文档内容
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时）
一、教学目标
【知识与技能】
1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；
2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；
3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.
【过程与方法】
通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并
由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.
【情感态度与价值观】
在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步
增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时，共3课时。四、教学重难点
【教学重点】
1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；
2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.
【教学难点】
二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等
六、教学过程
（一）导入新课
这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2）
（二）探索新知
探究一 二次函数y=ax2+k图象的画法在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课
件4）
学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，
并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.
1.列表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
x
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 …
y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 …
2.描点，连线：（出示课件5）
教师问：抛物线y=x2 、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是
什么？（出示课件6）学生独立思考并整理.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 向上 x=0 （0,0）
y=x2+1 向上 x=0 (0，1)
y=x2-1 向上 x=0 (0，-1)
出示课件7：例 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的
图象.
学生自主操作，画图，教师加以巡视.
解：先列表：
x … -2 -1. -1 -0. 0 0.5 1 1.5 2 …
5 5
y=2x2+
… 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
1
y=2x2- -0.
… 7 3.5 1 -1 -0.5 1 3.5 7 …
1 5
然后描点画图：（出示课件8）教师问：抛物线y=2x2+1 , y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
（出示课件9）
学生独立思考并整理.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2+ 向上 x=0 （0,1）
1
y=2x2- 向上 x=0 （0，-1）
1
探究二 二次函数y=ax2+k的性质
教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质：
开口方向：向上.
对称轴：x=0.
顶点坐标：（0，k）.
最值：当x=0时，有最小值，y=k.
增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大.
出示课件11：在同一坐标系中，画出二次函数 ， ，
的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
学生自主操作，画图，并整理.解：如图所示.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下 x=0 （0,0）
y= x2
向下 x=0 （0,2）
y= x2+2
向下 x=0 （0，-2）
y= x2-2
出示课件12：在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：
1 1 1
y x2 y x2 2 y x2 2
3 1 3 2 3
； ； .
学生自主操作，画图，教师巡视加以指导.出示课件13，14：根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 ;
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________;
(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________;
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、
_______﹑________;
(6) 函数的增减性都相同：____________________________.
学生独立思考并口答.
⑴抛物线；⑵向下；⑶直线x=0；⑷( 0，2)，(0，0)，( 0，-2)；⑸高；大；
y=2，y=0，y=-2；⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减
小
师生共同归纳：二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质（出示课件15）
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（x=0） y轴（x=0）
顶点坐标 （0,k） （0,k）
最值 当x=0时，y =k 当x=0时，y =k
最小值 最大值当x＜0时，y随x的增大 当x＞0时，y随x的增大
增减性 而减小；x＞0时，y随x 而减小；x＜0时，y随x
的增大而增大. 的增大而增大.
出示课件16：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x ，x （x ≠x ）时，函数值相
1 2 1 2
等，则当x＝x +x 时，其函数值为________.
1 2
学生独立思考后，师生共同解答.
解：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x ，x 关于y轴对称，即x +x
1 2 1 2
＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
教师归纳：方法总结：二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右
两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
出示课件17：抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，
在________侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小.
学生口答：（0,3）；y轴；对称轴左；对称轴右
探究三 二次函数y=ax2+k的图象及平移
出示课件18：从数的角度探究：出示课件19：从形的角度探究：
观察图象可以发现，把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物
线_____；把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.
学生观察图象并解答：上；y=2x2+1；下
师生共同归纳：二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系（出示课
件20）
二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当k>0时,向上平移 个单位长度得到.当k<0时,向下平移 个单位长度得到.
教师强调：上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.
出示课件21：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将 ( )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
学生独立思考并口答：D
出示课件22：想一想：
教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？
学生答：第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步
把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.
第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.
教师问2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它
的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
学生答：a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
（三）课堂练习（出示课件23-27）1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的
函数表达式是 ．
2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．
3.填表：
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y=3x2
y=3x2＋1
y=-4x2－5
4.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”
或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则
k____；若顶点位于x轴下方，则k____.
6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x_____时，y随x的增大而减小；当x_____时，函数
y有最大值，最大值y是_____，其图象与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点
坐标是_____.
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）， 则a=____.
9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),
则三角形ABC的面积是_______.
参考答案：
1.y=x2+2
2.y=2x2－4
3.
有最高（低）
函数 开口方向 顶点 对称轴
点
y=3x2 向上 （0,0） y轴 有最低点
y=3x2＋1 向上 （0,1） y轴 有最低点
y=-4x2－5 向下 （0,-5） y轴 有最高点
4.在5.=2；＞2；＜2
6.⑴向下平移1个单位.
⑵>0；=0；1；(0,1)；(-1,0),(1,0)
⑶开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
7.2
8.-2
9.8
（四）课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.
（五）课前预习
预习下节课（22.1.3第2课时）的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性
质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.
