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遵义航天⾼级中学 学年⾼⼀上学期期中检测
2025-2026
数学试题
⼀、单选题（本⼤题共7⼩题）
1. 已知集合 集合 则 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，周期为 的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）
A 向左平移 个单位⻓度
B 向右平移 个单位⻓度
C. 向左平移 个单位⻓度
D. 向右平移 个单位⻓度
4. 已知平⾯向量 ， ，则“ 与 的夹⻆为钝⻆”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知 是夹⻆为 的两个⾮零向量，且 ，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则
（ ）
A. B.
C.4 D.
6. 在平⾏四边形 中， 为 的中点， ， 与 交于点 ，过点 的直线分别与
第1⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司射线 ， 交于点 ， ， ， ，则 的最⼩值为（ ）
A 1 B. C. D.
7. 已知函数 的最⼩正周期 ，且 是函数 的⼀条对
称轴， 是函数 的⼀个对称中⼼，则函数 在 上的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
⼆、多选题（本⼤题共3⼩题）
8. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第⼆象限⻆
B. 函数 的最⼩正周期是
C. 若 ，则
D. 若圆⼼⻆为 的扇形的弧⻓为 ，则该扇形的⾯积为
9. 设样本空间 含有等可能的样本点，记事件 ，事件 ，事件 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B相互独⽴
B. 事件A与事件C相互独⽴
C. 事件A与事件B互斥
D. 事件A与事件C互斥
10. 关于函数 ，如下结论中正确的是（ ）．
A. 函数 的周期是
B. 函数 的值域是
C. 函数 的图象关于直线 对称
D. 函数 在 上递增
第2⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司三、填空题（本⼤题共3⼩题）
11. 的值为____.
12. 已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围是_____．
13. 如图，在 中， ， ， ， 是 的中点， 是以 为圆⼼，
为半径的圆上任意⼀点，则 的取值范围为______．
四、解答题（本⼤题共5⼩题）
14. 已知 ， ， 与 的夹⻆是 .
（1）计算 ；
（2）当k为何值时， ？
15. 某校⾼⼀年级 20名学⽣期末考试数学成绩 频率分布直⽅图如图所示，其中成绩分组区间为
.
（1）求图中 的值：
（2）根据频率分布直⽅图，估计这200名学⽣数学成绩的平均分（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值作
代表)；
（3）若从数学成绩在 内的学⽣中⽤分层随机抽样的⽅法抽取7⼈，再从这7⼈中随机抽取2⼈
分析学习情况，求抽到数学成绩在 内各1⼈的概率.
16. 化简：
第3⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
17. 某同学⽤“五点法”画函数 在某⼀个周期内的图象时，列表并填
⼊了部分数据，如下表：
0
0 3 0 0
（1）求出实数 和函数 的解析式；
（2）将 图象上的所有点向右平移 个单位⻓度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来
的 （纵坐标不变），得到 的图象.已知 图象的⼀个对称中⼼为 ，求 的最⼩值；
（3）在（2）的条件下，当 取最⼩值时，若对 ，关于 的⽅程 恰有两个实数根，
求实数 的取值范围.
18. 定义⾮零向量 的“ 相伴函数” 为 ， ，向量 称
为函数 的“ 相伴向量” （其中点 为坐标原点）．
（1）设函数 ，求函数 的“ 相伴向量” 的坐标；
第4⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）记 的“ 相伴函数” 为 ，设函数 ， ，若⽅
程 有四个不同实数根，求实数k的取值范围；
（3）已知点 ， 满⾜条件： ，且向量 “ 相伴函数” 在 时取
得最⼤值，当点M运动时，求 的取值范围．
第5⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司遵义航天⾼级中学 学年⾼⼀上学期期中检测
2025-2026
数学试题
⼀、单选题（本⼤题共7⼩题）
1. 已知集合 集合 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，利⽤交集定义能求出
【详解】解： 集合
故选：B
2. 下列函数中，周期为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例排除A，利⽤三⻆函数的周期公式判断BC，利⽤周期函数的定义结合诱导公式判断D.
