文档内容
1.2 等腰三角形导学案
第1课时 等腰三角形的性质
1.掌握等腰三角形“等边对等角”“三线合一”及等边三角形的性质，明确两类三角形性质的关联与区别。
2.经历两类三角形性质的推理论证过程，理解证明逻辑，掌握几何证明书写格式。
3.能运用两类三角形性质解决简单角度计算、线段相等判定问题，提升应用能力。
学习重点：等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质及等边三角形的 60∘ 特征。
学习难点：：正确选取辅助线并运用全等三角形性质进行推理、组织几何证明格式。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①n边形的内角和等于(n-2)×180 °，外角和等于360°.
360。
②正n边形每个内角的度数是: ，正n边形每个外角的度数为n .
③三角形按边分类：不等边三角形→三条边各不相等的三角形.
等腰三角形→腰和底不等的等腰三角形，等边三角形(三边都相等的三角形）
2.情景引入
图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
都是等腰三角形都是等边三角形
新知自研：自研课本第14--15页的内容．
【学法指导】
自研课本P14-15页例题上面的内容，思考：
●探究一：等腰三角形的性质1
◆1.尝试交流
我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，你还记得这些性质吗？请你选择其中一条性质进行证明，并与
同伴进行交流.
定理:等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
转化成几何语言：已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.
【分析】我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的
三角形.这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.
【证明】
方法一：作底边的中线AD，则BD=CD.（完成下面的过程）
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )，BD=CD ( 已知 )，AD=AD ( 已知 )，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
证明：作顶角的平分线AD，（完成下面的过程）
则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 ),∠BAD=∠CAD ( 已知 ),AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
◆2.知识归纳
等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等(简单说成：等边对等角).
几何语言：
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴ ∠ B= ∠ C (等边对等角).
◆3.练一练
如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝( )
A．80° B．100° C．140° D．160°
解析:∵∠BAD＝80°，
∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360°－∠BAD＝280°.
又∵AB＝AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝280°÷2＝140°.
选C。
探究点2：等腰三角形的性质2
◆1.议一议
由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征？为什么？与同伴进行交流.
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
【解答】解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
◆2.知识归纳等腰三角形的性质定理2：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简单说成：三线合一）.
几何语言：如图,在△ABC中,
AB=AC, ∠1=∠2(已知),
◎∴∵BD=CD, AD ⊥ BC （等腰三角形三线合一）.
AB=AC, BD=CD (已知),
◎∴∵ ∠ 1= ∠ 2 ,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
AB=AC, AD⊥BC(已知),
◎∴∵BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
◆3.练一练
如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是______.
解：20
探究点3：等边三角形的性质
◆1.尝试交流
等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？请尝试证明你发现的结论，并与同伴进行交流.
根据定义可知，等边三角形的三条边都相等.
还可以得出：
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
转化成几何语言
已知：如图，在△ABC中， AB=AC=BC．
求证： ∠ A= ∠ B= ∠ C=60 °．【证明】在△ABC中，∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理可得 ∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
◆2.知识归纳
等边三角形的性质定理：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
几何语言：
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,
∠A= ∠ B= ∠ C =60°.
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质.等边三角形每个内角的平分线都与它
对边上的高、中线重合.
◆3.练一练
如图所示，△ABC是等边三角形，且点A在直线l上，则∠1+∠2等于______.
解：120°
◆4.回顾反思
思考：回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形的经验？
总结：
①从生活实例切入，建立直观认知；
②根据动手操作（折叠、测量），猜想图形性质；
③通过逻辑证明（辅助线、全等转化），验证猜想；
④性质应用巩固，深化理解。
【例题导析】
自研课本下面的例1和例2内容，回答问题典例分析
例1 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和
∠BAC的度数．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC,从而求出∠CDE的度数,然后根据直角三角形两锐角
互余求出∠DCE,根据角平分线的定义求出∠ACB的度数,再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求
出∠BAC的度数.
【解答】解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC.
∵∠ADC＝125°，
∴∠CDE＝180°－∠ADC＝55°，
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.
