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第四章 基本平面图形知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
102 知识速记
知识点1 直线、射线与线段的概念
知识点2 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
知识点3： 基本概念
1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
知识点4：双中点模型：
C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
知识点5： 角的概念
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两
条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
图1 图2
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2
所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置
2OB是角的终边．
注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成
的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
知识点6 ：角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的 为1分，记
作“1′”，1′的 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一
位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
3知识点7： 钟表上有关夹角问题
钟表中共有 12个大格，把周角 12等分、每个大格对应 30°的角，分针 1分钟转6°，时针每小时转
30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
知识点8： 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的
方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
知识点9：角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB
的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC = ∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
知识点10：角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝
∠AOB-∠2．
4知识点11：角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得
∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
知识点12： 多边形及正多边形
1． 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边
相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
2. 正多边形
1.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
2.正多边形的每个内角
3.正多边形每个外角的度数：
（3）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
3．相关概念：
5顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
多边形公式
1. n 边形一个顶点的对角线数： n-3
2. n 边形的对角线总数：
3. n 边形的外角和： 360°
4. 补充拓展：n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形
知识点12 ：圆及扇形
1. 圆的定义
如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定
的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.
2.扇形
（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如
下图：
（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.
注意：圆可以分割成若干个扇形.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.
03 题型归纳
题型一 直线/射线和线段及作图
6例题：如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
(1)画直线AB，画射线AC，连接BC；
(2)延长线段BC到E．使得BE=AB+BC；
(3)在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图，直线、射线、线段，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本
作图方法．
（1）根据基本作图方法即可画直线AB，画射线AC，连接BC；
（2）延长线段BC到E，利用尺规使CE=AB，可得BE=AB+BC；
（3）连接线段BD交AC于点P，根据两点之间线段最短可得PA+PC的值最小．
【详解】（1）解：如图，直线AB，射线AC，线段BC即为所求；
（2）解：如图，点E即为所求：
（3）解：如图，点P即为所求．
巩固训练
1．下列说法错误的是（ ）
A．画线段AB=3厘米 B．画射线AB=3厘米
C．在射线AC上截取AB=3厘米 D．延长线段AB到C，使得AC=2AB
7【答案】B
【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答
案．