【详解】对于A，因为 ，
所以 ，
则 ，所以 不以 为周期，故A错误；
对于B，因为 ，所以 的最⼩正周期为 ，故B错误；
第1⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司对于C，因为 ，所以 最⼩正周期为 ，故C错误；
对于D，因为 ，
所以 ，
则 的周期为 ，故D正确.
故选：D.
3. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位⻓度
B. 向右平移 个单位⻓度
C. 向左平移 个单位⻓度
D. 向右平移 个单位⻓度
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤三⻆函数平移变换对解析式的影响求解即可.
【详解】对于A， 向左平移 个单位⻓度得 ，故A错误；
对于B， 向右平移 个单位⻓度得 ，故B错误；
对于C， 向左平移 个单位⻓度得 ，故C正确；
对于D， 向右平移 个单位⻓度得 ，
故D错误；
故选：C.
4. 已知平⾯向量 ， ，则“ 与 的夹⻆为钝⻆”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
第2⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】若 与 的夹⻆为钝⻆，则 且 与 不共线，结合向量的坐标运算求得 的取值范围，再
根据范围之间的关系即可判断.
【详解】“ 且 ”，即“ 且 ”，是“ ”的充分不必要条件，
故选:A．
5. 已知 是夹⻆为 的两个⾮零向量，且 ，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则
（ ）
A. B.
C.4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，计算出向量 在向量 上的投影向量为 ，由题知投影向量为 ，
所以 ，解出 的值.
【详解】设 ，则 ， ，
所以向量 在向量 上的投影的数量为 ，
因为投影向量是 ，所以 ，解得 ，
故选：A.
6. 在平⾏四边形 中， 为 的中点， ， 与 交于点 ，过点 的直线分别与
射线 ， 交于点 ， ， ， ，则 的最⼩值为（ ）
第3⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A.1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平⾯向量基本定理，将 ⽤ 和 表示，再利⽤ ， ， 三点共线，求得
，再利⽤基本不等式求得最值.
【详解】由 ， ， 共线，可设 ，
由 , , 三点共线，故可设 ，
则有 ，解得： ，
故 ，
由题意， ， ， 三点共线，
故可设 ，
则 ，整理得 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成⽴，则 的最⼩值为 ；
故选：C
第4⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司7. 已知函数 的最⼩正周期 ，且 是函数 的⼀条对
称轴， 是函数 的⼀个对称中⼼，则函数 在 上的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意求出 的解析式，再根据x的取值范围，求出 的范围，再根据正弦函数的性质计
算可得.
【详解】函数 的最⼩正周期 ，
∴ ，解得： ，
由于 是函数 的⼀条对称轴，且 为 的⼀个对称中⼼，
∴ ，（ ），则 ，（ ），则 ，
⼜∵ ， ，由于 ，∴ ，故 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
故选：B．
⼆、多选题（本⼤题共3⼩题）
8. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第⼆象限⻆
B. 函数 的最⼩正周期是
C. 若 ，则
D. 若圆⼼⻆为 的扇形的弧⻓为 ，则该扇形的⾯积为
第5⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】ABD
【解析】
【分析】A：根据负⻆的定义和象限⻆的范围进⾏判断即可；
B：根据正弦函数的周期性，结合绝对值的性质进⾏判断即可；
C：根据同⻆的三⻆函数关系式中的商关系进⾏求解判断即可；
D：利⽤弧⻓公式、扇形⾯积公式进⾏求解判断即可.
【详解】解：对于A：根据象限⻆的范围， 为第⼆象限⻆，故A正确；
对于B：因为函数 最⼩正周期是 ，
所以函数 的最⼩正周期是 ，故B正确；
对于C：若 ，则 ，故C错误；
对于D：若圆⼼⻆为 的扇形的弧⻓为 ，则该扇形的半径为6，所以扇形的⾯积为 ，故D
正确.
故选：ABD.
