文档内容
第四章 基本平面图形知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
102 知识速记
知识点1 直线、射线与线段的概念
知识点2 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
知识点3： 基本概念
1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
知识点4：双中点模型：
C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
知识点5： 角的概念
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两
条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
图1 图2
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2
所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置
2OB是角的终边．
注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成
的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
知识点6 ：角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的 为1分，记
作“1′”，1′的 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一
位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
3知识点7： 钟表上有关夹角问题
钟表中共有 12个大格，把周角 12等分、每个大格对应 30°的角，分针 1分钟转6°，时针每小时转
30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
知识点8： 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的
方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
知识点9：角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB
的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC = ∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
知识点10：角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝
∠AOB-∠2．
4知识点11：角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得
∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
知识点12： 多边形及正多边形
1． 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边
相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
2. 正多边形
1.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
2.正多边形的每个内角
3.正多边形每个外角的度数：
（3）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
3．相关概念：
5顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
多边形公式
1. n 边形一个顶点的对角线数： n-3
2. n 边形的对角线总数：
3. n 边形的外角和： 360°
4. 补充拓展：n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形
知识点12 ：圆及扇形
1. 圆的定义
如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定
的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.
2.扇形
（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如
下图：
（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.
注意：圆可以分割成若干个扇形.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.
03 题型归纳
题型一 直线/射线和线段及作图
6例题：如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
(1)画直线AB，画射线AC，连接BC；
(2)延长线段BC到E．使得BE=AB+BC；
(3)在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小．
巩固训练
1．下列说法错误的是（ ）
A．画线段AB=3厘米 B．画射线AB=3厘米
C．在射线AC上截取AB=3厘米 D．延长线段AB到C，使得AC=2AB
2．如图，下列说法正确的是（ ）
A．射线OB和射线AB表示同一条射线
B．射线OB和射线OA表示同一条射线
C．射线OB和射线BO表示同一条射线
D．以点A为端点的射线有4条
3．如图，已知四点A、B、C、D，请按要求作图并解答．
(1)按要求作图：
①作射线AB；
②连接BD；
③在射线AB上截取AM，使AM=DB；
④在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小；
(2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点B 在线段
DP的延长线上；③射线AB和射线AM是两条射线；④点M在射线AB的延长线上；其中正确的结论是
_________．
7题型二直线和线段的性质
例题：如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能
解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点之间的所有连线中，线段最短
B．过一点，有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离
巩固训练
1．如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，
这样做的依据是（ ）
A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短
2．媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为21km，
24km，19km，而两地的直线距离为12.1km，解释这一现象的数学知识最合理的是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短 C．两点之间线段最短D．公垂线段最短
3．下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． 两钉子固定木条 B． 木板上弹墨线
8C． 测量跳远成绩D． 弯曲河道改直
题型三 线段的运用
例题：如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，
需印制（ ）种车票，共有（ ）种票价．
A．10；10 B．22；11 C．20；10 D．20；20
巩固训练
1．一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（ ）
A．10种 B．15种 C．20种 D．25种
2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2017厘
米的线段AB，则线段AB盖住的整点共有（ ）个
A．2022或2023 B．2017或2018 C．2016或2017 D．2015或2016
3．由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪
山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（ ）
A．6种 B．7种 C．21种 D．42种
题型四 线段的运算
例题：如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点．