【详解】解：A、线段可以度量，因此可以画线段AB=3厘米，原说法正确，不符合题意；
B、射线无法度量，因此不可以画射线AB=3厘米，原说法错误，符合题意；
C、在射线AC上可以截取AB=3厘米，原说法正确，不符合题意；
D、延长线段AB到C，使得AC=2AB，原说法正确，不符合题意；
故选：B．
2．如图，下列说法正确的是（ ）
A．射线OB和射线AB表示同一条射线
B．射线OB和射线OA表示同一条射线
C．射线OB和射线BO表示同一条射线
D．以点A为端点的射线有4条
【答案】B
【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握射线的表示方法是解题的关键.
根据射线的表示方法逐项判定即可．
【详解】解：A、射线OB和射线AB的端点不同，不是表示同一条射线，故此选项不符合题意；
B、射线OB和射线OA的端点相同，方向相同，是表示同一条射线，故此选项符合题意；
C、射线OB和射线BO的端点不相同，方向也不相同，不是表示同一条射线，故此选项不符合题意；
D、以点A为端点的射线有2条，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，已知四点A、B、C、D，请按要求作图并解答．
(1)按要求作图：
8①作射线AB；
②连接BD；
③在射线AB上截取AM，使AM=DB；
④在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小；
(2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点B在线段DP的延长线上；③射线AB
和射线AM是两条射线；④点M在射线AB的延长线上；其中正确的结论是_________．
【答案】(1)见解析
(2)②③
【分析】（1）①根据射线的定义作图即可；②直接连接BD即可；③以A为圆心，以BD为半径画圆弧，
与射线直线AB交于M；④连接AC与BD的交点即为所求；
（2）根据直线、线段、射线的定义逐个判断即可解答．
【详解】（1）解：①射线AB即为所求；
②线段BD即为所求；
③线段AM即为所求；
④点P即所求．
（2）解：①图中的线段有AB、AM、BM、AP、AC、PC、BD、PB、DP，共9条，则①
错误；
②由AC与BD的交点，则点P是点B在线段DP的延长线上，即②正确；
③图中射线AM、BM，共2条，则③正确；图中共有6条线段的说法是正确的；
④由射线AB本来就无限延伸，故不需要延长，则④错误．
故答案为②③．
【点睛】本题主要考查了基本作图，直线、线段、射线的定义，线段的性质等知识点，掌握直线，射
线，线段的定义是解题的关键．
题型二直线和线段的性质
9例题：如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能
解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点之间的所有连线中，线段最短
B．过一点，有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离
【答案】C
【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论．
本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．
【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线，
∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线．
∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线．
故选：C．
巩固训练
1．如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，
这样做的依据是（ ）
A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短
【答案】C
【分析】此题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线，即可解答．
【详解】解：根据两点确定一条直线，可使每一层砖在一条直线上．
故答案为：C．
2．媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为21km，
24km，19km，而两地的直线距离为12.1km，解释这一现象的数学知识最合理的是（ ）
10A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段
最短
【答案】C
【分析】本题考查了线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此
题的关键．
【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短，
故选：C．
3．下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． 两钉子固定木条 B． 木板上弹墨线
C． 测量跳远成绩D． 弯曲河道改直
【答案】C
【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，直线的性质的数学常识在生活中的应用，，熟练掌握
数学常识是解题的关键．
用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上是两点确定一条直线；木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨
线，而且只能弹出一条墨线，可用两点确定一条直线来解释的现象；测量跳远成绩是垂线段最短求脚
后跟到起跳线的距离；把弯曲的公路改直，就能够缩短路程是两点之间，线段最短；据此分别判断即
可．
【详解】A．两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合
题意；
11B．木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识均为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C．测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
