第一章整式的乘除（7个类型75题）-常考压轴题2023-2024学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版）（原卷版）_1、初中学习资料_24秋试卷_初中数学《常考压轴题攻略》

第一章 整式的乘除 内容导航 一、与幂有关的运算 类型一、同底数幂的乘法 类型二、幂的乘方与积的乘方 类型三、同底数幂的除法 二、整式的乘法 类型一、多项式乘法的及其应用 类型二、平方差公式及其应用 类型三、完全公式及其应用 类型四、配方法的应用 一、与幂有关的运算类型一、同底数幂的乘法 1．已知 ， ， ，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：① ；② ； ③ ；④ ．其中，正确的关系式是 （填序号）． 2．已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其 中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个 拐弯处的数是 ，第一百个拐弯处的数是 ． 3．如图，正方形的边长为 ，将此正方形按照下面的方法进行剪贴：第一次操作，先沿正方形的对 边中点连线剪开，然后粘贴为一个长方形，其中叠合部分长为1，则此长方形的周长为 ，第二次操 作，再沿所得长方形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，然后粘贴为一个新的长方形，其中叠合部分长 为l，……如此继续下去，第n次操作后得到的长方形的周长为 ． 4．为了求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，则2S=2+22+23+24+…+22015，因此2S﹣ S=22015﹣1，所以1+2+22+23+…+22014=22015﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52018= ． 5．现有若干张卡片，分别写有1， ，4， ，16， ，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡 片上的数字乘积为 ，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则 的值等于 ． 6．（1）已知： 则 的值是_____ （2）如果记 那么 _____（3）若 则x=_____ （4）若 则 _____ 7．阅读下面的文字,回答后面的问题： 求 的值. 解：令 将等式两边同时乘以5得到: ②-①得: ∴ 即 问题:(1)求 的值； (2)求 的值. 8．阅读下列材料：小明为了计算 的值，采用以下方法： 设 ① 则 ② ② ①得， ． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1） ______； （2）求 ______； （3）求 的和；（请写出计算过程） （4）求 的和（其中 且 ）．（请写出计算过程） 9．在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边 长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多 彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤：（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为 ； （2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 的小正方形，得到图（2）， 此图形的周长为 ； （3）重复上述的作法，图（1）经过第 次分形后得到图（3）的图形； （4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是 ，面积是 ． 类型二、幂的乘方与积的乘方 10．已知整数 满足 且 ，则 的值为 ． 11．已知6x=192，32y=192，则（-2019）（x-1）（y-1）-1= . 12．如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两 个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______； (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（ ）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空： =________．（a为正数） (3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）． 13．如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ． (1) ______ ；若 ，则 ______ ； (2)已知 ， ， ，若 ，求 的值； (3)若 ， ，令 ． ①求 的值；②求 的值． 14．阅读下列材料,并解决下面的问题: 我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子 可 以变形为 也可以变形为 .在式子 中,3叫做以2为底8的对数,记为 一 般地,若 则 叫做以 为底 的对数,记为 且具有性质: 其中 且 根据上面的规定,请解决下面问题: (1)计算: _______(请直接写出结果)； (2)已知 请你用含 的代数式来表示 其中 (请写出必要的过程). 15．找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝ ； 13+23+33+43+…+n3＝ ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 类型三、同底数幂的除法 16．设m，n是正整数，且 ，若 与 的末两位数字相同，则 的最小值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 17．对于整数a、b定义运算： （其中m、n为常数），如 ．(1)填空：当 ， 时， __________； (2)若 ， ，求 的值． 18．观察下面三行单项式： x， ， ， ， ， ， ；① ， ， ， ， ， ， ；② ， ， ， ， ， ， ；③ 根据你发现的规律，解答下列问题： （1）第①行的第8个单项式为_______； （2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为 当 时，求 的值． 19．阅读理解： 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时 采用“逢十进一”的原则，比如： ，（这里我们规定：a≠0时， ），又如： ．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用 到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的 运算也和十进制数的运算类似． ①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如： ， 所以103用二进制数码表示是1100111，记为 ； ②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如： ，所以 可以表 示成二进制小数 ，记为 ． 这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到 的二进制小数表示： 由于 ， ，所以 ，而 可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1： ，所以= ； ③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如： ，由 ，可知 ． 