第四章三角形压轴题（8个类型72题）-常考压轴题2023-2024学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版）（解析版）_1、初中学习资料_24秋试卷_初中数学《常考压轴题攻略》

第四章 三角形压轴题 内容导航 一、全等三角形判定方法的应用 类型一、 用 SSS 证明三角形全等 类型 二 、 用 S A S 证明三角形全等 类型 三 、 用 ASA 和 AA S 证明三角形全等 二、几何模型 类型一、倍长中线模型 类型二、一线三垂直模型 类型三、旋转模型 类型四、三条线段数量关系的证明 三、与作图有关的几何问题 四、全等三角形的综合问题 一、全等三角形判定方法的应用 类型一、用SSS证明三角形全等 1．如图，已知 ， ，那么判定 的依据是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据SAS，证明三角形全等即可． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴BCADAC， 在 ABC和 CDA中， ADBC  BCADAC ，  AC  AC ABC≌ CDASAS   ∴ ； 故选C． 2．如图， ABC中，AB=BC=5，AC=8，将 ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到 DEC，连接BD，则BD 的长度为 △ . △ △ 4 33 【答案】 【详解】 连接AD，延长DB交AC于点F. ∵AC＝CD, ∠ACD＝60°, 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴△ACD是等边三角形， ∴AD＝CD. 在△ADF和△CDF中 ∵AD=CD, AB=BC, BD=BD, ∴△ADF≌△CDF, ∴∠ADF＝∠CDF, ∴DF⊥AC, 1 CF  AC 4 . 2 DF  sinACD , CD 3 DF  84 3 2 . BF  BC2CF2  5242 3 由勾股定理得 . BDDFBF 4 33 . 3．农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE中, ∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20 m,求这块试验田的面积. 【答案】400m2. 【详解】试题分析：可延长DE至F，使EF=BC，可得 ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，可将五边形 ABCDE的面积转化为两个 ADF的面积，进而求出结论△． 试题解析：如图,延长DE至△点F,使EF=BC,连接AC,AD,AF.易得CD=FD. AB AE,  ABC AEF, 因为   BC EF, 所以 ABC≌△AEF(SAS). 所以△AC=AF. AC AF,  CDFD, 在 ACD与 AFD中,因为  AD AD, △ △ 所以 ACD≌△AFD(SSS). 所以△五边形ABCDE的面积是 1 1 2S =2× ·DF·AE=2× ×20×20=400(m2). ADF 2 2 △ 4．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与 △ADB有怎样的关系？ （1）请你帮他们解答，并说明理由． （2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为 什么吗？（如图2） （3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他 画出图形，并证明结论． 【答案】（1）ACBADB，理由见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS证得ACBADB； 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(ACBADB) CAEDAE （2）由（1）中的全等三角形 的对应角相等证得 ，则由全等三角形的判定定 理SAS证得CAEDAE，则对应边CEDE； （3）同（2），利用全等三角形的对应边相等证得结论． 【详解】解：（1）ACBADB，理由如下： 如图1， 在ACB与ADB中，  AC  AD  BCBD ，  AB AB ACBADB(SSS)； （2）如图2， 由（1）知，ACBADB，则CAEDAE．  在CAE与DAE中， AC  AD  CAEDAE ，  AE AE CAEDAE(SAS)， CEDE； （3）如图3，PC PD． APCAPD(SAS) PC PD 理由同（2）， ，则 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和 公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 5．【问题背景】如图1，在四边形 中， ， 分别是 上的点，且 ，试探究图中线段 之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ， 再证明 ，可得出结论______； 【探索延伸】如图2，在四边形 中， 分别是 上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中 心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海 里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到 甲、乙两舰艇分别到达 处，且两舰艇之间的夹角 为 ，试求此时两舰艇之间的距离． 【灵活变通】如图4，已知在四边形 中， ，若点 在 的延长线上， 点 在 的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出 与 的数量关系． 图1 图2 图3 图4 【答案】【初步探索】EF BEFD； 【探索延伸】仍成立，理由见析； 【结论运用】210海里； 1 【灵活变通】EAF 180 DAB，理由见解答过程． 2 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决 问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角 的补角相等． 〖初步探索〗延长FD到G，使DGBE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明 AEF≌ AGF ，则   可得到结论； 〖探索延伸〗延长FD到G，使DGBE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证明 AEF≌ AGF ，则结   论可求； 〖结论运用〗连接EF，延长AE、BF交于点C，利用已知条件得到：四边形OABC中：OAOB， 1 且EOF  AOB，符合“探索延伸”具备的条件，则 ． OACOBC180 2 EF  AEBF 〖灵活变通〗在DC延长线上取一点G，使得DGBE，连接AG，先判定 ADG≌  ABE，再判定 AEF≌ AGF FAEFAG FAEFAGGAE360 2FAEDAB360   6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ AEF≌  AGF ，得出FAEFAG，最后根据FAEFAGGAE360，推导得到2FAEDAB360， 即可得出结论． 【详解】解：〖初步探索〗如图1，延长FD到点G，使DGBE，连接AG， 在 ABE和△ADG中，  AB AD  BADG90 ，  BEDG  ABE≌ ADG(SAS)   ， BAEDAG，AE AG， ∵BAEEAF FADBAD120， ∴DAGEAFFAD120，即EAF FAG120， ∵EAF 60， ∴FAGEAF 60， 在△AEF 和 AGF中， AE AG  EAF FAG ，  AF  AF  AEF≌ AGF(SAS)   ， EF FG，  GF GDDF DFBE， EF BEDF； 〖探索延伸〗仍成立，理由如下： 如图2，延长FD到点G，使DGBE，连接AG， BADC180，ADCADG180， BADG， 在 ABE和△ADG中，  AB AD  BADG90 ，  BEDG  ABE≌ ADG(SAS)   ， AEAG，BAEDAG，  BADBAEEAD，EAGEADDAG， BADEAG． 1  EAF  BAD， 2 1 EAF  EAG ， 2 EAF GAF． 在△AEF 和 AGF中， AE AG  EAF GAF ，  AF  AF  AEF≌ AGF(SAS)   ， EF FG，  GF GDDF DFBE， EF BEDF； 〖结论运用〗连接MN，延长AM 、BN 交于点C，如图3， 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ AOB3090(9070)140，MON 70， 1 MON  AOB， 2 OAOB，OACOBC(9030)(7050)180，  1 在四边形 中： ， 且MON  AOB， OABC OAOB OACOBC180 2 四边形OABC符合探索延伸中的条件， 结论MN  AM BN成立， 即MN AM BN 1.5601.580210（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 1 〖灵活变通〗结论：EAF 180 DAB． 2 理由：如图4，在DC延长线上取一点G，使得DGBE，连接AG，  ABCADC 180，ABCABE180， ADC ABE，即ABEADG 在 ABE和△ADG中，  AB AD  ABE ADG ，  BEDG ABE≌ ADG(SAS)   ， AG AE，DAGBAE， ∵点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论， 即EF BEDF， ∴EF  DGDF GF 在△AEF 和 AGF中， AE AG  AF  AF ，  EF GF △AEF≌△AGF(SSS) ， FAEFAG，  FAEFAGGAE360， 2FAE(GABBAE)360， 2FAE(GABDAG)360， 即2FAEDAB360， 1 EAF 180 DAB ． 2 类型二、用SAS证明三角形全等 6．如图，已知 ， ， 为平面内一动点， ， 为 上一点， ， 上两点 ， ， ．下面能表示 最小值的线段是（ ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】连接DG，根据BE 2DE， BF FGGA， AB AC， BD AC，证明 BEBG，结合 ABE≌ DBGSAS ABEDBG   AEDG DGCDCG AECG ，证明 ，得到 ，根据 ，得到 的最小 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！值为CG的长． 本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是 解决问题的关键． 【详解】如图，连接DG， ∵BE 2DE， 2 ∴BE BD， 3 ∵BF FGGA， 2 BG AB ∴ ， 3 ∵AB AC， BD AC， ∴ABBD， ∴BEBG， ∵ABEDBG， ABE≌ DBGSAS   ∴ ， ∴AEDG， ∵DGCDCG， ∴AECGCG， ∴AECG的最小值为CG的长． 故选：B． 7．如图，在 中， ， 点C，D，E三点在同一条直线上， 连接BD，BE．以下结论，① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ．其中结论正确的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角 形的判定与性质是解本题的关键． 由条件证明△ABD≌△ACE可判定①⑤；由△ABD≌△ACE得ABDACE，由等腰直角三角形的性质 得到ABDDBC 45，进而得到ACEDBC 45即可判定②；由△ABD≌△ACE就可以得出 ABDACE，就可以得出BDC=90可判断②；先说明由条件知ABC=ABD+DBC 45，再结合 DBCACE 90即可判定③；利用周角减去两个直角可判定④． 【详解】解：∵BACDAE90， ∴BACCADDAECAD，即：BADCAE， BAD VCAE AD AE,BAC DAE90,AB AC  在 和 中， , BAD≌ CAESAS   ∴ ， BDCE S S ∴ ， ABD ACE,即①⑤正确； ∵ ABC为等腰直角三角形， ∴ABC ACB45， ∴ABDDBC 45， BAD≌ CAESAS   ∵ ， ∴ABDACE， ∴ACEDBC 45，即②正确； ③∵ABDDBC 45， ∴ACEDBC 45， ∴DBCDCBDBCACEACB90， ∴BDC=90，即BDCE，则③正确； 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵BACDAE90， ∴BAEDAC 3609090180，即④正确； 故选D． 8．如图， 分别是四边形 的边 上的点， ，连接 交 于 点，交 于 点，以下结论正 确的有（ ） ① 的周长为4；② ；③ ；④ A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先说明四边形ABCD是正方形，再将 CDG绕点C逆时针旋转90得到△CBE，在BC上取一点 F，使CF CM ，根据旋转的性质及SAS证明 CGH ≌△CEH ，然后根据全等三角形的性质判断①②； 再证明 CMN≌ CFN，可得CM CF ，MCD BCF，BCCD，然后说明△ CMD≌ CFB，得出 DM BF，CBF=CDM，可知 BFN是直角三角形，进而说明③；最后根据全等三角形的面积相等判断 ④即可． 【详解】∵ADC BCDABC 90，BC DC=2， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB BC CD DA=2． 将 CDG绕点C逆时针旋转90得到△CBE，在BC上取一点F，使CF CM ． 根据旋转的性质可知CE CG，BCEDCG，DGBE． ∵BCD90，GCH 45， ∴DCG BCH 45， ∴BCE BCH 45，即ECH 45  GCH． ∵CH CH ，CGCE ， ∴ CGH ≌△CEH ， GH EH S  S S  S S  S ∴ ， CEH BCH BCE BCH CDG HCG ∴ AGH 的周长 AG AHGH AG AH BH BE  AG AH BH DG AB AD 4． 所以①②正确； ∵CM CF ，MCN NCF，CN CN ， ∴ CMN≌ CFN， ∴MN FN． ∵CM CF ，MCD BCF，BCCD， ∴△ CMD≌ CFB， ∴DM BF，CBF=CDM． ∵ADB BDC=90，AD∥BC， ∴ADBCBD， ∴CBD+CBF=90， ∴DBF=90． 在Rt△BFN 中，BN2  BF2  FN2， 即BN2DM2 MN2． 所以③正确； ∵△ CMD≌ CFB， CMN≌ CFN， S S  S S  S ∴ BCN CDM BCN BCF 四边形BFCN， S S  S ∴ BCN CDM CMN． 所以④不正确． 正确的有①②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质等，构造全等 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！三角形是解题的关键． 9．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 (1)如图1， 是 的中线，延长 至点E，使 ，连接 ，写出图中全等的两个三角形： __________； 【理解与运用】 (2)如图2， 是 的中线，若 ， ，设 ，求 的取值范围； (3)如图3， 是 的中线， ，点Q在 的延长线上， ，求证： ． 【答案】(1)△ADC≌△EDB (2)1x4 (3)证明见解析 【分析】（1）△ADC≌△EDB，根据全等三角形的判定SAS即可得到． EP PQPE △ PDE △PFQ DEFQ （2）根据（1）中的辅助线作法，延长 至点Q，使 ，再证明 ≌ ，得到 ， △FQE 再在 中，利用三边关系进行计算即可． （3）根据（1）中辅助线作法，延长AD至点M，使MD AD，证明 BMD≌ CAD，得到BM CA， DBM DCA，再证明 ACQ≌△MBA，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）  AD是 ABC的中线， BDDC, 在△ADC和△EDB中， DC BD  ADC EDB ，   ADED △ADC △EDB SAS ≌ ． EP PQPE FQ （2）如图2，延长 至点Q，使 ，连接 ，  EP是 DEF 的中线， PDPF △PFQ △ PDE 在 和 中，  PDPF  DPEFPQ ，   PEPQ   PDE ≌ △PFQ SAS , DEFQ3 PEPQx ， ， △FQE 在 中， EFFQQEEFFQ 即532x53， ∴1x4． （3）如图3，延长AD至点M，使MD AD，连接BM ， 16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴AM 2AD， ∵AD是 ABC的中线， ∴BDCD， 在 BMD和 CAD中， MD AD  BDM CDA ，  BDCD SAS ∴ BMD≌ CAD ， ∴BM CA，DBM DCA， ∵BAC ACB，ACQBACABC，MBADBM ABC， ACQMBA ∴ ， 在 ACQ和△MBA中，  CABM  ACQMBA ，   QC  AB ∴ ACQ ≌ △MBA SAS ， AQ AM 2AD ∴ . 【点睛】本题考查三角形全等的证明，三角形全等的证明方法以及倍长中线的辅助线作法是本题关键，准 确的作出辅助线是本题难点． 10．（问题情境）（1）如图1，在四边形 中， ， ， ．点E，F 分别是 和 上的点，且 ，试探究线段 ， ， 之间的关系．小明同学探究此问题 的方法是：延长 到G，使 ，连接 ．先证明 ，再证明 ，进而得出 ．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）． （探索延伸）（2）如图2，在四边形 中， ， ， ， ，点E， F分别是 和 上的点，且 ，上题中的结论依然成立吗？请说明理由． （思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形 中，若 ， ， ，那么 ．你认为正确吗？请说明理由． 【答案】（1）正确；（2）成立，理由见解析；（3）正确，理由见解析． 【分析】（1）延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明△ADG≌△ABE，可得AE AG，再证 明△AEF≌△AGF ，可得EF GF，进而得出EF BEDF，即可解题； （2）证明方法同（1）：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明△ADG≌△ABE，可得 AE AG，再证明△AEF≌△AGF ，可得EF GF，进而得出EF BEDF即可解题； （3）证明方法同（2）：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明△ADG≌△ABE，可得 AE AG，再证明△AEF≌△AGF ，可得EF GF，进而得出EF BEDF即可解题． 【详解】（1）解：如图1，延长FD到点G，使DGBE，连接AG， ∵BADF 90， ∴ADGADF B90， 在 ABE和△ADG中，  18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！DGBE  BADG ，  AB AD △ABE≌△ADGSAS ∴ ， ∴AE AG，BAEDAG， ∵BAD120，EAF 60， ∴BAD2EAF， ∴GAF DAGDAF BAEDAF BADEAF EAF ， 在△AEF 和 AGF中， AE AG  EAF GAF ，  AF  AF △AEF≌AGFSAS ∴ ， ∴EF GF， ∵GF DGDF BEDF ， ∴EF BEDF， 故答案为：正确； （2）解：上题中的结论依然成立； 如图2，延长FD到点G，使DGBE，连接AG， ∵ADF 110，B70， ∴ADG18011070B， 在 ABE和△ADG中， DGBE  BADG ，  AB AD △ABE≌△ADGSAS ∴ ， ∴AE AG，BAEDAG， ∵BAD100，EAF 50， ∴BAD2EAF， ∴GAF DAGDAF BAEDAF BADEAF EAF ， 在△AEF 和 AGF中， AE AG  EAF GAF ，  AF  AF △AEF≌AGFSAS ∴ ， ∴EF GF， ∵GF DGDF BEDF ， ∴EF BEDF； （3）解：正确， 如图3，延长FD到点G，使DGBE，连接AG， ∵BADF 180，ADGADF 180， ∴ADGB， 在 ABE和△ADG中，  DGBE  BADG ，  AB AD 20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！△ABE≌△ADGSAS ∴ ， ∴AE AG，BAEDAG， 1 ∵EAF  BAD 2 ∴BAD2EAF， ∴GAF DAGDAF BAEDAF BADEAF EAF ， 在△AEF 和 AGF中， AE AG  EAF GAF ，  AF  AF △AEF≌AGFSAS ∴ ， ∴EF GF， ∵GF DGDF BEDF ， ∴EF BEDF． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确做辅助线构造全等三角形是解题关键． 11．如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD． （1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE． ①依题意补全图1； ②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系； （3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间 的数量关系，并证明． DA2DC2 DB2 FA2FC2 FB2 【答案】（1）①图形见解析②AE=BD（2）判断： （3）判断 ，证明 见解析【详解】试题分析：（1）①根据题意画图即可； ②连接AC，证明△BCD≌△ACE即可； （2）连接DE，可证三角形ADE为直角三角形，由勾股定理即可得出结论； （3）将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF、EA，证明△BCD≌△ACE和直角三角形 AEF，结合勾股定理即可证明. 