9. 设样本空间 含有等可能的样本点，记事件 ，事件 ，事件 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B相互独⽴
B. 事件A与事件C相互独⽴
C. 事件A与事件B互斥
D. 事件A与事件C互斥
【答案】AD
【解析】
【分析】由互斥事件，独⽴事件 定义以及概率性质逐项判断可得.
【详解】对于A， ，因为 ，则 ，
所以 ，即事件A与事件B相互独⽴，故A正确；
对于B， ，所以 ，⽽ ，
所以 ，故B错误；
第6⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司对于C， ，所以事件A与事件B不互斥，故C错误；
对于D， ，所以事件A与事件C互斥，故D正确；
故选：AD.
10. 关于函数 ，如下结论中正确的是（ ）．
A. 函数 的周期是
B. 函数 的值域是
C. 函数 的图象关于直线 对称
D. 函数 在 上递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据周期定义判断A，结合周期性可求函数值域，判断B，利⽤对称性定义判断C，同样利⽤周期
性判断D．
【详解】A．∵ ，
∴ ，
∴ 是周期为 的周期函数，A正确，
B．当 时， ，此时 ，
，∴ ，⼜ 的周期是 ，∴ 时， 值域是 ，B错；
C．∵ ，
∴函数 的图象关于直线 对称，C正确；
D．由B知 时， ，当 时， ， 单调递增，⽽
是周期为 的周期函数，因此 在 上的图象可以看作是在 上的图象向右平移
第7⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司单位得到的，因此仍然递增．D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查与三⻆函数有关的周期性、对称性、单调性、值域，解题关键是是函数的周期性，根据
周期的定义证明周期性，然后可以在⼀个周期内研究函数的性质，再推⼴到整个定义域．
三、填空题（本⼤题共3⼩题）
11. 的值为____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先运⽤诱导公式化简，再应⽤两⻆差余弦公式计算即可.
【详解】
.
故答案为： ## .
12. 已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题设 ，结合对数函数的单调性即可得 ，再根据基本不等
式即可求得答案.
【详解】解：由对数复合函数的单调性得函数 在 上单调递增，
因为 ，
所以函数 在 上 ，在 上 ，
因为 且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
第8⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成⽴，
由于 ，所以等号不能取到，
所以 ，
所以 的取值范围是
故答案为：
13. 如图，在 中， ， ， ， 是 的中点， 是以 为圆⼼，
为半径的圆上任意⼀点，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合图形和题设条件，推出 ，以及 和 ，利
⽤向量数量积的运算律化简得出 ，根据图形，即可确定 的最⼤最⼩值，从
⽽得到 的取值范围.
【详解】因 ， ， ，则有 ，
⼜因 是 的中点， 是以 为圆⼼， 为半径的圆上任意⼀点，
则得 ，
因 ， ，
则
，
由图知，当 与 同⽅向时， 取得最⼤值1，
第9⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 与 反⽅向时， 取得最⼩值 ，
故 .
故答案为： ．
四、解答题（本⼤题共5⼩题）
14. 已知 ， ， 与 夹⻆是 .
（1）计算 ；
（2）当k为何值时， ？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据数量积的计算规则计算.
【⼩问1详解】
， ， 与 的夹⻆是 ，
则 ，
即有 ；
【⼩问2详解】
由
可得 ，即 ，
即 ，解得 .则当k为 时， ；、
综上，（1） ，（2） .
15. 某校⾼⼀年级 20名学⽣期末考试数学成绩的频率分布直⽅图如图所示，其中成绩分组区间为
.
第10⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求图中 的值：
（2）根据频率分布直⽅图，估计这200名学⽣数学成绩的平均分（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值作
代表)；
（3）若从数学成绩在 内的学⽣中⽤分层随机抽样的⽅法抽取7⼈，再从这7⼈中随机抽取2⼈
分析学习情况，求抽到数学成绩在 内各1⼈的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利⽤频率分布直⽅图频率之和为1，进⽽求解；
（2）利⽤频率分布直⽅图计算平均数即可求解；
（3）应⽤分层抽样的等⽐例性质求 中各抽取的学⽣⼈数，再利⽤组合计数及古典概
型的概率求法求概率.
