第四章三角形压轴题（8个类型72题）-常考压轴题2023-2024学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版）（原卷版）_1、初中学习资料_24秋试卷_初中数学《常考压轴题攻略》

第四章 三角形压轴题 内容导航 一、全等三角形判定方法的应用 类型一、 用 SSS 证明三角形全等 类型 二 、 用 S A S 证明三角形全等 类型 三 、 用 ASA 和 AA S 证明三角形全等 二、几何模型 类型一、倍长中线模型 类型二、一线三垂直模型 类型三、旋转模型 类型四、三条线段数量关系的证明 三、与作图有关的几何问题 四、全等三角形的综合问题 一、全等三角形判定方法的应用 类型一、用SSS证明三角形全等 1．如图，已知 ， ，那么判定 的依据是（ ）A． B． C． D． 2．如图， ABC中，AB=BC=5，AC=8，将 ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到 DEC，连接BD，则BD 的长度为 △ . △ △ 3．农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE中, ∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20 m,求这块试验田的面积. 4．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与 △ADB有怎样的关系？ （1）请你帮他们解答，并说明理由． （2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为 什么吗？（如图2） （3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他 画出图形，并证明结论． 5．【问题背景】如图1，在四边形 中， ， 分别是 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！上的点，且 ，试探究图中线段 之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ， 再证明 ，可得出结论______； 【探索延伸】如图2，在四边形 中， 分别是 上的点， ，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中 心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海 里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到 甲、乙两舰艇分别到达 处，且两舰艇之间的夹角 为 ，试求此时两舰艇之间的距离． 【灵活变通】如图4，已知在四边形 中， ，若点 在 的延长线上， 点 在 的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出 与 的数量关系． 图1 图2 图3 图4 类型二、用SAS证明三角形全等 6．如图，已知 ， ， 为平面内一动点， ， 为 上一点， ， 上两点 ， ， ．下面能表示 最小值的线段是（ ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 7．如图，在 中， ， 点C，D，E三点在同一条直线上， 连接BD，BE．以下结论，① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中结论正确的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图， 分别是四边形 的边 上的点， ，连接 交 于 点，交 于 点，以下结论正 确的有（ ） ① 的周长为4；② ；③ ；④ A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 9．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 (1)如图1， 是 的中线，延长 至点E，使 ，连接 ，写出图中全等的两个三角形： __________； 【理解与运用】 (2)如图2， 是 的中线，若 ， ，设 ，求 的取值范围； (3)如图3， 是 的中线， ，点Q在 的延长线上， ，求证： ． 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10．（问题情境）（1）如图1，在四边形 中， ， ， ．点E，F 分别是 和 上的点，且 ，试探究线段 ， ， 之间的关系．小明同学探究此问题 的方法是：延长 到G，使 ，连接 ．先证明 ，再证明 ，进 而得出 ．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）． （探索延伸）（2）如图2，在四边形 中， ， ， ， ，点E， F分别是 和 上的点，且 ，上题中的结论依然成立吗？请说明理由． （思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形 中，若 ， ， ，那么 ．你认为正确吗？请说明理由． 11．如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD． （1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE． ①依题意补全图1； ②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系； （3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间 的数量关系，并证明．12．如图，在 ABC中，AB AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接AE，BD交于点F， BAC BFE2AEB． (1)说明：EAC ABD； (2)若BD平分ABC，BE15，AF 6，求 BEF 的面积；  (3)判断EF，BF，AF 之间的数量关系，并加以说明． 13．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①， 在 ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M ，使DM  AD，连接BM ． 【探究发现】 （1）如图①，AC与BM 的数量关系是 ，位置关系是 ； 【初步应用】 （2）如图②，在 ABC中，若AB10，AC 6，求BC边上的中线AD的取值范围； 【探究提升】 （3）如图③，AD是 ABC的中线，过点A分别向外作AE AB、AF  AC，使得AEAB，AF  AC， 延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由． 14．