试题解析：（1）①补全图形,如图1 ②判断: AE=BD 证明：如图2，连接AC，∵BA=BC，且∠ABC=60° ∴△ABC是等边三角形 ∴∠ACB=60°，且CA=CB∵将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE ∴CD=CE，且∠DCE=60° ∴∠BCD=∠ACE ∴△BCD≌△ACE（SAS） ∴AE=BD DA2DC2 DB2 （2）判断： FA2FC2 FB2 （3）判断： 证明：如图3,连接AC，∵BA=BC，且∠ABC=60° ∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，且CA=CB 将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF、EA ∴CE=CF，且∠FCE=60°，∴△CEF是等边三角形 ∴∠CFE=60°，且FE=FC，∴∠BCF=∠ACE 22 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴△BCF≌△ACE（SAS），∴AE=BF ∵∠AFC=150°, ∠CFE=60°，∴∠AFE=90° 在Rt△AEF中， 有：FA2FE2  AE2 FA2FC2 FB2 ∴ . 12．如图，在 ABC中，AB AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接AE，BD交于点F， BAC BFE2AEB． (1)说明：EAC ABD； (2)若BD平分ABC，BE15，AF 6，求 BEF 的面积； (3)判断EF，BF，AF 之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)45 (3)2AF BFEF ，理由见解析 【分析】（1）根据BAEEAC BAC，BAEABDBDC，BAC BFE，即可证明结论； （2）过点F作FGBC于点G，求出ABEAEB90，得出BAE1809090，证明 FA AB，根据角平分线的性质得出FG AF 6，根据三角形面积公式求出 1 1 S  BEFG 15645； BEF 2 2 ABH≌ CAESAS BD BH  AE AH   AHBAEC （3）在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出 ， C BAH HAF AHF AF FH BFBH BFAEBFAFEFC BAH ，证明HAF AHF ，得出AF FH BFBH BFAEBFAFEF ，即可证明结 论． 【详解】（1）证明：∵BAEEAC BAC，BAEABDBDC， 又∵BAC BFE， ∴BAEEAC BAEABD， ∴EAC ABD； （2）解：过点F作FGBC于点G，如图所示： ∵AB AC， ∴ABEC， ∴BAC 1802ABE， 1 ∴AEB BAC 90ABE， 2 ∴ABEAEB90， ∴BAE18090＝90， ∴FA AB， ∵BD平分ABC，FGBC， ∴FG AF 6， 1 1 ∴S  BEFG 15645； BEF 2 2 （3）解：2AF BFEF ；理由如下： 在BD上截取BH  AE，连接AH ，如图所示： 在  ABH 和 CAE中， 24 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ AB AC  ABH CAE ，   BH  AE ABH≌ CAESAS   ∴ ， ∴AHBAEC，C BAH ， 1 1 ∴AHF AEB BAC 1802C90C ， 2 2 根据解析（2）可知，BAE＝90， ∴HAF 90BAH 90C， ∴HAF AHF ， ∴AF FH BFBH BFAEBFAFEF ， ∴2AF BFEF ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解 题的关键． 13．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①， 在 ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M ，使DM  AD，连接BM ． 【探究发现】 （1）如图①，AC与BM 的数量关系是 ，位置关系是 ； 【初步应用】 （2）如图②，在 ABC中，若AB10，AC 6，求BC边上的中线AD的取值范围； 【探究提升】 （3）如图③，AD是 ABC的中线，过点A分别向外作AE AB、AF  AC，使得AEAB，AF  AC， 延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】（1）AC BM ，AC∥BM ，（2）2 AD8；（3）EF 2AD，EFAD，理由见解析 △ADC≌△MDB(SAS) AC BM CADM 【分析】（1）证 ，得 ， ，再由平行线的判定即可得出 AC∥BMAC∥BM ； AD M DM  AD BM  MDB≌  ADC(SAS) BM  AC 6 （2）延长 到 ，使 ，连接 ，由（1）可知， ，得 ，再 由三角形的三边关系即可得出结论； AD M DM  AD BM △BDM≌△CDA(SAS) BM  AC （3）延长 到 ，使得 ，连接 ，由（1）可知， ，得 ，再  ABM ≌  EAF(SAS) AM EF BAM E EF 2AD 证 ，得 ， ，则 ，然后由三角形的外角性质证出 APEBAE90，即可得出结论． 【详解】解：（1）  AD是 ABC的中线， BDCD， 在△ADC和△MDB中， CDBD  CDABDM ，  ADMD △ADC≌△MDB(SAS) ， ACBM ，CADM ， AC∥BM ， （2）如图2，延长AD到M ，使DM  AD，连接BM ， MDB≌ADC(SAS)   由（1）可知， ， BM AC6， 在 ABM 中，ABBM  AM  ABBM ，  106 AM 106， 即42AD16， 26 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 AD8， 即BC边上的中线AD的取值范围为2 AD8； （3）EF 2AD，EFAD，理由如下： 如图3，延长AD到M ，使得DM  AD，连接BM ， △BDM≌△CDA(SAS) 由（1）可知， ， BM  AC，  AC  AF， BM  AF ， 由（2）可知，AC∥BM ， BACABM 180， AEAB、AF  AC，  BAEFAC90， BACEAF 180， ABM EAF， 在 ABM 和△EAF 中， ABEA  ABM EAF ，  BM  AF △ABM≌△EAF(SAS) ， AM EF ，BAM E，  ADDM ， AM 2AD， EF 2AD，  EAM BAM BAEEAPE，APEBAE90， EF  AD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行 线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 14．在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上点B在 y 轴的负半轴上，ABC 90，ABBC． (1)如图①，若点A的坐标为 5,0 ，点B的坐标为 0,2 ，点 C 在第一象限，点 C 的坐标______； 1 (2)在（1）的条件下，若 轴于点 ，点 在 轴上，BD AO，连接 并延长，交 于点 ， BF  y B D y 2 CD BF E 求BE的长； n,0 Hm,n (3)如图②，若点A的坐标为 ，点H 在 AC 的延长线上，过点 （ m0 ， n0 ）作 HGx 轴 于点G，连接BH ，写出线段BH ，AG，BO之间的数量关系，并证明． 2,3 【答案】(1) (2)2 (3)AGHBBO，证明见解析 C CG y G  AOB≌  BGCAAS CGOB BGOA A 【分析】（1）过点 作 轴于点 ，证明 ，得到 ， ，再根据 、 B两点的坐标，得出OBCG2，OGBGOB3，即可得到点C的坐标； BG5 DGBD  BDE≌  GDCAAS BE （2）由（1）可知 ，从而得到 ，再证明 ，即可求出 的长； OG M MGBO HM AB N  AOB≌  HGMSAS （3）在 上取一点 ，使得 ，连接 并延长交 延长线于点 ，证明 ， 得到ABHM ，ABOHMG，再利用直角和三角形内角和定理，得到AHN CAB，证明  ABH≌  HMASAS HBAM BH AG BO ，得到 ，即可得到线段 ， ， 之间的数量关系， 28 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！C CG y G 【详解】（1）解：如图①，过点 作 轴于点 ， BGCAOB90， OABABO90，  ABC 90， ABOCBG90， OABCBG， 在 AOB和 BGC中， OABCBG  AOBBGC ，  ABBC  AOB≌ BGCAAS   ， CGOB，BGOA， A5,0 B0,2  ， ， OABG5，OBCG2， OGBGOB523， C2,3 ， 2,3 故答案为； ； 1 （2）解：BD AO， ， 2 AO5 5 BD ， 2由（1）可知，BG5， 5 5 DGBGBD5  BD ， 2 2 在△BDE和 GDC中， DBEDGC 90  BDEGDC ，  BDDG  BDE≌ GDCAAS   ， BECG2； （3）解：AGHBBO，证明如下： 如图②，在OG上取一点M ，使得MGBO，连接HM 并延长交AB延长线于点N ， An,0 Hm,n  HGx ， ， 轴， OAn，HGn， OAHG， 在 AOB和 HGM 中， AOHG  AOBHGM 90 ，  BOMG  AOB≌ HGMSAS   ， ABHM ，ABOHMG，  HMGAMN， ABOAMN， QOABABO90， OABAMN 90， ANM 90，  ABBC，ABC 90， CAB45， AHN 180CABANM 45， AHN CAB， 在 ABH 和 HMA中， 30 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ABHM  HABAHM ，  AH HA  ABH≌ HMASAS   ， HBAM ， AGAM MGHBBO． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的特征，作辅助线构造全 等三角形是解题关键．  ABC BC 5,AD BC BE AC AD、BE O 15．如图，在 中， 是 边上的高， 是 边上的高， 相交于点 ，且 AEBE． (1)求证：△AOE≌△BCE． P O OA A Q B BC (2)动点 从点 出发，沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，动点 从点 出发沿射线 P、Q P、Q P A 以每秒4个单位长度的速度运动， 两点同时出发，当点 到达 点时， 两点同时停止运动．设 点P的运动时间为t秒5 ①点 是线段 上的一点（不与 点重合），当 t5时， __________（用含 的代数式表示）； F AC C 4 CQ t BOP FCQ  设 ，则 __________（用含 的代数式表示） F AC CF BO t B、O、P F、C、Q ②点 是直线 上的一点且 ．是否存在 值，使以点 为顶点的三角形与以点 为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 5 (2)① 4t5 ；  ；②t  3 或 t 1 时，使以点 B 、 O 、 P 为顶点的三角形与以点 F 、 C 、 Q 为顶点的三角形 全等 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差； （1）由OAEAOE90，OBDBOD90，BODAOE，可得CBEOAE，通过ASA即 可证明△AOE≌△BCE； CQBCBQ54t BOPQCF （2）①根据题列出代数式即可得出 ，根据等角的余角相等即可证明 ； OPCQ OPCQ ②分两种情形：如图2，当 时；如图3，当 时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，  BEC AEOODB90，  OAEAOE90，OBDBOD90，BODAOE， CBEOAE， 在△AOE和 BCE中， CBEOAE  AEBE ，  BEC AEO  AOE≌ BCEASA   ； CQBCBQ4t5 （2）①解：依题意， ， ∵ AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，  BEC ODB90 32 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ EODODCOECECD360， DOEDCE180，  DCEQCF 180， QCF DOE，  DOEBOP， BOPQCF ， 故答案为：4t5；． ②解：存在， OPCQ 如图2，当 时， 在△BOP和 FCQ中， BOFC  BOPFCQ ，  OPCQ  BOP≌ FCQSAS   ，  CQ54t，OPt， 54tt， t1； OPCQ 如图3，当 时，在△BOP和 FCQ中， BOFC  BOPFCQ ，  OPCQ  BOP≌ FCQSAS   ，  CQ4t5，OPt， 4t5t， 5 t  ， 3 5 综上所述：t  或 时，使以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶点的三角形全等． 3 t 1 B O P F C Q 类型三、用ASA和AAS证明三角形全等 16．如图，在四边形ABDC中，AD平分BAC，ADDC，ACAB2，BC8，则 BDC面积的最 大值为（ ） A．6 B．8 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长CD与AB交于点G，作GH CB 交 CB 延长线于点H ，可证明  ADG≌  ADCASA ，得到 BG2 ，求面积最大值转化成求线段 GH 的最大 值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 34 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】分别延长CD与 AB交于点G， 作GH CB交 CB延长线于点 H ， ∵AD平分BAC，ADDC ， ∴GADCAD，ADG ADC90， 又∵AD AD， ADG≌ ADCASA   ∴ ， ∴AC  AG，CDGD， ∵ACAB2， ∴BG2， 1 1 1 ∴S  S   BC·GH 2GH ， BDC 2 BCG 2 2 ∵GH BC， ∴当点B、H 重合时，GH 最大，最大值为2， S 2GH 4 ∴ BDC ， 故选：D． Rt  ACB C 90,AC BC,D AC AD2CD BD B 17．如图，在 中， 为 边上的点，且 ，连接 ，过 作 EBBD，并截取EBDB，连接AE交CB于F ，则下列结论：①CBECDB；②F 为AE的中点； ③FEBFACCBD；④BF 3CF ；其中正确的结论共有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由余角的性质可得CBEBDC，故①正确；由“AAS”可证VBCD≌VEHB，可得BCHE，由“AAS”可证VACF≌VEHF，可得AF EF ，故②正确；由角的数量关系可得FEBCAFCBD， 故③正确；由全等三角形的性质可得CF FH BH ，可得BF 2CF ，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵DBBE， DBE90DCB, BDCDBC 90DBCCBE, CBEBDC,故①正确； 如图，过点E作EH BC于H ， QCBE BDC,BCDBHE,BDBE,  BCD≌ EHBAAS,   BC HE,BEH CBD,CDBH, BC  AC HE, 又QACBEHF 90,AFC EFH,  ACF≌ EHFAAS,   AF EF,CF FH,CAF FEH, 点F是AE的中点，故②正确； QFEBFEH BEH, FEBCAFCBD,故③正确； QAC BC,CDBH, ADCH, QAD2CD, CH 2CD2BH, QCF FH, CF FH BH, BF 2CF,故④错误； 故正确的有①②③三个， 36 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助 线构造全等三角形是解题的关键． 18．如图1，在 ABC中，CM 是AB的中线，延长AB点N ，使BCN BCM ，CN 2CM ． (1)求证：AC BN； (2)如图2，NP平分ANC交CM 于点P，交BC于点O，若AMC120，试探究CP、CA、CN的数量 关系，并说明理由． 【答案】(1)证明解析； (2)CPAC CN ，理由见解析． ACM≌ BDMSAS 1 CM D CM DM   【分析】( )延长 至点 ，使 ，可证 ，由全等三角形的性质从而得出 DCB≌ NCBSAS AC BD   BN BD ，根据题目已知，可证 ，由全等三角形的性质从而得出 ，等量代换 即可得出答案； CPO≌ CQOSAS 2 COCP   ( )如图所示，作 ，可证 ，由全等三角形的性质对应角相等角从而得出 123 45  NOB≌  NOQAAS BN NQ ，进而得出 ，故可证 ，得到 ，等量转化即可求得 CPAC CN ； 本题考查了全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）如图1所示，延长CM 至点D，使CM DM ，在△ACM 与BDM 中， CM DM  AMCBMD ，  AM BM ACM≌ BDMSAS   ∴ ， ∴AC BD， ∵CN 2CM ， ∴CDCN， 在△DCB与△NCB中， CDCN  DCBNCB ，  CBCB DCB≌ NCBSAS   ∴ ， ∴BN BD， ∴AC BN； （2）∵AMC120， ∴CMN 60， ∵NP平分MNC，BCN BCM ， 1 1 PNCBCN  MNCMCN AMC 60， 2 2 ∴CON 120，COP60， ∴CMNBOP180， 38 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！CQCP 作 ，如图， 在△CPO与 CQO中， CQCP  QCOPCO ，  COCO CPO≌ CQOSAS   ∴ ， ∴12， ∵360BNO，160MNP， ∴123， ∴45， 在  NOB与 NOQ中， 45  BNOQNO ，  NONO NOB≌ NOQAAS   ∴ ， ∴BN NQ， ∴CN CPNB， ∵AC BN， ∴CPAC CN ． 19．（1）如图1，BD90，E是BD的中点，AE平分BAC，求证：CE平分ACD．AM  CN BAC ACD BD AM AM、CN （2）如图2， ， 和 的平分线并于点E，过点E作 ，分别交 于 B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明． AM  CN BAC ACD AM BD （3）如图3， ， 和 的平分线交于点E，过点E作不垂直于 的线段 ，分别 交AM、CN 于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明； 若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）AC  ABCD；（3）成立，理由见解析 【分析】（1）过E作EF  AC于F，根据角平分线的性质可得EF BE，从而求出EF DE，然后根据 角平分线的判定证明即可； （2）过E作EF  AC于F，根据平行线的性质得到BDCD，由角平分线的性质得到BEEF ，证得 Rt  AEF≌Rt  ABE，根据全等三角形的性质得到AF  AB，同理CF CD，等量代换得到结论； （3）成立，在AC上截取AF  AB，根据角平分线定义得到BAEFAE，推出 ABE≌  AFE，根据 角平分线的性质得到ABECDE180，求得CFE CDE，证得 CEF≌  CDE，根据全等三角形 的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过E作EF  AC于F， ∵B90，AE平分BAC， ∴EF BE， ∵E是BD的中点， ∴BEDE， ∴EF DE， ∵D90， ∴CE平分ACD； 40 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）如图2，过E作EF  AC于F， ∵AM  CN，BD AM ， ∴BDCD， ∵AE平分BAC， ∴BEEF ， 在Rt  AEF与Rt  ABE中， BEEF  AE AE， ∴Rt  AEF≌Rt  ABE， ∴AF  AB， 同理CF CD， ∵AC  AFCF ， ∴AC  ABCD； （3）成立，如图3，在AC上截取AF  AB， ∵AE平分BAC， ∴BAEFAE， 在 ABE与 AFE中，    AB AF  BAEFAE ，   AE AE ∴ ABE≌ AFE，   ∴AFEABE， ∵AM  CN，∴ABECDE180， ∵AFEEFC 180， ∴CFE CDE， ∵CE平分ACD， ∴FCEDCE， 在 CEF 与 CDE中， CFE CDE  FCE DCE ，   CECE ∴ CEF≌  CDE， ∴CF CD， ∵AC  AFCF ， ∴AC  ABCD． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的 作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． 42 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求证：BAM BCA； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以 每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． 