
∴b+2a = 0．
故①错误；
②∵抛物线开口方向向上，∴a > 0．
∴b = −2a < 0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c < 0，
∴abc > 0．
故②错误；
③由图示知，当x = −2时，y > 0，即4a−2b+c > 0．
故③错误．
综上所述，正确的结论的个数是0个．
故选：D．
6 【答案】C
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a < 0；b
∵抛物线的对称轴为直线x = − = 1，
2a
∴b > 0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c > 0，
∴abc < 0，所以①错误；
当x = −1时，y < 0，即a−b+c < 0，
∴b > a+c，所以②不正确；
当x = 2时，y > 0，即4a+2b+c > 0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x = 1，
∴x = 1时，y有最大值a+b+c，
2
∴a+b+c > am +bm+c(m ≠ 1)，
∴a+b > m(am+b)，所以④正确．
故选：C．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 二次函数求解析式及图象变换
例题练习题答案
例1 (1)【答案】 2
y = −3x +12x−9，对称轴x = 2．
(2)【答案】 2
y = 2x −3x+5．
练1.1 【答案】 3 9
( )
2
y = 2x −3x，顶点坐标为 , −
4 8
例2 (1)【答案】 5 5 3
2
y = − x − x+
4 2 4
(2)【答案】 1 8 7
2
y = x − x+
3 3 3练2.1 【答案】 1 3 7
2
y = − x − x+
4 2 4
例3 【答案】 1 81
( )
2
y = x −x−20，顶点 , − ．
2 4
练3.1 【答案】A
例4 (1)【答案】D
(2)【答案】b = 2，c = 0．
【解析】 2 2
把y = x −2x−3向上移动3个单位，再向左平移2个单位长度得到y = x +2x．
练4.1 (1)【答案】B
(2)【答案】C
例5 (1)【答案】 2
y = 2x +4x+3
(2)【答案】 2
y = −2x +4x−5
练5.1 (1)【答案】 2
y = x −2x−7
(2)【答案】 2
y = 2x +12x+19
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 二次函数求解析式及图象变换
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】A
【解析】设抛物线解析式为y = a(x+1)(x−3)，
把(0,3)代入得a⋅1⋅(−3) = 3，解得a = −1，所以抛物线解析式为y = −(x+1)(x−3)，
2
即y = −x +2x+3．
故选：A．
6 【答案】 5 5 15
2
y = − x + x+ ．
4 2 4
7 【答案】A
8 【答案】D
9 【答案】D
10 【答案】A
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 二次函数求解析式及图象变换
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】 2
y = x −6x+5．
4 【答案】A
5 【答案】B
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 二次函数求解析式及图象变换
精选精练
1 【答案】 1 1 1 3
y = x 2 − x+2 或 y = − x 2 + x+2
8 4 8 4
【解析】 ∵ 点C在直线x = 2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴ 抛物线的对称轴为直线x = 1或x = 3，2
当对称轴为直线x = 1时，设抛物线解析式为y = a(x−1) +k，
将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，
a+k = 2
{
则 ，
9a+k = 3
1
{a =
8
解得 ，
15
k =
8
1 15 1 1
2 2
所以，y = (x−1) + = x − x+2；
8 8 8 4
2
当对称轴为直线x = 3时，设抛物线解析式为y = a(x−3) +k，
将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，
9a+k = 2
{
则 ，
a+k = 3
1
{a = −
8
解得 ，
25
k =
8
1 25 1 3
2 2
所以，y = − (x−3) + = − x + x+2，
8 8 8 4
1 1 1 3
2 2
综上所述，抛物线的函数解析式为y = x − x+2或y = − x + x+2．
8 4 8 4
2 (1)【答案】 2
y = −x +2x+3
(2)【答案】 1 5
2
y = x −3x+
2 2
3 【答案】解：
（1）∵顶点为A(1,2) ，设抛物线为y = a(x−1) 2 +2，
∵抛物线经过原点，2
∴0 = a(0−1) +2，
∴a = −2 ，
2
∴抛物线解析式为y = −2x +4x ．
（2）∵抛物线经过原点，
2
∴设抛物线为y = ax +bx ，
b
∵h = − ，
2a
∴b = −2ah ，
2
∴y = ax −2ahx ，
∵顶点A(h,k)，
2 2 2
∴k = ah −2ah = −ah ，
2
抛物线y = tx 也经过A(h,k)，
2
∴k = th ，
2 2
∴th = −ah ，
∴t = −a．
4 【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为y轴，
∴b = 0.
又∵抛物线过点(0, −4)，
∴c = −4.