在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上点B在 y 轴的负半轴上，ABC 90，ABBC． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)如图①，若点A的坐标为 5,0 ，点B的坐标为 0,2 ，点 C 在第一象限，点 C 的坐标______； 1 (2)在（1）的条件下，若 轴于点 ，点 在 轴上，BD AO，连接 并延长，交 于点 ， BF  y B D y 2 CD BF E 求BE的长； n,0 Hm,n (3)如图②，若点A的坐标为 ，点H 在 AC 的延长线上，过点 （ m0 ， n0 ）作 HGx 轴 于点G，连接BH ，写出线段BH ，AG，BO之间的数量关系，并证明．  ABC BC 5,AD BC BE AC AD、BE O 15．如图，在 中， 是 边上的高， 是 边上的高， 相交于点 ，且 AEBE． (1)求证：△AOE≌△BCE． P O OA A Q B BC (2)动点 从点 出发，沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，动点 从点 出发沿射线 P、Q P、Q P A 以每秒4个单位长度的速度运动， 两点同时出发，当点 到达 点时， 两点同时停止运动．设 点P的运动时间为t秒 5 ①点 是线段 上的一点（不与 点重合），当 t5时， __________（用含 的代数式表示）； F AC C 4 CQ tBOP FCQ  设 ，则 __________（用含 的代数式表示） F AC CF BO t B、O、P F、C、Q ②点 是直线 上的一点且 ．是否存在 值，使以点 为顶点的三角形与以点 为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 类型三、用ASA和AAS证明三角形全等 16．如图，在四边形ABDC中，AD平分BAC，ADDC，ACAB2，BC8，则 BDC面积的最 大值为（ ） A．6 B．8 C．3 D．4 Rt  ACB C 90,AC BC,D AC AD2CD BD B 17．如图，在 中， 为 边上的点，且 ，连接 ，过 作 EBBD，并截取EBDB，连接AE交CB于F ，则下列结论：①CBECDB；②F 为AE的中点； ③FEBFACCBD；④BF 3CF ；其中正确的结论共有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图1，在 ABC中，CM 是AB的中线，延长AB点N ，使BCN BCM ，CN 2CM ． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求证：AC BN； (2)如图2，NP平分ANC交CM 于点P，交BC于点O，若AMC120，试探究CP、CA、CN的数量 关系，并说明理由． 19．（1）如图1，BD90，E是BD的中点，AE平分BAC，求证：CE平分ACD． AM  CN BAC ACD BD AM AM、CN （2）如图2， ， 和 的平分线并于点E，过点E作 ，分别交 于 B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明． AM  CN BAC ACD AM BD （3）如图3， ， 和 的平分线交于点E，过点E作不垂直于 的线段 ，分别 交AM、CN 于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明； 若不成立，请说明理由． 20．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．(1)求证：BAM BCA； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以 每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． 5 ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且S  S ，求此时t的值； △ABP 2 △BQC ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB 与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．  ABC P,Q BC B,C P Q AP AQ 21．在等边 中，点 是 边上的两个动点（不与 重合），点 在点 的左侧，且 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！BAP25 AQB  (1)若 ，则 _______________ ； BPCQ (2)在图1中，求证： M AC CM CQ D AQ MD AB N (3)如图2，点 在边 上， ，点 为 的中点，连接 并延长交 于点 ，连接 PM,PN PMN  ．猜想 的形状是_______________，并说明理由． 22．如图所示，在Rt△ABC中，C 90，点D是线段CA延长线上一点，且AD AB，点F 是线段AB 上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，且EA AB． (1)过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①求证：△DEG≌△EFA ②求证：AE AFBC； (2)如图2，若点F 是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF ，BC之间的数量关系， 并说明理由． 23．如图，等腰Rt△ACB中，ACB90，CABCBA45，AC BC，E点为射线CB上一动点， 连接AE，作AF  AE且AF  AE．(1)如图1，过F 点作FG^ AC交AC于G点，求证： AGF≌  ECA； (2)如图2，在（1）的条件下，连接BF交AC于D点，若AD3CD，求证：E点为BC中点； BC 4 AD (3)如图 ，当 点在 的延长线上时，连接 与 的延长线交于 点，若  ，则 ________． 3 E CB BF AC D BE 3 CD 24．【模型呈现】如图（1）和（2）所示，OAOB，AOB90，直线l经过点O（不与OA，OB重 合），过点A,B作l的垂线，垂足分别为C,D，则有AC OD，OCBD． （1）请你针对图（1）给出证明． 【模型应用】在图（1）的基础上，在射线AC上取一点M ，把线段OM 绕点O逆时针转90得到ON，连 接BN ，交直线l于点P． （2）如图（3）， 当点M 与点C重合时，PB与PN 的数量关系为___________； （3）如图（4），当点M 在AC的延长线上时，请判断PB与PN 的数量关系，并给出证明； 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！