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第四章 三角形
【基础巩固训练】
题型发散
1.选择题，把正确答案的代号填入题中括号内.
(1)下列各条件中，不能作出惟一三角形的是( )
(A)已知两角和夹边
(B)已知两边和夹角
(C)已知两边和其中一边的对角
(D)已知三边
(2)已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这
个三角形的最短边为( )
(A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm
(3)如果角形的一个内角等于其余两个内角的和，那么这个三角形是
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)锐角三角形或钝角三角形
(4)已知线段AB，用规尺作AB的垂直平分线CD，垂足为E，在CD上取—点
F，使EF= AB，连结AF，BF，那么∠AFB的度数是( )
(A) (B) (C) (D)
(5)在 Rt△ABC 中，∠ACB= ，CD⊥AB，E 为 AB 的中点，AC=3cm，
AB=6cm，那么∠DCE的度数是( )
(A) (B) (C) (D)
2.填空题.
(1)若两个三角形全等，则它们对应高、对应中线、对应的角平分线分别
______________.
(2) 在△ ABC 中，∠ B=2∠C ，AD⊥AC ，交 BC 于 D，若 AB=a ，则
CD=______________.
(3)在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大 ，则这个三角形
是__________角三角形.
(4)在△ABC中，∠ACB= ，CD⊥AB，垂足是D，E是AB的中点，如果
1 / 14AB=10，BC=5，那么 CE=___________，∠A=___________，∠B=_______，
∠DCE______，DE=___________
(5)在△ABC中，若∠A= ，∠B<∠C，则三边的大小关系________
解法发散
1.如图5—61，已知在直角三角形 ABC中，∠C= ，AD=AC，BE=BC.求
∠DCE的度数.(用四种解法)
2.如图5—62，已知D、E在BC上，∠BAD=∠CAE，∠B=∠C.求证：AD=AE.(用
两种方法证明)
3.如图5—63，已知AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF.(用两种方法证明)
2 / 14变更命题发散
1.在△ABC中，AB>AC，AM是BC边上的中线.求证：∠CAM>∠BAM.
2.如图 5-64，已知 AB>AC，延长 BC到E，使 CE=CA，延长 CB到D，使
BD=AB.求证：AD>AE.
3.如图5-65，已知在△ABC中，AB>AC，且∠BAC> ，AB、AC边上垂直平
分线分别交BC边于D、E两点，求证：AD>AE.
变换发散
1.如图5—66，已知在△ABC中，∠1=∠2，AB+BP=AC.求证：∠B=2∠C.
2.如图5-67，已知△ABC为正三角形，P是任意一点.求证：PA≤PB+PC.
3 / 14逆向发散
1.如图5—68，已知AD∥EC，CE>CB.求证：∠B>∠A.
2.如图5—69，在△ABC中，AB=AC，D为AC上一点.求证：∠ADB>∠ABD.
构造发散
1.如图5—70，在△ABC中，AB=AC.E是AB上任意一点，延长AC到F，使
BE=CF.连接EF交BC于M，求证：EM=FM.
2.如图5—71，已知AE∥BC，AD、BD分别平分∠EAB、∠CBA，EC过点D.求
证：AB=AE+BC.
4 / 14纵横发散
1.如图5—72，△ABC为等边三角形，D、E分别是BC、AC上的一点，且
BD=EC，AD和BE相交于F，BG⊥AD于G.求 的值.
2.已知斜边和一锐角，作直角三角形.
已知：线段c及锐角α.求作Rt△ABC，使斜边等于c，其中—个锐角等于α.
综合发散
1.如图5—73所示，△ABC中，AB=AC，EF∥BC，分别交AB、AC于E、F，分别
以AE、AF为边在△ABC的外部作等边△AEG和△AFH，连结BH与CG交于O.
求证：
(1)BH=CG；
(2)AO平分∠BAC.
5 / 142.设AD是△ABC中∠A的平分线，过A引直线MN⊥AD，过B作BE⊥MN于
E.求证：△EBC的周长大于△ABC的周长.
6 / 143.如图5—74，△ABC是等边三角形.∠ABE=∠BCF=∠CAD，求证：△DEF是
等边三角形.