2
∴抛物线的解析式为y = x −4；
2
（2）当x = −2时，y = x −4 = 0，
1
2
当x = 3时，y = x −4 = 5，
2
∴y ＜y ．
1 2
故答案为＜．
【解析】（1）利用对称轴方程可得b=0，利用抛物线与y轴的交点可得到c的值，于是可确定抛物线
解析式；
（2）把点（-2，y ）与（3，y ）都代入（1）中的解析式计算出y 和y 的值，然后比较大
1 2 1 2
小．
5 【答案】解：（1） ∵ 点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1，∴ 点B的坐标为(1,0)，
∴ 当x = 1时，0 = a(1+2) 2 −5，
5
∴ a = ．
9
2
（2）设抛物线C 解析式为y = a′(x−h) +k，
3
∵ 抛物线C 与C 关于x轴对称，且C 为C 向右平移得到，
2 1 3 2
5
∴ a ′ = − ，
9
∵ 点P、M关于点O对称，且点P的坐标为(−2, −5)，
∴ 点M的坐标为(2,5)，
5 5 20 25
∴ 抛物线C 的解析式为y = − (x−2) 2 +5 = − x 2 + x+ ．
3
9 9 9 9
6 (1)【答案】 16+4b+c = 3 b = −4
{ {
2
将(4,3)，(3,0)代入y = x +bx+c，得 ，解得： ；
9+3b+c = 0 c = 3
(2)【答案】 2 2
二次函数y = x −4x+3 = (x−2) −1，则顶点坐标为(2, −1)，对称轴是直线x = 2，
如图，
【解析】 2
把二次函数的解析式配成顶点式y = (x−2) −1，然后确定顶点坐标和对称轴，再画
出函数图象；
(3)【答案】 2
将该函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y = x 的图象．
【解析】把顶点(2, −1)移到原点即可．
能力强化 / 初三 / 暑假第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】D
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】C
5 【答案】A
6 【答案】D
7 【答案】C
8 【答案】B
9 【答案】C
10 【答案】B
11 【答案】x = 2，x = 0
1 2
12 【答案】−2
13 【答案】m ≤ 2且m ≠ 1
14 【答案】0
15 【答案】-1
16 【答案】4
(1,9)
17 【答案】 1
解：（1）x = ，x = −1
1 2
3
7−√69 7+√69
（2）x = ，x =
1 2
2 2
（3）x = 3，x = −6
1 2
（4）x = 4±√10
1,2
18 【答案】 2
解：（1）由题意得：Δ = 2 −4(2k−4) > 0，
5
解得：k < ；
2
（2）由k为正整数，得到k = 1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x = −1±√5−2k，∵方程的解为整数，
∴5−2k为完全平方数，
则k的值为2．
19 【答案】 1 5
( ) ( )
2
解：（1）将点 1, 、 −2, − 、(3,5)分别代入二次函数y = ax +bx+c得，
3 3
1
{a+b+c = 1
3 {
a =
3
5 ，解得 ，
4a−2b+c = − b = 1
3
c = −1
9a+3b+c = 5
1
2
所以这个二次函数的解析式为y = x +x−1．
3
（2）由二次函数与y轴的交点(0,4)得：c = 4，
2
将点(−3,0)和(1,0)代入二次函数解析式y = ax +bx+4,
4
{a = −
{a(−3) 2 +b(−3)+4 = 0 3
，解得 ，
a+b+4 = 0 8
b = −
3
4 8
2
所以二次函数解析式为y = − x − x+4．
3 3
20 (1)【答案】 2
将点(1,0)、(0, −3)代入y = x +bx+c，
1+b+c = 0
{
得： ，
c = −3
b = 2
{
解得： ，
c = −3
2
∴抛物线的解析式为y = x +2x−3；
【解析】 将(1,0)和(0, −3)两点代入二次函数y = x 2 +bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解
析式；(2)【答案】 2
当y = 0时，x +2x−3 = 0，
解得：x = 1或x = −3，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(−3,0)和(1,0)，
结合函数图象知，当x < −3或x > 1时，y > 0．
21 【答案】∵二次函数与x 轴有两个交点，∴Δ > 0 ，∴m > 4 或者m < 0
2 2 ( )2
∵x +x = 3 ，∴ x +x −2x x = 3 ，
1 2 1 2 1 2
2
∴m −2m = 3 ，m = 3 或m = −1
∵m 的取值范围为m > 4 或者m < 0 ∴m = −1
22 【答案】 2 5
2
解：（1）∵抛物线y = x +bx+c的顶点在x = 上，
3 2
2 5
( )2
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y = x− +m
3 2
∵点B(0,4)在抛物线上
1
∴代入函数关系式解得m = −
6
2 5 1 2 10
( )2
2
∴所求函数关系式为y = x− − = x − x+4；
3 2 6 3 3
（2）点C和点D在抛物线上，理由如下：
在Rt△ABO中OA = 3,OB = 4
√
2 2
∴AB = OA +OB = 5
∵四边形ABCD是菱形
∴BC = CD = DA = AB = 5
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)，(2,0)
当x = 5时，y = 10，当x = 2 时，y = 0
∴点C和点D在抛物线上
′
（3）设直线CD对应的函数关系式为y = kx+b4
{k =
′
{5k+b = 4 3
则 ，解得
′ 8
2k+b = 0 ′
b = −
3
4 8
∴y = x−
3 3
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t
∴N点的横坐标也为t
2 10 4 8 2 7 3 2
( )2
2
则y = t − t+4 ，y = t− ，∴l = y −y = − t− + ∵− < 0
m n n m
3 3 3 3 3 2 2 3
7 3 1 7 1
( )
∴当t = 时，l = ，y = ，此时M的坐标为 ,
max m
2 2 2 2 2
23 【答案】0
24 【答案】 1 1