问题解决： (1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数 化为十进制分数是______． (2)将十进制分数化成二进制小数： ； ． (3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将 化为分数形式． 设 （A） 则 （B）． 得： 即 ，于是得到 ． 同样，二进中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数． 请二进制循环小数 化成十进制分数，保留计算过程． 20．阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为 ，依此 类推，排在第 位的数称为第 项，记为 ． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示 ．如：数列1，3，9，27， 为等比数列， 其中 ，公比为 ．然后解决下列问题． (1)等比数列3，6，12， 的公比 为 ，第4项是 ．(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为 和公比（设为 ，则根据定义我们可依次写出这个数列的每 一项： ， ， ， ， ．由此可得第 项 （用 和 的代数式表示）． (3)若一等比数列的公比 ，第2项是10，求它的第1项与第4项． (4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项． 二、整式的乘法 类型一、多项式乘法的及其应用 21．若实数x，y，z满足 ，求 （ ） A．5 B．10 C．15 D．20 22．关于 的多项式： ，其中 为正整数，若各项系数各不相 同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”． ① 是“亲缘多项式”． ②若多项式 和 均为“亲缘多项式”，则 也是“亲缘多项式”． ③多项式 是“亲缘多项式”且 ． ④关于 的多项式 ，若 ， ， 为正整数，则 为“亲缘多项式”． 以上说法中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．在矩形 内将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影 部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ．当 时， 的值为（ ）A． B． C． D． 24．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为 的正方形 四周分别放置四个边长为 的小正方形，构造了一个大正方形 ，并画出阴影部分 图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作 ，每一个边长为 的小正方形面积记作 ，若 ，则 的值是 ． 25．阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数， 若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”， 例如 ，所以 和 与 和 都是“幸福数对”. 解决如下问题： (1)请判断 与 是否是“幸福数对”？并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为 ，个位数字为 ，且 ；另 一个数的十位数字为 ，个位数字为 ，且 ，试说明 ， ， ， 之间满足怎样的数量关系，并写 出证明过程； (3)若有一个两位数，十位数字为 ，个位数字为 ；另一个两位数，十位数字为，个位数字为 ．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 26．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式 ，代数式 ，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 2 0 3 8 15 35 4 1 0 3 8 24 5 观察表格发现：当 时， ，当 时， ，我们把这种现 象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式 参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式 参照代数式 取值延后，求 的值． 27．若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平 面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有 关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）． （1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 ． （2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为 （6，﹣3），求整式B的表达式． （3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若 整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式． 28．如图， ，点D是线段 上的一个动点，在 右侧以 为边作正方形 ；若 ， ，连接 ．(1)请用含k，m的代数式表示 ； (2)若 ，梯形 的面积是三角形 面积的4倍，求k的值； (3)下列三个条件：① ；② ；③ ，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、 2分、3分，选择其中一个条件，求三角形 的面积（用含k的代数式表示）． 29．如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割为 小块，除阴影A，B两块外，其余 块是形状、大小完全 相同的小长方形，其较短一边长为 ． (1)分别用含 ， 的代数式表示阴影A，B两块的周长，并计算阴影A， 两块的周长和． (2)分别用含 ， 的代数式表示阴影A，B两块的面积，并计算阴影A， 的面积差． (3)当 取何值时，阴影A与阴影 的面积差不会随着 的变化而变化，并求出这个值． 30．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式 的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原 式 ，所以 ，即 ．［理解应用] (1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知 的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在 大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为 ，左下角的 面积为 ，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 31．如图，有一个边长为 的大正方形和两个边长为 的小正方形，分别将它们按照图1和图2的形式摆 放． （1）用含有 的代数式分别表示阴影面积： ________， ________， ________；（不需要化 简） （2）如图3，四边形 和 均为正方形，且点 在一条直线上，若 长为 ， 长为 5，则：①求阴影部分的面积（用含 的代数式表示）；②当 时，阴影部分面积为多少？ 32．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到 ，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 ，则 _____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为 的长方形纸 片拼出一个面积为 长方形图形，则 _______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起， 三点在同一直线上，连接 和 ，若两正方形的边长满足 ，你能求出阴影部分的面积吗？ 