4.AD是△ABC中BC边上的中线，F是DC上—点，DE=EC，AC= BC，求证：
AD平分∠BAE.
5.在△ABC中，AD是∠A的平分线且AB=AC+CD.求证：∠C=2∠B
7 / 14参考答案
【巩固基础知识】
1.(1)(C) (2)(C) (3)(B) (4)(C) (5)(B)
2.(1)相等. (2)2a. (3)钝. (4)5， ， ， ，2.5. (5)b<a<c.
解法发散
1.解法1∵AD=AC，∴∠5=∠2+∠1.
∴BE=BC，∴∠4=∠2+∠3.
∴∠A= -(∠5+∠1+∠2)= -2(∠1+∠2)①
同理∠B= -2(∠2+∠3).②
①+②得：2(∠1+∠2+∠3)+2∠2= -(∠A+∠B)，
即 +2∠2= -(∠A+∠B)，
故∠2=∠DCE= .
解法2∵∠4= - ∠B，∠5= - ∠A，
∴∠4+∠5= - .
又∠2=180-(∠4+∠5)，
∴∠2=45.
解法3∵∠4=∠1+∠A，∠4= -∠1，
∴∠1+∠A= -∠1.2∠1= -∠A即∠1= ∠B.
同理∠3= ∠A.
∠2= -(∠1+∠3)= .
解法4 -2∠4-2∠5=∠A+∠B， -2(∠4+∠5)= ，
2(∠4+∠5)= ，∠4+∠5= ；
∴∠2= .
2.证法1在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AC=AB.
在△ABD和△ACE中，
∵∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠B=∠C，
∴△ABD≌△ACE.AD=AE.
证法2 在△ABD和△ACE中，
8 / 14∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∴∠ADE=∠AED.AD=AE.
3.证法1如图 ，过E、F分别作BC的垂线，交BC和BC的延长线于M、
N.
∵∠EMD=∠FND= ，∠1=∠2，DE=DF，
∴△MDE≌△NDF，EM=FN.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠NCF.又∠EMB=∠ENC= ，
∴Rt△EMB≌Rt△FNC.BE=CF.
证法2如图 ，在BC上取点G，使DG=DC，连结EG，则△EDG≌△FDC.
∴EG=CF，∠DEG=∠DFC.
∴EG∥AF，∠3=∠4.
又AB=AC，∴∠B=∠4.∴∠B=∠3.
∴BE=EG.BE=CF.
9 / 14变更命题发散
1.分析：如图 ，延长AM至D，使AM=MD，通过证明△CMD≌△AMB，将
∠BAM=∠CDM和∠CAM集中到同一个三角形ACD中，进行证明.
证明：延长AM到D，使MD=AM，连结CD，则△AMB≌△DMC.
∴∠1=∠D，AB=DC，∵AB>AC，
∴CD>AC.∠DAC>∠D.
故∠CAM>∠BAM.
2.∵AB>AC，∴∠ACB>∠ABC.
∴∠ABD>∠ACE.
又∵AB=BD.∴∠D=∠DAB= ( -∠ABD)，
同理得：∠E= ( -∠ACE)，
∴∠E>∠D.在△ADE中，
∵∠E>∠D，∴AD>AE.
3.在△ABC中，∵AB>AC，∴∠C>∠B，∴DF垂直平分AB，
∴AD=BD.∴∠B=∠1.同理∠C=∠2.
∵∠ADE=∠B+∠1=2∠B，∠AED=∠C+∠2=2∠C，
∴∠AED>∠ADE.AD>AE.
变换发散
1.分析：用对称法.本题利用角平分线是角的对称轴，在AC上截取 ，
得到 ，从而构造 与△ABP两个轴对称图形.
证明：在AC上截取 连结 .
∵AB= ，∠1=∠2，AP=AP，∴△ABP≌△ (SAS).
∴∠B=∠3，BP= .AB+BP=AC， ，
10 / 14∴AB+BP= .
又∵
∴ ∠4=∠C.∠B=∠3=2∠C.
2.分析：考虑本题是等边三角形，如图 ，以B为旋转中心，将△PBC旋转
，则BC和BA重合，△BPC落到 的位置，连 .
∵ ，
∴ 为等边三角形.
∴ ，而 与AP构成一个三角形，
∴AP< ，即AP<BP+PC.