例2 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE，DE.若∠ABE＝40°，
BE＝DE，求∠CED的度数．
【分析】由△ABC为等边三角形,利用等边三角形的性质得到三个内角为60°,根据∠ABE=40°,求出∠EBC的
度数,根据BE=DE,利用等边对等角得到∠EBC= ∠ D ,求出 ∠ D 的度数,利用外角性质即可求出∠CED的度数
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.验证并证明等腰三角形和等边三角形的性质；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长为( )
A.13 B.14 C.15 D.13或14
解：D
2.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,则下列结论不一定正确的是( )
A.BD=CE B.OB=OC
C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE
解：C
3.如图所示，在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，O是边BC上任意一点，则点O到AB，AC
边的距离之和等于( )
A.5 B.7.5 C.9 D.10
解：A
4.如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为( )
A．120° B．135°
C．145° D．150°解：D
5. 如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列四个结
论正确的是( )
①点P在∠BAC的平分线上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP.
A．全部正确 B．仅①和②正确
C．仅②和③正确 D．仅①和③正确
解：A
6.如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=64°，则∠C的度数为_____.
解：32°
7. 如图所示,在△ABC中，AB=AC，AD，CE是三角形的高，垂足分别为D，E，若∠CAD=20°，则∠BCE的
度数为_____.
解：20 °
8.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是_____.
解：20
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE.
解： (1)∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.
∵∠C=42°,
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°.
(2)证明:由(1)知∠BAD=∠CAD.
∵EF∥AC,
∴∠F=∠CAD,
∴∠BAD=∠F,
∴AE=FE.
10.如图所示，已知l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，求∠α
的度数．
解：如题图，过点C作CE∥m.
∵l∥m，
∴l∥m∥CE，
∴∠ACE＝∠α，∠BCE＝∠CBF＝20°.
在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，
∴∠α＋∠CBF＝∠ACB＝60°，
∴∠α＝40°
11.如图所示，△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN
与AM相交于点Q，求∠BQM的度数.解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
在△AMB和△BNC中，
∵ AB=BC,∠ABC=∠C，BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
题型一：利用等腰三角形的性质计算
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，若BD＝4，则DC的长是（ ）
A．2 B．4 C．4❑√2 D．8
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AD为BC边上的中线．
∵BD＝4，
∴DC＝BD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的
高互相重合（简称“三线合一”）．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝
10cm，则AB的长是（ ）A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm
【分析】根据垂直平分线的性质可得：AN=BN，根据△BNC的周长和BC的长度得出AC=14cm,再利用
AB=AC，则AB=AC=14cm．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，
∴BN+NC+BC＝AN+NC+BC＝AC+BC＝24（cm），
∴AC＝14cm，
∵AB＝AC，
∴AB＝14cm，
故选：C．
【点评】本题考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，求
出AC=14cm．
3．如图：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD＝BC，则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．40° D．42°
【分析】设∠ABD＝x°，由条件结合等腰三角形的性质可证明∠A＝x°，在△ABC中由三角形内角和定
理列出方程可求得x，可求得∠A．
【解答】解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠A＝x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键．
4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接
BD，则∠DBC的度数为（ ）
A．30° B．32° C．34° D．36°
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，可得
∠DBA的度数，进一步即可求出∠DBC的度数．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D．若∠ADE＝
40°，则∠CBD＝ ．【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，又由
∠ADE＝40°，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，
∵∠ADE＝40°，
∴∠A＝∠ABD＝50°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线
段两端点的距离相等．
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB．
（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；
（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长．
【分析】（1）先利用线段垂直平分线的性质可得 EA＝EC，从而可得∠C＝∠CAE＝40°，然后利用三
角形的外角性质可得∠AEB＝80°，从而利用等腰三角形的性质可得∠AEB＝∠B＝80°，最后利用三角形
内角和定理进行计算，即可解答；
（2）先利用线段垂直平分线的性质可得AC＝2CF＝8，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得DE＝
BD，再利用等量代换可得CE＝AB，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解
答．【解答】解：（1）∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠CAE＝40°，
∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝80°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠B＝80°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝20°，
∴∠BAE的度数为20°；
（2）∵EF是AC的垂直平分线，
∴AC＝2CF＝8，
∵AE＝AB，AD⊥BE，
∴DE＝BD，