33．如图1，O为数轴原点，在数轴上摆放一个长方形ABCD，使得AB、CD的中点E、G恰好落在数轴上， AB＝16，BC＝EG＝6，点H为数轴上的点，HE＝2GO，HO＝3EG．（1）点H所表示的数为 ； （2）若动点M以每秒3个单位的速度从H出发沿折线H→E→B→C运动，动点N同时以每秒2个单位的 速度从点O出发沿折线O→G→D运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设两个点运动时 间为t秒，记M、N、A三点所形成的三角形的面积为S，试用时间t表示S； （3）如图2，点F对应的数为﹣13，蚂蚁甲以每秒5个单位的速度从点F开始沿折线F→E→B→C运动， 同时蚂蚁乙从点O出发沿折线O→G→D→A运动，乙在线段OG、DA上的速度是每秒4个单位，在线段 GD上的速度则是每秒7个单位．当一只蚂蚁到达终点时，另一只蚂蚁也随之停止运动，记运动时间为t， 是否存在某一时刻t使得两只蚂蚁在长方形ABCD上走过的路程恰好相等？若存在，请直接写出t的值；若 不存在，请说明理由． 类型二、平方差公式及其应用 34．对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”， 则最小的“倍差数”为 若一个数 能够写成 （ ， 均为正整数，且 ）， 则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记 ．例如 ， 所以 或 ．若一个小于 的三位数 （其中 ， ，且 ， ， 均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，则满足条件的 的最大值为 ． 35．计算： ． 36．若正整数 满足 ，这样的三个整数 （如： 或 ）我们称它们为一组“完美勾股数” ．当 时，共有 组这样的“完美勾股数” ． 37．一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n 为“隐等数”，将这个“隐等数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记 ． (1)请任意写出一个“隐等数”n，并计算 的值． (2)若某个“隐等数”n的千位与十位上的数字之和为6， 为正数，且 能表示为两个连续偶数的 平方差，求满足条件的所有“隐等数”n． 38．阅读：在计算 的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再 到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫 做特殊到一般．如下所示： 【观察】① ； ② ； ③ ； …… (1)【归纳】由此可得： ________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： _______； (3)计算： ______； (4)若 ，求 的值． 39．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为连续平方差数，若 ，则96是连续平方差数； 材料二：对于一个三位自然数M，去掉个位数字后成为一个两位数 ，去掉百位数字后成为一个两位数 ，若 为整数，则称M是一个关于9的对称数，若 ，则称545是关于9的对称数． (1)请判断56是否是连续平方差数，如果是请找出差为56的连续的两个奇数； (2)证明任何一个连续平方差数一定是8的倍数； (3)已知一个三位数既是连续平方差数，又是关于9的对称数，求满足条件的所有三位数． 40．根据以下10个乘积，回答问题： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； （1）试将以上各乘积分别写成一个平方差的形式，并写出其中一个的思考过程 （2）将以上10个乘积按照从小到大排列起来 （3）若用 ， ， ，.... ，表示n个乘积，其中 为正数，试由 （1）（2）猜测一个一般性的结论．（不要求写证明） 41． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现． (1)填表：【数的角度】 a b a＋b a－b a2－b2 2 1 3 1 3 3 －2 1 5 (2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图 中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看 成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线 将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ． (3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ． (4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1． 42．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请回答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式是 ； （2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现 什么?(用含有 ， 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填 “ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或 “小”）． 43．已知，如图1，我们在2018年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右 两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为 ，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48． （1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应 的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ． （2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗?如果是，请 求出这个定值；如果不是，请说明理由． （3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列 数 有关的定值，请用 表示出这个定值，并证明你的结论． 类型三、完全公式及其应用44．已知多项式 ，多项式 ． ①若多项式 是完全平方式，则 或 ② ③若 ， ，则 ④若 ，则 ⑤代数式 的最小值为2022 以上结论正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形 化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义 来解决问题． 定义：若一个整数能表示成 （a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为 ，所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知29是“完美数”，请将它写成 （a，b为整数）的形式：______； (2)若 可配方成 （m，n为常数），则 ______； (3)探究问题：已知 ，求 的值． (4)已知 （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k的值． 46．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如，由图1可以得到： (1)由图2可以得到：_____ (2)利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足 ， ，求 的值； ②若实数x，y，z满足 ， ，求 的值． 47．