D．把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
故选：C．
题型三 线段的运用
例题：如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，
需印制（ ）种车票，共有（ ）种票价．
A．10；10 B．22；11 C．20；10 D．20；20
【答案】C
【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制
5(5−1)种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式．
【详解】解：5×(5−1)=20，20÷2=10，
∴需印制20种车票，共有10种票价．
故选：C．
【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可
以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站．
巩固训练
1．一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（ ）
A．10种 B．15种 C．20种 D．25种
【答案】C
【分析】本题考查了线段的数量问题，由题意可知：由第一站点分别要经过4个不同的站点，所以要4
种车票；由第二站点要经过3个不同的地方，所以要制作3种车票；依此类推，则分别要制作的车票种
数为4，3，2，1种．由于同一条线路的起点和终点是可以变化的，所以同一线路对应2种车票．
【详解】解：由题意，得：这段铁路上的火车票价共有(4+3+2+1)×2=20种．
故选：C．
2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2017厘
米的线段AB，则线段AB盖住的整点共有（ ）个
A．2022或2023 B．2017或2018 C．2016或2017 D．2015或2016
12【答案】B
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或(n+1)个整点，分
线段AB的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度+1，不重合时盖住
的整点是线段的长度，由此即可得出结论；
【详解】解：若线段AB的端点恰好与整点重合，则2017厘米长的线段盖住个整点，2017+1=2018个
整点，
若线段AB的端点不与整点重合，则2017厘米的线段AB盖住2017个整点．
∴2017厘米的线段AB盖住2017或2018个整点．
故选：B．
3．由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪
山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（ ）
A．6种 B．7种 C．21种 D．42种
【答案】D
【分析】从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；
以此类推，则应分别制作4、3、2、1种车票，因为是来回车票，所以需要×2，即可得出答案．
【详解】共制作的车票数＝2×（6＋5＋4＋3＋2＋1）＝42（种）．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线等知识点，解此题的关键是能得出规律，学会用数学来解决实
际问题．
题型四 线段的运算
例题：如图，已知线段AB=23，BC=15，点M是AC的中点．
(1)求线段AM的长；
(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=2:3，求线段MN的长．
【答案】(1)4
(2)10
【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，以及线段的和差关系以及线段比例的计算．
（1）由线段的和差关系得出AC，再根据线段中点的定义求解即可．
（2）先根据线段的比例求出CN，再根据线段的和差关系得出MN即可．
13【详解】（1）解：∵AB=23，BC=15，
∴AC=AB−BC=23−15=8，
∵点M是AC的中点．
1 1
∴AM=MC= AC= ×8=4
2 2
（2）∵BC=15，CN:NB=2:3，
2 2
∴CN=BC⋅ =15× =6，
5 5
由（1）知MC=4，
∴MN=MC+CN=4+6=10
巩固训练
1．如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB=12，BD=5．若点E在直线AB上，且
AE=3，则DE的长为（ ）
A．4 B．15 C．3或15 D．4或10
【答案】D
【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到BC=10，CD=BD=5，求得AC=2，
分两种情况：当点E在点A右侧，当点E在点A左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键．
【详解】解：∵D为BC的中点，BD=5，
∴BC=10，CD=BD=5，
∵AB=12，
∴AC=2，
如图1，当点E在点A右侧，
∵AE=3，
∴CE=1，
∴DE=CD−CE=4；
14如图2，当点E在点A左侧，
∵AE=3，
∴DE=AE+AC+CD=3+2+5=10，
故DE的长为4或10，
故选：D．
2．如图，点C是线段AB上一点，AB=12，点C到点A的距离比点C到点B的距离多2，则BC= ．
【答案】5
【分析】本题考查了线段的和差，由题意得出AC=BC+2，结合AC+BC=BC+2+BC=12，计算即
可得出答案．
【详解】解：由题意得：AC=BC+2，
∵AB=12，
∴AC+BC=BC+2+BC=12，
∴BC=5，
故答案为：5．
3．如图，C是线段AE的中点，点D在线段CE上，B是线段AD的中点．
(1)若AC=3，DE=2，求CD的长；
(2)若BC=3，CD:AD=1:4，求AC的长．
【答案】(1)CD=1
(2)AC=9
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点，找准线段之间的关
系是解此题的关键．
（1）由线段中点的定义得出CE=AC=3，再结合CD=CE−DE计算即可得解；
1
（2）设CD=x，则AD=4x．由线段中点的定义得出AB=BD= AD=2x，根据BD−CD=BC求出