5 ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且S  S ，求此时t的值； △ABP 2 △BQC ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB 与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)见解析 25 5 5 (2)① t  ；②存在，t  或t  17 4 2 【分析】（1）①先证Rt BDA≌Rt BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝ ∠BAC，等量代换即可证△明BAM △BCA； 5 （2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S ABP＝ S BQC，推 2 △ △ 5 AP CQ 出 ，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC 2 上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角 形全等得出AP与CQ的关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵BD⊥AC， ∴BDABDC 90， 在Rt BDA和Rt BDC中， △ △BDBD，   ABCB ∴Rt BDA≌Rt BDC（HL）， ∴∠B△AC＝∠B△CA． ∵AB平分∠MAN， ∴∠BAM＝∠BAC， ∴∠BAM＝∠BCA． （2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M． ∵BH⊥AM，BD⊥AC， ∴∠AHB＝∠ADB＝90°， 在 AHB和 ADB中， △ △ AHBADB，  BAH BAD，   AB AB， ∴△AHB≌△ADB（AAS）， ∴BH＝BD， 5 ∵S ABP＝ S BQC， 2 △ △ 1 5 1 AP BH   CQ BD ∴   ， 2 2 2 5 AP CQ ∴ ， 2 5 t (53t) ∴ ， 2 44 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 ∴t  ． 17 ②存在，理由如下： 当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示， ∵AB＝BC， 又由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴当AP＝CQ时， APB≌△CQB， ∴t53t， △ 5 ∴t  ； 4 当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示， 由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴∠BAP＝∠BCQ， 又∵AB＝BC， ∴当AP＝CQ时， APB≌△CQB， △∴t3t5， 5 ∴t  ． 2 5 5 综上所述，当t  或t  时， APB和 CQB全等． 4 2 △ △ 【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意 分类讨论是解题的关键．  ABC P,Q BC B,C P Q AP AQ 21．在等边 中，点 是 边上的两个动点（不与 重合），点 在点 的左侧，且 BAP25 AQB  (1)若 ，则 _______________ ； BPCQ (2)在图1中，求证： M AC CM CQ D AQ MD AB N (3)如图2，点 在边 上， ，点 为 的中点，连接 并延长交 于点 ，连接 PM,PN PMN  ．猜想 的形状是_______________，并说明理由． 【答案】(1)80 (2)证明见解析 (3) PMN是等边三角形，理由见解析 ABC B=60 APQ80 AP AQ  【分析】（1）由 是等边三角形，得到 ，由外角的性质得到 ，由 ，得 △APQ 到 是等腰三角形，即可得到结论；  ABQ≌  ACPAAS BQCP BQPQCPPQ （2）证明 ，则 ， ，即可得到结论； 46 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！MQ △CMQ  AND≌  QMDAAS （3）连接 ，先证明 是等边三角形，再证明 ，最后证明 AMN≌ CPMSAS   CPM CMP180C120 CMPAMN 120 ，则 ，得到 ，则 PMN 18012060，即可得到结论．MN PM 【详解】（1）∵ ABC是等边三角形， ∴B=60， ∵BAP20， ∴APQBBAP80， ∵AP AQ， △APQ ∴ 是等腰三角形， ∴AQBAPQ80， 故答案为：80 （2）证明：∵ ABC是等边三角形， ∴BC60，AB AC ∵AP AQ， △APQ ∴ 是等腰三角形， ∴AQBAPQ， ABQ≌ ACPAAS   ∴ ， ∴BQCP， ∴BQPQCPPQ， ∴BPCQ； （3） PMN是等边三角形， 证明：连接MQ，CM CQ ∵ ， △CMQ ∴ 是等腰三角形， ∵C 60， △CMQ ∴ 是等边三角形， ∴CMQCAB60， ∴MQ∥AB， ∴DQM DAN，ANDQMD， AQ ∵点D为 的中点， ADQD ∴ ， AND≌ QMDAAS   ∴ ， ∴AN QM ， ∵CM QM CQBP， ∴CM  AN ， ∵AC BC， ∴ACCM BCBP， ∴AM CP， ∵MAN C 60， AMN≌ CPMSAS   ∴ ， ∴AMN CPM ，MN PM ， ∵CPM CMP180C120， ∴CMPAMN 120， ∴PMN 18012060， ∴ PMN是等边三角形． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键． 22．如图所示，在Rt△ABC中，C 90，点D是线段CA延长线上一点，且AD AB，点F 是线段AB 上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，且EA AB． 48 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①求证：△DEG≌△EFA ②求证：AE AFBC； (2)如图2，若点F 是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF ，BC之间的数量关系， 并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)BC  AEAF，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理； （1）①先由DG⊥AE得到DEGEDG90，然后由DEF 90得到DEGAEF 90，从而得 DEG≌ EFAAAS EDGFEA DEEF DGEEAF 90   到 ，再结合 、 得证 ；②先由 GDAGAD90和GADBAC 90得到GDABAC，再结合AD AB、DGAC90得 证△GDA≌△CAB，进而得到BC  AC，最后由△DEG≌△EFA得到EC  AF，最后得证AE AFBC； （2）过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则DGE90，先由AE AB，得到 EAF DGE90，然后由 DEF 是以DF为斜边的等腰直角三角形得到DEF 90，DEEF，从 而得证 GDE≌  AEF，因此有GE AF，再由DGEEAF 90得到GDACAB，然后证明 △GDA≌△CAB，最后得到BC EGAE AFAE． 【详解】（1）① DG AE， DEGEDG90，  DEF90， DEGAEF 90， EDGFEA， 在△DEG和△EFA中，DGEEAF  EDGFEA ，  DEEF DEG≌ EFAAAS   ∴ ； ② GDAGAD90，GADBAC 90， GDABAC， 在△GDA与△CAB中， GDABAC  DGAC90 ，  AD AB  GDA≌ CAB(AAS)   ， BC AG，  DEG≌  EFA， EC  AF ， AE AGGE  AFBC． （2）BC  AEAF，理由如下： 如图2，过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则DGE90，  AEAB， EAF DGE 90，  DEF 是以DF为斜边的等腰直角三角形， DEF 90，DEEF， GDEGEDGEDAEF 90， GDEAEF ， 在△GDE和△AEF 中， 50 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！DGEEAF  GDEAEF ，  DEEF  GDE≌ AEF(AAS)   ， GE AF，  DGEEAF 90， DG∥AB， GDACAB， 在△GDA和△CAB中， DGAC  GDACAB ，  AD AB  GDA≌ CAB(AAS)   ， BC AG， BC EGAE  AFAE ． 23．如图，等腰Rt△ACB中，ACB90，CABCBA45，AC BC，E点为射线CB上一动点， 连接AE，作AF  AE且AF  AE． (1)如图1，过F 点作FG^ AC交AC于G点，求证： AGF≌  ECA； (2)如图2，在（1）的条件下，连接BF交AC于D点，若AD3CD，求证：E点为BC中点； BC 4 AD (3)如图 ，当 点在 的延长线上时，连接 与 的延长线交于 点，若  ，则 ________． 3 E CB BF AC D BE 3 CD 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析11 (3) 3 【分析】（1）根据同角的余角相等得到FAGCEA，即可根据AAS证明 AGF≌  ECA； AG 1 （2）证明 FGD≌ BCDAAS，得出 ，根据 ，得出  ，根据 ，   DGCD AD3CD AC 2 AGCE AC BC，即可证明结论； （3）作FH AC，交AC的延长线于一点H ，由（1）（2）可知， AHF≌  ECA， FHD≌  BCD，根据 全等三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明： AF AE， FAGCAE90，  CAECEAACB90， FAGCEA， ∵FG^ AC， ∴FGA90， 在 AGF和△ECA中， FAGCEA  FGAACE90 ，  AF  AE  AGF≌ ECAAAS   ． （2）证明： AGF≌  ECA， ∴FG  AC  BC 在 FGD和△BCD中， FDGCDB  FGDC 90 ，  FGBC FGD≌ BCDAAS   ∴ ， DGCD， ∵AD3CD， AG ∴  2， CD 52 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！AG 1 ∴  ， AC 2  AGCE，AC BC CE 1 ∴  BC 2 E点为BC的中点； （3）解：如图，作FH AC，交AC的延长线于一点H ， 由（1）知 AHF≌  ECA， AH CE，设BC 4x，BE3x， CE BCBE 7x， AH 7x，  AC BC 4x， CH  AH AC 7x4x3x， 由（2）知 FHD≌  BCD， 3 CDDH  x， 2 3 11 AD ACCD4x x x， 2 2 AD 11   ． CD 3 11 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线的定义，余角的性质，掌握全等三角形的判定定理是 解题的关键． 24．【模型呈现】如图（1）和（2）所示，OAOB，AOB90，直线l经过点O（不与OA，OB重 合），过点A,B作l的垂线，垂足分别为C,D，则有AC OD，OCBD．（1）请你针对图（1）给出证明． 【模型应用】在图（1）的基础上，在射线AC上取一点M ，把线段OM 绕点O逆时针转90得到ON，连 接BN ，交直线l于点P． （2）如图（3）， 当点M 与点C重合时，PB与PN 的数量关系为___________； （3）如图（4），当点M 在AC的延长线上时，请判断PB与PN 的数量关系，并给出证明； S OPB （4）如图（5），当点M 在线段AC上时，S OAM 的值为___________． 1 【答案】（1）见解析；（2）PBPN；（3）PBPN，理由见解析；（4）2 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， △ACO≌△ODBAAS ABOD （1）根据题意得到 ，然后证明出 ，然后利用全等三角形的性质求解即可； VONP≌VDBPAAS （2）根据题意证明出 ，然后利用全等三角形的性质求解即可； NH CD CD VCMO≌VHONAAS COHN （3）过点N作 交 于点H，首先根据题意证明出 ，进而得到 ， VHNP≌VDBPAAS 然后证明出 ，进而求解即可； 54 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（4）过点N作 NECD 交 CD 于点E，根据全等三角形的性质和判定得到 S VOPN S VOPB， VENP≌VDBP ， S S S S 然后利用 VAMO VMCO VOPB VPDB等量代换求解即可． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA，HL． 【详解】（1）∵AOB90 ∴AOCBOD90 ∵ACCD ∴∠A∠AOC 90 ∴ABOD 又∵ACOBDO90，OAOB △ACO≌△ODBAAS ∴ ∴AC OD，OCBD； （2）∵把线段OM 绕点O逆时针转90得到ON， ∴NOPMON 90 ∴NOPBDP ∵△ACO≌△ODB ∴COBD ∴MOON BD 又∵OPN DPB VONP≌VDBPAAS ∴ ∴PBPN； （3）过点N作NH CD交CD于点H， ∵ACOMCO90∴MCOOHN 90 ∴M COM 90 ∵MON 90 ∴HONCOM 90 ∴M HON 又∵OM ON VCMO≌VHONAAS ∴ ∴COHN ∵△ACO≌△ODB ∴COBD ∴HN BD 又∵NHPPDB，HPN BPD VHNP≌VDBPAAS ∴ ∴PBPN； （4）如图所示，过点N作NECD交CD于点E， 同理可得，VMCO≌VOEN ∴OC EN ∵△ACO≌△ODB ∴COBD ∴EN BD S S ∴ VOPN VOPB 同理可得，VENP≌VDBP ∵△ACO≌△ODB 56 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！S S ∴ ACO ODB S S S S ∴ VAMO VMCO VOPB VPDB S S S S VAMO VMCO VOPB VPEN S S S S S VAMO VMCO VOPB VOEN VONP S S S S S VAMO VMCO VOPB VMCO VOPB S 2S ∴ VAMO VOPB S 1 ∴ OPB  ． S 2 OAM 25．定义：如图（1），若分别以 ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE， BCFG和ABMN，则称这三个正方形为 ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为 ABC的外展双 叶正方形． ABC ACDE BCFG ABC DCF S S (1)作 的外展双叶正方形 和 ，记 ， 的面积分别为 1和 2； ACB90 S =S 1 2 ①如图（2），当 时，求证： ； ACB90 S S ②如图（3），当 时， 1与 2是否仍然相等，请说明理由． (2)已知 ABC中，AC3，BC 4，作其外展三叶正方形，记 DCF ，△AEN ， BGM 的面积和S，请 利用图（1）探究：当ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求 出S的最大值． 【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析 (2)变化，最大值为18【分析】（1）①由正方形的性质可以得出AC DC，BC FC，ACBDCF 90，即可得出 △ABC≌△DFC而得出结论； A APBC P D DQFC FC Q △APC≌△DQC ②如图3，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，通过证明 DQ AP 就有 而得出结论； （2）根据（1）可以得出 S3S △ABC，要使 S 最大，就要使 S ABC最大，当 ACB90 时 S ABC最大，即可求 出结论． 【详解】（1）解：①证明： 正方形ACDE和正方形BCFG，  ACDC，BC FC，ACDBCF 90，  ACB90， DCF 90， ACBDCF 90． 在 ABC和△DFC中， AC DC  ACBDCF ，  BC FC △ABC≌△DFC(SAS) ． S S △ABC △DFC ， S S 1 2． ②S =S ． 1 2 理由如下： A APBC P D DQFC FC Q 如图3，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ． 58 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！APCDQC90． 四边形ACDE，四边形BCFG均为正方形，  AC CD，BC CF ， ACPACQ90 DCQACQ90  ， ． ACPDCQ． △APC △DQC 在 和 中， APC DQC  ACPDCQ ，  AC DC △APC≌△DQC(AAS) ， APDQ ． BCAPDQFC， 1 1 BCAP DQFC 2 2 1 1 S  BCAP S  FCDQ  1 2 ， 2 2 ， S S 1 2； （2）S的值发生变化；S的最大值为18；理由如下： 由（1）得，S是 ABC面积的三倍， 要使S最大，只需 ABC的面积最大， 当 ABC是直角三角形，即ACB90时，S有最大值．1 此时，S 3S 3 3418． △ABC 2 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式； 本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． 二、几何模型 类型一、倍长中线模型 ABC AB6,AC 4 BC  26．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， 中，若 ，求 边上的中 线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长AD到点E， 使DE AD，连接BE．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得VADC≌VEDB，得到BE AC，在 ABE中求得2AD的取值范围，从而求得AD 的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关 系； AD  ABC AB AE,AC  AF,BAECAF 180 AD EF (2)如图2， 是 的中线， ，试判断线段 与 的数量 关系，并加以证明； ABC D,E BC ABAC  ADAE  (3)如图3，在 中， 是 的三等分点．求证： ． 【答案】(1)1 AD5 (2)EF 2AD，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长AD到点E，使DE AD，连接BE，根据题意证明 MDB≌  ADC，可知BM  AC，在  ABM 60 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！中，根据ABBM  AM  ABBM ，即可； （2）延长AD到M ，使得DM  AD，连接BM ，由（1）的结论以及已知条件证明 ABM≌  EAF，进而 可得AM 2AD，由AM EF，即可求得AD与EF的数量关系； DE H AH Q AH QH QE QC （3），取 中点 ，连接 并延长至 点，使得 ，连接 和 ，通过“倍长中线”思想 全等证明，进而得到ABCQ，ADEQ,然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长AD到点E，使DE AD，连接BE． ∵AD是 ABC的中线， ∴BDCD， 在  MDB和 ADC中，  BDCD  BDM CDA ，   DM  AD MDB≌ ADCSAS   ∴ ， ∴BM  AC 4， 在 ABM 中，ABBM  AM  ABBM ，  ∴64 AM 64，即2 AM 10， ∴1 AD5， 故答案为：1 AD5． （2）EF 2AD，理由： 如图2，延长AD到M ，使得DM  AD，连接BM ， BDM≌ CDASAS   由（1）知， ， ∴BM  AC，M MAC ∵AC  AF ，∴BM  AF， ∵MBAM BAM 180，即MBABAC180， 又∵BAECAF 180， ∴EAFBAC180， ∴EAF MBA， 又∵ABEA， ABM≌ EAFSAS   ∴ ， ∴AM EF， ∵ADDM ， ∴AM 2AD， ∵AM EF， ∴EF 2AD． DE H AH Q AH QH QE QC （3）证明：如图所示，取 中点 ，连接 并延长至 点，使得 ，连接 和 ， ∵H 为DE中点， D、E为BC三等分点， ∴DH EH,BDDECE， ∴DH CH ， 在  ABH 和 QCH 中，  BH CH  BHACHQ ，   AH OH ABH≌ QCHSAS   ∴ , ADH≌ QEH   同理可得: , ∴ABCQ,ADEQ， 62 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！AE CQ K 此时, 延长 交 于 点， ∵ACCQ ACCKQK,ACCK  AK， ∴ACCQ AKQK ， ∵AKQK  AEEKQK QE,EKQK QE， ∴AKQK  AEQE， ∴ACCQ AKQK  AEQE， ∵ABCQ,ADEQ， ∴ABAC  ADAE． 27．