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是 、 、 ．用其中4张纸片拼成如 图2的大正方形（空白部分是边长分别为 和 的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中 间的空白部分是边长为 的正方形）． (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示 为 ，结论①； 图2中的大正方形的面积又可以用含字母 、 的代数式表示为：______，结论② 图3中的大正方形的面积又可以用含字母 、 、 的代数式表示为：______，结论③． (2)思考： 结合结论①和结论②，可以得到个等式______ 结合结论②和结论③，可以得到个等式______ (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作 、 、 ， 且． ，求 的值． (4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边 ，斜边 ， 求图中阴影部分面积和． 48．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足 ，可设 ， ，则 ， ．则 ______． (3)若x满足 ，则 的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为 的大长方形，则 ______； (5)如图3，已知正方形 的边长为x，E，F分别是 、 上的点，且 ， ，长方形 的面积是24，分别以 、 为边作正方形，求阴影部分的面积． 49．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：___________； 方法2：___________． (2)请你直接写出三个代数式： ， ， 之间的等量关系． 根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： (3)已知 ， ，求 ___________．(4)已知 ，求 的值． 50．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面 积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法 计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为 的大正方形，试用不同形 式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知 ， ，求 的值； (4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若 ， ，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 51．【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若 ， ，求 的值； 【类比应用】（2）填空：①若 ，则 ； ②若 ，则 ； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板 如图2所示放置，其中 ， ， 在一 直线上，连接 ， ．若 ， ，求一块直角三角板的面积．52．对于任意四个有理数 ，可以组成两个有理数对 与 ，我们规定： ．例如： ． (1)若 是一个完全平方式，求常数 的值； (2)若 ，且 ，求 的值； (3)在（2）的条件下，将长方形 及长方形 按照如图方式放置，其中点 分别在边 上，连接 ，若 ， ， ， ，求图中阴影部分的面积． 53．【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式” 时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式： （如图1）．利用 “数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；(2)利用图3得到的结论，解决问题：若 ， ，则 ； (3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼 出一个面积为 长方形（无空隙、无重叠地拼接）． ①请画出拼出后的长方形； ② ； (4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸 片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地 拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ． 54．在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．借助直观、形象的几 何图形，加深对照式乘法的认识和理解，感悟代数与几何的内在联系．如图1，现有边长分别为a，b的正 方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为a．宽为b的长方形Ⅲ号卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图 形（卡片间不重叠、无缝隙）．解答下列问题： (1)图2的长方形是由图1中的卡片拼接而成，则这个几何图形表示的等式是______； (2)若想用几何图形表示等式 ，图3给出了所拼接的几何图形的一部分，请你补 全图形； (3)若用图1中的卡片拼得一个面积为 的长方形，求共用了多少张卡片？ (4)设 ， ，Ⅰ号、Ⅱ号和Ⅲ号每种卡片各有9张．从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张）， 若把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最少数量． 55．阅读理解： 若 满足 ，求 的值． 解：设 ， ， 则 ， ．∴ ； 类比探究： （1）若 满足 ，求 的值． （2）若 满足 ，求 的值．友情提示（2）中的 可通过逆 用积的乘方公式变成 ． （3）若 满足 ，求 的值． 解决问题： （4）如图，正方形 和长方形 重叠，重叠部分是长方形 其面积是 ，分别延长 、 交 和 于 、 两点，构成的四边形 和 都是正方形，四边形 是长方形 设 ， ， ， ，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ，过点 、 作 、 垂线，两垂线交于点 ，求正方形 的面积 （结果是一个具体的 数值） 56．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如：由图①可以得到 ，基于此，请解答下列问题： (1)直接应用：若 ， ，直接写出 的值为___________； (2)类比应用：填空：①若 ，则 ___________； ②若 ，则 ___________； (3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形 ）上进行装修和扩建，先用长为 120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以 ， 为边分别向外扩建正方形 、正方形 的 空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为 ，求原有长方形用地 的面积． 57．如图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小 长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是________； (2)利用（1）中的结论，若 ， ，求 的值； (3)如图3，点C是线段 上的一点，分别以 、 为边在 的同侧作正方形 和正方形 ， 连接 、 、 ，当 时， 的面积记为 ，当 时， 的面积记为 ，以此类 推，当 时， 的面积记为 ，计算 的值． 58．