S OPB （4）如图（5），当点M 在线段AC上时，S OAM 的值为___________． 25．定义：如图（1），若分别以 ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE， BCFG和ABMN，则称这三个正方形为 ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为 ABC的外展双 叶正方形． ABC ACDE BCFG ABC DCF S S (1)作 的外展双叶正方形 和 ，记 ， 的面积分别为 1和 2； ACB90 S =S 1 2 ①如图（2），当 时，求证： ； ACB90 S S ②如图（3），当 时， 1与 2是否仍然相等，请说明理由． (2)已知 ABC中，AC3，BC 4，作其外展三叶正方形，记 DCF ，△AEN ， BGM 的面积和S，请 利用图（1）探究：当ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求 出S的最大值． 二、几何模型 类型一、倍长中线模型 ABC AB6,AC 4 BC  26．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， 中，若 ，求 边上的中 线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长AD到点E， 使DE AD，连接BE．请根据小明的思路继续思考：(1)由已知和作图能证得VADC≌VEDB，得到BE AC，在 ABE中求得2AD的取值范围，从而求得AD  的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关 系； AD  ABC AB AE,AC  AF,BAECAF 180 AD EF (2)如图2， 是 的中线， ，试判断线段 与 的数量 关系，并加以证明； ABC D,E BC ABAC  ADAE  (3)如图3，在 中， 是 的三等分点．求证： ． 27．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在 ABC中，AB9，AC5，BC边上的中线AD的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： AD DQ AD ①延长 到Q使得 ； ②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在 ABQ中； ③利用三角形的三边关系可得4AQ14，则AD的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的 已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． AC BQ (2)请写出图1中 与 的关系并证明； (3)思考：已知，如图2，AD是 ABC的中线，AB AE，AC  AF ，BAEFAC 90，试探究线段 AD与EF的数量和位置关系，并加以证明． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在 ABC中，AB9，AC5，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： AD DQ AD ①延长 到Q，使得 ； ②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在 ABQ中； ③利用三角形的三边关系可得4AQ14，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的 已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． AC BQ （2）请你写出图1中 与 的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，AD是 ABC的中线，AB AE，AC  AF ，BAEFAC 90．试探究线 段AD与EF的数量和位置关系并加以证明．29．（1）阅读理解： 如图①，在 ABC中，若AB5，AC3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方 法：延长AD到点E使DE AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三 边的关系可判断线段AE的取值范围是 ；则中线AD的取值范围是 ； （2）问题解决： 如图②，在 ABC中，D是BC边的中点，DEDF 于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F ，连接 EF，此时：BECF与EF的大小关系，并说明理由． （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，BD180，CBCD，BCD160，以C为顶点作ECF 80，边 CE，CF分别交AB，AD于E，F 两点，连接EF，此时：BE、DF与EF的数量关系 30．如图1， ABC中，若AB8，AC 6，求BC边上的中线AD的取值范围，小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE AD，请根据小明的方法思考： 16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)由已知和作图能得到VADC≌VEDB的理由是______． (2)求得AD的取值范围是______． (3)如图2，在 ABC中，点D是BC的中点，点M 在AB边上，点N 在AC边上，若DM DN，求证： BM CN MN ． 31．已知ABC． (1)如图1，按如下要求用尺规作图： ①作出ABC的中线CD； ②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．） (2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ； (3)如图2，若∠ACB＝90，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由； (4)如图3，若∠ACB＝45，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接 DE．若CF＝4，则DE的长是 ． 32．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：ABAC 2AD． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长AD至E，使DE AD，∵AD是BC边上的中线∴BDCD BDCD  BDECDA 在 和 中  BDE CDA DEDA ∴BDE≌CDA（依据一）∴BECA 在ABE中，ABBE AE（依据二） ∴ABAC 2AD． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化 到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形 和证明边之间的关系． 任务二：如图3，AB3，AC 4，则AD的取值范围是_____________； 任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在RtABE中，BAE90， AB AE；RtACF中，∠CAF 90，AC  AF ．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由． 18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明 的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD， 必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 类型二、一线三垂直模型 34．已知： ABC中，ACB90，ACCB，D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作 S △ADB AE AD，且AE  AD．连接 BE 交直线AC于M ，若2AC 7CM ，则S △AEM 的值为 ．35．如图，在 ABC中，ACB90，AC 6，BC8．点P从点A出发，沿折线ACCB以每秒1个单 位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BCCA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动， PEl QF l PEC VQFC  P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作 于E， 于F，设运动时间为t，当 与 全 等时，t的值为 ． Rt△ABC ACB90 AC 7,BC 12 36．如图，已知 中， ，满足 ，点P从A点出发沿A→C→B路径向终 点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒 3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PEl QF l 于E， 于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等 时，t的值为 （不考虑两三角形重合的情况）． 37．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)如图1，点A在直线l上，BAD90,AB AD，过点B作BC l于点C，过点D作DEl交于点E． 1D BCAAED90  ABC≌  DAE(AAS) AC  得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得到结论： _____， BC _____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠BADMAN 90,AB AD,AM  AN,BM l于点C，DEl于点E，ND与直线l交于 点P，求证：NPDP． 1  ABC BAC 90 AB AC DE A B C D E 38．如图 ，已知 中， ， ， 是过 的一条直线，且 ， 在 ， 的同侧， BD AE D CE AE EBDCE 于 ， 于 ． （1）证明： ABD  CAE； （2）试说明：BDDECE； （3）若直线DE绕A点旋转到图2位置（此时B，C在D，E的异侧）时，其余条件不变，问BD与DE， CE的关系如何？请证明； BDCE （4）若直线 DE 绕A点旋转到图 3 位置（此时B， C 在 D ， E 的同侧）时 其余条件不变，问 BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 39．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板 （在 ABC中，ABC 90，ABBC； DEF 中，DEF 90，EDF 30），并提出了相应的问题(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作 AM  DF ，垂足为点M，过点C作CN DF ，垂足为点N，易证△ABM≌△BCN，若AM 2，CN 7， 则MN ______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作 CPDE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若 AE5，BE1，连接CE，则△ACE的面积为______． 40．直角三角形ABC中，ACB90，直线l过点C． (1)当AC BC时，如图，分别过点A，B作ADl于点D，BEl于点E． 求证：△ACD≌△CBE． (2)当AC8，BC 6时，如图，点B与点F 关于直线l对称，连接BF，CF，动点M 从点A出发，以每 秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N 从点F 出发，以每秒3个单位的速度沿 F CBCF 向终点F 运动，点M ，N 到达相应的终点时停止运动，过点M 作MDl于点D， 过点N 作NEl于点E，设运动时间为t秒． ①CM ______，当N 在FC路径上时，CN ______．（用含t的代数式表示） ②直接写出当△MDC与 CEN全等时t的值． 22 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，ACE90，AC CE，过点A作ABBC于点B，过点E作EDBC交BC的延长线于点 D．由ACBDCE DCEE90，得CABE．又ABC CDE90，AC CE，可以推 理得到△ABC≌△CDE，进而得到AB＝______，BC＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称 为“K字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，ACEBCD90，AC CE，BCCD，连接AB、DE，且DECG于点G，AB 与直线CG交于点F ，求证：点F 是AB的中点； ②如图，若点 M 为 x 轴上一动点，点 N 为 y 轴上一动点，点P的坐标为 5，1 ，是否存在以 M 、 N 、P为 顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理 由．类型三、旋转模型 ABCD AB//CD,AE BAC AECE AC a,BDb 42．如图，在四边形 中， 是 的平分线，且 ．