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在 ABC中，AB9，AC5，BC边上的中线AD的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： AD DQ AD ①延长 到Q使得 ； ②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在 ABQ中； ③利用三角形的三边关系可得4AQ14，则AD的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的 已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． AC BQ (2)请写出图1中 与 的关系并证明； (3)思考：已知，如图2，AD是 ABC的中线，AB AE，AC  AF ，BAEFAC 90，试探究线段 AD与EF的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】(1)2AD7 AC∥BQ (2) ，理由见解析EF 2AD,ADEF (3) ，理由见解析 4AQ14 AQ2AD 【分析】（1）由 且 即可求解； BDQ≌ CDA BQDCAD   （2）证 可推出 即可求解； AD DQ AD BQ DA EF P  BDQ≌  CDA  ABQ≌  EAF （3）延长 到Q使得 ，连接 ，延长 交 于点 ，证 、 即 可求解． 4AQ14 AQ2AD 【详解】（1）解：∵ 且 ∴2AD7 故答案为：2AD7 AC∥BQ （2）解： ，理由如下： ∵AD是BC边上的中线 ∴BDCD QDQ AD,BDQCDA VBDQ≌VCDA BQDCAD ∴AC∥BQ EF 2AD,ADEF （3）解： ，理由如下： AD DQ AD BQ DA EF P 延长 到Q使得 ，连接 ，延长 交 于点 ∵AD是BC边上的中线 64 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴BDCD QDQ AD,BDQCDA VBDQ≌VCDA DBQACD,BQ AC AC  AF  BQ AF BACABCACB180  BACABCDBQ180 BACABQ180 BAEFAC90  BACEAF 180 ABQEAF QABEA,BQ AF VABQ≌VEAF AQEF,BAQAEF BAE90  BAQEAP90 AEFEAP90 APE 90 ADDQ  AQ2AD AQEF  EF 2AD 【点睛】本题考查全等三角形的常见模型：倍长中线模型．熟记相关几何模型和结论是解题的关键． 28．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在 ABC中，AB9，AC5，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：AD DQ AD ①延长 到Q，使得 ； ②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在 ABQ中； ③利用三角形的三边关系可得4AQ14，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的 已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． AC BQ （2）请你写出图1中 与 的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，AD是 ABC的中线，AB AE，AC  AF ，BAEFAC 90．试探究线 段AD与EF的数量和位置关系并加以证明． 2AD7 AC∥BQ EF 2AD EFAD 【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3） ， ，证明见解析 VBDQ≌VCDASAS BQCA5 【分析】（1）先证 ，推出 ，再利用三角形三边关系求解； BDQ≌ CDA BQDCAD AC∥BQ   （2）根据 可得 ，即可证明 ； VBDQ≌VCDASAS DBQDCA BQCA ABQEAF （3）同（1）可证 ，得出 ， ，进而可得 ，推 VABQ≌VEAFSAS BAQAEF AQEF 出 ，可得 ， ，即可求解． 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】解：（1）  AD是 ABC的中线， BDCD， 又 DQDA，BDQCDA，  VBDQ≌VCDASAS  ， BQCA5， 在 ABQ中，ABBQAQABBQ， 95 AQ95，即4AQ14， 2AD7， 故答案为：2AD7； AC∥BQ （2） ，证明如下： BDQ≌ CDA   由（1）知 ， BQDCAD，  AC∥BQ； （3）EF 2AD，EFAD，证明如下： AD DQ AD BQ DA EF 如图，延长 至点Q使得 ，连接 ，延长 交 于点P， VBDQ≌VCDASAS 同（1）可得 ， DBQDCA，BQCA， AC  AF ，  BQ AF，DBQDCA，   AC∥BQ， BACABQ180 ， BAEFAC 90，  BACEAF 180， ABQEAF ， 在 ABQ和△EAF 中， ABEA  ABQEAF ，  BQ AF VABQ≌VEAFSAS  ， BAQAEF AQEF ， ， BAE90，  BAQEAP90， AEFEAP90， APE90，  ADEF ， ADDQ，   AQ2AD ， AQEF  ， EF 2AD， 综上可得EF 2AD，EFAD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系的应用等，解题的关 键是通过倍长中线构造全等三角形． 29．（1）阅读理解： 68 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！如图①，在 ABC中，若AB5，AC3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方 法：延长AD到点E使DE AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三 边的关系可判断线段AE的取值范围是 ；则中线AD的取值范围是 ； （2）问题解决： 如图②，在 ABC中，D是BC边的中点，DEDF 于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F ，连接 EF，此时：BECF与EF的大小关系，并说明理由． （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，BD180，CBCD，BCD160，以C为顶点作ECF 80，边 CE，CF分别交AB，AD于E，F 两点，连接EF，此时：BE、DF与EF的数量关系 2 AE8,1 AD4 EF EBCF BEDF EF 【答案】（1） ；（2） ，见解析；（3） AD E DE AD BE △ADC≌△EDB(SAS) ACBE 【分析】（1）延长 到点 使 ，再连接 ，证明 ，可得 ，再 由三角形三角关系可得2 AE8，1 AD4； （2）延长FD至G，使FDDG，连接BG，证明 CFD≌  GBD(SAS)，可得BGFC，连接EG，可知  EFG是等腰三角形，则FEEG，在 EBG中，EGEBBG，即EF EBCF； （3）延长AB至H 使BH DF，连接CH ，证明 CBH≌  CDF(SAS)，可推导出CEH 80，再证明  FCE≌  HCE(SAS)，则EH EF，能推导出BEDF EF． 【详解】解：（1）延长AD到点E使DE AD，再连接BE，  CDBD，ADC BDE，ADDE， △ADC≌△EDB(SAS)， AC BE， 在 ABE中，ABBE AE ABBE，  2 AE8，  AE2AD， 1 AD4，故答案为：2 AE8，1 AD4； （2）延长FD至G，使FDDG，连接BG，  CDBD，CDF BDG，FDDG，   CFD≌  GBD(SAS)， BGFC， 连接EG， EDFD，FDDG，  △EFG是等腰三角形， FEEG， 在 EBG中，EGEBBG，即EF EBCF； （3）延长AB至H 使BH DF，连接CH ，  ABCD180，ABCCBH 180， DCBH ，  CDCB，BH DF，   CBH≌  CDF(SAS)， CH CF ，BCH DCF ，  BCD160，ECF 80， DCFECB80， CEH 80，  FCCH ，ECEC，   FCE≌  HCE(SAS)， EH EF ，  BEBH EH ， BEDF EF ． 【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角 形三边关系是解题的关键． 70 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30．如图1， ABC中，若AB8，AC 6，求BC边上的中线AD的取值范围，小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE AD，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到VADC≌VEDB的理由是______． (2)求得AD的取值范围是______． (3)如图2，在 ABC中，点D是BC的中点，点M 在AB边上，点N 在AC边上，若DM DN，求证： BM CN MN ． 【答案】(1)SAS； (2)1 AD7； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； △DMN≌△DENSAS （3）延长MD到E，使MDDE，连接NE，CE，证明 ，得到MN EN，证明 △ DMB≌△ DECSAS MBEC ECNC NE BM NC MN ，得到 ，再利用 即可证明 ． 【详解】（1）解：∵AD是BC边上的中线， ∴BDDC， 在△ADC和△EDB中， BDDC  BDEADC  DE AD △ADC≌△EDBSAS ∴ ， 故答案为：SAS△ADC≌△EDBSAS （2）解：∵ ， ∴AC EB6， ∵AB8， ∴在 ABE中，ABBE AE ABBE，即2 AE14，  ∵AE2AD， ∴1 AD7， 故答案为：1 AD7 （3）解：延长MD到E，使MDDE，连接NE，CE， ∵MDDN ， ∴MDN EDN ， 在 DMN和 DEN 中， MDDE  MDN EDN  DN DN DMN≌ EDNSAS   ∴ ， ∴MN EN， 在 DMB和 DEC中， MDDE  MDBEDC  BDDC △ DMB≌△ DECSAS ∴ ， ∴MBEC， ∵在△NCE中，ECNC NE， 72 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴BM NC MN ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系应用等知识；熟练掌握 三角形的三边关系，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 31．已知ABC． (1)如图1，按如下要求用尺规作图： ①作出ABC的中线CD； ②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．） (2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ； (3)如图2，若∠ACB＝90，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由； (4)如图3，若∠ACB＝45，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接 DE．若CF＝4，则DE的长是 ． 【答案】(1)见解析 (2)AE∥BC (3)AB2CD，理由见解析 (4)2 【分析】（1）①根据三角形的中线的定义，作AB的垂直平分线，交AB于点D，连接AD即可． ②根据要求，延长CD至E，使DE＝CD，连接AE即可． （2）结论：AE∥BC，利用全等三角形的判定和性质证明即可． （3）结论：AB2CD．利用全等三角形的判定和性质证明即可． （4）利用全等三角形的性质证明ABCF 4，再利用（3）中结论解决问题． 【详解】（1）①如图1所示，作AB的垂直平分线，交AB于点D，连接AD，则线段CD即为所求； ②如图1中，线段DE，AE即为所求；（2）结论：AE∥BC． 理由：在△CDB和△EDA中， DC DE  CDBEDA ，  DBDA ∴△CDB≌△EDA（SAS）， ∴∠B=∠DAE， ∴AE∥BC． 故答案为：AE∥BC． （3）AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下： 如图3-2，延长CD至E，使DE=DC，连接BE， ∵CD是中线， ∴AD=BD， 在△ADC和△BDE中，  ADBD  ADC BDE ，   DC DE ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴∠E=∠ACD，AC=BE， 74 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴AE∥BC， ∴∠ACB+∠EBC=180， ∵∠ACB=90， ∴∠EBC=90， 在△ACB和△EBC中，  AC BE  ACBEBC ，   CBBC ∴△ACB≌△EBC（SAS）， ∴AB=CE， ∵CE=2CD， ∴AB=2CD． （4）如图3中， ∵BE⊥AC，∠ACB=45， ∴∠CEB=∠BEA=90，∠ECB=∠EBC=45， ∴EC=EB， ∵AC=BC，CD是中线， ∴CD⊥AB， ∵∠CEF=∠BDF=90，∠CFE=∠BFD， ∴∠ECF=∠ABE， 在△CEF和△BEA中， ECF EBA   CEBE ，  CEF BEA ∴△CEF≌△BEA（ASA），∴CF=AB=4， ∵AD=BD，∠AEB=90， 1 ∴DE=2AB=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的性质，解题的 关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 32．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：ABAC 2AD． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长AD至E，使DE AD， ∵AD是BC边上的中线∴BDCD BDCD  BDECDA 在 和 中  BDE CDA DEDA ∴BDE≌CDA（依据一）∴BECA 在ABE中，ABBE AE（依据二） ∴ABAC 2AD． 76 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化 到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形 和证明边之间的关系． 任务二：如图3，AB3，AC 4，则AD的取值范围是_____________； 任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在RtABE中，BAE90， AB AE；RtACF中，∠CAF 90，AC  AF ．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由． 【答案】任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依 1 7 据2：三角形两边的和大于第三边；任务二： ＜AD＜ ；任务三：EF=2AD，见解析 2 2 【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可； 依据2：根据三角形三边关系判断； 任务二：可根据任务一的方法直接证明即可； 任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可． 【详解】解：任务一： 依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边．1 7 任务二： ＜AD＜ 2 2 任务三：EF=2AD．理由如下： 如图延长AD至G，使DG=AD， ∵AD是BC边上的中线 ∴BD=CD BDCD  BDACDG 在△ABD和△CGD中  ADDG ∴△ABD≌△CGD ∴AB=CG，∠ABD=∠GCD 又∵AB=AE ∴AE=CG 在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， ∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180° 又∵∠BAE=90°，∠CAF=90° ∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180° ∴∠EAF=∠GCD 在△EAF和△GCA中 AECG  EAF GCA  AF  AC ∴△EAF≌△GCA ∴EF=AG 78 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴EF=2AD． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解 本题的关键． 33．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明 的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD， 必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析； 【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝ CD； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG △BAF≌△CDG，AB＝CD； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS）， ∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD； 【详解】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中，  BECE  BEF CED ，   EF ED ∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE， ∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF，∴AB＝CD； ②如图2， 分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G， ∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CEG中， F CGF 90   BEF CEG ，   BECE ∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中， 80 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ BAECDE  F CGD90 ，   BF CG ∴△BAF≌△CDG（AAS）， ∴AB＝CD； （2）如图3， 过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M， 则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△BAE和△CME中， BAECME  BEACEM ，   BECE ∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F， ∵∠BAE＝∠EDC， ∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解 本题的关键． 类型二、一线三垂直模型 34．已知： ABC中，ACB90，ACCB，D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作 S △ADB AE AD，且AE  AD．连接BE交直线AC于M ，若2AC 7CM ，则S △AEM 的值为 ．4 4 【答案】 或 5 9 【分析】添加辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系，最后进行分类讨 论即可求解． 【详解】①如图，过E作EG AC于点G， ∴ACBAGE CGE 90， ∴DACADC90°， ∵AE AD， ∴DAE90，即：DACGAE90， ∴ADC GAE， 在△ADC和△EAG中， ACDAGE  ADC GAE ，  AD AE ADC≌ EAGAAS   ∴ ， ∴AC GE，CD AG， BMC≌ EMGAAS   ∴ ， ∴GM MC， 82 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设CM 2a，则AC 7a， ∴GM CM 2a，BC  AC 7a， ∴AGCD ACGM CM 7a2a2a3a， ∴BDBCCD7a3a4a，AM  AGGM 3a2a5a， 1 1 BD·AC 4a7a S 2 2 4 ADB    则S 1 1 5， AEM AM·GE 5a7a 2 2 ②如图，过E作EH AC交AC延长线于点H ， ∴ACBAHE90， ∴DACADC90°， ∵AD AE， ∴DAE90，即：DACHAE90， ∴ADC HAE， 在△ADC和 EAH中， ACDAHE  ADC HAE ，  AD AE ADC≌ EAHAAS   ∴ ， ∴AC HE，CDAH， ∴AC CBHE， 在 BMC和  EMH 中，BMC EMH  BCM EHM ，  BC HE BMC≌ EMHAAS   ∴ ， ∴HM MC， 设CM 2m，则AC7m， ∴HM CM 2m，BC  AC 7m， ∴AH CD ACGM CM 7m2m2m11m， ∴BDCDBC 11m7m4m，AM  ACCM 7m2m9m， 1 1 BD·AC 4m7m S 2 2 4 ADB    则S 1 1 9， AEM AM·HE 9m7m 2 2 4 4 故答案为： 或 ． 