1） −
n n+1
2016
2）
2017
能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 旋转
例题练习题答案
例1 (1)【答案】①易得△ADB≌△AEC
∴BD = CE
又∵AD = DE
∴BE = CE+AD
②由①得∠AEC = ∠ADB = ∠DAE+∠AED = 120∘(2)【答案】易证△ADC≌△ABE
∴CD = BE，∠ADC = ∠ABE
∵在△ADB中，∠DAB = 90∘，AD = AB，
∴∠ADB+∠ABD = 90∘
则∠CDB+∠ABD+∠ABE = 90∘
∴∠BOD = 90∘
∴CD⊥BE
练1.1 【答案】（1）证明：∵ △ ACB与 △ ECD都是等腰直角三角形，
∴CE = CD，AC = BC，∠ACB = ∠ECD = 90∘，∠B = ∠BAC = 45∘，
∴∠ACE = ∠BCD = 90∘ −∠ACD，
在 △ ACE和 △ BCD中
CE = CD
{
∠ACE = ∠BCD
AC = BC
∴ △ ACE≌ △ BCD（SAS）；
（2）解：∵ △ ACE≌ △ BCD，
∴AE = BD，∠EAC = ∠B = 45∘，
∵BD = 12，
∴∠EAD = 45∘ +45∘ = 90∘，AE = 12，
在Rt △ EAD中，∠EAD = 90∘，DE = 13AE = 12
由勾股定理得：AD = 5，
∴AB = BD+AD = 12+5 = 17．
例2 【答案】在AD上取点E，使得BD = DE，
∴ △ BDE是等边三角形，∴ △ ABE≌ △ CBD，∴BD+CD = AD．
练2.1 【答案】延长BD到点E，使得CD = DE，连结CE，
则 △ CDE是等边三角形，∴ △ CBE≌ △ CAD，
∴BD+CD = AD．
例3 【答案】①以AP为边向右作等边△ADP，连接CD
可证△APB≌△ADC(SAS)，则CD = BP，PD = PA
由题中所给数据可得，∠PDC = 90∘
故∠BPA = ∠CDA = 90∘ +60∘ = 150∘
②过点A作AE⊥DC，由①知
AE = 2，DE = 2√3
由勾股定理得AC 2 = 2 2 + ( 3+2√3 )2 = 25+12√3
√3 25√3
2
故△ABC的面积S = AC = +9
4 4
练3.1 【答案】C例4 【答案】证明：过点A作AD的垂线，交BD于点E，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABD = ∠ACD
练4.1 【答案】延长CD与AD过点A的垂线交于点E，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD = ∠ACD
例5 【答案】（1）已知PA = a，PB = 2a，PC = 3a，并不在同一个三角形中，因为AB = BC，可将
△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ，连接PQ，构成两个特殊三角形，可求∠APB的
度数故为∠APB = ∠CQB = 90∘ +45∘ = 135∘；
（2）用（1）的结论，证明∠APQ = 180∘，得出△AQC是直角三角形，根据AQ，QC的长
及勾股定理求AC，从而可求正方形ABCD的面积，S = (5+2√2)a 2 ．
练5.1 【答案】B
【解析】BP = BQ = 1,∴PQ = √2,
又∵QC = AP = √7，PC = √7+2 = 3能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 旋转
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】B
5 【答案】C
6 【答案】B
7 【答案】A
8 【答案】B
9 【答案】D
10 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB = AD，∠BAD = 90∘，
∵∠BAD绕点A顺时针旋转，
∴∠EAF = ∠BAD = 90∘，
∴∠BAF = ∠DAE，
在△ADE和△ABF中，
∠ADE = ∠ABF
{
AD = AB ，
∠DAE = ∠BAF
∴△ADE≌△ABF，
∴FB = DE；
（2）解：CE = √2BM．理由如下：
作EN∥CB交BD于N，作NH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴△DNE和△BHN都是等腰直角三角形，∴EN＝DE，NH＝CE，BN = √2NH，
∴BF＝NE，
∵NE∥BF，
∴∠MFB＝∠MEN，
在△MBF和△MNE中，
∠MFB = ∠MEN
{
∠BMF = ∠NME，
BF = NE
∴△MBF≌△MNE（AAS），
∴BM＝NM，
∴BN＝2BM，
∴2BM = √2CE，
∴CE = √2BM．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 旋转
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】B
5 【答案】60∘
能力强化 / 初三 / 暑假第 8 讲 旋转
精选精练
1 【答案】①②③
2 (1)【答案】
解：
将△BPC绕点B逆时针旋转90∘得到△AEB，
可得：AE＝PC＝1，BE＝BP = √2，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，
∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90∘，
1
∴∠BEP = × ( 180∘ −90∘) ＝45∘．
2
由勾股定理得：EP＝2，
∵AE＝1，AP = √5，EP＝2，
2 2 2
∴AE +PE ＝AP ，
∴∠AEP＝90∘，
∴∠BPC＝∠AEB＝90∘ +45∘＝135∘．
(2)【答案】解：B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，
∴∠FEB＝45∘，
∴FE＝BF＝1，
∴AF＝2，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB = √5，
∴正方形边长为√5．
3 (1)【答案】解：∵ΔABC是等腰直角三角形，且D是AC的中点，
1 1
∴ BD = AC = CD，BD⊥AC，∠DBM = ∠ABC = 45∘ = ∠C，
2 2
又 ∵ ∠MDN = 90∘，
∴ ∠BDM+∠BDN = 90∘ = ∠CDN+∠BDN，∴ ∠BDM = ∠CDN，
在ΔBDM和ΔCDN中，
∠DBM = ∠C
{
BD = CD ，
