文档内容
第四章 基本平面图形压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．如图， ， 是线段 上两点， ， 分别是线段 ， 的中点，下列结论：①
若 ，则 ②若 ，则 ③ ④
其中正确的结论是（ ）
A．① ② ③ B． ③ ④ C．① ② ④ D． ① ② ③ ④
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析．
【详解】解：∵ ， 分别是线段 ， 的中点，
∴ ， ，
如图
①若 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②若 ，
∴ ，
∵M、N分别是线段 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，能够利用中点的性质求解一些线段之间
的关系是解题的关键．
2．已知点C在线段 上， ，点D，E在线段 上，点D在点E的左侧．若
，线段 在线段 上移动，且满足关系式 ，则 的值为
（ ）
A．5 B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】设 ，则 ，求得 ，设 ，当点E在线段 之间
时，得到 ，求得 ，进而即可求出 ；当点E在线段 之
间时，同理可求出与条件不符，故舍去；
【详解】设 ，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，
当点E在线段 之间时，如图，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点E在线段 之间时，如图，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得： ，不符合题意，舍；
综上可得 ．
故选B．
【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置．
3．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示∶两条直线相交，三条直线相交，
四条直线相交，最多有一个交点，最多有三个交点；最多有6个交点，像这样，10条直线
相交，最多交点的个数是( )
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【答案】B
【详解】解∶第四条直线最多和前三条直线都相交而增加3个交点，
第五条直线最多和前四条直线都相交而增加4个交点……
第十条直线最多和前9条直线都相交而增加9个交点，
所以10条直线相交、最多交点的个数为∶1+2+3+……+9=45．
故选∶B
【点睛】本题考查了直线、射线、线段． 结合图形，找规律解答．4．已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，
则线段 MC的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到
答案．
【详解】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC﹣AM= = ．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC﹣AM= = ．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AM﹣AC= = ．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC+AM= = ．
综上所述：MC的长为 或 （a＞b）或 （a＜b），即MC的长为 或
．
故选D．
【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和
差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
5．钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15° B．30° C．75° D．60°
【答案】C
【分析】钟表上共有12个大格，每一个大格的度数是 ，再根据8点30分时
时针从8开始走了一大格的 大格，分针指向6，时针与分针夹角为 大格，
计算出角度即可.
【详解】钟表上共有12个大格，每一个大格的度数是 ，8点30分时时针与
分针的夹角是 大格，则夹角度数为 ，
故选：C.
【点睛】此题考查钟面上角度计算，掌握钟面上每个大格的度数及时针与分针在某个时间
的位置是解题的关键.
评卷人 得分
二、填空题
6．若∠AOB＝100°，∠BOD＝60°，∠AOC＝70°时，则∠COD＝ °（自己画图并计
算）
【答案】30°或90°或 110°或 130．
【分析】分四种情况讨论图形的位置，然后根据∠AOB=100°，∠AOC=70°，∠BOD=60°，即
可求解．
【详解】解：如图①∵∠AOB=100°，∠BOD=60°，∠AOC=70°，∴∠COD=∠BOC+∠BOD=∠AOB﹣∠AOC+∠BOD=100°﹣70°+60°=90°；
如图②∠COD=360°﹣∠AOB﹣∠BOD﹣∠AOC=360°﹣100°﹣60°﹣70°=130°；
如图③∠COD=∠AOD+∠AOC=∠AOB﹣∠BOD+∠AOC=100°﹣60°+70°=110°；
如图④，∠COD=∠AOC+∠BOD﹣∠AOB=70°+60°﹣100°=30°；
故答案为30°或90°或 110°或 130．
【点睛】本题考查角的计算，关键是分类讨论.
7．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、
OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 ．
【答案】 或
【分析】先根据题意画出图形，再分OD在 内和OD在 外，根据角的和差关
系、角平分线的定义可求 的度数．
【详解】（1）如图1，OD在 内，
， ,
，
射线OE平分 ，
，
射线OF平分 ， ，，
；
（2）如图2，OD在 外，
， ,
，
射线OE平分 ，
，
射线OF平分 ， ，
，
.