5 9 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，有关三角形的 面积的求解，解题的关键是正确作出所需要的辅助线． 35．如图，在 ABC中，ACB90，AC 6，BC8．点P从点A出发，沿折线ACCB以每秒1个单 位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BCCA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动， PEl QF l PEC VQFC  P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作 于E， 于F，设运动时间为t，当 与 全 等时，t的值为 ． 【答案】1秒，或3.5秒，或12秒 PEl QF l PEC VQFC PEC VQFC   【分析】根据 于E， 于F，得到 与 都是直角三角形，当 与 全等时， 84 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！PC  CQ AC BC PC6t CQ83t 得到 ，分三种情况讨论求解即可，当P在 上，Q在 上时，根据 ， ， 得到6t8 3t，解得t 1；当P、Q在AC上重合时，根据PC6t，CQ3t8，得到6t 3t8， t 3.5 BC CQ AC CP 6 t 6612 解得 ：当Q到达A点后，点P运动到 上时，根据 ，得到 ．满足 条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键． PEl QF l 【详解】∵ 于E， 于F， ∴PEC CFQ 90， PEC VQFC  ∴ 与 都是直角三角形， PEC VQFC PC  CQ  ∴当 与 全等时， ， 当P在AC上，Q在BC上时， ∵AC 6，BC8，APt，BQ3t， ∴PC6t，CQ83t， ∴6t8 3t， 解得t 1； 当P、Q在AC上重合时，PC6t，CQ3t8， ∴6t 3t8， 解得t 3.5： BC CQ AC CP 6 当Q到达A点后，点P运动到 上时， ， ∴t 6612． PEC VQFC  综上，当 与 全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒． Rt△ABC ACB90 AC 7,BC 12 36．如图，已知 中， ，满足 ，点P从A点出发沿A→C→B路径向终 点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒 3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PElQF l 于E， 于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等 时，t的值为 （不考虑两三角形重合的情况）． 【答案】2.5或14 【分析】先证明 PCE≌  CQF 时PC CQ，再根据题意分为五种情况，结合PC CQ分别列方程求解， 解出方程即可． 【详解】解：①当P在AC上，Q在BC上运动时，如图①： APt BQ3t QC 123t PC 7t 由题意可知： ， ， ， ， PEl，QF l，  PEC CFQ90， PCECPE90 QCFCQF 90 ， ，  ACB90， PCEQCF 90， CPECQF ， △PCE≌△CQF  ， PC CQ 123t 7t ，即 ， t2.5； ②当P在BC上，Q在AC上运动时，如图②， 86 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！PC t7 QC 3t12 由题意可知： ， ， 由①可知，PC CQ，  t73t12， t2.5， 此时t70，故此种情况不符合题意； ③当P，Q都在AC上时，如图③，两个三角形重合，不符合题意； ④当Q到A点停止，P在BC上运动时，ACPC， 此时t77， t14； ⑤P，Q都在BC上时， 点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，  P，Q都在BC上运动的情况不存在， 综上所述，t的值为2.5或14， 故答案为：2.5或14． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解一元一次方程等知识点的理解 和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键． 37．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A在直线l上，BAD90,AB AD，过点B作BC l于点C，过点D作DEl交于点E． 1D BCAAED90  ABC≌  DAE(AAS) AC  得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得到结论： _____， BC _____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠BADMAN 90,AB AD,AM  AN,BM l于点C，DEl于点E，ND与直线l交于 点P，求证：NPDP． 【答案】(1)DE，AE (2)见解析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由CBAAEDBAD90，得122D90，则1D，而ABDA，即可 证明 ABC≌  DAE，得AC DE，BC  AE，于是得到问题的答案； （2）作NF l于点F ，因为BM l于点C，DEl于点E，所以 ACM NFANFPDEP90，由（1）得AC DE，因为MAN 90，所以 CAM FAN FNAFAN 90，则CAM FNA，而AM NA，即可证明 CAM≌  FNA， 得AC NF，所以NF DE，再证明 PFN≌  PED，则NPDP． 【详解】（1））解：BC l于点C，DEl于点E， ∴CBAAED90， ∵BAD90， ∴128D90， ∴1D， 在 ABC和 DAE中， 1D  BCAAED ，  ABDA 88 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ABC≌  DAE（AAS）， ∴AC DE，BC  AE， 故答案为：DE，AE． （2）证明：如图2，作NF l于点F ， ∵BM l于点C，DEl于点E， ∴ACM NFANFPDEP90， 由（1）得AC DE， 同理（1）得AC NF， ∴NF DE， 在 PFN和 PED中， MFPDEF  FPN EPD  MF DE ∴ PFN≌  PED（AAS）， ∴NPDP． 1  ABC BAC 90 AB AC DE A B C D E 38．如图 ，已知 中， ， ， 是过 的一条直线，且 ， 在 ， 的同侧， BD AE D CE AE EBDCE 于 ， 于 ． （1）证明： ABD  CAE； （2）试说明：BDDECE；（3）若直线DE绕A点旋转到图2位置（此时B，C在D，E的异侧）时，其余条件不变，问BD与DE， CE的关系如何？请证明； （4）若直线 DE 绕A点旋转到图 3 位置（此时B， C 在 D ， E 的同侧）时 BDCE 其余条件不变，问 BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE 【分析】（1）根据题意可得ABDEAC，结合BDAAEC，AB AC直接用AAS证明三角形全等 即可； （2）根据（1）的结论 ABD≌  CAE，进而可得BDDECE； （3）方法同（1）证明 ABD≌  CAE，进而可得BDDECE （4）方法同（1）结论同（2）证明 ABD≌  CAE，进而可得BDDECE． BAC 90 【详解】（1）证明：∵ ， ∴BADEAC90． 又∵BD AE ，CE AE， ∴BDAAEC 90o，BADABD90， ∴ABDEAC． 又∵AB AC， ABD≌ CAEAAS   ∴ ． （2） 解：∵ ABD≌  CAE， ∴BD AE，ADCE． 又∵ED ADAE， ∴BDDECE． BAC 90 （3） 解：∵ ， ∴BADEAC90． 又∵BD AE ，CE AE， ∴BDAAEC 90o，BADABD90， ∴ABDEAC． 又∵AB AC， ∴ ABD≌  CAE． ∴BD AE，ADCE，AE ADDE， 90 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴BDDECE． （4） 解：BDDECE．理由如下： ∵BAC 90， ∴BADEAC90． 又∵BD AE ，CE AE， ∴BDAAEC 90o，BADABD90， ∴ABDCAE． 又∵AB AC， ∴ ABD≌  CAE， ∴BD AE，ADCE． 又∵ED ADAE， ∴BDDECE． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是 解题的关键． 39．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板 （在 ABC中，ABC 90，ABBC； DEF 中，DEF 90，EDF 30），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作 AM  DF ，垂足为点M，过点C作CN DF ，垂足为点N，易证△ABM≌△BCN，若AM 2，CN 7， 则MN ______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作 CPDE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若 AE5，BE1，连接CE，则△ACE的面积为______．【答案】(1)9 (2)PECPAE；理由见解析 (3)10 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）由△ABM≌△BCN，利用两个三角形全等的性质，得到AM BN 2，BM CN 7，即可得到MN； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到△ABE≌△BCP，利用两个三角形全等的性质，得到AEBP， BE CP，由BEBPPE中，即可得到三者的数量关系； （3）延长FE，过点C作CPFE于P，由两个三角形全等的判定定理得到△ABE≌△BCP，从而 PC BE1，PB AE 5，则可求得PE，延长AE，过点C作CF  AE于F，由平行线间的平行线段相 CF PE4 S 等可得 ，代入面积公式得 ACE，即可得到答案． 【详解】（1）解： ABM≌  BCN，AM 2，CN 7， AM BN 2，BM CN 7， MN BM BN 9； 故答案为：9． （2）解：PECPAE 理由： ABC 90， ABECBE 90，  CPBE， CPB90， BCPCBP90 ABEBCP，  AEB90， AEBCPB90，  ABBC， VABE≌VBCP， AEBP，BE CP  BEBPPE， PEBEBPPCAE； PECPAE． （3）解：延长FE，过点C作CPFE于P，如图所示： 92 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ABEEBC 90，ABEBAE90， EBC BAE， QAEBCPB90，ABBC， VABE≌VBCP， PC BE1，PB AE 5， PEPBBE514， 延长AE，过点C作CF  AE于F，如图所示： AF PE，CPPE，  AF∥CP，  AF PE，CF  AF， PE∥CF， 由平行线间的平行线段相等可得CF PE4， 1 1 S  AECF  5410， VACE 2 2 故答案为：10． 40．直角三角形ABC中，ACB90，直线l过点C． (1)当AC BC时，如图，分别过点A，B作ADl于点D，BEl于点E．求证：△ACD≌△CBE． (2)当AC8，BC 6时，如图，点B与点F 关于直线l对称，连接BF，CF，动点M 从点A出发，以每 秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N 从点F 出发，以每秒3个单位的速度沿 F CBCF 向终点F 运动，点M ，N 到达相应的终点时停止运动，过点M 作MDl于点D， 过点N 作NEl于点E，设运动时间为t秒． ①CM ______，当N 在FC路径上时，CN ______．（用含t的代数式表示） ②直接写出当△MDC与 CEN全等时t的值． 【答案】(1)见解析 (2)① 8t，63t ②t3.5或5或6.5． 【分析】（1）利于同角的余角相等，得到DAC ECB，利用AAS证明三角形全等即可； （2）①利用CM  ACAM ，求出CM ，利用对称性，得到BC CF ，利用CN CFNF ，求出CN 即 可；②分点N 分别在FC,CB,BC,CF，四种情况讨论，利用全等三角形对应边相等进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵AD直线l， ∴DACACD90， ∵ACB90， ∴BCEACD90， ∴DAC ECB， ADC CEB  DAC ECB 在 和 中， ，  ACD △CBE CACB  94 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ACD≌ CBEAAS   ∴ ； AM t,NF 3t （2）解：①由题意，得： ， ∴CM  ACAM 8t， ∵点B与点F 关于直线l对称， ∴CF BC 6， ∴CN CFNF 63t， 故答案为：8t，63t； ②当△MDC与 CEN全等时，CM 和CN 是对应边， ∴CM CN ， 当点N 在FC时， CM CN ，即：8t 63t， 解得t 1，不符合题意； 当点N 在CB时，此时：CN 3t6， 14 则： ，解得：t  3.5； 8t 3t6 4 当点N 在BC时，此时：CN =18-3t，则：8t183t，解得：t 5； 当点N 在CF时，此时：CN =3t-18， 26 则： ，解得：t  6.5； 8t3t18 4 综上：当△MDC与 CEN全等时，t3.5或5或6.5． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题 的关键．注意，分类讨论． 41．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，ACE90，AC CE，过点A作ABBC于点B，过点E作EDBC交BC的延长线于点 D．由ACBDCE DCEE90，得CABE．又ABC CDE90，AC CE，可以推 理得到△ABC≌△CDE，进而得到AB＝______，BC＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称 为“K字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，ACEBCD90，AC CE，BCCD，连接AB、DE，且DECG于点G，AB 与直线CG交于点F ，求证：点F 是AB的中点； 96 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！②如图，若点 M 为 x 轴上一动点，点 N 为 y 轴上一动点，点P的坐标为 5，1 ，是否存在以 M 、 N 、P为 顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理 由． 4,0 6,0 【答案】（1）CD，DE；（2）见解析；（3）存在， 或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标 与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； A AM FG FG M B BN FG FG N  ACM≌  CEG(AAS) （2）过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，证明 ，得 出AM CG；同理可得：  BCN≌  CDG．得出BN CG，证明 AMF≌  BNF(AAS)，由全等三角形的性 质可得出AF BF ； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知△ABC≌△CDE， ABCD，BC DE， 故答案为：CD，DE； （2）证明：如图1，过点A作AM FG交FG于点M ，过点B作BN FG交FG于点N ， EDCG，ACE90， ACFECGECGE90， ACF E， 在△ACM 和 CEG中， ACM E  AMC CGE ，  AC CE  ACM≌ CEG(AAS)   ， AM CG； 同理可得： BCN≌  CDG． BN CG， AM BN ， 在 AMF 和 BNF中， AFM BFN  AMF BNF ，  AM BN  AMF≌ BNF(AAS)   ， AF BF ， 点F 是AB的中点． （3）解：如图，当点N 在x轴正半轴上时，由【模型呈现】可知 MEN≌  NDP， EM DN 5，DPEN， DP514， EN 4， M(4,0)； 98 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！N x M(6,0) 当点 在 轴负半轴上时，同理可得 ． 综上所述，点M 的坐标为(4,0)或(6,0)． 类型三、旋转模型 ABCD AB//CD,AE BAC AECE AC a,BDb 42．如图，在四边形 中， 是 的平分线，且 ．若 ，则四 边形ABDC的周长为（ ） 1.5(ab) 2ab 3ab a2b A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明 △CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形ABDC的周长．【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是BAC的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， A∵B∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵AECE， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中  DCFE  CEF CED ∵ ,   CE CE ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CE=CF， ∴四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2ab， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 43．综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． ABCD AB AD,BD90 BC,CD (1)如图1，在四边形 中， ，E，F分别是边 上的点，且 1 EAF  BAD EF,BE,FD 2 100 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 EAF  BAD ．请探究线段EF,BE,FD之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内 2 容补充完整． 解：延长EB到G，使得BGDF，连接AG AB AD  在 和 中ABGADF 90  ABG △ADF BGDF  ∴△ABG≌△ADFSAS ，∴ AG AF,BAGDAF ∴BAGBAE DAFBAE 1 ∴EAF  BAD，∴ 2 GAEEAF …… ABCD AB AD,BD180 BC,CD (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形 中，若 ，E，F分别是边 上 1 EAF  BAD 的点，且 ，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 2 ABCD AB AD,BADC 180 BC,CD (3)如图3，在四边形 中， ，E，F分别是边 延长线上的点，且 1 EAF  BAD ，请判断线段EF,BE,FD之间的数量关系，并说明理由． 2 【答案】(1)见解析(2)EF DFBE，理由见解析 (3)EF BEDF ，理由见解析 【分析】（1）证明△AEF≌△AEG，即可得出结论； （2）延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明 AEF≌ AGF ，即可得出   结论； （3）在BC上取一点G，使BGDF，先证明 ABG≌  ADF，再证明 AEG≌  AEF，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：延长EB到G，使得BGDF，连接AG， 在 ABG和△ADF 中 AB AD  ABGADF 90 ，  BGDF △ABG≌△ADFSAS ∴ ， ∴AG AF,BAGDAF， ∴BAGBAE DAFBAE， 1 EAF  BAD ∴ ， 2 ∴GAEEAF， 在△AEG和△AEF 中 AG AF  GAEEAF ，  AE AE ∴ AEG≌  AEF， ∴EF EGBEBGBEDF； 102 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）EF DFBE；理由如下： 延长FD到点G，使DGBE，则ADFADG180， ∵BADC180， ∴BADG， ∵AB AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AG AE，13， 1 EAF  BAD ∵ ， 2 1 ∴12 BAD， 2 1 1 ∴32 BAD，即：FAG BAD， 2 2 ∴EAF FAG， 又AF  AF ， ∴ AEF≌  AGF ， ∴EF GF， ∵GF DFDG， ∴EF DFBE； （3）EF BEDF ，理由如下： 在BC上取一点G，使BGDF，∵ADFADC 180，BADC180， ∴BADF， 又AB AD， ∴ ABG≌  ADF， ∴AG AF，12， 1 ∴1323EAF BAD， 2 1 ∴GAE BADEAF， 2 又AEAE， ∴ AGE≌  AFE， ∴EF EGBEBGBEDF ．’ 