2
x=3，再结合AC=AD−CD=4x−x=3x即可得解．
【详解】（1）解：∵C是线段AE的中点，AC=3，
∴CE=AC=3．
15∵DE=2，
∴CD=CE−DE=3−2=1．
（2）解：∵CD:AD=1:4，
∴设CD=x，则AD=4x．
∵B是线段AD的中点，
1
∴AB=BD= AD=2x．
2
∵BD−CD=BC，即2x−x=3，
解得x=3．
∵AC=AD−CD=4x−x=3x，
∴AC=9．
4．如图，线段AB=16，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
(1)求线段AD的长；
1
(2)若在线段AB上有一点E，CE= BC，求AE的长．
4
【答案】(1)12
(2)6或10
【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点，熟练掌握线段的和差的计算方法进行求解是解决本
题的关键．
1 1
（1）根据线段的中点的性质可得AC=BC= AB=8，CD=BD= BC=4，再根据AD=AC+CD
2 2
代入计算即可得出答案；
（2）根据题意分两种情况，当点E在C点的左边时，AE=AC−CE，当点E在C点的右边时，
AE=AC+CE．分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵AB=16，点C是AB的中点，点D是BC的中点，
1 1
∴AC=BC= AB=8，CD=BD= BC=4，
2 2
∴AD=AC+CD=8+4=12；
（2）解：由（1）知AC=BC=8，
161
∵CE= BC=2，
4
当点E在C点的左边时，AE=AC−CE=8−2=6，
当点E在C点的右边时，AE=AC+CE=8+2=10．
综上：AE的长为6或10．
5．如图，线段AB=24．C是线段AB的中点，D是线段BC的中点．
(1)求线段AD的长；
1
(2)在线段AD上有一点E，满足CE= BC，求AE的长．
6
【答案】(1)AD的长为18
(2)AE的长为10或14
【分析】本题主要考查线段的和差运算，掌握中点的运算是解题的关键．
（1）根据线段的中点先算出AC,CD的长，再根据线段的和差即可求解；
（2）根据题意可算出CE的长，分类讨论，当点E在AC之间时；当点E在CD之间时；由此即可求解．
【详解】（1）∵点C是线段AB的中点，
1 1
∴AC=BC= AB= ×24=12，
2 2
∵点D是线段BC的中点，
1 1
∴CD=BD= BC= ×12=6，
2 2
∴AD=AC+CD=12+6=18，
∴线段AD的长为18；
（2）∵AC=BC=12，
1 1
∴CE= BC= ×12=2，
6 6
当点E在A、C之间时，AE=AC−CE=12−2=10；
当点E在C、D之间时，AE=AC+CE=12+2=14；
综上所述，AE的长为10或14．
题型五 度分秒的运算
例题：计算（结果用度、分、秒表示）．
17(1)58°49′+67°31′；
(2)47.6°−25°12′36″；
(3)38°45′+72.5°；
(4)180°−(58°35′+70.3°)．
【答案】(1)126°20′
(2)22°23′24″
(3)111°15′
(4)51°7′
【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握1°=60′，1′=60″进行计算，即可．
（1）根据1°=60′，进行计算，即可；
（2）根据1°=60′，1′=60″，进行计算，即可；
（3）根据1°=60′，1′=60″，进行计算，即可；
（4）根据1°=60′，1′=60″，进行计算，即可．
【详解】（1）解：58°49′+67°31′
=125°+80′
=126°20′．
（2）解：47.6°−25°12′36″
=47°36′−25°12′36″
=47°35′60″−25°12′36″
=22°23′24″．
（3）解：38°45′+72.5°
=38°45′+72°30′
=110°75′
=111′15′．
（4）解：180°−(58°35′+70.3°)
=180°−(58°35′+70°18′)
=180°−128°35′
=51°7′．
18巩固训练
1．将30.24°用度、分、秒表示为（ ）
A．30°12′24″ B．30°14′24″ C．30°14′25″ D．30°15′28″
【答案】B
【分析】此题考查了角度间的换算，先把0.24乘以60得14.4，再0.4乘以60得24，最后加上整数部分
即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，
将低级单位转化为高级单位时除以60．
【详解】解：0.24×60=14.4，
0.4×60=24，
∴30.24°用度、分、秒表示为30°14′24″，
故选：B．
2．已知∠1=76°24′，∠2=76.24°，∠3=76.4°，下列说法正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1<∠2 D．∠2>∠3
【答案】B
【分析】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．将各角的单位统一，
继而可得出答案．
【详解】解：∠1=76°24′，
∠2=76.24°=76°14′24″，
∠3=76.4°=76°24′，
∴∠2<∠3=∠1，
故选B．
3．用度、分、秒表示34.18°= ° ′ ″
【答案】 34 10 48
【分析】本题考查了度、分、秒的转化运算．进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．1°=60′，
1′=60″．
【详解】解：34.18°=34°+0.18×60′
=34°+10.8′
=34°+10′+0.8×60″
=34°+10′+48″
=34°10′48″．
故答案为：34；10；48．
19题型六钟面角
例题：钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是（ ）
A．30° B．22.5° C．15° D．7.5°
【答案】D
【分析】本题考查了钟面角，根据钟面被分成12大格，每大格30°，分针每分钟转6°，时针每分钟转
0.5°度，计算即可得出答案．
【详解】解：钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是30°−45×0.5°=7.5°，
