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第四章 三角形
【提高能力测试】
题型发散
1.选择题，把正确答案的代号填入题中括号内.
(1)下列各条件中，不能作出惟一直角三角形的是( )
(A)已知两直角边
(B)已知两锐角
(C)已知一直角边和一锐角
(D)已知斜边和一直角边
(2)已知AM、AH、AD分别是△ABC的BC边上的中线、高线和∠A的平分线，
AB≠AC，那么AM、AH、AD的位置关系为( )
(A)AD在AM和AH之间
(B)AM在AD和AH之间
(C)AH在AD和AM之间
(D)不能确定
(3)已知三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周
长是( )
(A)14 (B)15 (C)16 (D)17
(4)在△ABC中，若∠A= ∠B= ∠C，那么这个三角形是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)以上都不对
(5)已知线段m，n(m>n)，用直尺和圆规作等腰△ABC，使AB=AC=m，BC=n，
再分别以AB、AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，
那么( )
(A)BE>CD (U)BE=CD (C)BEAC，AD为BC边上的中线，则∠DAB与∠DAC的大小
关系是( )
(A)∠DAB>∠DAC (B)∠DAB<∠DAC
(C)∠DAB=∠DAC (D)不能确定
1 / 152.填空题.
(1)在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，垂足
为E，则∠C=______________
(2)在锐角△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=___ _
度.
(3)已知△ABC，D 在 AC 上，∠A= ，∠DBC= ，∠C= ，那么
∠BDC=_________度，∠ABD=_________度，其中等腰三角形有__________
(4)边长为2，x-4，5的三根木条首尾相接组成三角形，则 x的取值范围是
______________.
(5)在△ABC中，如果 ，b=4n，则c=_______时，∠C= .
(6)在 Rt△ABC 中，AB=2AC，CD、CE 分别是斜边上的中线和高，则
∠DCE=____________.
解法发散
1.如图5—75，已知在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使 BD=AB，E为AB
的中点，求证：CD=2CE.
(按原图与如下四个图(见图5-76(a)～(d))所作辅助线用五种方法证明)
2 / 152.如图5—77，已知在△ABC中，∠A= ，∠C的平分线交对边AB于点E，
交斜边上的高AD于O，过点O作OF∥CB交AB于F，求证：AE=BF.(用两种方法
证明)
3.如图5—78，已知△ABC中，∠B是锐角，且∠B=2∠C，AD是BC边上的高.
求证：AB+BD=DC
(用两种方法证明)
变换发散
1.如图 5—79，已知在△ABC 中，AB=AC，P 是三角形内一点且有
∠APB>∠APC.求证：PBAC.求证：BE>CF.
2.如图5—86，AB=AE，∠B=∠E.BC=ED.F是CD的中点.求证：AF⊥CD.
3.如图5—87，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，求证：∠C=∠D.
5 / 15迁移发散
1.已知△ABC的周长是12cm，若c+a=2b,c-a=2cm，求a、b、c的长度.
6 / 152.如图 5—88，已知△ABC 中，AB=2CA，且 CA 为最小边.求证：
(AB+BC+CA)AB+AC
2.如图5—90，C是线段AB上一点，分别以 AC、CB为一边作等边三角形
ACD和CBE，AE交CD于M，BD交CE于N.求证：
(1)△CMN是等边三角形；
(2)MN∥AB.
3.已知D是△ABC中∠BAC平分线AE上一点，AB>AC.求证：AB-AC>BD-
DC.
7 / 154.在△ABC中，∠C= ，AC=BC，过C在△ABC外作直线MN，使AM⊥MN
于M，BN⊥MN于N.
(1)求证：MN=AM+BN；
(2)若过C在△ABC内作直线MN，当MN位于何位置时，AM、BN和MN之
间满足关系式AM-BN=MN.并证明之.
5.如图5—91，已知：O是△ABC内一点.求证：(1)∠BOC>∠A；
(2) (BC+CA+AB)PB.
2.证法1在△ 中，
∵ ，AC平分 ，∴AC是等腰 的顶角平分线，
即 ， .
又在△AMC和 中，
∵ ，MAC MAC，AM=AM，
∴ .
∴ .故 平分 .
证法2可通过证明 ，
从而得 ，可证得 ，平分 .