∠BDM = ∠CDN
∴ ΔBDM ≅ ΔCDN(ASA)，
∴ DM = DN，且BM = CN，
∵AB = BC = 5，
∴ BN+CN = BN+BM = 5，
即y+x = 5，
∴ y与x的函数关系式为y = 5−x；
故答案为：DM = DN；y = 5−x；
(2)【答案】解：DM与DN数量关系不变．
理由如下： ∵ ΔABC是等腰直角三角形，且D是AC的中点，
1 1
∴ BD = AC = CD，BD⊥AC，∠DBC = ∠ABC = 45∘ = ∠ACB，
2 2
∴ ∠DBM = ∠DCN = 135∘，
又 ∵ ∠MDN = 90∘，
∴ ∠BDM+∠MDC = 90∘ = ∠CDN+∠MDC，
∴ ∠BDM = ∠CDN，
在ΔBDM和ΔCDN中，
∠DBM = ∠DCN
{
DB = DC ，
∠BDM = ∠CDN
∴ ΔBDM ≅ ΔCDN(ASA)，
∴ DM = DN；
4 (1)【答案】解：①如图所示：②∠ADC+∠CDE = 180∘．
(2)【答案】解：线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE = BE+2CM，理由如下：
∵ 线段CD绕点C逆时针旋转90∘得到线段CE，
∴ CD = CE，∠DCE = 90∘．
∴ ∠CDE = ∠CED = 45∘．
又 ∵ ∠ADC = 135∘，
∴ ∠ADC+∠CDE = 180∘，
∴ A、D、E三点在同一条直线上．
∴ AE = AD+DE．
又 ∵ ∠ACB = 90∘，
∴ ∠ACB−∠DCB = ∠DCE−∠DCB，
即∠ACD = ∠BCE．
在ΔACD和ΔBCE中，
AC = BC
{
∠ACD = ∠BCE
CD = CE
∴ ΔACD ≅ ΔBCE．
∴ AD = BE．
∵ CD = CE，∠DCE = 90∘，CM⊥DE．
∴ DE = 2CM．
∴ AE = BE+2CM．
5 (1)【答案】解： ∵ CD⊥OA，
∴ ∠ODC = 90∘，
在RtΔODC中，CD = 3，OC = 5，
√
∴ OD = OC 2 −CD 2 = 4，
∵ 点C是∠AOB的平分线上的点，
∴ CE = CD = 3，
同理，OE = 4，
∴ OD+OE = 4+4 = 8，故答案为8；
(2)【答案】
解：上述结论成立，理由：如图2，过点C作CQ⊥OA于Q，CP⊥OB于P，
∴ ∠OQC = ∠EPC = 90∘，
∴ ∠AOB+∠PCQ = 180∘，
由旋转知，∠AOB+∠DCE = 180∘，
∴ ∠POQ = ∠DCE，
∴ ∠DCQ = ∠ECP，
∵ 点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，
∴ CQ = CP，
∵ ∠OQC = ∠EPC = 90∘，
∴ ΔCQD ≅ ΔCPE(ASA)，
∴ DQ = PE，
∵ OD = OQ−DQ，OE = OP+PE，
∴ OD+OE = OQ−DQ+OP+PE = OQ+OP = 8；
(3)【答案】解：①补全图形如图3，
②上述结论不成立，OE−OD = 8，
理由：过点C作CQ⊥OA于Q，CP⊥OB于P，
∴ ∠OQC = ∠EPC = 90∘，
∴ ∠AOB+∠PCQ = 180∘，
由旋转知，∠AOB+∠DCE = 180∘，∴ ∠POQ = ∠DCE，
∴ ∠DCQ = ∠ECP，
∵ 点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，
∴ CQ = CP，
∵ ∠OQC = ∠EPC = 90∘，
∴ ΔCQD ≅ ΔCPE(ASA)，
∴ DQ = PE，
∵ OD = DQ−OQ，OE = OP+PE，
∴ OE−OD = OP+PE−(DQ−OQ) = OP+PE−DQ+OQ = OP+OQ = 8．
6 (1)【答案】解： ∵ AB = BC = 8，BD = BE = 6，
∴ AD = AB−BD = 2，CE = BC−BE = 2，
∴ AD = CE，
∵ ∠B = 90∘，D、E分别为AB、AC上的点，
∴ AD⊥CE
故答案为AD = CE，AD⊥CE；
(2)【答案】解：AD = CE，AD⊥CE，
理由：
如图②，由旋转知，∠ABD = ∠CBE，
AB = BC
{
在ΔABD和ΔCBE中， ∠ABD = ∠CBE，
BD = BE
∴ ΔABD ≅ ΔCBE(SAS)，
∴ AD = CE，∠BAD = ∠BCE，
延长CE交AB于G，交AD于F，
∴ ∠AGF = ∠BGC，
∵ ∠ABC = 90∘，∴ ∠BCE+∠BGC = 90∘，
∴ ∠BAD+∠AGF = 90∘，
∴ ∠AFG = 90∘，
∴ AD⊥CE，
即：AD = CE，AD⊥CE；
(3)【答案】解： ∵ ΔDBE绕B点逆时针旋转α度，
∴ 当点D在CB延长线上时，CD最大，最大值为BC+BD = 8+6 = 14，
故答案为14．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 圆的认识与垂径定理
例题练习题答案
例1 (1)【答案】①②⑤
(2)【答案】C
练1.1 (1)【答案】A
(2)【答案】B
例2 (1)【答案】C
(2)【答案】36∘，54∘．
练2.1 (1)【答案】C
(2)【答案】29∘，58∘．
例3 【答案】B
练3.1 【答案】D
例4 (1)【答案】D
(2)【答案】D
练4.1 (1)【答案】C(2)【答案】D
例5 (1)【答案】A
(2)【答案】C
练5.1 【答案】D
例6 【答案】D
练6.1 【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，连接OB，OD．
∵AB∥CD，
∴E，O，F三点共线，
∴EF即为所求的AB与CD之间的距离．
1 1
由垂径定理得BE = AB，DF = CD，
2 2
∴在Rt△OBE中，OB = 13cm，BE = 12cm，
∴OE = 5cm，
1
在Rt△ODF中，OD = 13cm，DF = CD = 5cm，
2
∴OF = 12cm，
∴EF = OE+OF = 17cm，即AB与CD之间的距离为17cm．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 圆的认识与垂径定理
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
3 【答案】B4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】A
8 【答案】B
9 【答案】D
10 【答案】解：过圆心O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA和OC.