故选：D．
巩固训练
1．时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（ ）
A．125° B．120° C．115° D．126°
【答案】A
【分析】本题考查了钟面角，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．确定时针与分
针相距的份数是解题关键．
10 25
【详解】解：6点10分时时针与分针相距4+ = 份，
60 6
25
在6点10分时，时针和分针所成角度是30°× =125°，
6
故选：A．
2．如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【分析】结合图形，利用钟表表盘的特征解答．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字
之间的夹角为30°．
【详解】解：下午四点半钟，时针和分针中间相差1.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴下午四点半钟分针与时针的夹角是1.5×30°=45°．
20故选：C
3．如图，钟表上2点半时，时针与分针所成的角是
【答案】105°/105度
【分析】本题考查了钟面角，根据每一大格为30°度，钟表上2点半时，所成的角的度数为三个大格
1
+ 个大格，即可得出答案．
2
1
【详解】解：钟表上2点半时，时针与分针所成的角是30°×3+30°× =105°，
2
故答案为：105°．
题型七 方位角
例题：在灯塔O处测到轮船C位于北偏西20°的方向，轮船B位于南偏东50°的方向，轮船A在∠BOC
的角平分线上，则在灯塔O处观测轮船A的方向为（ ）
A．北偏东55° B．北偏东50° C．北偏东45° D．北偏东40°
【答案】A
【分析】本题主要考查了方向角及角平分线的定义，解题的关键是正确理解方向角．
利用方向角的定义及角平分线的定义求解即可．
【详解】解∶如图，
21∵ O C
在灯塔 处测到轮船 位于北偏西20°的方向，
∴∠1=20°，
∵轮船B位于南偏东50°的方向，
∴∠3=50°，
∴∠4=90°−∠3=40°，
∴∠BOC=90°+∠1+∠4=90°+20°+40°=150°，
∵OA是∠BOC的角平分线，
1 1
∴∠AOC= ∠BOC= ×150°=75°，
2 2
∴∠2=∠AOC−∠1=75°−20°=55°，
则在灯塔O处观测轮船A的方向为北偏东55°，
故选∶A．
巩固训练
1．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西64°的方向，同时轮船B在南偏东18°的方向，那么∠AOB的
大小为（ ）
A．82° B．154° C．134° D．172°
【答案】C
【分析】本题主要考查了方向角的相关计算，解题的关键是正确理解方向角的定义．由已知条件可得
出∠AOE=64°，进而得出∠AOC=26°，再根据∠BOD=18°，利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：如图，
22∵∠AOE=64°，
∴∠AOC=90°−64°=26°．
又∵∠BOD=18°，
∴∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD=26°+90°+18°=134°．
故选：C．
2．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是
（ ）
A．北偏东70° B．北偏西70° C．南偏东70° D．南偏西50°
【答案】A
【分析】先根据角的和差得到∠AOC的度数，再运用∠AOC的度数加上15°，即可作答．考查了方
位角，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
【详解】解：∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，
∴∠AOB=15°+40°=55°，
∵∠AOC=∠AOB，
∴∠AOC=55°，
15°+55°=70°，
故OC的方向是北偏东70°．
故选：A．
3．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是（ ）
23A．北偏东30° B．北偏东60° C．北偏东75° D．北偏东15°
【答案】C
【分析】本题主要考查方向角的计算，熟练掌握方向角的计算是解题的关键．根据题意，求出
∠AOC=∠AOB=60°，即可得到答案．
【详解】解：依题意可得，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC=∠AOB，
∴ ∠AOC=∠AOB=15°+45°=60°，
故OC的方向是北偏东75°．
故选C．
4．如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东27°50′方向，轮船B在灯塔P的南偏东71°22′方向，则∠APB=
．
【答案】80°48′
【分析】此题考查了方向角，用180°减去两个方向角的度数即可得到答案．
【详解】解：∵轮船A在灯塔P的北偏东27°50′方向，轮船B在灯塔P的南偏东71°22′方向，
∴∠APB=180°−27°50′−71°22′=80°48′
故答案为：80°48′
题型八 角平分线的有关运算
例题：如图，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
24(1)若∠AOB是直角，∠BOC=60°，求∠EOF的度数；
(2)若∠AOC=x，∠BOC= y，列式表示∠EOF的大小．
【答案】(1)45°
x−y
(2)
2
【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，
（1）利用角的和表示出∠AOC的度数，利用角平分线的定义分别求得∠EOC和∠FOC，利用角的
差即可求得结论；
（2）利用角平分线的定义分别表示出∠EOC和∠FOC的度数，再利用角的差即可求得结论；
结合图形，正确利用角的和差表示出角的度数是解题的关键．
【详解】（1）解：∵∠AOB是直角即∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°，
∵OE平分∠AOC，
1 1
∴∠EOC= ∠AOC= ×150°=75°，
2 2
∵OF平分∠BOC，
1 1
∴∠FOC= ∠BOC= ×60°=30°，