44．已知，在四边形ABCD中，AB AD,BADC 180,E、F 分别是边BC、CD上的点，且 1 EAF  BAD ． 2 (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当BADC90时． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DGBE，连接AG． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． △ABE≌ △AEF≌ BE,EF,FD 小明的解题思路：先证明 ______；再证明了 ______，即可得出 之间的数量 关系为EF BEFD． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当BADC180时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的 结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的 数量关系为______．（不用证明） ADG, AGF   【答案】(1)图见解析， 104 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)成立，证明见解析 (3)EF BEDF 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明△ABE≌△ADG，再证明 AEF≌ AGF ，即可得出结论；   （2）延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明 AEF≌ AGF ，即可得出   结论； （3）在BC上取一点G，使BGDF，先证明 ABG≌  ADF，再证明 AEG≌  AEF，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图： △ABE≌△ADG AEF≌ AGF BE,EF,FD   解题思路为先证明 ，再证明 ，即可得出 之间的数量关系为 EF BEFD； 故答案为： ADG,  AGF； （2）成立，证明如下： 延长FD到点G，使DGBE，则ADFADG180， ∵BADC180， ∴BADG， ∵AB AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AG AE，13， 1 EAF  BAD ∵ ， 21 ∴12 BAD， 2 1 1 ∴32 BAD，即：FAG BAD， 2 2 ∴EAF FAG， 又AF  AF ， ∴ AEF≌  AGF ， ∴EF GF， ∵GF DFDG， ∴EF DFBE； （3）解：在BC上取一点G，使BGDF， ∵ADFADC 180，BADC180， ∴BADF， 又AB AD， ∴ ABG≌  ADF， ∴AG AF，12， 1 ∴1323EAF BAD， 2 1 ∴GAE BADEAF， 2 又AEAE， ∴ AGE≌  AFE， ∴EF EGBEBGBEDF ．’ 故答案为：EF BEDF ． 45．综合与实践 问题提出 如图1，在 ABC中，AD平分BAC，交BC于点D，且ACB2B，则AB，CD，AC之间存在怎样 的数量关系？并说明理由． 106 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长AC至点E，使得AEAB，连接DE， ……，请判断AB，CD，AC之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构造全等三角形来 解题．如图3，在线段AB上截取AB，使得AF ①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画 出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形 ABCDE中，EAED，ABDCBC，AD180，若BCD120，求BCE的度数． 【答案】（1）ABCDAC，见解析 （2）①AC ②DF，见解析 （3）60 【分析】（1）利用SAS证明△BAD≌△EAD，得出BE，从而证得E CDE，所以CDCE，即 可得出结论ABCDAC； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长BA至点G，使AGDC，连接BE，利用SAS证明△AGE≌△DCE，得出GECD， EGEC，从而可证得BGBC．即可利用SSS证明△GEB≌△CEB，得出∠G∠ECB，即可由 1 BCE BCD求解． 2 【详解】（1）ABCDAC． 理由：∵AD平分BAC， ∴BADCAD． 又∵AB AE，AD AD， ∴△BAD≌△EAD， ∴BE．∵ACB2B， ∴ACB2E． 又∵ACBECDE， ∴E CDE， ∴CDCE． ∵AE  ACCE ， ∴ABCDAC． （2）①AC ②DF． 辅助线如图1所示． （3）如图2，延长BA至点G，使AGDC，连接BE，GE． ∵BAED180，BAEGAE180， ∴DGAE． ∵AEDE，DGAE，AGDC， ∴△AGE≌△DCE， ∴GECD，EGEC． ∵ABCDBC， ∴BG ABAGBC． 又∵BEBE，EGEC， ∴△GEB≌△CEB， ∴∠G∠ECB． 又∵GECD， 1 1 ∴BCE BCD 12060． 2 2 108 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 46．在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延 长到E，△使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F． (1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是 否发生改变，并证明． (3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系． 【答案】(1)AC＝EF+FC，证明见解析 (2)补全图形见解析， AC＝EF-CF，证明见解析 (3)AC＝CF-EF 【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论； （2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论． （3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结 论． 【详解】（1）结论：AC＝EF+FC， 理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝ 90° ∵EF⊥CF， ∴∠EFC＝∠DHC＝90°， 在△FEC和△HDC中， EFC DHC 90  FCE DCH ，  EC CD  ∴△FEC≌△HDC（AAS）， ∴CH＝FC，DH＝EF， ∵∠ACB＝90°，AC=BC， ∴∠B＝45°， ∵∠DHB＝90°， ∴∠B＝∠HDB＝45° ∴DH＝HB＝EF， ∵BC＝CB+HB ∴AC＝FC+EF； （2）依题意补全图形，结论：AC＝EF-CF， 理由如下： 过D作DH⊥CB交BC的延长线于H， 110 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵EF⊥CF， ∴∠EFC＝∠DHC＝90°， 在△FEC和△HDC中， FCEDCH  EFC DHC 90 ，  EC DC ∴△FEC≌△HDC（AAS）， ∴CH＝FC，DH＝EF， ∵∠DHB＝90°， ∴∠B＝∠HDB＝45° ∴DH＝HB＝EF， ∵BC=HB-CH ∴AC＝EF-CF． （3）AC=CF-EF． 如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H， 同理可证△FEC≌△HDC（AAS）， ∴CH=FC，DH=EF，∵∠DHB=90°， ∴∠B=∠HDB=45°， ∴DH=HB=EF， ∵BC=CH-BH， ∴AC=CF-EF． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题 的关键． 47．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几 何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的EAF 45，AE、AF 与BC、CD边分别交于E、F 两点．易 证得EF BEFD． 大致证明思路：如图2，将△ADF 绕点A顺时针旋转90，得到  ABH ，由HBE180可得H 、B、E 三点共线，HAEEAF 45，进而可证明 AEH≌ AEF，故EF BEDF．   任务： 如图3，在四边形ABCD中，AB AD，BD90，BAD120，以A为顶点的EAF 60，AE、 AF 与BC、CD边分别交于E、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BEDF是否 依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】根据旋转的性质得到 ABM≌  ADF ，ABM D90，MABFAD，AM  AF ， MB=DF ，推出M 、B、E三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将△ADF 绕点A顺时针旋转120得到  ABM ， 112 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ABM≌ ADF，ABM D90，MABFAD，AM  AF ，MB=DF ，   MBEABM ABE180， M 、B、E三点共线， MAEMABBAEFADBAEBADEAF 60， MAEFAE， AEAE，AM  AF ，    MAE≌  FAE(SAS)， ME EF ， EF MEMBBEDFBE． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 48．【问题提出】 （1）如图1，在四边形ABCD中，AB AD，BAD120，BADC90，E、F分别是BC、CD上 的点，探究当EAF 为多少度时，使得BEDF EF成立． 小亮同学认为：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明 △AEF≌△AGF ，则可求出∠EAF的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB AD，BD180，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF 与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有BEDF EF成立，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ABCD中，EBF 45，若 DEF 的周长为8，求正方形ABCD的面积．1 EAF  BAD 【答案】（1）60°；（2）当 时， 成立，理由见解析；（3）16 2 BEDF EF BAEDAG, EAF  GAF,   【分析】（1）根据全等三角形的性质得到 证明 得到 EAF DAFDAG,根据题意，计算即可得出结果． DH BE △ABE≌△ADH  EAF   GAF, （2）延长FD到点H，使 ，连接AH，分别证明 ， 根据全等三角 形的性质解答即可． （3）根据（2）的结论得到EF  AECF，进而求出AD，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）当EAF 60时，BEDF EF，理由如下， 延长FD到点G，使DGBE，连接AG， 在Rt  ABE和Rt  ADG中， AB AD  ABEADG90,  BEDG Rt ABERt ADGSAS,   AE AG,BAEDAG, BAD120，  BADEAG120， EAF 60,  EAF GAF 60, 在△EAF 和 GAF中， AE AG  EAF GAF,  AF  AF  EAF  GAFSAS,   EF FG, FGDFGD,GDBE,  FGDFBE, BEDF EF ； 114 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 EAF  BAD （2）当 时， 成立， 2 BEDF EF 理由如下：如图2，延长FD到点H，使DH BE，连接AH， ∵BADF 180，ADH ADF 180， ∴BADH ， 在  ABE和  ADH中，  AB AD  BADH ，   BEDH ∴△ABE≌△ADH （SAS）， ∴BAEDAH ，AE AH ， ∴BAEDAF DAFDAH HAF ， 1 EAF  BAD ∵ ， 2 ∴EAF BAEDAF HAF， AE AH  EAF HAF 在 和 中， ，  △EAF △HAF AF  AF ∴△EAF≌△HAF （SAS）， ∴EF HF DH DF BEDF； （3）∵四边形ABCD为正方形， ∴ABC 90． ∵EBF 45， 1 ∴EBF  ABC， 2∴EF  AECF， ∵ DEF 的周长为8， ∴DEDFEF 8， ∴DEDFAECF 8， ∴AD+CD=8， ∴AD=CD=4， 42 16 ∴正方形ABCD的面积 ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解此题的关键． 类型四、三条线段数量关系的证明 49．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN， AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由． 问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由． 问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请 写出这个等量关系，并说明理由． 【答案】问题1，AD＝EC，证明见解析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝AD+BE，证明见解析． 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出 ∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC； （2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案； （3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到 DE、AD、BE之间的等量关系． 【详解】解：（1）AD＝EC； 证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， 116 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴∠DAC＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝EC； （2）DE+BE＝AD； 由（1）已证△ADC≌△CEB， ∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD ∴CE=CD+DE=BE+DE=AD 即DE+BE＝AD； （3）DE＝AD+BE． 证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵CD+CE＝DC， ∴DE＝AD+BE． 【点睛】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的 条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 50．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB，点C和点D分别在第四象限和(m-2n）2 第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，点D的坐标为（m，n），且满足 +|n﹣2|=0． （1）求点D的坐标；（2）求∠AKO的度数；（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上， 且OP=OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关 系并证明． 【答案】(1)(4,2);(2)135°;(3)见解析. 【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．只要证 明△BOD≌△AOC，推出EO=OF（全等三角形对应边上的高相等），推出OK平分∠BKC，再证明 ∠AKB=∠BOA=90°，即可解决问题；（3）结论：BM=MN+ON；只要证明△BNH≌△BNO，以及MH=MB 即可解决问题； m2n2 n2 【详解】解：（1）∵ =0， m2n2 又∵ ≥0，|n﹣2|≥0， ∴n=2，m=4， ∴点D坐标为（4，2）． （2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F． ∵OA=OB，OD=OC，∠AOB=∠COD=90°， ∴∠BOD=∠AOC， 118 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴△BOD≌△AOC， ∴EO=OF（全等三角形对应边上的高相等）， ∴OK平分∠BKC， ∴∠OBD=∠OAC，易证∠AKB=∠BOA=90°， ∴∠OKE=45°， ∴∠AKO=135°． （3）结论：BM=MN+ON． 理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H． ∵OQ=OP，OA=OB，∠AOQ=∠BOP=90°， ∴△AOQ≌△BOP， ∴∠OBP=∠OAQ， ∵∠OBA=∠OAB=45°， ∴∠ABP=∠BAQ， N∵M⊥AQ，BM⊥ON， ∴∠ANM+∠BAQ=90°，∠BNO+∠ABP=90°， ∴∠ANM=∠BNO=∠HNB， ∵∠HBN=∠OBN=45°，BN=BN， ∴△BNH≌△BNO， ∴HN=NO，∠H=∠BON， ∵∠HBM+∠MBO=90°，∠BON+∠MBO=90°， ∴∠HBM=∠BON=∠H， ∴MH=MB， ∴BM=MN+NH=MN+ON． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，掌握非负数的性质， 坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键. 51．（1）如图1，已知 OAB中，OAOB，AOB90，直线l经过点O，BC直线l，AD 直线 l，垂足分别为点C，D．依题意补全图l，并写出线段BC，AD，CD之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 OAB中，OAOB，C，O，D三点都在直线l上，并且有 BCOODABOA，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； 3,2 ABC AB AC CAB90 (0,1) （3）如图3，在 中， ， ，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，请直接写 出点B的坐标． 【答案】（1）补全如图所示见解析；CDBC AD；（2）成立，证明见解析；（3）点B的坐标为 (1,-2) ． 【分析】（1）依题意补全图，易证△AOD≌△OBC，则有AD=CO，OD=BC，从而可得CDBC AD； （2）利用三角形内角和易证23，再证明 BCO≌  ODA，同（1）即可证明结论； （3）过B、C两点作y轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B坐标． 【详解】（1）补全图1如图所示，CDBC AD； 证明：∵AOB90，BC直线l，AD 直线l， ∴∠BCO=∠ODA=90°， ∴∠BOC+∠OBC=90°， 又∵AOB90， ∴∠BOC+∠AOD=90°， ∴∠OBC=∠AOD， 在△AOD和△OBC中 120 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！BCOODA  OBC AOD ，  BO AO ∴△AOD≌△OBC（AAS） ∴AD=CO，OD=BC， ∵CDODCO， ∴CDBC AD． （2）成立． 证明：如图， ∵12180BOA，13180BOA，BOABCO ∴23 在 BCO和VODA中 32  BCOODA  BOOA ∴ BCO≌  ODA（AAS） ∴BC OD，CO AD ∴CDCOOD ADBC (1,-2) （3）点B的坐标为 ． 过程如下：过B、C两点作y轴垂线，垂足分别为M、N，同理（1）可得，CN=AM，AN=MB， 3,2 (0,1) ∵点A的坐标为 ，点C的坐标为 ， ∴CN=AM=3，ON=2，OA=1, ∴MB=AN=ON-OA=1，OM=AM-OA=2， ∵点B在第四象限， (1,-2) ∴点B坐标为： ． 【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三 角形是解本题的关键． 52．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋 转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的 猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜 想． 