∵AB∥CD，
∴E，O，F三点共线．线段EF的长即为弦AB与CD之间的距离．
①当弦AB和CD在圆心的异侧时，如图所示，
∵AB = 16cm，CD = 12cm，
1 1
由垂径定理得AE = AB = 8cm，CF = CD = 6cm，
2 2
又∵OA = OC = 10cm，
∴OE = 6cm，OF = 8cm，
∴EF = OE+OF = 14cm；
②当弦AB和CD在圆心的同侧时，同理可得OE = 6cm，OF = 8cm，
∴EF = OF−OE = 2cm；
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 圆的认识与垂径定理
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】B3 【答案】C
4 【答案】C
5 【答案】 解：如图，过圆心O作OE⊥AB于E，延长OE交CD于F，连接OA和OC．
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
1 1
∴CF＝DF＝ CD＝ ×16＝8cm，
2 2
∵OE⊥AB，
1 1
∴AE＝BE＝ AB＝ ×30＝15cm，
2 2
在Rt△OCF中，OC＝17cm，
√
∴OF＝ OC 2 −CF 2 ＝15cm，
在Rt△OAE中，OA＝17cm，
√
∴OE＝ OA 2 −AE 2 ＝8cm，
∴EF＝OF−OE＝7cm，
即AB与CD之间的距离为7cm．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 圆的认识与垂径定理
精选精练
1 【答案】A
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】B5 【答案】C
6 【答案】2.5
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 圆中的角
例题练习题答案
例1 (1)【答案】30∘
(2)【答案】12.5∘
(3)【答案】30∘
(4)【答案】40∘
练1.1 (1)【答案】D
(2)【答案】44∘
(3)【答案】40∘
(4)【答案】5
例2 (1)【答案】A
(2)【答案】120∘
(3)【答案】30∘或150∘
练2.1 (1)【答案】120∘
(2)【答案】100∘
(3)【答案】60∘或120∘
例3 【答案】解：（1）如图，连接OB，OC．∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC = 90∘，
1
∴∠BPC = ∠BOC = 45∘；
2
（2）由（1）得∠BOC = 90∘，则在Rt△BOC中， OB 2 +OC 2 = BC 2 ，
又∵OB = OC = 8，
∴BC = 8√2．
∴正方形ABCD的边长为8√2．
练3.1 【答案】解：如图，连接OB，OA．
∵∠BCA = 45∘，
∴∠BOA = 90∘，
∴在Rt△BOA中，OB 2 +OA 2 = AB 2 ，
又∵OB = OA，AB = 2，
∴OB = OA = √2．
∴⊙O的半径为√2．
例4 (1)【答案】70∘
(2)【答案】证明： ∵ AB = BC = CD，DE = EF = FA
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
∴AB+AF = CD+DE
1
= ×360∘ = 120∘
3⌢ ⌢ ⌢ ⌢
即BF = CE = BC+EF = 120∘
⌢ ⌢
∴BDF = CAE = 240∘
∴∠BAF = ∠CDE = 120∘
练4.1 (1)【答案】C
(2)【答案】AD = BC
例5 【答案】证明：∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC = 90∘，
∴∠BAE+∠CAE = 90∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ACD+∠CAE = 90∘，
∴∠BAE = ∠ACD，
∵AE = BE，
∴∠BAE = ∠ABE，
∴∠ABE = ∠ACD，
⌢ ⌢
∴AB = AF．
练5.1 【答案】 1
45∘ − α
2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 圆中的角
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】C
4 【答案】C5 【答案】D
6 【答案】C
7 【答案】A
8 【答案】C
9 【答案】A
10 【答案】证明：如图，连接CO．
⌢ ⌢
∵AC = CB，
∴∠AOC = ∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB，
∴∠CDO = ∠CEO = 90∘．
又∵CO = CO，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD = OE，
又∵AO = BO，
∴AO−OD = BO−OE，即AD = BE．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 圆中的角
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】B
5 【答案】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = ∠ADB = 90∘，∵AB = 10，AC = 6，
√
2 2
∴BC = AB −AC = 8．
∵CD平分∠ACB，
⌢ ⌢
∴AD = BD，AD = BD．
√
2
AB
∴AD = BD = = 5√2．
2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 圆中的角
精选精练
1 【答案】75
2 【答案】B
3 【答案】D
4 【答案】B
5 【答案】B
6 【答案】∠AOB=∠COD
7 【答案】B
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 平行与比例
例题练习题答案
例1 (1)【答案】a d
=
c b
(2)【答案】5
3(3)【答案】1
3
(4)【答案】3
(5)【答案】2或−1
练1.1 【答案】−13
6或−3
例2 【答案】A
练2.1 【答案】C
例3 (1)【答案】4cm，16cm
(2)【答案】12.4
练3.1 (1)【答案】B
(2)【答案】5
例4 (1)【答案】C
(2)【答案】C
练4.1 【答案】B
例5 (1)【答案】2
3
(2)【答案】15
练5.1 【答案】A
例6 【答案】∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ．
BD EC
AD BF
∵ = ，
BD FC
BF AE
∴ = ，
FC EC
∴EF∥AB，CE EF 1
∴ = = ，
AC AB 3
AE 2
∴ = ．
AC 3
练6.1 【答案】∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ．
BD EC
AD DE
∵ = ，
BD EF
AE DE
∴ = ，
EC EF
∴AD∥CF．
AE 2
∵ = ，
AC 3
AD AE
∴ = = 2．
FC EC
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 平行与比例
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】A
5 【答案】A
6 【答案】D
7 【答案】C
8 【答案】A9 【答案】C
10 【答案】 AF AD
∵DF//BE，∴ = ，
FE DB
AF AE AE AD
又 = ，∴ = ，
FE CE CE DB
DE AE
∴DE//BC，∴ = ，
BC AC
AE 2 AE 2
∵ = ，∴ = ，
CE 3 AC 5
DE 2
∴ =
BC 5
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 平行与比例
