文档内容
第一章 三角形的证明
1.2 等腰三角形
第 3 课时 等边三角形的判定及含 30∘角的直角三角形的性质
【素养目标】
1. 学习并掌握等边三角形的判定方法， 能够运用等边三角形的性质和判定解
决问题。(重点)
2. 理解并掌握含30∘角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题。(难点)
3. 通过探究含30∘角的直角三角形的性质的过程，加深对特殊直角三角形的认识，
培养分析问题、解决问题的能力。
【情境导入】
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点) 和一棵小树 (A
为小树位置 ) .测得的相关数据为：∠ABC=60∘，∠ACB = 60∘，BC = 48m ，
则 AC 长多少 m ?
【合作探究】
探究点一、等边三角形的判定
探究：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条
件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流。
【证一证】
定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知： 如图， ∠A =∠B =∠C .
求证： △ABC 是等边三角形。
第 1 页定理：有一个角是 60❑∘ 的等腰三角形是等边三角形。
已知：若 AB = AC,∠A = 60∘ .
求证：△ABC是等边三角形。
证明完整吗？ 是不是还有另一种情形呢？
【验证】第二种情况：有一个底角是 60∘ .
已知： 如图，在△ABC 中，AB = AC,∠B = 60∘ . 求证：△ABC是等边三角
形。
【归纳总结】
性质 判定
等腰三
角形 (含
等边三
角形)
例1 如图，在等边三角形ABC中，DE // BC , 求证：△ADE是等边三角形。
第 2 页想一想：本题还有其他证法吗？
变式：上题中，若将条件 DE // BC 改为 AD = AE ,△ADE 还是等边三角形
吗？试说明理由。
已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AD = AE . 求证：△ADE 是等边三角形。
【回顾导入】
如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点)和一棵小树 (A
为小树位置 ) . 测得的相关数据为：∠ABC = 60∘,∠ACB=60∘,BC=48m , 则
AC 长多少米？
探究点二、含30°的直角三角形的性质
操作：用两个含有30∘ 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
想一想：在直角三角形中，30∘ 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
第 3 页【猜想验证】
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90∘,∠A=30∘ .
1
求证：BC = AB .
2
【定义总结】
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30∘ , 那么它所对的直角边等于
斜边的一半。
几何语言： 在 △ABC 中，
∵∠ACB = 90∘,∠A=30∘ .
1
∴BC= AB . (在直角三角形中，
2
30∘ 角所对的直角边等于斜边的一半)
拓展推论： BC:AC:AB = 1:√3:2
例2 求证：如果等腰三角形的底角为 15∘ ，那么腰上的高是腰长的一半。
已知：如图，在△ABC 中， AB =AC,∠B = 15∘ , CD是腰AB上的高，
1
求证：CD = AB .
2
【 练 一 练 】 2. 如 图 ， 在 △ABC 中 ， ∠ACB = 90∘,CD是 高 ，
∠A = 30∘,AB = 4 . 则 BD的长为_____.
第 4 页当堂反馈
1.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，AB＝6，则AC的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB的长为 ( )
A.4 B.
2√3 4√3 √3
C. D.
3 3 3
3.如图，在△ABC 中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，则底边上的中线 AD＝
______.
4.下列三角形：①有两个内角是 60°的三角形；②有两边相等且是轴对称的三角
形；③有一个角是60°且是轴对称的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高
的等腰三角形。其中是等边三角形的有___________.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC.若AD＝6，求
CD的长。
书写通关
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC=_________.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠_______=30°.
∴∠ABD=∠A. ∴AD=________ = 6.
又∵∠DBC＝30°.
∴ CD =_____ BD =__________ .
6.如图，△ABC是等边三角形，D为AC上任一点，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.
求证：△ADE是等边三角形。
第 5 页参考答案
探究点一、等边三角形的判定
【证一证】
定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形。
证 明 ： ∵∠A =∠B,∴AC = BC .∵∠B=∠C ,∴AB = AC .
∴AB = AC = BC .
∴△ABC 是等边三角形。
定理：有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形。
1
证明：∵AB = AC,∠A = 60∘ ,∴∠B =∠C = (180∘−∠A) = 60∘ .
2
∴∠A =∠B =∠C .∴AB = AC = BC .∴△ABC 是等边三角形。
【验证】第二种情况：有一个底角是 60∘ .
证明： ∵AB = AC,∠B = 60∘ (已知),∴∠C =∠B = 60∘ (等边对等角).
∴∠A = 60∘ (三角形内角和定理).∴∠A =∠B =∠C = 60∘ .
∴ △ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等边三角形).
【归纳总结】
性质 判定
等边对等角 等角对等边
“三线合一”，即等腰三角形顶角平 三个角都相等的三角形是等
等腰三角 分线， 底边上的中线、高线互相重 边三角形
形 (含等 合
边三 角 等边三角形三个内角都相等，且每个 有一角是 60°的等腰三角形
形) 角都是 60° 是等边三角形
例1 证明： ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C .∵DE // BC ,∴∠ADE =∠B,∠AED =∠C .
∴∠A =∠ADE =∠AED .∴△ADE 是等边三角形。
变式： 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C = 60∘ .
∵AD=AE ,∴△ADE 是等腰三角形。
又 ∵∠A = 60∘ .∴△ADE 是等边三角形。
【回顾导入】 AC = 48m.
探究点二、含30°的直角三角形的性质
想一想： 猜想：在直角三角形中，30∘ 角所对的直角边等于斜边的一半。
【猜想验证】
第 6 页证明： 延长 BC 至点 D ，使 CD=BC ，连接 AD .
∵∠ACB = 90∘ ,∴∠ACD = 90∘ .
∵AC=AC ,∴△ABC≌△ADC (SAS).
∴AB = AD (全等三角形的对应边相等).
在 △ABC 中， ∠BAC+∠B+∠ACB=180∘
(三角形内角和定理).
∵∠BAC=30∘,∠ACB=90∘ .
∴ ∠B = 180∘−30∘−90∘=60∘ .
∴ △ABD 是等边三角形(有一个角是 60∘ 的等腰三角形是等边三角形).
1 1
∴ BC = BD = AB.
2 2
例2 证明：在△ABC 中，∵AB = AC,∠B = 15∘ ,
∴∠ACB =∠B =15∘ (等边对等角).
∴∠DAC =∠B +∠ACB=15∘+15∘=30∘
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∵CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC = 90∘ .
1
∴CD = AC (在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30∘ ，那么它所对的直
2
1
角边等于斜边的一半). ∴CD = AB .
2
【练一练】2. 1.
当堂反馈
1. B
2. A
3. 6 .
4. ①③④ .
1
5. 书写通关 60 ° ∠DBC BD 3
2
6.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
AB＝AC，
{
在△ABD和△ACE中， ∠ABD＝∠ACE，
BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD=AE,∠BAD=∠CAE=60°.
∴△ADE是等边三角形。
第 7 页