∵AE＝CE，
∴CE＝AB，
∵CD＝5，
∴CE+DE＝5，
∴AB+BD＝5，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC
＝8+AB+BD+DE+CE
＝8+5+5
＝18，
即△ABC的周长为18．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知
条件并结合图形进行分析是解题的关键．
题型二： 等腰三角形中的多结论判断问题
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接
BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；② BD 平分∠ABC；③ BC＝AD；④ OD＝2CD．正确的有
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，根据
线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，∠ABC＝∠BDC＝∠C
＝72°，继而求得：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD．
【解答】解：∵AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠C＝2∠A，故①正确；
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴BD平分∠ABC，故②正确；
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BC＝BD＝AD，故③正确；
由条件不能得出OD＝2CD，故④错误．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合
思想的应用．
7．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝
72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确
的序号有（ ）
A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直
平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形
内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，180°−∠A
∴∠ABC＝∠C= =72°，
2
故①正确；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，
∴BD是∠ABC的平分线，
故②错误；
∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．
故③错误；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD
∴△ABD是等腰三角形；
故④正确；
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠CBD＝36°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一
点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，CE⊥BD，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（ ）
结论①∠ADE＝20°；结论②BC＝BE．
A．结论①②都正确 B．结论①②都错误
C．只有结论①正确 D．只有结论②正确
【分析】利用ASA证明△BCM≌△BEM，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理、垂直平分线的判
定与性质即可判断求解．
【解答】解：如图，CE交BD于点M，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBM＝∠EBM，
∵CE⊥BD，
∴∠CMB＝∠EMB＝90°，
在△BCM和△BEM中，
¿，
∴△BCM≌△BEM（ASA），
∴BC＝BE，
故②正确；
∵△BCM≌△BEM，
∴∠BCM＝∠BEM，BC＝BE，
∵∠ABC＝40°，
∴∠BCM＝∠BEM＝70°，
∵∠A＝60°，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠BCM＝10°，
∵BC＝BE，CE⊥BD，∴BD垂直平分CE，
∴DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝10°，
∴∠ADE＝∠DCE+∠DEC＝20°，
故①正确，
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得出BD垂直平分CE是解题的关
键．
题型三： 利用等腰三角形性质证明
9．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB=AC，AP=AQ．求证：BP=CQ．
【分析】根据线段垂直平分线1的性质，可得BO=CO，PO=QO，根据等式的性质，可得答案．
【解答】证明：过点A作AO⊥BC于O．
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=CO，
∵AP=AQ，AO⊥BC ，
∴PO=QO ,
∴BO-PO=CO-QO
∴BP=CQ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A分别作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求证：∠EAB
＝∠DAC．【分析】由等腰三角形的判定定理得出 AB＝AC，由HL证明Rt△AEC≌Rt△ADB，根据全等三角形的
性质得∠EAC＝∠DAB，即可即可得出结论．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BD，AE⊥CE，
∴∠D＝∠E＝90°，
即△AEC和△ADB是直角三角形，
在Rt△AEC和Rt△ADB中，
{AC=AB)
，
AE=AD
∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL），
∴∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC﹣∠BAC＝∠DAB﹣∠BAC，
∴∠EAB＝∠DAC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理、直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判
定方法，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．
11．如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，
求证：EC∥DF．
1
【分析】先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC= ∠ABC，∠ECB
2
1
= ∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代换得到∠ECB＝∠F，于是根据平行线的判
2
定得出EC∥DF．
【解答】证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE为底角的平分线，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，
2 2∴∠DBC＝∠ECB，
∵∠DBC＝∠F，
∴∠ECB＝∠F，
∴EC∥DF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线的判定，难度适中．得出∠DBC＝
∠ECB是解题的关键．
题型三： 利用等边三角形性质计算
12．如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的
度数为（ ）
A．120° B．110° C．108° D．106°
【分析】根据等边三角形性质及AB∥CD得∠EFD＝∠NEM＝60°，由此可得∠CFE的度数．
【解答】解：∵△EMN为等边三角形，
∴∠NEM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠NEM＝60°，
∴∠CFE＝180°﹣∠EFD＝120°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性
质是解决问题的关键．