若∠BCP=∠BAP，则P为△ABC的外接圆上的一点， 落在AP上.
∴BP+PC=AP.
证明：以B为顶点、BA为边作 ，以A为顶点、AB为边作
=∠PCB， 与 交于 ，则 .
∴ ， .
∵∠ABC= ， =∠PBC，∴ .
∴ 为等边三角形.
∴ .若∠BAP≠∠BCP，则 不落在AP上，
则在 中， ，
∴BP+PC>PA.若 ，
则 落在AP上，这时 ，
∴PA≤BP+PC.
逆向发散
1.∵AD∥EC，
∴∠A=∠CEB.在△CEB中，
11 / 14∵CE>CB，∴∠B>∠CEB.∴∠B>∠A.
2.在△CBD中，∠ADB>∠C.∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C.∴∠ADB>∠BAC，
又∵∠ABC>∠ABD，
∴∠ADB>∠ABD.
构造发散
1.分析：本题通过作辅助线来构造全等三角形，过 E 作 ED∥AC，那么
∠1=∠2=∠B，BE=ED=CF，不难证得△EDM≌△FCM，于是EM=FM.
证明：过E作ED∥AC交BC于D.
∵ED∥AC(作法)，
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)，
∠EDM=∠FCM(两直线平行，内错角相等).
∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠2(等边对等角).
∴∠B=∠1(等量代换)，EB=ED(等角对等边).
又∵EB=CF(已知).∴ED=CF.在△EDM与△FCM中，
∵ED=CF，∠EDM=∠FCM，∠EMD=∠EMC(对顶角相等)，
∴△EDM≌△FCM(AAS).∴EM=FM.
2.分析：本题在BA上截取BF=BC，构造新△AFD，通过证明△ADF≌△ADE
达到将线段AE的位置转移到AF，使得AB=AF+FB转化为AB=AE+BC.
证明在BA上截取BF=BC，连结DF.
在△BCD和△BFD中，∵BD=BD，∠CBD=∠FBD，CB=FB，
∴△BCD≌△BFD.∴∠BCD=∠BFD.
∵BC∥AE，∠C+∠E= .
又∠BFD+∠AFD= ，
∴∠AFD=∠E.在△AFD和△AED中，
∵∠AFD=∠E，∠FAD=∠EAD，AD=AD，
∴△AFD≌△AED.∴AF=AE.
∵AB=AF+FB.AB=AE+BC.
纵横发散
1.解△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE= .
12 / 14又BD=CE.∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，
从而∠BFG=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE= ，
∠FBG= .∴BF=2FG，即 的值为2.
2.作法图 ，
(1)作∠DBE=α.
(2)在BD上截取BA=c.
(3)过A作AC上BE交BE于C.
则△ABC为所求作的三角形.
证明:由作法得，∠DBE=α，BA=c，AC⊥BE，∠ACB=Rt∠.
∴△ABC即为所作的三角形.
综合发散
1.(1)证△AGC≌△AHB；
(2)证△AOB≌△AOC.
2.延长BE到 ,使 =BE，连结 .
3.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ABC=∠ACB= ①
又∵∠ABE=∠BCF=∠CAD，②
①-②得：∠BAE=∠CBF=∠ACD.
∵∠EDF=∠CAD+∠DCA，∠DEF=∠ABE+∠BAE，∠DFE=∠FBC+∠BCF.
∴∠EDF=∠DEF=∠DFE.
∴△DEF是等边三角形.
4.如图 ，延长AE到F，使EF=AE，连接DF，则△DEF≌△CEA(SAS).
13 / 14∴DF=AC，∠1=∠C，
∵BD=DC，AC= BC，
∴AC=CD=BD.
∴∠CAD=∠2，DF=BD=AC.
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠ADB=∠1+∠2.
∴△ADB≌△ADF(SAS).
∴∠BAD=∠FAD，即AD平分∠BAE.
5.如图 ，在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD平分∠A，
∴△ACD≌△AED.
∴CD=DE，∠ACD=∠AED.
∵AB=AC+CD，
∴DE=BE，∠EDB=∠EBD.
∴∠AED=2∠B，即∠ACB=2∠B.
14 / 14