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ，
BD EC
5 3
即 = ，
10 EC
解得EC = 6．
能力强化 / 初三 / 暑假第 11 讲 平行与比例
精选精练
1 【答案】 3
2 【答案】 a+4 b+3 c+8
解：令 = = = k．
3 2 4
∴a+4 = 3k，b+3 = 2k，c+8 = 4k，
∴a = 3k−4，b = 2k−3，c = 4k−8．
又∵a+b+c = 12，
∴(3k−4)+(2k−3)+(4k−8) = 12，
∴k = 3．
∴a = 5，b = 3，c = 4．
∴△ABC是直角三角形．
3 【答案】3:2
4 【答案】1
4
5 【答案】解：（1） ∵ GF∥BC，
DF DG
∴ = ，
FC BG
DF 3
∵ BD = 20， =
FC 2
∴ BG = 8．
（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB = CD，
DM DG
∴ = ，
AB GB
DM 3
∴ = ，
AB 2
DM 3
∴ = ，
CD 2CM 1
∴ = ．
CD 2
6 【答案】证明： ∵ AD∥BC，
AM AO
∴ = ，
NC CO
∵ AD∥BC，
AO AD PD MD
∴ = = = ，
OC BC PC NC
AM MD
∴ = ，
NC NC
∴ AM = MD．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 12 讲 相似三角形的性质与判定
例题练习题答案
例1 (1)【答案】③
(2)【答案】②
练1.1 【答案】B
例2 【答案】α = 80∘；
β = 72∘；
x = 12．
练2.1 【答案】24
28
83∘
例3 (1)【答案】C
(2)【答案】 证明：∵∠A = 36∘，AB = AC，∴∠ABC = ∠ACB = 72∘，
又∵BD是∠ABC的角平分线，
1
∴∠CBD = ∠ABC = 36∘ = ∠A，
2
又∵∠C = ∠C，
∴△BDC∽△ABC．
练3.1 (1)【答案】B
(2)【答案】证明：∵∠ACD = ∠B，∠A = ∠A，
∴△ADC∽△ACB．
例4 【答案】 AD 1
证明：∵ = ，
AC 3
AE = EB，
AB = AC = BC，
AE AD 1
∴ = = ．
BC CD 2
又∵∠A = ∠C = 60∘，
∴△AED∽△CBD．
练4.1 【答案】证明：∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠ABD = ∠ACE，
2
又AB = BD⋅CE，
AB CE CE
∴ = = ，
BD AB AC
∴△ABD∽△ECA．
例5 (1)【答案】A
(2)【答案】A
(3)【答案】A
(4)【答案】1:4(5)【答案】√2
练5.1 (1)【答案】A
(2)【答案】A
(3)【答案】B
(4)【答案】 3:5
(5)【答案】 3
能力强化 / 初三 / 暑假
第 12 讲 相似三角形的性质与判定
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】25
3 【答案】A
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】B
7 【答案】C
8 【答案】D
9 【答案】B
10 【答案】解：依题意，
AE AD
得 = ，
AB AC
AE 3
即 = ，
9 6
9
解得AE = ．
2能力强化 / 初三 / 暑假
第 12 讲 相似三角形的性质与判定
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】C
5 【答案】D
能力强化 / 初三 / 暑假
第 12 讲 相似三角形的性质与判定
精选精练
1 【答案】∵矩形ABFE∽矩形DEFC，
且相似比为1:2，
AB AE 1
∴ = = ，
DE DC 2
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD = AB = 4，
4 AE 1
∴ = = ，
DE 4 2
∴DE = 8，AE = 2，
∴AD = AE+DE = 2+8 = 10．
2 【答案】C
3 【答案】B
4 【答案】（1）证明：在△ADC与△ACB中，
∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴AC:AB = AD:AC，
2
∴AC = AB⋅AD，
∵AD=3，AB=7，
2
∴AC =7×3=21，
∴AC=√21．
5 【答案】B
6 【答案】D
能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 相似三角形的性质与判定综合
例题练习题答案
例1 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A = D = 90∘．
∵CE⊥EF ，
∴∠AEF+∠DEC = 90∘．
又∵∠F+∠AEF = 90∘，
∴∠F = ∠DEC．
∴ △ AEF ∼△ DCE．
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC = AB = 4．∵AE = 6，AD = 14，
∴DE = AD−AE = 8．
∵ △ AEF ∼△ DCE，
AF AE AF 6 3
∴ = ，即 = = ，
DE DC 8 4 2
∴AF = 12．
例2 【答案】 证明：∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，1
∴DE = CE = AE = AC，
2
∴∠EDA = ∠A．
∵∠EDA = ∠FDB，
∴∠A = ∠FDB．
∵∠ACB = ∠CDB = 90∘，
∴∠A = ∠FCD，
∴∠FDB = ∠FCD．
∵△FDB∽△FCD，
FB DB
∴ = ．
FD DC
练2.1 【答案】 (1)∵∠DBC = ∠A，∠C = ∠C，∴△BCD∽△ACB．
CD CB CD √6
（2）∵△CBD∽△CAB，∴ = ，即 =
CB CA √6 3
∴CD = 2．
例3 (1)【答案】 证明：∵∠ADB = ∠ACB，
∴∠DAC = ∠DBC．
∵∠E = ∠E，
∴△ACE∽△BDE；
(2)【答案】 ∵△ACE∽△BDE，
AE CE
∴ = ，
BE DE
AE BE
∴ = ．
CE DE
∵∠E = ∠E，
∴△ABE∽△CDE，
AB BE
∴ = ，
CD DE
∴BE⋅DC = AB⋅DE．练3.1 (1)【答案】解：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE = ∠AGC = 90∘，
∵∠EAF = ∠GAC，
∴∠AED = ∠ACB，
∵∠EAD = ∠CAB，
∴△ADE∽△ABC．
(2)【答案】由（1）可知：△ADE∽△ABC，
AD AF 3
由相似三角形的性质可知 = = ．
AB AG 5
例4 (1)【答案】18
5
(2)【答案】 2
360 cm
练4.1 (1)【答案】A
(2)【答案】B
例5 (1)【答案】1:9
(2)【答案】4
练5.1 (1)【答案】2：3
(2)【答案】D
例6 (1)【答案】A
(2)【答案】 ′ ′ ′
①如图，四边形OA B C 为所求．
′ ′ ′
②由图可知，A (−2,2)，B (−4, −2)，C (−2, −2)．练6.1 (1)【答案】B
(2)【答案】 如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
a b
( )
由作图知，△ABC内一点M(a,b)的对应点的坐标为 , ．
2 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 相似三角形的性质与判定综合
自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】 根据题意，易证△ABC∽△A ′ B ′ C ′ ，且相似比为：√2:1，
