文档内容
黔东南州 2024-2025 学年度第一学期期末文化水平测试
高一数学试卷
注意事项：
1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共 19 道小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将
条形码贴在答题卡“考生条形码区”.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
第Ⅰ卷 选择题部分（共 58 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项符合题目要求.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意化简集合 N，进而可得交集.
【详解】由题意可得： ，
且 ，所以 .
故选：D.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用诱导公式结合特殊角求值即可.
第 1页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司【详解】 .
故选：A.
3. 设 ， ，则“ 且 ”是“ ”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分必要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由 且 ，根据不等式性质可以知道 ，故充分性成立；
但是 ，得不到 且 ，
如 且 ，满足 ，显然 不成立，故必要性不成立；
所以“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：C.
4. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数和对数函数性质即可求解.
【详解】因为 均为减函数，
所以 .
故选：B.
5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
第 2页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】采用“排除法”.判断函数的奇偶性，可排除 B；根据 ，可排除 A；根据 ，可
排除 C.
【详解】由函数 可知定义域为 ，且定义域关于原点对称.
因为 ，
所以函数 为奇函数，故排除选项 B；
因为 ，故排除选项 A；因为 ，故排除选项 D.
故选：C.
6. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源 一系列活动，做
好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率 与时间 （月）近似满足关系 （其中
， ），经过 24 个月，这种垃圾的分解率为 ,经过 48 个月，这种垃圾的分解率为 ，则这种
垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.
（参考数据： ）
A. 80 B. 90 C. 100 D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件可得出关于 的方程组，解之即得 的表达式，再由 ，利用取对数求出 的
值即可.
第 3页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意，可得 ，解得 ，则 ，
这种垃圾完全分解，即分解率为 ，即 ，所以 ，
两边取对数，可得： ，则 .
故选：A.
7. 设函数 图象的一条对称轴方程为 ，若
，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由三角恒等变换化简 ，由已知对称轴方程以及 的范围可得 的值，结合正弦函数的
性质可知 的最小值为 即可求解.
【详解】
所以 .
由题得 ，可得 ，
因为 ，所以 ， ，所以 .
所以若 ，则得到 .
故选：B
第 4页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司8. 已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，且对任意的 、 ，
，有 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 是偶函数 B.
C. 的图象关于 对称 D.
【答案】D
【解析】
【分析】推导出 是周期函数， 是它的一个周期，并计算出 ，结合周期性可判断 B 选项；
利用题中等式进行推导，结合函数的对称性可判断 BC 选项；分析函数 在 上的单调性，结合函
数的周期性可判断 D 选项.
【详解】因为函数 为奇函数，则 ，
所以， ，可得 ，
因为函数 为偶函数，则 ，
所以， ，
所以， ，所以 是周期函数， 是它的一个周期.
对于 A 选项， ，A 对；
对于 B 选项， ，
所以， ，B 对；
对于 C 选项，因为 ，即 ，
所以，函数 的图象关于点 对称，C 对；
对于 D 选项，对任意的 、 ，且 ，有 ，
不妨设 ，则 ，所以，函数 在 为增函数，
因为 ， ，
第 5页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，则 ，所以， ，D 错.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数 的图象关于直线 和 对称，则函数 的周期为 ；
（2）若函数 的图象关于点 和点 对称，则函数 的周期为 ；
（3）若函数 的图象关于直线 和点 对称，则函数 的周期为 .
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知幂函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 或 3 B. 一定为奇函数
C. 一定为减函数 D. 必过点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据幂函数的概念可求 的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断.
【详解】对于 A，根据幂函数 定义可得 或 ，故 A 正确；
对于 B，当 或 时， 或 都为奇函数，故 B 正确；
对于 C，当 时， 不是减函数，当 时， 是增函数，故 C 错误；
对于 D，因 对任意 都有 ，所以幂函数均经过点 ，故 D 正确.
故选：ABD
10. 若函数 （ ， ， ）在一个周期内的图象如图所示，则正确的
结论是（ ）
第 6页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司A.
B. 的图象的一个对称中心为
C. 的单调递增区间是 ，
D. 把 的图象向左平移 个单位长度，纵坐标不变，可得 的图象
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数图像确定振幅周期从而求出 、 从而判断 A；根据图像上点的坐标求出 由此得到函
数解析式，将 代入解析式判断 B；求解不等式 判断 C；根据三
角函数图象变换的知识判断 D.
【详解】由图可知 ， ，所以 A 选项错误.
，
，所以 ，
，所以 B 选项正确.
由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间是 ， ，C 选项正确.
把 的图象向左平移 个单位长度，纵坐标不变，得到
，
所以 D 选项正确.
故选：BCD
第 7页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司11. 已知正实数 ，满足 ，则（ ）
A. 的最大值为 1 B. 的最小值为 4
C. 的最小值为 1 D. 的最小值为 18
【答案】AB
【解析】
【 分 析 】 根 据 基 本 不 等 式 得 ， 再 解 不 等 式 可 判 断 A； 根
据
得 ， 再 解 不 等 式 可 判 断 B； 由 题 知
，进而代换，结合基本不等式求解判断 CD.
【详解】解：因为 ， ，
可得 ，所以 ，
解得 ，当且仅当 时，取等号，即 的最大值为 1，故 A 正确；
因为 ，
所以 ，解得 ，
当且仅当 时，取等号，即 的最小值为 4，故 B 正确；
由 可解得 ，故
所以 ，当且仅当 ，取等号，即 ，
，与 矛盾，故 C 错误；
，当且仅当 ，取等号，即
， ，与 矛盾，故 D 错误；
故选：AB
第 8页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司第Ⅱ卷 非选择题部分（共 92 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知命题 ： ， ，则命题 的否定为______.