若 ，则四 边形ABDC的周长为（ ） 1.5(ab) 2ab 3ab a2b A． B． C． D． 43．综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． ABCD AB AD,BD90 BC,CD (1)如图1，在四边形 中， ，E，F分别是边 上的点，且 1 EAF  BAD ．请探究线段EF,BE,FD之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内 2 容补充完整． 解：延长EB到G，使得BGDF，连接AG AB AD  在 和 中ABGADF 90  ABG △ADF BGDF  ∴△ABG≌△ADFSAS ，∴ AG AF,BAGDAF ∴BAGBAE DAFBAE 1 ∴EAF  BAD，∴ 2 GAEEAF …… 24 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ABCD AB AD,BD180 BC,CD (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形 中，若 ，E，F分别是边 上 1 EAF  BAD 的点，且 ，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 2 ABCD AB AD,BADC 180 BC,CD (3)如图3，在四边形 中， ，E，F分别是边 延长线上的点，且 1 EAF  BAD ，请判断线段EF,BE,FD之间的数量关系，并说明理由． 2 44．已知，在四边形ABCD中，AB AD,BADC 180,E、F 分别是边BC、CD上的点，且 1 EAF  BAD ． 2 (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当BADC90时． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DGBE，连接AG． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． △ABE≌ △AEF≌ BE,EF,FD 小明的解题思路：先证明 ______；再证明了 ______，即可得出 之间的数量关系为EF BEFD． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当BADC180时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的 结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的 数量关系为______．（不用证明） 45．综合与实践 问题提出 如图1，在 ABC中，AD平分BAC，交BC于点D，且ACB2B，则AB，CD，AC之间存在怎样 的数量关系？并说明理由． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长AC至点E，使得AEAB，连接DE， ……，请判断AB，CD，AC之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构造全等三角形来 解题．如图3，在线段AB上截取AB，使得AF ①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画 出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形 ABCDE中，EAED，ABDCBC，AD180，若BCD120，求BCE的度数． 46．在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延 长到E，△使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F． 26 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是 否发生改变，并证明． (3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系． 47．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几 何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的EAF 45，AE、AF 与BC、CD边分别交于E、F 两点．易 证得EF BEFD． 大致证明思路：如图2，将△ADF 绕点A顺时针旋转90，得到  ABH ，由HBE180可得H 、B、E 三点共线，HAEEAF 45，进而可证明 AEH≌ AEF，故EF BEDF．   任务： 如图3，在四边形ABCD中，AB AD，BD90，BAD120，以A为顶点的EAF 60，AE、 AF 与BC、CD边分别交于E、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BEDF是否 依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 48．【问题提出】 （1）如图1，在四边形ABCD中，AB AD，BAD120，BADC90，E、F分别是BC、CD上 的点，探究当EAF 为多少度时，使得BEDF EF成立．小亮同学认为：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明 △AEF≌△AGF ，则可求出∠EAF的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB AD，BD180，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF 与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有BEDF EF成立，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ABCD中，EBF 45，若 DEF 的周长为8，求正方形ABCD的面积． 类型四、三条线段数量关系的证明 49．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN， AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由． 问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由． 问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请 写出这个等量关系，并说明理由． 50．