2
∴△A ′ B ′ C ′ 的第三边长应该是 = √2．
√2
故选：A．
2 【答案】A
【解析】 AD AE 1
∵ = = ，∠A = ∠A，
AC AB 2
∴△ADE∽△ACB，
∴S :S = 1:4．
ΔADE ΔABC
故选：A．
3 【答案】A【解析】∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线；
∴DE∥BC，BC = 2DE；（故①正确）
∴△ADE∽△ABC；（故②正确）
AE AD AD AB
∴ = ，即 = ；（故③正确）
AC AB AE AC
因此本题的三个结论都正确，故选A．
4 【答案】B
5 【答案】C
【解析】设正方形的边长为xmm，
则AK = AD−x = 80−x，
∵EFGH是正方形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
EH AK
∴ = ，
BC AD
x 80−x
即 = ，
120 80
解得x = 48mm，
故选：C．
6 【答案】B
7 【答案】C
8 【答案】D
9 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB；
AC √2
（2） = ．
BC 2【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即：CD∥AE
CD DF
∴ = ，
AE AF
∵DF=AF
∴CD=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AE=AB，
∴BE=2AE，
∵△EAC∽△ECB，
AE CE AC
∴ = = ，
CE BE BC
1 CE √2
2 2
∴CE =AE•BE= BE ，即： = ，
2 BE 2
AC √2
∴ = ．
BC 2
10 (1)【答案】
【解析】位似中心一定在对应点的连线上，那么做两对对应点连线，两直线的交点即为位似中
心；
(2)【答案】 ′
AO:A O = 6:12 = 1:2．
【解析】 求出AO与A ′ O边之比即为△ABC与△A ′ B ′ C ′ 的位似比．能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 相似三角形的性质与判定综合
课堂落实答案
1 【答案】D
【解析】∵四边形EFNM是正方形，
∴EF = MN，
EF 1
∴ = ，
AC 3
1
∴EF = AC，
3
CG 1
∵ = ，
AC 2
1
∴CG = AC，
2
1
AC
EF 3 2
∴ = = ，
CG 1 3
AC
2
易证：△DEF∽△HCG，
∴S :S = 4:9；
1 2
故选：D．
2 【答案】B
【解析】在菱形ABCD中，∠1 = ∠2，又∵ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM = ∠AFN = 90∘，
∴△AFN∽△AEM，
AN NF
∴ = ，
AM ME
AN 2
即 = ，
AN+2 3
解得AN = 4．
故选：B．
3 【答案】证明：∵△PQR是等边三角形，
∴QR = PQ = PR，∠PQR = ∠PRQ = ∠QPR = 60∘，
∴∠AQP = ∠PRB = 120∘，
∴∠A+∠APQ = 60∘，
又∵∠APB = 120∘，
∴∠A+∠B = 60∘，
∴∠APQ = ∠B，
∴△AQP∽△PRB，
PQ AQ
∴ = ，QR = PQ = PR，
BR PR
2
∴QR = AQ⋅RB．
【解析】利用等边三角形性质，进一步证得△AQP∽△PRB，再由三角形相似的性质解答即可．
4 【答案】D
5 【答案】D
能力强化 / 初三 / 暑假第 13 讲 相似三角形的性质与判定综合
精选精练
1 【答案】B
【解析】∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
根据勾股定理得：AB=5，
而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，
∴∠BDE=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△EDB，
∴BC:BD = AB:(BC+CE)，又BC=3，AC=4，AB=5，
∴3:2.5 = 5:(3+CE)，
7
从而得到CE= ．
6
故选：B．
2 【答案】1
7
【解析】 3
如图，在AD上取点H，使AH = AD，连接BH交AC于O，
4
AG 1 1
则 = ，即AG = AO，
AO 3 3
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD = BC，
∴△AOH∽△COB，
AO AH 3
∴ = = ，
CO CB 4
4
∴CO = AO，
31
AO
AG AG 3 1
∴ = = = ．
AC AO+CO 4 7
AO+ AO
3
1
故答案为： ．
7
3 【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形
∴AB = BC = AC，∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60∘
1 1
∵BD = BC，CE = AC
3 3
∴BD = EC
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD = ∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD = 60∘
∴∠ABE+∠CBE = 60∘
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE = 60∘
∴①是对的；
如图，从CD上截取CM = CE，连接EM，则△CEM是等边三角形
∴EM = CM = EC
1
∵EC = CD
2
∴EM = CM = DM
∴∠CED = 90∘
∴DE⊥AC，
∴②是对的；由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD:AD = DF:DB
2
∴BD = DF⋅DA
2
∴CE = DF⋅DA
∴③是对的；
在△AFE和△BAE中，∠BAE = ∠AFE = 60∘，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF⋅BE = AE⋅AC
∴④是正确的．
故选：A．
4 【答案】C
5 【答案】B
6 (1)【答案】如图所示，△A B C 即为所求．
1 1 1
(2)【答案】点A 的坐标为(0,4)、B 的坐标为(−2,0)、C 的坐标为(4, −2)．
1 1 1
能力强化 / 初三 / 暑假
第 14 讲 锐角三角函数
例题练习题答案
例1(1)【答案】 3 4 3 4 3 4
①sinA = ，cosA = ，tanA = ， sinB = ，cosB = ，tanB = ；
5 5 4 5 5 3
5 12 5 12 5 12
②sinA = ，cosA = ，tanA = ， sinB = ，cosB = ，tanB = ．
13 13 12 13 13 5
(2)【答案】A
(3)【答案】 √10 3√10 1
sinB = ，cosB = ，tanB = ．
10 10 3
(4)【答案】 4 4
cosA = ，tanB = ，AB = 15
5 3
练1.1 (1)【答案】B
(2)【答案】C
(3)【答案】D
(4)【答案】15
,34
8
例2 (1)【答案】C
【解析】如图，取格点D，连接BD，
∵AC和BD都是刚好穿过每个小正方形的对角顶点，
∴BD⊥AC，
AD √5
∴cos∠A = =
AB 5
(2)【答案】3
4练2.1 (1)【答案】2
(2)【答案】√2
2
例3 【答案】 4 3
答案：（1）sinA = ，cosA = ，
5 5
2 2
sin A+cos A = 1；
12 5
sinD = ，cosD = ，
13 13
2 2
sin D+cos D = 1.
2 2
规律：对应任意锐角α，有sin α+cos α = 1.