2 2
∴∠EOF=∠EOC−∠FOC=75°−30°=45°，
∴∠EOF的度数为45°；
（2）∵OE平分∠AOC，∠AOC=x，
1 1
∴∠EOC= ∠AOC= x，
2 2
∵OF平分∠BOC，∠BOC= y，
251 1
∴∠FOC= ∠BOC= y，
2 2
1 1 x−y
∴∠EOF=∠EOC−∠FOC= x− y= ，
2 2 2
x−y
∴∠EOF的大小为 ．
2
巩固训练
1．如图，已知A、O、B三点在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠BOE=31°，
求∠AOD的度数．
【答案】59°
【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
根据角平分线得出∠BOC=62°，再由邻补角确定∠AOC=118°，继续利用角平分线即可求解．
【详解】解： OE平分∠BOC，∠BOE=31°，
∠BOC=2∠∵BOE=2×31°=62°，
∴∠AOC+∠BOC=180°
∵∠AOC=180°−∠BOC=180°−62°=118°，
∴OD平分∠AOC，
∵ 1 1
∠AOD= ∠AOC= ×118°=59°．
2 2
∴
2．如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=4∠COD，∠AOB=120°，求
∠AOC的度数．
【答案】40°
【分析】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．
根据OD平分∠AOB可得出∠AOD=∠BOD，再由∠BOC=4∠COD可设∠COD=x，则
26∠BOD=3x，AOC=2x，再由∠AOB=120°可得出x的值，进而得出结论．
【详解】解：∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠BOD．
∵∠BOC=4∠COD，
∴设∠COD=x，则∠BOD=3x，AOC=2x，
∵∠AOB=120°，
∴2x+x+3x=120°，解得x=20°，
∴∠AOC=2x=40°．
3．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOE=25°．
(1)求出∠AOB的度数；
(2)判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
【答案】(1)120°
(2)互补，理由见详解．
【分析】本题考查了角平分线的定义，互补，解题的关键是求出∠DOE的度数．
（1）利用角平分线的定义得出∠AOC=2∠AOE=50°，再根据∠AOB=∠BOC+∠AOC，代入
计算即可；
（2）先利用角平分线的定义求出∠DOE的度数，再根据∠DOE+∠AOB=180°，即可得答案．
【详解】（1）解：∵OE平分∠AOC．∠AOE=25°，
∴∠AOC=2∠AOE=50°，
∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°；
（2）∠DOE与∠AOB互补．
理由：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
1 1
∵∠DOC= ∠BOC= ×70°=35°, ∠COE=AOE=25°，
2 2
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°，
∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，
27∴∠DOE与∠AOB互补．
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．
(1)若∠AOF=50°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD:∠BOE=1:4，求∠AOF的度数．
【答案】(1)70°
(2)70°
【分析】本题考查了对顶角、邻补角，利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键．
（1）根据补角，余角的关系，可得∠COB，根据角平分线的定义，可得答案；
（2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得∠AOC，再根据余角的定义，可得答案．
【详解】（1）解：∵∠COF与∠DOF是邻补角，
∴∠COF=180°−∠DOF=90°．
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOC=90°−∠AOF=90°−50°=40°．
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠COB=180°−∠AOC=180°−40°=140°．
∵OE平分∠BOC，
1
∴∠BOE= ∠BOC=70°；
2
（2）解：∠BOD:∠BOE=1:4，
设∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x．
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
即x+4x+4x=180°，
解得x=20°．
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOF=90°−∠AOC=90°−20°=70°．
28题型九 余角﹑补角的基本运算
例题：如图，∠AOB与∠DOB互为补角，∠AOE与∠AOB互为余角，且∠AOB=4∠AOE．
(1)求∠∠AOB的度数；
(2)若OC平分∠DOB，求∠AOC的度数．
【答案】(1)72°
(2)126°
【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，角平分线的定义：
（1）根据度数之和为90度的两个角互为余角得到∠AOE+∠AOB=90°，再由∠AOB=4∠AOE，
即可求出∠AOB=72°；
（2）根据度数之和为180度的两个角互为补角得到∠AOB+∠DOB=180°，进而求出
1
∠DOB=108°，再由角平分线的定义∠BOC= ∠DOB=54°，则
2
∠AOC=∠AOB+∠BOC=126°．
【详解】（1）解：∵∠AOE与∠AOB互为余角，
∴∠AOE+∠AOB=90°，
∵∠AOB=4∠AOE，
1
∴ ∠AOB+∠AOB=90°，
4