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB，点C和点D分别在第四象限和 (m-2n）2 第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，点D的坐标为（m，n），且满足 +|n﹣2|=0． （1）求点D的坐标；（2）求∠AKO的度数；（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上， 且OP=OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关 系并证明． 28 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！51．（1）如图1，已知 OAB中，OAOB，AOB90，直线l经过点O，BC直线l，AD 直线 l，垂足分别为点C，D．依题意补全图l，并写出线段BC，AD，CD之间的数量关系为______； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在 OAB中，OAOB，C，O，D三点都在直线l上，并且有 BCOODABOA，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； 3,2 ABC AB AC CAB90 (0,1) （3）如图3，在 中， ， ，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，请直接写 出点B的坐标． 52．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋 转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的 猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 53．在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形ABCD边BC、CD上的点；下面请你根据相应的条件解 决问题． 特例探索 （1）在图1中，四边形ABCD为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），EAF 45，延长CD DGBE,BE2,DF 3 EF  至G，使 ．则 __________． 在图2中，BD90，AB AD，BAD60，EAF 30，BE1，FD1.5；则EF  __________． 归纳证明 1 EAF  BAD （2）在图3中，BD180， AB AD ．且 2 ，请你观察（1）中的结果，猜想图3中 BE,EF,FD 线段 之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 实际应用 （3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们 分别在指挥中心的北偏东20和南偏东30的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲 公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑 建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量 COD65．试求C与D两处之间的距离． 54．已知在数轴上，从左往右依次有四个点A，C，D，B，其中点A，B对应的数分别为7和9． 30 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)利用直尺和圆规作图：如图1，已知线段AC，CD，DB，在数轴上方，求作 ECD，使得EC  AC， EDBD（只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，在数轴上找一点F ，直接作出直线EF，使得直线EF平分 ECD的周长； (3)如图2，在 ECD中，点G为CE中点，过点G的直线交ED于M ，交CD的延长线于N ，若DM DN ， 求证：直线GN平分 ECD的周长； ECED P CE Q ED PQ  ECD PQ (4)如图3，若 ，点 在边 上，点 在边 上，且 平分 的周长．请问线段 的长是 否为定值？若是定值，请说明理由；若不是定值，当EP与EQ满足什么关系时，线段PQ最短，并说明理 由． 三、与作图有关的几何问题 55．阅读下面材料，完成相应的任务： (1)小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形，由此判断命题①是 命 题(填“真”或“假”)； (2)小彬经过探究发现命题②是真命题，请你结合图2证明这一命题； (3)小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D' ， ，则四边形 ABCD≌四边形A′B′C′D′，请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．56．阅读下面材料：小强遇到这样一个问题：试作一个直角△ABC，使∠C=90°，AB=7，AC+BC=9．小 强是这样思考的：如图1，假定直角△ABC已作出，延长AC到点D，使CD=CB，则AD=9，∠D=45°， 因此可先作出一个辅助△ABD，再作BD的垂直平分线分别交AD于点C，BD于点E，连接BC，所得的 △ABC即为所作三角形．具体做法小强是利用图2中1×1正方形网格，通过尺规作图完成的． （1）请回答：图2中线段AB等于线段 ． （2）参考小强的方法，解决问题：请在图3的菱形网格中（菱形最小内角为，边长为a），画出一个 △ABC，使∠C=，AB=6b，AC+BC=8b．（在图中标明字母，不写作法，保留作图痕迹）． 57．数学活动课上，同学们探究了角平分线的作法．下面给出三个同学的作法： 小红的作法 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再过点O作MN的垂线，垂足为 P，则射线OP便是∠AOB的平分线． 32 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！小明的作法 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分 别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线． 小刚的作法 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂 线，交点为P，则射线OP便是∠AOB的平分线． 请根据以上情境，解决下列问题 (1)小红的作法依据是 ． (2)为说明小明作法是正确的，请帮助他完成证明过程． 证明：∵OM＝ON，OC＝OC， ， ∴△OMC≌△ONC( )(填推理的依据) (3)小刚的作法正确吗?请说明理由 58．