【阅读理解】“若x满足 ，求 的值” 解：设 ， ，则 ， ，所以 【解决问题】 (1)若x满足 ，求 的值． (2)若x满足 ，求 的值． (3)如图，正方形ABCD的边长为x， ， ，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和 MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 59．我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请 阅读材料完成： (1)算法赏析：若x满足 ，求 的值． 解：设 则 ∴ 请继续完成计算． (2)算法体验：若 满足 ，求 的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC 为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形 AEPC的面积60．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助 数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思 想解决下面问题： 图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2 的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式 ， ，ab 写出这个等式_____________． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且 ， ，试求 的值． (3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积．61．（1）如图，整个图形是边长为 的正方形，其中阴影部分是边长为 的正方形，请根据图形， 猜想 与 存在的等量关系，并证明你的猜想； （2）根据（1）中得出的结论，解决下列问题： 甲、乙两位司机在同一加油站两次加油，两次油价有变化，两位司机采用不同的加油方式．其中，甲每次 都加40升油，乙每次加油费都为300元．设两次加油时，油价分别为m元/升，n元/升（ ， ， 且 ）． ①求甲、乙两次所购的油的平均单价各是多少？ ②通过计算说明，甲、乙哪一个两次加油的平均油价比较低？ 62．【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺 数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个 等式，进而可以利用得到的等式解决问题．(1)根据图1，可以得到等式： ，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是 ______（填选项）： A．分类讨论 B．转化 C．由特殊到一般 D． 数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为 的大正方形，用不同的方法表示这个大 正方形的面积，可以得到等式______； ②已知 ， ．利用①中所得到的等式，直接写出代数式 的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示 ． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个 小长方体拼成的一个棱长为 的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为 ______； ②已知 ， ，利用①中所得的等式，直接写出代数式 的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的 变化关系，写出一个代数恒等式：______．63．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们 通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式： （如图1）．利 用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若 ， ，则 __________； (3)如图4，若用其中 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张边长分别为 、 的长方形纸片 拼出一个面积为 长方形（无空隙、无重叠地拼接），则 ______； (4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片． 从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼 接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数a，b，c和m，n，l，满足ambncl k ．试通过构造边长为k的正方形，利用图 形面积来说明albmcnk2． 64．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值． 小明在解决该问题时，采用了以下解法： 解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b， 则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ． 所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ． (1)请补全小明的解法； (2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ． 类比研究 (3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值． 拓伸延伸(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长 作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数 值）． 65．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长 为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． ab (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为 的大正 方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________； a24ab3b2 (2)请用这3种卡片拼出一个面积为 的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分 （长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长 S S S S S 方形）的面积分别表示为 1， 2．若 2 1，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______． （用含b的代数式表示） 66．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小 长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）； (2)观察图2，请你写出 ab2 、 ab2 、ab之间的等量关系是____________； 9 (3)利用（2）中的结论，若 xy5 ，xy  4 ，求xy2的值____________； (4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________． (5)如图4，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG， 连接EG、BG、BE，当 BC1 时， BEG 的面积记为 S 1，当 BC 2 时， BEG 的面积记为 S 2，…，以此类 BC n BEG S S S S S S S 推，当 时， 的面积记为 n，计算 2020 2019 2018 2017 2 1的值． 