∴∠AOB=72°；
（2）解：∵∠AOB与∠DOB互为补角，
∴∠AOB+∠DOB=180°，
∵∠AOB=72°，
∴∠DOB=108°，
∵OC平分∠DOB，
1
∴∠BOC= ∠DOB=54°，
2
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=126°．
29巩固训练
1．如图，OC,OD,OE是∠AOB内三条射线，OE平分∠DOA，OC平分∠AOB．
(1)已知∠BOD=80°，∠AOE=25°，求∠COD的度数；
(2)若∠BOD与∠EOC互余，求∠EOC的度数．
【答案】(1)15°
(2)30°
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差和余角的定义，
（1）先由角平分线的定义得出∠AOD，继而求出∠AOB，再由角平分线的定义得出∠BOC，最后
根据∠COD=∠BOD−∠BOC求解即可；
1
（2）由角平分线的定义和角的和差得出∠EOC= ∠BOD，再根据余角得出∠BOD+∠EOC=90°，
2
进而求解即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）∵∠AOE=25°，OE平分∠DOA，
∴∠AOD=2∠AOE=50°，
∵∠BOD=80°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=130°，
∵OC平分∠AOB，
1
∴∠BOC= ∠AOB=65°，
2
∴∠COD=∠BOD−∠BOC=80°−65°=15°；
（2）∵OE平分∠DOA，OC平分∠AOB，
1 1
∴∠AOE= ∠AOD,∠AOC= ∠AOB，
2 2
301 1 1 1
∴∠EOC=∠AOC−∠AOE= ∠AOB− ∠AOD= (∠AOB−∠AOD)= ∠BOD，
2 2 2 2
∵∠BOD与∠EOC互余，即∠BOD+∠EOC=90°，
1
∴∠BOD+ ∠BOD=90°，
2
∴∠BOD=60°，
1
∴∠EOC= ∠BOD=30°．
2
2．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起．
(1)猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
(2)求∠AOD+∠BOC的度数；
(3)若∠BOD:∠AOD=2:11，求∠BOC的度数．
【答案】(1)∠AOC=∠BOD，理由见解析；
(2)∠AOD+∠BOC的度数为180°；
(3)∠BOC的度数为70°．
【分析】（1）通过同角的余角相等，即可得出，（2）通过等量代换即可求解，（3）通过比例关系结
合图形列式，即可求解，本题考查了同角或等角的余角相等，解题的关键是，熟练掌握同角或等角的
余角相等的性质，并结合图形，并正确列式求解．
【详解】（1）
解：∠AOC=∠BOD，
理由是：∵∠AOC=∠AOB−∠BOC=90°−∠BOC，
∵∠BOD=∠DOC−∠BOC=90°−∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD；
（2）∵∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
31故答案为：∠AOD+∠BOC的度数为180°；
（3）∵∠BOD:∠AOD=2:11，
∴设∠BOD=2a，则∠AOD=11a，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=2a，
∴∠BOC=∠AOD−∠BOD−∠AOC=11a−2a−2a=7a，
又∠COB+∠BOD=90°，
∴2a+7a=90°，解得：a=10°，
∴∠BOC=7a=70°，
故答案为：∠BOC的度数为70°．
题型十 多边形的性质
例题：(1)试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点A）可以作___________条对角线，它把四边形ABCD分为___________个
三角形；
(2)拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角
形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；
(3)探索归纳：对于n边形(n>3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为___________个三角形．
（用含n的式子表示）
(4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．
【答案】(1)1，2；
(2)3，4；
(3)n−2
(4)8
【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）n边形中过一个顶点的所有对角线有(n−3)条，把这个多边形分成(n−2)个三角形，根据这一点
32即可解答；
（3）n边形中过一个顶点的所有对角线有(n−3)条，把这个多边形分成(n−2)个三角形，根据这一点
即可解答；
（4）n边形中过一个顶点的所有对角线有(n−3)条，把这个多边形分成(n−2)个三角形，根据这一点
即可解答．
【详解】（1）解：如下图：
经过A点可以做1条对角线，它把四边形ABCD分为2个三角形，
故答案为：1，2；
（2）解：拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：3，4；
（3）解：对于n边形(n>3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为(n−2)个三角形，
故答案为：n−2；
（4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为10−2=8个三角形，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的
关系，是解决本题的关键．
巩固训练
1．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），AC、AD是五边形
ABCDE的对角线．思考下列问题：
33(1)如图（2），n边形A A A A …A 中，过顶点A 可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点A 可以
1 2 3 4 n 1 2