【⼩问1详解】
由频率分布直⽅图得 ，
解得 ；
【⼩问2详解】
平均分约为 .
【⼩问3详解】
应从数学成绩在 内的学⽣中抽取 ⼈， 记为 .
从数学成绩在 内的学⽣中抽取 ⼈，记为 .
从 这 7⼈ 中 随 机 抽 取 2⼈ 的 样 本 空 间
第11⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司成绩在 内各1⼈ 情况有 ，
所以抽到数学成绩在 内各1⼈的概率 .
16. 化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】（1）（2）（5）（6）应⽤诱导公式、两⻆和差正弦公式化简求值；
（3）（4）应⽤⼆倍⻆正余弦公式化简求值.
【⼩问1详解】
.
【⼩问2详解】
由 ，
第12⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司∴ .
【⼩问3详解】
.
【⼩问4详解】
.
【⼩问5详解】
.
【⼩问6详解】
.
17. 某同学⽤“五点法”画函数 在某⼀个周期内的图象时，列表并填
⼊了部分数据，如下表：
0
0 3 0 0
（1）求出实数 和函数 的解析式；
（2）将 图象上的所有点向右平移 个单位⻓度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来
的 （纵坐标不变），得到 的图象.已知 图象的⼀个对称中⼼为 ，求 的最⼩值；
（3）在（2）的条件下，当 取最⼩值时，若对 ，关于 的⽅程 恰有两个实数根，
求实数 的取值范围.
第13⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】（1） ， ；
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据表中数据可知 ，根据 ，可解得 的值，从⽽得出解析式；
（2）根据伸缩平移变换可得 的解析式，结合 为对称中⼼，从⽽求得 的最⼩值；
（3）在（2）的条件下结合 ，利⽤三⻆函数的性质，数形结合即可得解.
【⼩问1详解】
由题意得 ，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，所以 ，
故 ， .
【⼩问2详解】
的图象向右平移 个单位，得到
的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），
可得 的图象，
因为 图象的⼀个对称中⼼为 ，
则 ，得 ，
第14⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 ，所以当 时，此时 取得最⼩值为 .
【⼩问3详解】
当 取最⼩值 时， ，
当 时， ，
此时 ，如图：
恰有两个实数根，
结合图象可知 ，即 ，
.
18. 定义⾮零向量 的“ 相伴函数” 为 ， ，向量 称
为函数 的“ 相伴向量” （其中点 为坐标原点）．
（1）设函数 ，求函数 的“ 相伴向量” 的坐标；
（2）记 的“ 相伴函数” 为 ，设函数 ， ，若⽅
程 有四个不同实数根，求实数k的取值范围；
（3）已知点 ， 满⾜条件： ，且向量 的“ 相伴函数” 在 时取
得最⼤值，当点M运动时，求 的取值范围．
第15⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意，将 可化为 进⽽根据题意得
答案；
（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利⽤交点个数求得k的范围
（3）由 可求得 时， 取得最⼤值，其中
，换元求得 的范围，再利⽤⼆倍⻆的正切可求得 的范围．
【⼩问1详解】
解：
，
所以函数 的相伴向量 ．
【⼩问2详解】
解：由题知： ，
所以 ．
①当 时， ；
②当 时， ．
第16⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，
可求得 在 单调递增， 单调递减， 单调递增，
单调递减且 ，
∵ 图像与 有且仅有四个不同的交点，
所以实数k的取值范围为
【⼩问3详解】
解： 的“ 相伴函数” ，其中 ，
， ．
当 ， 即 ， 时 取得最⼤值．
所以 ，
当 时 ，此时 ， ， ，所以 ⽆意义，
当 时，所以 ，
第17⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司令 ，则 ， ，
因为 在 上单调递增，
所以 时 ，
所以 ．
第18⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