类型四、配方法的应用 67．利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a－b）2＝a2－2ab+b2的特点可以解决很多数学问题． 解决下列问题： m26m7 (1)分解因式： ； (2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2－8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b－25，求△ABC周长的最大值． 68．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式x22x3的最小值． x22x12x122 解：原式 ． x12 0 ∵ ， x1222 ∴ ． x22x3 ∴当x＝－1时， 的最小值是2 x26x1 (1)请仿照上面的方法求代数式 的最小值． a26b14 b28c23 c24a8 (2)已知△ABC的三边a，b，c满足 ， ， ．求△ABC的周长． 69．我们定义：如果两个多项式M 与N 的和为常数，则称M 与N 互为“对消多项式”，这个常数称为它 M 2x2x6 N 2x2x1 5 们的“对消值”．如 与 互为“对消多项式”，它们的“对消值”为 ． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ① 3x22x 3x22 ② x6 x2 ③ 5x2y32xy 5x2y32xy1. 与 ； 与 ； 与 A(xa)2 B-bx22xb a b (2)多项式 与多项式 （ ， 为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消 值”； x C mx26x4 Dmx1xn t (3)关于 的多项式 与 互为“对消多项式”，“对消值”为 ．若 abm bcmn a2b2c2abbcac2t ， ，求代数式 的最小值． 70．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为 完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解 决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成a2b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是 52212 5 “完美数”．理由：因为 ，所以 是“完美数”． 【解决问题】(1)数61 “完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 x22y24x4y60 xy (2)已知 ，则 ； S 5x2y22xy12xk x y k S (3)已知 （ 、 是整数， 是常数），要使 为“完美数”，试求出符合条件的 k值； 【拓展结论】 2 x2 xy10 (4)已知x、y满足 3 ，求7x3y的最小值． (ab)2 0 a2b2 2ab a0,b0 71．由 得， ；如果两个正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ab2 ab ab ，当且仅当 时取到等号． 4 x 例如：已知x0，求式子 x 的最小值． 4 4 4 4 ax,b x 2 x 4 x 解：令 x ，则由ab2 ab，得 x x ，当且仅当 x时，即x2时，式子有最小 值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题： 16 (1)当 ，式子x + 的最小值为 ； x0 x 36 (2)当 ，代数式4x 最大值为多少？并求出此时x的值； x0 x (3)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长 方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 72．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状 拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ． mn2，mn2，mn (2)观察图2你能写出下列三个代数式 之间的等量关系 ． (3)运用你所得到的公式，计算若mn2，mn4，求： mn2 ① 的值． ②m4n4的值． x22xy24y9 (4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式 的最小值． 73． 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式 或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． a2b2(a b 我们定义：一个整数能表示成 、 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美 52212 数”．理由：因为 ，所以5是“完美数”． 【解决问题】 a2+b2 (1)已知29是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式 ； x26x5 （xm）2n (2)若 可配方成 （m、n为常数），则mn＝ ； 【探究问题】 x2y22x4y50 xy (3)已知 ，则 ； Sx24y24x12yk(x (4)已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个 k值，并说明理由． 【拓展结论】5 (5)已知实数x、y满足x2 xy50，求 的最值． 2 x2y ab2 a2 2abb2 74．阅读理解并解答：在学完乘法公式 后，王老师向同学们提出了这样一个问题： 你能求代数式x22x3的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： x22x3  x22x  3  x22x11  3 解：   x22x1  13  x22x1  4x124 x12 0 因为 ， x12 0 所以 ． x12 所以当x1时， 的值最大，最大值是0. x12 0 x124 所以当 时， 的值最大，最大值是4. x22x3 所以 的最大值是4 【尝试应用】 x24x10 x (1)求代数式 的最大值，并写出相应的 的值． A2x24x1 Bx28x37 A B (2)已知 ， ，请比较 与 的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长50cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面 积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 75．材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一 a2baba23ab2b2 个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为abc的正方形，请你用两种不同 的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a7x5，b4x2，c3x4，且 a2b2c2 37 abbcac ，请利用（1）所得的结论求 的值为________； 1 ②若三个实数x，y，z满足2x4y8z  16 ， x24y29z240 ，则 2xy3xz6yz 的值为________； m22mn2n26n90 材料二：若 ，求m，n的值． 解： m22mn2n26n90，  m22mnn2n26n90， mn2n32 0 ， mn0，n30， m3，n3． 问题： x22y22xy4y40 y2 （3）若 ，则 的值为________； 5x29y212xy6x2032 （4）试探究关于x，y的代数式 是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时 x，y的值；若不存在，请说明理由．