如图，由小正方形构成的88网格，每个小正方形的顶点叫做格点． ABC的顶点都在格点处，仅用 无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹）AC AC  AB,AC  AB (1)在图1中，画线段 ，使 ； (2)在图2中，画 ABC中AB边上的高CD； (3)在图3中，以AB和AC的长度为边画 AMN （M，N均在格点处， AMN 与 ABC不全等），使 S S △AMN △ABC． 59．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等” 是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两 个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”． 探究：已知 ABC，求作一个 DEF ，使EF BC，F C，DE AB（即两边和其中一边所对的角分 别相等）． (1)动手画图 请用尺规作图的方法完成下面的作图过程： ①画EF BC；②在线段EF的上方画F C；③画DE AB． (2)观察 观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有______个；其中三角形______（根据自己作图标注的字母 填三角形的名称）与 ABC明显不全等； (3)小结 经历以上探究过程，可得结论：______． 60．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具 时，点Q在轨道槽AM 上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽 PQ6 QN PAQ30 34 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！QN PAQ30 上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当 ， PQ6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；②当PAQ30，PQ9时，可得到形状唯一确定的△PAQ； ③当PAQ90，PQ10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；④当PAQ150°，PQ12时，可得到 形状唯一确定的△PAQ，其中所有正确结论的序号是 ． 四、全等三角形的综合问题 61．在等边 ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A 爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D，E处，请问： (1)如图1，爬行过程中，CD和BE的数量关系是________； AB CA D E EB CD Q (2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段 ， 的延长线上的 ， 处时，若 的延长线与 交于点 ， 其他条件不变，蜗牛爬行过程中CQE的大小将会保持不变，请你证明：CQE60； (3)如图3，如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着线段BC的延长线爬行，连接DE交AC于F ”，其 他条件不变，求证：DF EF ． 62．如图，在 ABC中，ACB90，AC BC，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AD 并延长到点E，使得DE AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F ．(1)如图1，点D在线段CB上，且DBCD． ①请补全图形； ②判断CD，DB，CF之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD，DB，CF之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 63．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB交x轴的正半轴交于点A，交 y 轴的正半轴于 点 B ，且 ABO45 ， S △AOB 18 ． (1)求点A、B的坐标； (2)点C是线段OA上的一点（与点O、A不重合），其横坐标为t，点D在第四象限内的直线BA上，且D 的纵坐标为t，点E在 y 轴的负半轴上，线段OE的长为d，连接CB、CD、CE，当BCE DCE时， 求d与t之间的关系式； (3)在（2）的条件下，连接AE，交线段CD于点F ，点G在线段BC上，连接AG，若AFDAGC， AG AE，求点F 的横坐标． 64．问题提出（1）如图1，已知：BC∥DF，CF∥BD，探究：BC和DF的数量关系并加以证明； 问题探究（2）如图2，在 ABC中，AB AC，过点C作射线CF∥AB，连结BF交边AC于点E，点D 在边AB上，连接DF，若FDBAEF ，探究BE和FD的数量关系并加以证明； 问题拓展（3）如图3，锐角 ABC中，AB AC，过点C作直线l∥AB，点E为边AC上一点，连接BE 并延长交直线l于点F ，点D在边AB上，若BEFD，直接写出FDB和AEF的数量关系． 36 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！________________． Aa，b |ab|b42 0 65．已知：平面直角坐标系中，点 的坐标满足 ． (1)如图1，求证：OA是第一象限的角平分线； (2)如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N 分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以 相同的速度相向运动(不包括点O和点A)，过A作AEBM 交x轴于点E，连BM、NE，猜想ONE与 NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，F 是 y 轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过 点F 点作OFE的角平分线交OA于点H ，过点H 作HK x轴于点K，求2HKEF的值． 66．已知CD是经过BCA顶点C的一条直线，CACB．E、F分别是直线CD上两点，且 BEC CFA． (1)若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：BEAF ①如图1，若 BCA90 ， 90 ，则BE CF ；EF （填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图2，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立， 并证明两个结论成立； (2)如图3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请写出三条线段EF、BE、AF 的数量关系的合 理猜想 （不要求证明）． (3)拓展应用：如图④，在 ABC中，AB AC，ABBC．