4 sinA 4
（2）tanA = ， = ；
3 cosA 3
12 sinD 12
在图2中，tanD = ， = ；
5 cosD 5
sinα
规律：对应任意锐角α，有tanα = .
cosα
练3.1 【答案】10
【解析】3sinα+cosα
= 3tanα+1=10．
cosα
例4 (1)【答案】D
(2)【答案】B
(3)【答案】D
(4)【答案】1
2
练4.1 (1)【答案】A
(2)【答案】A
(3)【答案】C(4)【答案】C
例5 【答案】∠C = 105∘
【解析】 √2 √3 √2 √3
| | ( )2
已知 sinA− + −cosB = 0，所以sinA− = 0，且 −cosB = 0，
2 2 2 2
√2 √3
所以sinA = ，且cosB = ，又知∠A、∠B都是锐角，所以∠A = 45∘，∠B = 30∘，
2 2
所以∠C = 105∘．
练5.1 【答案】A
例6 【答案】（1）1+√3；
1
（2） ；
4
√3+1
（3） ；
2
（4）0．
练6.1 【答案】B
能力强化 / 初三 / 暑假
第 14 讲 锐角三角函数
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】 √3 1
（1） − ；（2）7．
2 2
能力强化 / 初三 / 暑假第 14 讲 锐角三角函数
精选精练
1 【答案】D
【解析】 √3
∵cos30∘ = ，sin80∘ = cos10∘，余弦函数随角增大而减小，
2
∴10∘ < A < 30∘．
故选：D．
2 【答案】B
【解析】解： ∵ CD⊥AB，BE⊥AC，则易证ΔABE ∽ ΔACD，
AD AC
∴ = ，
AE AB
又 ∵ ∠A = ∠A，
∴ ΔAED ∽ ΔABC，
AD DE 2
∴ = = ，
AC BC 5
设AD = 2a，则AC = 5a，
根据勾股定理得到CD = √21a，
CD √21
因而sinA = = ．
AC 5
故选：B．
3 【答案】A
4 【答案】C
5 【答案】2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】C2 【答案】D
3 【答案】C
4 【答案】C
5 【答案】D
6 【答案】B
7 【答案】D
【解析】∵AE:ED = 2:1，
∴AE:AD = 2:3，
∵∠ABE = ∠C，∠BAE = ∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴S :S = 4:9，
ΔABE ΔACD
9
∴S = S ，
ΔACD ΔABE
4
∵AE:ED = 2:1，
∴S :S = 2:1，
ΔABE ΔBED
∴S = 2S ，
ΔABE ΔBED
9 9
∴S = S = S ，
ΔACD ΔABE ΔBED
4 2
9 15
∵S = S +S +S = 2S + S +S = S ，
ΔABC ΔABE ΔACD ΔBED ΔBED ΔBED ΔBED ΔBED
2 2
∴S :S = 2:15，
ΔBDE ΔABC
8 【答案】A
9 【答案】30∘
10 【答案】√5
11 【答案】6
12 【答案】40∘
13 【答案】(−1, −5)
14 【答案】301
15 【答案】 3
（1）2−√3；（2）1− √2．
416 【答案】解：（1）方程可化为(x+4)(x−3) = 0
解得x = −4，x = 3
1 2
17 【答案】证明：作OE⊥AB于点E，则CE = ED
又∵OA = OB
∴AE = BE
∴AE−CE = BE−ED即AC = BD
18 【答案】 ⌢ ⌢
解：∵BC = BC
∴∠BDC = ∠BAC
∵∠ABC = ∠BDC = 60∘
∴∠ABC = ∠BAC = 60∘
∴∠ACB = 60∘
∴∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = 60∘
∴△ABC为等边三角形
∵AC = 3
∴△ABC的周长为：3×3 = 9
19 【答案】解：∵AD = 4，BD = 8
∴ AB = AD+BD = 12
又∵DE∥BC，DE = 5
AD DE 4 5
∴ = 即 =
AB BC 12 BC
解得BC = 15
20 【答案】证明：（1）在△ADC和△ACB中
∵∠ACD = ∠B，∠A = ∠A
∴△ADC∽△ACB
（2）∵△ADC∽△ACB∴AC:AB = AD:AC
2
∴AC = AB⋅AD
∵AD = 2，AB = AD+BD = 2+3 = 5
2
∴AC = 5×2 = 10
∴AC = √10
21 【答案】（1）解：∵BC = DC
∴∠CBD = ∠CDB = 39∘
∵∠BAC = ∠CDB = 39∘，∠CAD = ∠CBD = 39∘
∴∠BAD = ∠BAC+∠CAD = 39∘ +39∘ = 78∘
（2）证明：∵EC = BC
∴∠CEB = ∠CBE
而∠CBE = ∠2+∠CBD，∠CEB = ∠1+∠BAC
∴∠2+∠CBD = ∠1+∠BAC
∵∠BAC = ∠CBD
∴∠1 = ∠2
22 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B = 180∘，∠ADF = ∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE = 180∘，∠AFE = ∠B，
∴∠AFD = ∠C．
在△ADF与△DEC中，
∠AFD = ∠C，
{
∠ADF = ∠DEC，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB = 8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
AD AF
∴ = ，
DE CDAD⋅CD 6√3×8
∴DE = = = 12．
AF 4√3
易证△ADE是直角三角形，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
√
AE = √ DE 2 −AD 2 = 12 2 − ( 6√3 )2 = 6．
23 【答案】（1）连接AP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠APB = ∠FOB = 90∘，
∴∠ABP = ∠FBO，
∴△ABP∽△FBO，
BP AB
∴ = ．
OB BF
√ √
∵BF = OF 2 +OB 2 = 2 2 +4 2 = 2√5，
BP 8
∴ = ，
4 2√5
16√5
∴BP = ；
5
（2）连接BC．√
∵OC⊥AB，BC = OC 2 +OB 2 = 4√2，
⌢ ⌢
∴AC = BC，
∴∠CPB = ∠EBC．
∵∠BCP = ∠BCE，
∴△BCP∽△ECB，
BC CP
∴ = ，
CE BC
2
∴BC = CP⋅CE = 32；
AP
（3） 的值不变．
DH
理由：连接PC、AC．
∵OH∥AP，
1
∴∠APD = ∠OHP = ∠AOD = 45∘，
2
∴∠CPA = ∠OHD = 135∘．
又∵∠CAP = ∠ODH，
∴△CAP∽△ODH，
AP AC 4√2
∴ = = = √2，
DH OD 4
AP
∴当点P在弧AC上运动时， 的值保持不变且始终为√2．
DH