画 条对角线，过顶点A 可以画 条对角线．
3
(2)过顶点A 的对角线与过顶点A 的对角线有相同的吗？过顶点A 的对角线与过顶点A 的对角线有相
1 2 1 3
同的吗？
(3)在此基础上，你能发现n边形的对角线条数的规律吗？
【答案】(1)(n−3)，A A ，A A ，⋯A A (n>3)，(n−3)，(n−3)
1 3 1 4 1 n−1
(2)过点A 的和过点A 的没有重复的，但和过点A 的有重复的(A A 和A A 重复）
1 2 3 1 3 3 1
n(n−3)
(3)n边形的对角线条数的为
2
【分析】此题考查了多边形的对角线的知识．
（1）过点A 和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点A 、A 的情况．
1 2 3
（2）过点A 的和过点A 的没有重复的，但和过点A 的有重复的(A A 和A A 重复）；
1 2 3 1 3 3 1
（3）过每一点有(n−3)条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数．
【详解】（1）解：过顶点A 可以画(n−3)条对角线，它们分别是A A (n>3)；
1 1 n−1
过顶点A 可以画(n−3)条对角线，
2
过顶点A 可以画(n−3)条对角线；
3
故答案为：(n−3)，A A ，A A ，⋯A A (n>3)，(n−3)，(n−3)；
1 3 1 4 1 n−1
（2）解：过点A 的和过点A 的没有重复的，但和过点A 的有重复的(A A 和A A 重复）；
1 2 3 1 3 3 1
（3）解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出(n−3)条，
共有n个顶点，应为n(n−3)条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
n(n−3)
即n边形的对角线条数的为 ．
2
2．真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的
关系的过程中，记录了数据如下：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
34对角线的条数y 0 2 5 9 …
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（n≥3，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式
子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
【答案】(1)n−3
n(n−3)
(2)y=
2
(3)35
【分析】本题考查了对角线的条数与多边形的边数的关系，理解题意、得出对角线的条数与多边形的
边数的关系是解题的关键．
（1）根据“一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线”，得出答案即可；
（2）根据“n边形有n个顶点，所以所有对角线有n(n−3)条．但每条对角线重复一次”，得出答案即
可；
n(n−3)
（3）把n=10代入y= ，计算得出答案即可．
2
【详解】（1）解：∵一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线，
∴过n边形的每一个顶点的对角线条数为n−3，
故答案为：n−3；
（2）解：∵n边形有n个顶点，所以所有对角线有n(n−3)条．但每条对角线重复一次，
n(n−3)
∴n边形所有对角线的条数为y= ；
2
n(n−3) n(n−3) 10×7
（3）解：把n=10代入y= ，得y= = =35，
2 2 2
∴一个十边形的对角线的条数为35．
题型十一 扇形的面积
2
例题：如图，大圆的半径是R，小圆的半径是大圆半径的 ，求阴影部分的面积．
3
355
【答案】
πR2
9
(2 ) 2
【分析】阴影部分的面积等于大圆减去小圆的面积，大圆的面积为πR2，小圆的面积为 R π，两
3
式相减即可得到阴影部分的面积．
【详解】S =πR2− (2 R ) 2 π=π ( R2− 4 R2) = 5 πR2 ．
圆环 3 9 9
【点睛】本题考查了圆的面积公式，解题的关键是掌握圆的面积公式进行计算．
巩固训练
1．随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化．为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民
体育”的号召．哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示．（π取
3）
（1）求塑胶地面休闲区的面积；
（2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值．
361
【答案】（1）塑胶地面休闲区的面积为350平方米；（2）
3
【分析】根据圆的面积公式和长方形的面积公式计算相应的面积即可．
1 20
【详解】解：（1）S ＝S +S ＝10×20+ π×（ ）2＝200+50π≈350（平方米），
塑胶地面 长方形 半圆 2 2
答：塑胶地面休闲区的面积为350平方米；
（2）S ＝S ﹣S ＝200﹣150＝50（平方米），
种花卉 长方形 半圆
S ＝S ＝50π≈150（平方米），
种草坪 半圆
50 1
所以，广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值为 = ．
150 3
【点睛】本题考查平面图形面积的计算方法，掌握圆、长方形、扇形的面积计算方法是得出正确结果
的关键．
2．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
【答案】∠BOC=180°,∠AOB=72°,∠AOC=108°．
【分析】根据扇形所占的百分比即可求出圆心角．
【详解】∵周角是360°，
∴∠BOC=360°×50%=180°，
∠AOB=360°×20%=72°，
∠AOC=360°×30%=108°．
【点睛】此题考查了扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握扇形所占的
百分比和扇形圆心角之间的关系．扇形的圆心角=360°×百分比．
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