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题解答即可.
【详解】命题 ： ， 为全称量词命题，
其否定为： ， .
故答案为： ，
13. 已知扇形的圆心角为 ，所对的弧长为 ，则这个扇形的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用弧度制下扇形的弧长、面积公式计算即可.
【详解】设扇形半径为 ，且 ，
根据弧长公式 ，则 ，
所以扇形的面积为 .
故答案为：
14. 已知函数 ，则函数 的零点的个数为______.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为 与 的交点个数问题，通过讨论可作出两个函数的图象，结合图象可得零
点个数.
【详解】 ， 的零点个数等价于 与 的交点个数；
当 时， ，此时 ；
第 9页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，此时 ，……依此类
推，
当 ， 时，
，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
当 ， 且 时， ，
在 ， 且 上恒成立，
由此可得 图象如下图所示，
当 时， ，由 解得 ，此时两个函数图象只有一个交点，
由图象知：两个函数图象有 个交点，即函数 的零点个数为 个.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：判断函数零点的个数常用的方法：
（1）方程法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为零点个数；
（2）图象法：作出函数图象，根据函数图象与 轴交点个数得到零点个数；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
将问题转化为两个函数的交点个数问题.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）计算 ；
第 10页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司（2）化简： .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】(1)利用指数幂与根式的互化进行运算；
(2)利用对数的运算性质进行求解.
【详解】（1） .
（2）因为
.
16. 在单位圆中锐角 的终边与单位圆交于点 ，已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据点 在单位圆上，且角 为锐角，可求出 的值，根据三角函数的定义可求角
的三角函数值，再利用诱导公式化简 ，代入角 的三角函数值即可求值.
（2）根据“齐次式”的计算方法求值.
【小问 1 详解】
由于点 在单位圆上，且 是锐角，可得 ，
所以 ，
所以 .
第 11页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】
17. 已知函数 的最小正周期 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）当 时，方程 有且仅有两个根，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）应用三角恒等变换得 ，根据已知及正弦型函数性质求参数并确定单
调递增区间；
（2）问题化为直线 与函数 在 上的图象有两个交点求参数范围，应用正弦函数的
性质研究 的图象，数形结合求参数范围.
【小问 1 详解】
依题意，
，
由 ， ，得 ， ，
由 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
当 时，函数 单调递增，
第 12页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司在 时，函数 单调递减，
又 ，
则函数 在 上单调递增，函数值从 1 增大到 ；
在 上单调递减，函数值从 减小到 ，
因此方程 的根，即直线 与函数 在 上的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出直线 与函数 在 上的图象，
观察图象知，当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
此时 ，故 的取值范围是 时，方程 有且仅有两个根.
18. 近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，
进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过
去的一个月内（以 30 天计），每件的销售价格 （单位：元）与第 天的函数关系近似满足
（ 为常数，且 ， ， ），日销售量 （单位：件）与第 天的部分
数据如表所示：
5 10 15 20 25
45 50 55 50 45
已知第 5 天的日销售收入为 459 元.给出以下三个函数模型：① ；② ；③
.
第 13页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司（1）请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量 与 的变化关系，
并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为 （单位：元），求 的解析式；
（3）该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？
【答案】（1）选择模型②，
（2） ，
（3）该工艺品的日销售收入第 30 天最低，最低收入是 元
【解析】
【分析】（1）根据题意易知选择函数模型②，从而再根据题意建立方程，即可求解；
（2） ，从而可求 的解析式；
（3）利用基本不等式及函数单调性，即可求解．
【小问 1 详解】
由表格中 数据知，随着 x 的增大， 先增后减，
①③函数模型描述 都是单调函数，不符合该数据模型，
所以选择函数模型②： ，
由 ，可得 ，解得 ，
因为 ，解得 ，
则日销售量 与时间 x 的关系式为 .
【小问 2 详解】
因为第 5 天的日销售收入为 459 元，
则 ，解得 ，所以 ，
由（1）知 ，
第 14页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司则 .
【小问 3 详解】
当 ， 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 ， 时， 单调递减，
所以函数的最小值为 ，
综上可得，当 时，函数 取得最小值 元.
所以该工艺品的日销售收入第 30 天最低，最低收入是 元.
19. 我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.已知 .
（1）利用上述结论，证明： 的图象关于 成中心对称图形；
（2）请利用函数 的对称性求：
的值；
（3）判断 的单调性（无需证明），并解关于 的不等式 .
【答案】（1）证明见解析
（2）48 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设 ，整理函数 的解析式，判断函数 的奇偶性即可.
（2）探索函数 的性质，得 ，分别令 ，再分组求和即可.
（3）根据 ，结合函数的单调性，把函数不等式转化为含参数的一元二次不等式，分
第 15页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司类讨论，解不等式即可.
【小问 1 详解】
，令 ，
，即 ，
又 ，
∴ 为奇函数，由题意可知， 的图象关于 成中心对称图形.
【小问 2 详解】
由第（1）问可知 ，即 ，令 ，可得
，
所以
.
【小问 3 详解】
易知函数 为单调递增函数，且 对于 恒成立，
则函数 在 上为单调递减函数，
由（2）知， 的图象关于 成中心对称图形，即 ，
不等式 得： ，
即 ，则 ，
整理得 ，即 ，
当 时，不等式可化为 ，解集为 ；
当 时，与不等式对应的一元二次方程的两根为 ， .
当 时， ，此时不等式解集为 ；
第 16页/共 17页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，此时不等式解集为 ；
当 时， ，此时不等式解集为 ；
当 时， ，此时不等式解集为 .
综上所述，
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 .
【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.本题关键是读懂信
息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问是利用函数的性质结合分组求和，第三问则
利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.
第 17页/共 17页