【答案】（1）见解析；（2）AE+CF＝EF，证明见解析；（3）AE﹣CF＝EF，证明见解析 【分析】（1）利用SAS定理证明△ABE≌△CBF； 122 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，分别证明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根据全等三角形的 性质、结合图形证明结论； （3）延长DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）证明：在△ABE和△CBF中， ABBC  ∠BAE ∠BCF=90° ，  AE CF ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）解：AE+CF＝EF， 理由如下：延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK， 在△BAE与△BCK中， BABC  ∠BAE ∠BCK ，  AE=CK ∴△BAE≌△BCK（SAS）， ∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC， ∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠FBC+∠ABE＝60°， ∴∠FBC+∠KBC＝60°， ∴∠KBF＝∠FBE＝60°， 在△KBF与△EBF中， BK BE  ∠KBF ∠EBF ，  BF BF ∴△KBF≌△EBF（SAS）， ∴KF＝EF， ∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF； （3）解：AE﹣CF＝EF， 理由如下：延长DC至G，使CG＝AE， 由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS）， ∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°， ∴∠GBF＝∠EBF， ∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF， ∴△GBF≌△EBF， ∴EF＝GF， ∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定 理是解题的关键． 53．在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形ABCD边BC、CD上的点；下面请你根据相应的条件解 决问题． 特例探索 （1）在图1中，四边形ABCD为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），EAF 45，延长CD DGBE,BE2,DF 3 EF  至G，使 ．则 __________． 在图2中，BD90，AB AD，BAD60，EAF 30，BE1，FD1.5；则EF  __________． 归纳证明 1 EAF  BAD （2）在图3中，BD180， AB AD ．且 2 ，请你观察（1）中的结果，猜想图3中 124 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！BE,EF,FD 线段 之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 实际应用 （3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们 分别在指挥中心的北偏东20和南偏东30的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲 公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑 建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量 COD65．试求C与D两处之间的距离． 【答案】（1）5，2.5； （2）EF=BE+FD； （3）1650m． 【分析】（1）先证明出 ABE ADG，再根据∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF △AGF即可得出结果；延△长CD到△G，使BE=DG，连接AG，同理证明即可； （2）延长FD到G，使BE=DG，利用条件证明 ABE ADG，再根据∠DAF+∠BAE=45°得出 ∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出结△论； △ （3）依照结论（2），延长DB到E，使BE=AC，连接OE，通过求证△OAC△OBE和△OCD△OED 得出CD=DE=BD+BE=BD+AC，代入数据求值即可． 【详解】（1）∵BE=DG=2，∠B=∠ADG=90°，AB=AD； ∴ ABE ADG（SAS）， ∴△AE=AG，△ ∠BAE=∠DAG， 又∵∠DAF+∠BAE=45°， ∴∠DAF+∠DAG=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∴△AEF△AGF（SAS）， ∴EF=GD+DF=3+2=5；延长CD到G，使BE=DG，连接AG， 同理可证： ABE ADG，△AEF△AGF， ∴EF=GD+D△F=2.5；△ （2）延长FD到G，使BE=DG， ∵BE=DG，∠B=∠ADG，AB=AD； ∴ ABE ADG（SAS）， ∴△AE=AG，△ ∠BAE=∠DAG， 又∵∠DAF+∠BAE=45°， ∴∠DAF+∠DAG=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∴△AEF△AGF（SAS）， ∴EF=GD+DF=DF+BE； （3）分析可得（2）中结论仍然成立， 延长DB到E，使BE=AC，连接OE， ∵∠OAC=90°+20°=110°，∠DBE=180°-70°=110°，OA=OB, ∴△OAC△OBE， ∴OE=OC，即可证明△OCD△OED， ∴CD=DE=BD+BE=BD+AC=（150+180）5=1650m． 【点睛】此题属于推理探究类综合题考查全等三角形的性质及判定，有一定难度，主要总结该类题的规律 解题即可． 54．已知在数轴上，从左往右依次有四个点A，C，D，B，其中点A，B对应的数分别为7和9． 126 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)利用直尺和圆规作图：如图1，已知线段AC，CD，DB，在数轴上方，求作 ECD，使得EC  AC， EDBD（只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，在数轴上找一点F ，直接作出直线EF，使得直线EF平分 ECD的周长； (3)如图2，在 ECD中，点G为CE中点，过点G的直线交ED于M ，交CD的延长线于N ，若DM DN ， 求证：直线GN平分 ECD的周长； ECED P CE Q ED PQ  ECD PQ (4)如图3，若 ，点 在边 上，点 在边 上，且 平分 的周长．请问线段 的长是 否为定值？若是定值，请说明理由；若不是定值，当EP与EQ满足什么关系时，线段PQ最短，并说明理 由． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)证明见解析 EPEQ PQ (4)当 时， 最短． 【分析】（1）根据已知线段取EC  AC，EDBD，进而画出图形即可； （2）根据周长关系使AF BF ，即可找出F点在数轴上1的位置； （3）延长NG至点F，使GF GN，连接EF，根据全等三角形的判定和性质得出EF CN，进而利用线 段关系解答即可； EC PN EQ MN∥DE MN EP MP，MQ （4）延长 至点N，使 ，过N作 ，且 ，连接 ，再根据全等三角形 的判定和性质以及线段关系解答即可． 【详解】（1）解：如图1， ECD即为所求． （2）解：如图1，EF即为所求．（3）解：如图2：延长NG至点F，使GF GN，连接EF， ∵G为CE的中点， ∴GEGC， 在△GEF与 GCN 中，GEGC，EGF CGN，GF GN ， ∴ GEF≌  GCN（SAS）， ∴F N，EF CN ， ∵DM DN ， ∴N DMN ， ∵DMN GME， ∴F GME， ∴EF EM ， ∵GM 分别上部长：GEEM ，下部分长：GCCDDM ， ∵G为CE的中点， ∴GC GE， 128 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵EM CN CDDN CDDM ， ∴GEEM GCCDDM ，即直线GN平分 ECD的周长． EC PN EQ MN∥DE MN EP MP，MQ （4）解：如图3：延长 至点N，使 ，过N作 ，且 ，连接 ， EPQ≌ NMP（SAS）   由（3）可知， ， ∴PM PQ， 在 MPQ中，MQPM PQ2PQ， 1 ∴PQ MQ， 2 EPEQ PQ ∴当M、P、Q三点共线时，即 时， 最短． 【点睛】本题主要全等三角形的判定和性质、数轴、尺规作图等等知识点，灵活利用SAS证明三角形全等 是解答本题的关键． 三、与作图有关的几何问题 55．阅读下面材料，完成相应的任务：(1)小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形，由此判断命题①是 命 题(填“真”或“假”)； (2)小彬经过探究发现命题②是真命题，请你结合图2证明这一命题； (3)小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D' ， ，则四边形 ABCD≌四边形A′B′C′D′，请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题． 【答案】(1)假；(2)证明见解析；(3)∠B＝∠B′，∠C＝∠C′． 【分析】（1）连接AC，延长BC到E，过点E作EF∥CD，交AD的延长线于点F，则∠E=∠BCD， ∠F=∠ADC，将四边形ABEF平移得到四边形A′B′C′D′，则AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， ∠D=∠D′，而BC≠B′C′，AD≠A′D′，得出四边形ABCD和四边形A′B′C′D′不全等，即可得出结论； （2）连接BD，B′D′，证明△ABD≌△A′B′D′，得出BD=B′D′，∠ABD=∠A′B′D′，∠ADB=∠A′D′B′，再证明 △BCD≌△B′C′D′，得出∠C=∠C′，∠CBD=∠C′B′D′，∠BDC=∠B′D′C′，证出∠ABC=∠A′B′C′， ∠CDA=∠C′D′A′，即可得出结论； （3）连接AC、A′C′，证明△ABC≌△A′B′C′，得出AC=A′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠BCA=∠B′C′A′，得出 ∠ACD=∠A′C′D′，再证明△ACD≌△A′C′D′，得出AD=A′D′，∠D=∠D′，∠CAD=∠C′A′D′，证出 ∠BAD=∠B′A′D′，即可得出结论． 【详解】解：(1)连接AC，延长BC到E，过点E作EF∥CD，交AD的延长线于点F， 则∠E＝∠BCD，∠F＝∠ADC， 将四边形ABEF平移得到四边形A′B′C′D′，如图1所示： 130 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′， 而BC≠B′C′，AD≠A′D′， ∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′不全等， ∴命题①是假命题， 故答案为假； (2)证明：连接BD，B′D′，如图2所示： AB A'B'  AA' 在△ABD和△A′B′D′中，  DAD'A' ∴△ABD≌△A′B′D′(SAS)， ∴BD＝B′D′，∠ABD＝∠A′B′D′，∠ADB＝∠A′D′B′， BC B'C'  BDB'D' 在△BCD和△B′C′D′中，  CDC'D' ∴△BCD≌△B′C′D′(SS S)， ∴∠C ＝∠C′，∠CBD＝∠C′B′D′，∠BDC＝∠B′D′C′， ∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠A′B′C′＝∠A′B′D′+∠C′B′D′，∠CDA＝∠ADB+∠BDC，∠C′D′A′＝∠A′D′B′ +∠B′D′C′， ∴∠ABC＝∠A′B′C′，∠CDA＝∠C′D′A′， ∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′；(3)若AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D'，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，则四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′；理由 如下： 连接AC、A′C′，如图3所示： AB A'B'  BB' 在△ABC和△A′B′C′中，  BC B'C' ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)， ∴AC＝A′C′，∠BAC＝∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′， ∵∠C＝∠C′， ∴∠ACD＝∠A′C′D′，  AC  A'C'  ACDA'C'D' 在△ACD和△A′C′D′中，   CDC'D' ∴△ACD≌△A′C′D′(SAS)， ∴AD＝A′D′，∠D＝∠D′，∠CAD＝∠C′A′D′， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠B′A′D′＝∠B′A′C′+∠C′A′D′， ∴∠BAD＝∠B′A′D′， ∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′， 故答案为∠B＝∠B′，∠C＝∠C′． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等四边形的判定、全等三角形的判定与性质、真假命题、平行 线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键． 56．阅读下面材料：小强遇到这样一个问题：试作一个直角△ABC，使∠C=90°，AB=7，AC+BC=9．小 强是这样思考的：如图1，假定直角△ABC已作出，延长AC到点D，使CD=CB，则AD=9，∠D=45°， 因此可先作出一个辅助△ABD，再作BD的垂直平分线分别交AD于点C，BD于点E，连接BC，所得的 △ABC即为所作三角形．具体做法小强是利用图2中1×1正方形网格，通过尺规作图完成的． 132 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（1）请回答：图2中线段AB等于线段 ． （2）参考小强的方法，解决问题：请在图3的菱形网格中（菱形最小内角为，边长为a），画出一个 △ABC，使∠C=，AB=6b，AC+BC=8b．（在图中标明字母，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）AF；（2）见解析． 【详解】试题分析：（1）由作图过程可知，AB等于线段AF； （2）参考小强的作法完成尺规作图． 试题解析：解：（1）AB等于线段AF． （2）画图方法如图所示： 考点：尺规作图． 57．数学活动课上，同学们探究了角平分线的作法．下面给出三个同学的作法： 小红的作法 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再过点O作MN的垂线，垂足为 P，则射线OP便是∠AOB的平分线．小明的作法 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分 别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线． 小刚的作法 如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂 线，交点为P，则射线OP便是∠AOB的平分线． 请根据以上情境，解决下列问题 (1)小红的作法依据是 ． (2)为说明小明作法是正确的，请帮助他完成证明过程． 证明：∵OM＝ON，OC＝OC， ， ∴△OMC≌△ONC( )(填推理的依据) (3)小刚的作法正确吗?请说明理由 【答案】（1）等腰三角形三线合一定理；（2）CM=CN，边边边；（3）正确，证明见详解． 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一定理，即可得到结论成立； （2）利用SSS，即可证明△OMC≌△ONC，补全条件即可； （3）利用HL，即可证明Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得到结论成立． 【详解】解：（1）∵OM=ON， ∴△OMN是等腰三角形， O∵P⊥MN， ∴OP是底边上的高，也是底边上的中线，也是∠MON的角平分线； 134 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故答案为：等腰三角形三线合一定理； （2）证明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN， ∴△OMC≌△ONC（边边边）； ∴∠MOC=∠NOC， ∴OC平分∠AOB； 故答案为：CM=CN，边边边； （3）小刚的作法正确，证明如下： P∵M⊥OA，PN⊥OB， ∴∠OMP=∠ONP=90°， ∵OM=ON，OP=OP， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL）， ∴∠MOP=∠NOP， ∴OP平分∠AOB；  小刚的作法正确． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练 掌握全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质进行证明． 58．如图，由小正方形构成的88网格，每个小正方形的顶点叫做格点． ABC的顶点都在格点处，仅用 无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹） AC AC  AB,AC  AB (1)在图1中，画线段 ，使 ； (2)在图2中，画 ABC中AB边上的高CD； (3)在图3中，以AB和AC的长度为边画 AMN （M，N均在格点处， AMN 与 ABC不全等），使 S S △AMN △ABC． 【答案】(1)见详解；(2)见详解； (3)见详解 【分析】（1）找到格点C，连接AC即可； （2）过点C画出AB边的垂线，点C 和垂足间的线段CD即为所求作的； S S AMN ABC （3）若 △AMN △ABC，则满足 与 等底等高即可． 【详解】（1）线段BA是14的长方形的对角线，所以点C也在这样的长方形里；如下图所示： （2）根据网格图的特点，当高过点E和点C时，与AB交于点D，即得所求作的高. 如下图所示： （3）延长BA，在射线BA上数两个对角线得AM AB， ABC的高是2.5个对角线，直线a、b到直线BA 的距离与已知三角形的高相等，如下图所示： 【点睛】本题考查作图、应用与设计作图、三角形的面积，学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的 136 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！关键． 59．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等” 是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两 个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”． 探究：已知 ABC，求作一个 DEF ，使EF BC，F C，DE AB（即两边和其中一边所对的角分 别相等）． (1)动手画图 请用尺规作图的方法完成下面的作图过程： ①画EF BC；②在线段EF的上方画F C；③画DE AB． (2)观察 观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有______个；其中三角形______（根据自己作图标注的字母 填三角形的名称）与 ABC明显不全等； (3)小结 经历以上探究过程，可得结论：______． 【答案】(1)见解析(2)2，DEF(3)见解析 【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）根据所画图形填空即可； （3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）解：①截取EF BC； ②以C为圆心，任意长度为半径画弧，分别交CA、BC于点M、N，再以F为圆心，相同长度为半径画弧， 交EF于点P；以N为圆心，MN长度为半径画弧，再以P为圆心，相同长度为半径画弧，交于点Q，连 接FQ，可得F C； ③截取DE AB，如图， （2）解：观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形DEF与 ABC明显不全等；（3）解：经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等； 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是 解题的关键． 60．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具 时，点Q在轨道槽AM 上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽 QN PAQ30 上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当 ， PQ6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；②当PAQ30，PQ9时，可得到形状唯一确定的△PAQ； ③当PAQ90，PQ10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；④当PAQ150°，PQ12时，可得到 形状唯一确定的△PAQ，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】分别在以上四种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM 的交点即为Q点， 作出△PAQ后可得答案． 