(1)求线段AM的长；
(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=2:3，求线段MN的长．
巩固训练
1．如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB=12，BD=5．若点E在直线AB上，且AE=3，
则DE的长为（ ）
9A．4 B．15 C．3或15 D．4或10
2．如图，点C是线段AB上一点，AB=12，点C到点A的距离比点C到点B的距离多2，则BC= ．
3．如图，C是线段AE的中点，点D在线段CE上，B是线段AD的中点．
(1)若AC=3，DE=2，求CD的长；
(2)若BC=3，CD:AD=1:4，求AC的长．
4．如图，线段AB=16，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
(1)求线段AD的长；
1
(2)若在线段AB上有一点E，CE= BC，求AE的长．
4
5．如图，线段AB=24．C是线段AB的中点，D是线段BC的中点．
(1)求线段AD的长；
1
(2)在线段AD上有一点E，满足CE= BC，求AE的长．
6
题型五 度分秒的运算
例题：计算（结果用度、分、秒表示）．
(1)58°49′+67°31′；
(2)47.6°−25°12′36″；
(3)38°45′+72.5°；
(4) ．
180°−(58°35′+70.3°)
10巩固训练
1．将30.24°用度、分、秒表示为（ ）
A．30°12′24″ B．30°14′24″ C．30°14′25″ D．30°15′28″
2．已知∠1=76°24′，∠2=76.24°，∠3=76.4°，下列说法正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1<∠2 D．∠2>∠3
3．用度、分、秒表示34.18°= ° ′ ″
题型六钟面角
例题：钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是（ ）
A．30° B．22.5° C．15° D．7.5°
巩固训练
1．时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（ ）
A．125° B．120° C．115° D．126°
2．如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
3．如图，钟表上2点半时，时针与分针所成的角是
题型七 方位角
例题：在灯塔O处测到轮船C位于北偏西20°的方向，轮船B位于南偏东50°的方向，轮船A在∠BOC的
角平分线上，则在灯塔O处观测轮船A的方向为（ ）
11A．北偏东55° B．北偏东50° C．北偏东45° D．北偏东40°
巩固训练
1．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西64°的方向，同时轮船B在南偏东18°的方向，那么∠AOB的
大小为（ ）
A．82° B．154° C．134° D．172°
2．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是
（ ）
A．北偏东70° B．北偏西70° C．南偏东70° D．南偏西50°
3．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是（ ）
A．北偏东30° B．北偏东60° C．北偏东75° D．北偏东15°
4．如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东27°50′方向，轮船B在灯塔P的南偏东71°22′方向，则∠APB=
．
12题型八 角平分线的有关运算
例题：如图，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
(1)若∠AOB是直角，∠BOC=60°，求∠EOF的度数；
(2)若∠AOC=x，∠BOC= y，列式表示∠EOF的大小．
巩固训练
1．如图，已知A、O、B三点在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠BOE=31°，
求∠AOD的度数．
2．如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=4∠COD，∠AOB=120°，求
∠AOC的度数．
133．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOE=25°．
(1)求出∠AOB的度数；
(2)判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．
(1)若∠AOF=50°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD:∠BOE=1:4，求∠AOF的度数．
题型九 余角﹑补角的基本运算
例题：如图，∠AOB与∠DOB互为补角，∠AOE与∠AOB互为余角，且∠AOB=4∠AOE．
14(1)求∠∠AOB的度数；
(2)若OC平分∠DOB，求∠AOC的度数．
巩固训练
1．如图，OC,OD,OE是∠AOB内三条射线，OE平分∠DOA，OC平分∠AOB．
(1)已知∠BOD=80°，∠AOE=25°，求∠COD的度数；
(2)若∠BOD与∠EOC互余，求∠EOC的度数．
2．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起．
(1)猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
(2)求∠AOD+∠BOC的度数；
(3)若∠BOD:∠AOD=2:11，求∠BOC的度数．
题型十 多边形的性质
例题：(1)试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点A）可以作___________条对角线，它把四边形ABCD分为___________个
三角形；
(2)拓展延伸：
15运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角
形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；
(3)探索归纳：对于n边形(n>3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为___________个三角形．
（用含n的式子表示）
(4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．
巩固训练
1．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），AC、AD是五边形
ABCDE的对角线．思考下列问题：
(1)如图（2），n边形A A A A …A 中，过顶点A 可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点A 可以
1 2 3 4 n 1 2
画 条对角线，过顶点A 可以画 条对角线．
3
(2)过顶点A 的对角线与过顶点A 的对角线有相同的吗？过顶点A 的对角线与过顶点A 的对角线有相
1 2 1 3
同的吗？
(3)在此基础上，你能发现n边形的对角线条数的规律吗？
162．真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的
关系的过程中，记录了数据如下：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
对角线的条数y 0 2 5 9 …
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（n≥3，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式
子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
题型十一 扇形的面积
2
例题：如图，大圆的半径是R，小圆的半径是大圆半径的 ，求阴影部分的面积．
3
巩固训练
1．随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化．为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民
体育”的号召．哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示．（π取
3）
（1）求塑胶地面休闲区的面积；
（2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值．
172．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
18