则 的度数是 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查了角的和差关系、角平分线的定义， OD在 外的情形易被忽略，
从而出现漏解是本题的难点．
8．如图，一条数轴上有点 ，其中点 表示的数分别是 、 ，现在以点 为折
点将数轴向右对折，若点 落在射线 上，且 ，则 点表示的数是 ．
【答案】 或
【分析】根据题意，点 分两种情况：①在 右侧；②在 左侧，作图求解即可得到答案．
【详解】解：分两种情况：
①如图所示：
点 表示的数分别是 、 ，
，以点 为折点将数轴向右对折，若点 落在射线 上，且 ，
，
，
点表示的数是 ；
②如图所示：
点 表示的数分别是 、 ，
，
以点 为折点将数轴向右对折，若点 落在射线 上，且 ，
，
，
点表示的数是 ；
综上所述， 点表示的数是 或 ．
【点睛】本题考查数轴上点表示的数，涉及两点间距离，读懂题意，分类讨论，准确边上
线段和差倍分关系是解决问题的关键．
9．如图，线段 表示一条已对折的绳子，现从 点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中
最长的一段为 ，若 ，则原来绳长 ．
【答案】 或
【详解】解：∵ ，∴ ， ．
∵ 是已对折的一条绳子，对折点不确定，
∴分两种情况：
①当折点为 时，最长的一段长为 ，∴BP=15，
∴ ，∴绳长为 ．
②当折点为 时，最长的一段长为 ，
∴ ，∴ ，
∴绳长为 ．
故答案为50或75.10．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的
度数分别为 ．
【答案】48°、132°或20°、20°
【分析】根据题意画出符合题意的图形，分两种情况得到两个角的数量关系求出角度.
【详解】如图，α+β=180°，β=4α-60°，
解得α=48°，β=132°；
如图，α=β，β=4α-60°，
解得α=β=20°；
综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．
故答案为：48°、132°或20°、20°．
【点睛】此题考查角度的计算，正确理解两条边分别垂直的两个角的数量关系是解题的关
键.
11．已知线段 和线段 在同一直线上，线段 （A在左，B在右）的长为a，长度小
于 的线段 （D在左，C在右）在直线 上移动，M为 的中点，N为 的中点，
线段 的长为b，则线段 的长为 （用a，b的式子表示）．
【答案】 /
【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段 的长度即可．
【详解】解：∵M为 的中点，N为 的中点，
∴ ， ．
∵线段 和线段 在同一直线上，
线段 （A在左，B在右）的长为a，
长度小于 的线段 （D在左，C在右）在直线 上移动，
∴分以下5种情况说明：①当 在 左侧时，如图1，
即 ，
，
，
；
②当点D与点A重合时，如图2，
即
，
；
③当 在 内部时，如图3，
即，
；
④当点C在点B右侧时，
同理可得： ；
⑤当 在 右侧时，
同理可得： ；
综上所述：线段 的长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨
论思想的运用．
评卷人 得分
三、解答题
12．如图，线段AB＝20厘米，点C以每秒钟2厘米的速度从点A匀速运动到点B，当点C
与点B重合时运动停止．点M为线段AC中点，点N为线段BC中点．设运动时间为t
（t≠0）秒．
（1）当点C与点B重合时，t＝ 秒；
（2）在运动过程中，MN的长度是否与t的取值有关？若有关，请用含有t的代数式表示
线段MN的长；若无关，请利用代数式的相关知识说明理由．
（3）在点C开始运动的同时，点P以每秒钟4厘米的速度从点B出发，在点B和点M之
间做往返运动，当点C停止运动时，点P也停止运动．
①当点P与点M重合时，求线段CN的长．
②在运动时间t从第4秒开始到停止运动的过程中，请直接写出当PM＝3PC时的t值．
【答案】（1）10；（2）与t的取值无关，理由见解析；（3）①6厘米；② 秒或8秒
【分析】（1）当点C与点B重合时，此时点C运动了20厘米，根据时间=路程÷速度，即
可求得运动的时间；
（2）MN的长度与t的取值无关，根据中点的意义及线段的和差关系即可求得MN的长；
（3）①考虑首次重合时，由AM+BP=20，建立方程即可求得t的值，从而可求得CN的长；
再考虑有无再次重合的可能，当点P首次回到起点时，点M与点C离点B的距离，即可判
断能否再次重合；
②分两种情况：点P位于点C的左侧和点P位于点C的右侧；当点P位于点C左侧时，则
有 ，由此关系式建立方程即可，当点P位于点C右侧时，则有 ，由此关系式建立方程即可．
【详解】（1）当点C与点B重合时，此时点C运动了20厘米，则运动时间为20÷2=10
（秒）
故答案为：10
（2）MN的长度与t的取值无关；理由如下：
∵M、N分别是AC、BC的中点
∴ ，
∵AC+BC=20
∴
即MN的长度与t的取值无关
（3）①当点P与点M首次重合时，如图
则AM+BP=20
由题意：AC=2t厘米，则AM=t厘米，BP=4t厘米
∴t+4t=20
解得：t=4
此时AC=2×4=8(厘米)，BC=20−8=12(厘米)
∴
点P与点M没有第二次重合的可能
点P与点M首次重合时，BP=16厘米，点P要再运动16÷4=4秒才能回到B点，也就是说
点P回到起点共花费8秒，此时点M从起点运动了8厘米，则点C运动了16厘米，点C
距离终点B只有4厘米，只要2秒即可到达终点，而点P从点B这时只能运动8厘米，点
M只能运动2厘米；当点P与点M运动了8秒时，M点与B点相距20−8=12（厘米），但
8+2<12，即点P与点M不可能有第二次重合；
故当点P与点M重合时，CN=6厘米；
②由题意，运动4秒后，点M运动了(t−4)厘米，点P运动了4(t−4)厘米
则PM=4(t−4)−(t-4)=(3t−12)厘米
当点P位于点C左侧时，如图所示
∵PM=3PC则
∵
故得方程：
解得：
当点P位于点C右侧时，如图所示
∵PM=3PC
则
则
解得：t=8
综上所述，当t为 秒或8秒时，PM=3PC
【点睛】本题是线段上动点问题，考查了中点的含义，线段的和差关系，解一元一次方程，