13．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】由等边三角形的性质可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和
定理可得∠ADE的度数，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
1
∴∠CAD= ∠BAC＝30°，AD⊥BC，
2
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝15°，
故选：A．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的
度数是解题的关键．
14．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（ ）
3
A．1 B． C．2 D．3
2
【分析】由△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠BAC＝60°，BC＝AB＝4，结合∠BAD
＝30°，可得出∠CAD＝30°＝∠BAD，进而可得出AD为∠BAC的角平分线，再利用等边三角形的三线合
一可得出AD为BC边的中线，结合BC＝4即可求出CD的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，BC＝AB＝4．
∵∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD，
∴AD为∠BAC的角平分线，∴AD为BC边的中线，
1 1
∴CD= BC= ×4＝2．
2 2
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的三线合一，找出 AD为BC边的中线是解题的
关键．
15．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为
15，AF＝2，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先根据等边三角形的性质推出∠AFD＝∠BDE，再证△AFD和△BDE全等，得出BD＝AF＝2，
BE＝AD，根据等边△ABC的周长求出AB的长，于是得出AD的长，即可求出BE的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADF+∠AFD＝120°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝60°，DF＝ED，
∴∠ADF+∠BDE＝120°，
∴∠AFD＝∠BDE，
在△AFD和△BDE中，
{
∠A=∠B
)
∠AFD=∠BDE ，
DF=ED
∴△AFD≌△BDE（AAS），
∴BD＝AF＝2，BE＝AD，
∵△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形，
∴AB＝5，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3，
∴BE＝3，故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
题型四： 利用等边三角形性质证明
16．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用 SAS判定两三角形全
等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
{
AB=AC
)
∵ ∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等
进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
17．如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接
DE．求证：CD＝CE．
【分析】根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根据等腰三角形的性质
得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠2＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵BD是等边△ABC的中线，∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴CD＝CE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题
的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求
证：BQ⊥CP．
【分析】由等边三角形的性质可得出∠ACP＝∠CBQ＝60°，求出∠BCP＝30°，由三角形内角和定理得出
∠BHC＝90°，则可得出结论．
【解答】证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，
∴∠ACP＝∠CBQ＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，
在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴BQ⊥CP．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F分别为垂足，△DEF是等边三角
形．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：EF∥BC．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，再根据垂直定义和平角定义可
求得∠AEF＝∠AFE＝30°，再利用三角形的内角和等于180°求解即可；
（2）证明Rt△BED≌Rt△CFD，则∠B＝∠C，再根据三角形的内角和定理和平行线的判定可证得结论．
【解答】解：（1）∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠A＝180°﹣（∠AEF+∠AFE）＝120°；
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
{DE=DF)
，
BD=CD
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
1
∴∠B＝∠C，则∠B= (180°−∠A)=30°，
2
∴∠B＝∠AEF，
∴EF∥BC．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、垂直定义、三角形的内角和定理、全等三角形的性质、平行线
的判定，熟练掌握等边三角形的性质以及HL定理是解答的关键．
20．如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB＝DC，连接AD交BC于点E．
（1）求证：AD垂直平分BC；
（2）过点D作DF∥AB，AC＝5，FC＝2，求DF的长．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）由（1）证得∠CAD＝30°，进而根据平行线的性质证得∠CFD＝∠BAC＝60°，再利用外角的性质
求出∠ADF＝30°，利用等角对等边求出DF．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵DB＝DC，
∴AD垂直平分BC；
（2）解：△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，
1 1
∴∠CAD= ∠BAC= ×60°=30°，
2 2
∵DF∥AB，
∴∠CFD＝∠BAC＝60°，
∴∠ADF＝∠CFD﹣∠CAD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ADF＝∠CAD＝30°，
∴AE＝FC，
∵AF＝AC﹣FC＝5﹣2＝3．
∴DF＝3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的相关性质．
▲1、等腰三角形的性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等(简单说成：等边对等角).
▲2、等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简单说成：三线合一）.
▲3、等边三角形的性质定理：
①等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
②等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质.等边三角形每个内角的平分线都与它对边
上的高、中线重合.