逆向发散
提示连结AD，AD是等腰三角形的顶角平分线，本题应用角平分线的两个互
逆定理证明.
构造发散
1.分析：因有∠BGE=∠F，欲证BG=CF可考虑证明其所在的三角形全等，而
△GBE和△CFE明显不全等，故须构造含已知角和欲证线段为边的直角三角形，
或使夹已知角的另一对边相等，又注意到条件中有 BE=CE，若作 BP⊥EF，
CQ⊥EF，须证BP=CQ，然此易由Rt△BPE≌Rt△CQE得到.
证明：过B、C分别作BP⊥EF，CO⊥FE.
垂足分别为P、Q，则BP∥CQ阅.
∴∠PBE=∠QCE，而BE=CE，
∴Rt△QPE≌Rt△CAE.BP=CQ.
11 / 15又EF∥DA，AD平分∠A，∠BGE=∠F.
∴Rt△BPG≌Rt△CQF.故BC=CF.
2.证明：在CB上截取CE=CA，连DE，构造新三角形△CDE.
在△ACD和△ECD中，
∵AC=EC，∠1=∠2，CD=CD，
∴△ACD≌△ECD.∴AD=DE，∠CED=∠A.
∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B.
∴∠B=∠EDB.∴DE=EB=AD.
∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD.
3.分析：延长BD到F，使DF=BC连结EF，则BE=BF，构造△DEF，欲证
△BCE≌△FDE.
证明：∵∠B= ，BE=BF，∴△EFB是等边三角形.
∴∠B=∠F.∵BC=DF，BE=FE，
∴△BCE≌△FDE.∴CE=DE.
变更命题发散
1.∵ ，
∴ .
∵AB>AC，∴BE>CF.
2.连结AC、AD.在△ABC和△AED中，
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED.
∴AC=AD.在△ACF和△ADF中，
∵AC=AD，AF=AF，CF=DF，∴△ACF≌△ADF.
∴∠AFC=∠AFD.∵∠CFD= ，
∴∠AFC= .∴AF⊥CD.
3.连结AC、AD.
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED(SAS).
∴∠1=∠2，AC=AD(全等三角形的对应角、对应边相等).
∴在△ACD中，∠3=∠4.
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BCD=∠EDC.
12 / 15迁移发散
1.解：依题意，得方程组：
解方程组，得：a=3(cm),b=4(cm)，c=5(cm).
2.设AC=a，AB=2a，周长AB+BC+CA=l，则：
AB+BC+CA=2a+a+BC.
∵BC>a，∴AB+BC+CA>2a+a+a=4a.∴
又BCFC，
∴AD+BE+FC>AF+AB+FC,
13 / 15即AD+BC>AB+AC.
2.(1)∵△ACD和△CBE是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB.
∵∠ACD=∠ECB= ，∴∠BCE= .
∴∠ACE=∠DCB.
∴△ACE≌△DCB.(SAS).∴∠AEC=∠DBC.
在△MCE和△NCB中，
∵∠AEC=∠DBC，CE=CB，∠MCE=∠NCB= ，
∴△MCE≌△NCB.
∴MC=NC.
又∠MCN= ,∴△CMN是等边三角形.
(2)∵∠NMC=∠ACM= ，∴MN∥AB.
3.∵AB>AC，在AB上截取AF=AC，连结DF，则△ADF≌△ADC，
∴DF=DC.
在△DBF中，BF>DB-DF，
∴BF>DB-DC.
∵BF=AB-AC.即有AB-AC>DB-DC.
4.(1)如图 ，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠BNC= .
∵∠ACB= .
∴∠MCA+∠NCB= .
∴∠ACM=∠CBN.又AC=CB，
∴△ACM≌△CBN，MC=BN，AM=CN.
∴MN=AM+BN.
(2)若过C在△ABC内作直线MN，当MN经过等腰直角△ABC的底边AB
14 / 15的中点时，MN、AM、BN之间满足关系式MN=AM-BN.
证明略.
5.(1)如图 延长BO交AC于点D.
∵∠BOC是△OCD的外角，
∴∠BOC>∠1.
同理可证∠1>∠A，
∴∠BOC>∠A.
(2)连结OA.在△ABO中，
∵AB