点D在边BC上，CD2BD，点E、F在线段 AD上，12BAC．若 ABC的面积为18，△ACF与△BDE的面积之和是 ． 67．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如 图， ABC中，AB6，AC 4，求BC边上的中线AD的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了 这样的解决办法：延长AD到点E，使DE AD．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得AD的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知BACCDE180，AB AC，DC DE，P为BE的中点． （2）如图1，若A，C，D共线， AC:CD3:5 ， S ABP 6 ，求四边形 ABED 的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，APPD，求证：AB AC； （4）如图3，若点C在BE上，记锐角BAC ，且AB AC CDDE，则PDC的度数是______． （用含α的代数式表示） 68．在平面直角坐标系中， ABC为等腰直角三角形，CACB，ACB90，其中点B在x轴正半轴上， 点C在 y 轴正半轴上，AB交 y 轴负半轴于点D． 38 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)如图 1 ，点 C 的坐标是 0,4 ，点B的坐标是 8,0 ，直接写出点A的坐标为________； (2)如图2，AE AB交x轴负半轴于点E，连接CE，CF CE交AB于点F ． ①求证：CECF； ②求证：点D是AF 的中点． 69．如图，在平面直角坐标系中， ABC是直角三角形，且BAC是直角． A2,0 B0,4 AB AC (1)若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C在第三象限，且 ，求点C的坐标． A2,0 B2,0 AB AC PC (2)若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， ，点P为y轴正半轴上一动点，连接 交 x轴于点E，点F是点E关于y轴为对称轴的对称点连接PF且延长PF交BC于点D，连接AD交PC于点 G．点P在运动过程中是否存在ADPC，若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由（提示：作 BAC的平分线交PC于点H）． A2,2 B0,m Cn,0 mn (3)若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，是否存在 为定值，若 存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 70．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在 ABC中， BAC 90,AB AC BD CE ，直线l经过点A， 直线l， 直线l，垂足分别为点D、E．证明： DEBDCE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在  ABC中，AB AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有BDAAEC BAC，其中α为任意锐 角或钝角．请问结论DEBDCE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过 ABC的边AB、 AC向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt  ACE，AH 是BC边上的高，延长HA交DE于点I，求证：I是DE的中 点． 71．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，BAD90，BCD90，BABC，ABC 120， MBN 60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F ． (1)探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系是______． (2)探究延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB AD，BADC180，E、F 分别是BC，CD上的点， 1 EAF  BAD ，线段 ， ， 的数量关系； 2 EF BE FD (3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）正东50海里的C处．舰艇乙在指挥 中心（O处）北偏东30且距离指挥中心50海里的A处，两舰接到指挥中心行动指令后，舰艇甲向北偏西 30以100海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿西偏南60的方向以60海里/小时的速度前进，在指挥中 心（O处）在东偏南30的方向有一观测站D，且到指挥中心（O处）与到舰艇甲起始位置C处的距离相 等，2小时后，观测站D观测到甲、乙两舰艇分别到达N 、M 处，且观测站测得两舰艇视线之间的夹角 为60．试求此时两舰艇之间的距离． 72．【综合与实践】 问题情境：变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心 40 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．数 学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．如图1， ABC与△EDC都是等腰直角 三角形，点E，D分别在AC和BC上，连接EB．将线段EB绕点B顺时针旋转90，得到的对应线段为BF． 连接BE，DF．“兴趣小组”提出了如下两个问题：①AEBD，AEBD；②DF  AB，DF  AB． 解决问题： （1）请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题． 探索发现： △EDC 090 （2）“实践小组”在图1的基础上，将 绕点C顺时针旋转角度 ，其它条件保持不 变，得到图2． ①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成立，请给出证明；若不 成立，请说明理由． ②如图3，当ADAF时，请求出此时旋转角α的大小．