分类讨论思想，有一定难度，要善于抓住问题的本质，如（2）问中重合本质是行程问题中
的相遇问题；另外注意(2)小题中要考虑是否有第二次重合的可能．
13．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．
（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式 ＝ ，求 的值．
【答案】（1）①AD的长为6.5；②AD的长为 或 ；（2） 的值为 或
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝5，AC＝10，
①由线段中点的定义得到CE＝2.5，求得CD＝3.5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD；
②如图2，当点F在点C的右侧时，如图3，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得
到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，①如图4，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝ x，表示出CD、BD，即可求解；②当点E在
点A的左侧，如图5，与①类似的步骤可求解；③当点D、E都在点C的右侧，如图6，与
①类似的步骤可求解，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15，
∴BC＝5，AC＝10，
①∵E为BC中点，
∴CE＝2.5，
∵DE＝6，
∴CD＝3.5，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；
②如图2，当点F在点C的右侧时，
∵CF＝3，AC＝10，
∴AF＝AC+CF＝13，
∵AF＝3AD，
∴AD＝ ；
如图3，当点F在点C的左侧时，
∵AC＝10，CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝7，
∴AF＝3AD，
∴AD＝ ＝ ；
综上所述，AD的长为 或 ；
（2）①当点E在线段BC之间时，如图4，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵ ，
∴ ，
∴y＝ x，
∴CD＝1.5x﹣ x＝ x，BD＝3x﹣(0.5x+y)＝ x，
∴ ＝ ＝ ；
②当点E在点A的左侧，如图5，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵ ＝ ，BE＝EC+BC＝x+y，
∴ ，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴ ，
③点D、E都在点C的右侧时，如图6，
设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，
∴DC＝EC-DE＝y-1.5x，
∴AD＝DC+AC＝y-1.5x+2x＝y+0.5x，
∵ ＝ ，BE＝EC-BC＝y-x，
∴ ，
∴y＝-4x（舍去）
综上所述 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想，
比较难，分类讨论是解答本题的关键．
14．已知∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
(1)如图1，若 ，求∠NOC的度数；
(2)将∠BOC顺时针旋转至如图2的位置，求∠MON的度数．
【答案】(1)4°(2)40°
【分析】（1）设 利用角平分线的定义可求得∠AOM= ，∠DON
，再根据 列式求出 ，求出 ，再减
去 的度数，结论可得；
（2）根据角平分线的定义可求得∠AOM，∠BON，再利用角的和差得出结论．
【详解】（1）设
∵
∴
∵ 是 的平分线
∴ ；∵
∴
∵ 是 的平分线，
∴
∵
∴
解得，
∴
∴
∴
∵
∴
（2）由图可得，
∵ 是 的平分线
∴
又
∵ 是 的平分线，
∴
∴
∵∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，
∴【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．本题是探究型题目，利用类比的方
法解答是解题的关键．
15．【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两
个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线
OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋
转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是
以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
【答案】(1)是；
(2)40°或60°或80°；
(3) 或 或3．
【分析】（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或
∠AOB=2∠BOC三种情况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，
故答案为：是．
（2）解：∵射线OC在∠AOB内部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，∴∠AOC = ∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，
∴t= ．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，
∴t= ．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，
∴t=3．
综上所述：t= 或 或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问
题的关键，属于中考常考题型．