【详解】解：如图，当PAQ30，PQ6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两 个交点，作出△PAQ，发现两个位置的Q都符合题意，故△PAQ不唯一，故①错误，不符合题意， ； 如图，当PAQ30，PQ9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出 △PAQ，发现左边位置的Q不符合题意，故△PAQ唯一，故②正确，符合题意， ； 如图，当PAQ90，PQ10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作 出△PAQ，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故△PAQ唯一，故 138 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！③正确，符合题意， ； 如图，当PAQ150°，PQ12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作 出△PAQ，发现左边位置的Q不符合题意，故△PAQ唯一，故④正确，符合题意， ； 综上所述，结论正确的是②③④， 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法的探究，关键是确定以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与 直线AM 的交点个数． 四、全等三角形的综合问题 61．在等边 ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A 爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D，E处，请问： (1)如图1，爬行过程中，CD和BE的数量关系是________； AB CA D E EB CD Q (2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段 ， 的延长线上的 ， 处时，若 的延长线与 交于点 ， 其他条件不变，蜗牛爬行过程中CQE的大小将会保持不变，请你证明：CQE60； (3)如图3，如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着线段BC的延长线爬行，连接DE交AC于F ”，其 他条件不变，求证：DF EF ．【答案】(1)CDBE (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关 键． （1）证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质证明； （2）根据△ADC≌△CEB，得到ADCE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案； （3）过点D作DH∥BC交AC于H ，证明 DFH≌  EFC，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）解：CDBE，理由如下：  ABC为等边三角形， AACB60，AC BC， 由题意得：ADCE， 在△ADC和 CEB中， ADCE  AACB ，  AC CB ADC≌ CEBSAS   ， CDBE； ADC≌ CEBSAS   （2）证明如下：由（1）可知 ， ADCE， EABEBAC60，DBQABE，  CQEADCDBQ60； （3）证明：过点D作DH∥BC交AC于H ， HDF CEF ，  ABC为等边三角形，   ADH 为等边三角形， HD AD， ADCE，  DH CE， 140 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！在  DFH 和 EFC中， HDF CEF  DFH EFC ，  DH CE DFH≌ EFCAAS   ， DF EF ． 62．如图，在 ABC中，ACB90，AC BC，D为射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AD 并延长到点E，使得DE AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F ． (1)如图1，点D在线段CB上，且DBCD． ①请补全图形； ②判断CD，DB，CF之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD，DB，CF之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 【答案】(1)①见解析；②CDBDCF，证明见解析 (2)画图见解析，CF CDBD (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作EGCB交CB的延长线于G，证明 ACD≌  EGD得到CDDG， AC EG EGBC CBF≌ GEB CF BG  AC EG，从而得到EGBC，证明 CBF≌  GEB得到CF BG，即可得证； （2）根据题意画出图形，作EGCB交CB的延长线于G，证明 ACD≌  EGD得到CDDG，AC EG， 从而得到EGBC，证明 CBF≌  GEB得到CF BG，即可得证； （3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ； ②CDBDCF， 证明：如图，作EGCB交CB的延长线于G， ， 则ACDEGD90， 在 ACD和 EGD中， ACDEGD  ADC EDG ，  ADED  ACD≌ EGDAAS   ， CDDG，AC EG，  ACBC， EGBC，  BF BE， EBF 90， CBFEBG90，  BEGEBG90， 142 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！BEGCBF， 在VCBF 和 GEB中， FCBBGE  CBF GEB ，  BC EG  CBF≌ GEBAAS   ， CF BG， CDDGBDBGBDCF； （2）解：画出如图所示： ， 关系：CF CDBD， 作EGBC交BC的延长线于G， 则ACDEGD90， 在 ACD和 EGD中， ACDEGD  ADC EDG ，  ADED  ACD≌ EGDAAS   ， CDDG，AC EG，  ACBC， EGBC，  BF BE， EBF 90， CBFEBG90，  BEGEBG90，BEGCBF， 在VCBF 和 GEB中， FCBBGE  CBF GEB ，  BC EG  CBF≌ GEBAAS   ， CF BG， CF BGBCCDDGBDCD； （3）解：若点D在线段CB上，且DBCD时，CD、DB、CF之间的数量关系是什么？ 63．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB交x轴的正半轴交于点A，交 y 轴的正半轴于 点 B ，且 ABO45 ， S △AOB 18 ． (1)求点A、B的坐标； (2)点C是线段OA上的一点（与点O、A不重合），其横坐标为t，点D在第四象限内的直线BA上，且D 的纵坐标为t，点E在 y 轴的负半轴上，线段OE的长为d，连接CB、CD、CE，当BCE DCE时， 求d与t之间的关系式； (3)在（2）的条件下，连接AE，交线段CD于点F ，点G在线段BC上，连接AG，若AFDAGC， AG AE，求点F 的横坐标． A6,0 B0,6 【答案】(1) ， (2)d t (3)F 的横坐标是4 【分析】（1）先证明三角形BAO是等腰直角三角形，再根据面积即可求出边长，即可得到答案； 144 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！Rt BOC≌Rt CHDHL BCE≌ DCESAS D DH x     （2）过点 作 轴，垂足为H，证明 ，再证明 ，最终 通过证明四边形OEDH 为矩形求得答案； （3）在x轴负半轴上取一点K，使OK OC，连接BK ，在BK 上取一点H ，使BH CG，连接CH ，过 F FM  AC M △ADE≌△CED △CBH≌△AGC(SAS) 作 ，垂足为 ，通过证明 进一步证明 ，从而证得 CK AC求得答案． 【详解】（1）解： BOAO， ∴ AOB90，  ABO45， BAO45， BAOABO， OAOB 1 1 S  OAOB OA2 18， AOB 2 2 OA6或OA6（舍）， OAOB6 A6,0 B0,6 ， ； （2）解： 点C在x轴上，横坐标为t，  Ct,0 ， E0,d OC t ， 过点D作DH x轴，垂足为H，如下图所示， ∠AHD 90，∵DAH BAO45， HADHDA45， AH HD，  D点纵坐标为 t ， AH DH t OC DH  AH t， OCCA AH CA， OACH ， BOCH， BOCH  在Rt BOC和Rt CHD中OC HD，   Rt BOC≌Rt CHDHL   ， BCDC， 在 BCE和△DCE中， BC DC  BCE DCE ，  CE CE  BCE≌ DCESAS   ， BEDE， DBEBDE45， 在 BED中，BED180DBEBDE90， BEDE， OED90，  OE AO， AOE90，DHO90， 四边形OEDH 中，OEDHOEDHOEDH 360， EDH 90， 四边形OEDH 为矩形， DEOH OAAH 6t， BEBOOE6d ， 146 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！d t； （3）解：在x轴负半轴上取一点K，使OK OC，连接BK ， BO是 BCK的中线，  BOCK， BO是CK 的垂直平分线， BC BK ， BCOBKO，  BOCK， BO是 BCK的角分线， CBOKBO， BOOA  BOC AOE ∵  OC OE BCO≌ AEOSAS   ∴ ， AEBC，EAOCBO， OEND  EOC AND ∵  OC  AN △OCE≌△ADNSAS ∴ ， CE AD， OEND  AOECND ∵  AOCN △AOE≌△CNDSAS ∴ ， ∴AECD EC AD  CD AE ∵  DEDE ADE≌ CEDSSS   ∴ ，AEDCDE，  ED∥OA， CAF FED，ACF FDE， FAC FCA， AFD2CAD，  CBK 2EAO， AFDCBK ，  AFDAGC， AGC CBK ，在BK 上取一点H ，使BH CG，连接CH ， BH CG  AGC CBK ∵  AGBC △CBH≌△AGC(SAS)， CH AC， ∵BCK KHC，BCK BKC， ∴KHC BKC ∴CH CK ， CK  AC，  OC t， CK 2t， AC 2t，  OAOCAC 6， t2， AC4， 过F 作FM  AC，垂足为M ，  AF CF ， CM  AM 2， OM 4， F的横坐标是4． 148 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【点睛】本题考查全等三角形、等腰直角三角形和矩形的性质，属于全等三角形综合题，解题的关键是灵 活添加辅助线，构造全等三角形． 64．问题提出（1）如图1，已知：BC∥DF，CF∥BD，探究：BC和DF的数量关系并加以证明； 问题探究（2）如图2，在 ABC中，AB AC，过点C作射线CF∥AB，连结BF交边AC于点E，点D 在边AB上，连接DF，若FDBAEF ，探究BE和FD的数量关系并加以证明； 问题拓展（3）如图3，锐角 ABC中，AB AC，过点C作直线l∥AB，点E为边AC上一点，连接BE 并延长交直线l于点F ，点D在边AB上，若BEFD，直接写出FDB和AEF的数量关系． ________________． 【答案】（1）BCDF，证明见解析；（2）BE DF，证明见解析；（3）FDBAEF 或 FDBAEF 180 【分析】（1）由“ASA”可证 BCD≌  FDC，可得BCDF； （2）由“AAS”可证△ABE≌△ACH ，可得BECH，可得结论； （3）由“SAS”可证△ABE≌△ACH ，可得CH BE，ACH ABE，分两种情况讨论，由角的数量 关系可求解． 【详解】解：（1）BCDF，理由如下：如图1，连接CD，QBC∥DF ，CF∥BD， BCDCDF ，DCF BDC， 又 CDDC， △BCD≌△FDC(ASA) ， BC DF； （2）BE DF，理由如下： 如图2，过点C作CH∥DF ，交AB于H ，  CH∥DF，CF∥AB， CH DF，CHDBDF 180， FDBAEF，AEFAEB180，  CHDAEB， 又 ABAC，AA， △ABE≌△ACH(AAS) ， BECH ， BEDF ； （3）在AB上截取AH  AE，连接HC，交BE于点O， 150 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ABAC，AA，AH  AE， △ABE≌△ACH(SAS) ， CH BE，ACH ABE， 又 BOH COE， BHOCEOAEF，  BEDF ， CH DF， 当CH∥DF 时，则BDF BHO， BDF BHOAEF ， 当CH 不平行DF，则四边形DFCH是等腰梯形， BDF CHA，  BHCCHA180， BDFAEF 180， 故答案为：相等或互补． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，截长补短，分类讨 论． Aa，b |ab|b42 0 65．已知：平面直角坐标系中，点 的坐标满足 ．(1)如图1，求证：OA是第一象限的角平分线； (2)如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N 分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以 相同的速度相向运动(不包括点O和点A)，过A作AEBM 交x轴于点E，连BM、NE，猜想ONE与 NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，F 是 y 轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过 点F 点作OFE的角平分线交OA于点H ，过点H 作HK x轴于点K，求2HKEF的值． 【答案】(1)见解析； (2)2ONENEA90，证明见解析； (3)8． 【分析】（1）根据非负性得出ab4，过点A分别作x轴， y 轴的垂线，垂足分别为M、N，进而利用角 平分线的性质解答即可； （2）过A作AH 平分OAB，交BM 于点H ，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （3）过H 作HM OF ，HN EF 于M、N ，根据全等三角形的判定和性质解答． |ab|b42 0 【详解】（1）解：∵ |ab|0，（b4）2 0 ∴ |ab|0，（b4）2 0 ∴ ∴ab4 如图1，过点A分别作x轴， y 轴的垂线，垂足分别为M、N ，则AN  AM ∴OA平分MON 即OA是第一象限的角平分线． （2）解：如图2，过A作AH 平分OAB，交BM 于点H ∴OAH HAB45 ∵BM  AE ∴ABH OAE 在 AOE与 BAH中 OAEABH  OA AB  AOEBAH 152 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！AOE≌ BAHASA   ∴ ∴AH OE 在 ONE和 AMH 中 OE AH  NOEMAH  ON  AM ONE≌ AMHSAS   ∴ ∴AMH ONE 设BM 与NE交于K ∴MKN 1802ONE90NEA ∴2ONENEA90 （3）如图3，过H 作HM OF ，HN EF 于M、N ，连接HE ∵点FHS是OFE的角平分线， ∴OFH EFH ， HNF HMF  NFH MFH  FH FH FMH≌ FNHAAS   ∴FM FN ∵AOQ45， ∴MH HK HN ， 在Rt  EKH和Rt  ENH 中， HK HN  HEHE ∴NEEK ∴OEOFEF 2HK 过A作AP y轴于P，AQx轴于Q， ∵OA为角平分线， ∴AP AQ，∵FAPPAEEAQPAE ∴FAPEAQ， AF  AE  FAPEAQ ，  AP AQ APF≌ AQESAS   ∴PF EQ ∴OEOF 2OP8 ∴2HKEF OEOF 8 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是 全等三角形性质和判定的运用． 66．已知CD是经过BCA顶点C的一条直线，CACB．E、F分别是直线CD上两点，且 BEC CFA． (1)若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： BEAF ①如图1，若 BCA90 ， 90 ，则BE CF ；EF （填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图2，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立， 并证明两个结论成立； 154 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)如图3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请写出三条线段EF、BE、AF 的数量关系的合 理猜想 （不要求证明）． (3)拓展应用：如图④，在 ABC中，AB AC，ABBC．点D在边BC上，CD2BD，点E、F在线段 AD上，12BAC．若 ABC的面积为18，△ACF与△BDE的面积之和是 ． 【答案】(1)①=，=；②BCA180 (2)EF BEAF (3)6 【分析】（1）①求出BEC AFC90，CBEACF，根据AAS证△BCE≌△CAF ，推出 BECF ，CE AF即可得出结果； ②求出CBEACF，由AAS证△BCE≌△CAF ，推出BECF ，CE AF即可得出结果； （2）求出BCECAF ，由AAS证△BCE≌△CAF ，推出BECF ，CE AF即可得出结果； （3）由CD2BD， ABC的面积为18，可求出△ABD的面积为6，再由ASA证得VABE≌VCAF ，得出 △ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵BCA90，90， ∴BCECBE90，BCEACF 90， ∴CBEACF， 在 BCE和VCAF中， CBEACF  BEC CFA ，  CBCA BCE≌ CAFAAS   ∴ ， ∴BECF ，CE AF， EF  CFCE  BEAF ∴ ， 故答案为：=，=； ②添加一个关于与BCA关系的条件：BCA180，理由如下： 在 BCE中，CBEBCE 180BEC 180， ∵BCA180， ∴BCACBEBCE， ∵ACFBCEBCA，∴CBEACF， 在 BCE和VCAF中， CBEACF  BEC CFA ，  CBCA △BCE≌△CAFAAS ∴ ， ∴BECF ，CE AF， EF  CFCE  BEAF ∴ ， 故答案为：BCA180； （2）解：三条线段EF、BE、AF 的数量关系的合理猜想为：EF BEAF，理由如下： ∵BEC CFA，BCA，BCABCEACF 180，CFACAFACF 180， ∴BCECAF ， 在 BCE和VCAF中， BCECAF  BEC CFA ，  BC CA BCE≌ CAFAAS   ∴ ∴BECF ，EC FA， ∴EF CFEC BEAF ， 故答案为：EF BEAF； （3）解：∵ ABC的面积为18，CD2BD， 1 ∴S  186 ABD 3 ∵12BAC，1BAEABE，BAC BAECAF ，2ACFCAF ， ∴ABE CAF，BAEFCA， 在 ABE和VCAF中， ABECAF  AB AC ，  BAEACF 156 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ABE≌ CAFASA   ∴ ， S S 即 △ACF △ABE， S S S S S 6 ∴ ACF BDE ABE BDE ABD ， 故答案为：6． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、线段的和差关系，三角形的面积计 算、三角形的外角性质等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生 变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型． 67．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如 图， ABC中，AB6，AC 4，求BC边上的中线AD的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了 这样的解决办法：延长AD到点E，使DE AD．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得AD的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知BACCDE180，AB AC，DC DE，P为BE的中点． （2）如图1，若A，C，D共线， AC:CD3:5 ， S ABP 6 ，求四边形 ABED 的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，APPD，求证：AB AC； （4）如图3，若点C在BE上，记锐角BAC ，且AB AC CDDE，则PDC的度数是______． （用含α的代数式表示）  【答案】（1） 1＜AD＜5 ；（2）S 四边形ABED 32；（3）证明见解析；（4）45 2 【分析】（1）先证明 ADC≌  EDB，根据三角形三边之间的关系即可进行解答；（2）DP交AB延长线于点F ，证△BPF≌△EPD即可； （3）延长DP至点F ，使得PF PD，连接BF、AF 、AD，证△BPF≌△EPD及 ABF≌  ACD即可； （4）过点C作CM BC交AP于点M，由（3）可得APD90，证 ACM≌  DCP，用含的代数式表 示出即可． 【详解】解：（1）延长AD到点E，使DE AD． ∵AD是BC边的中线， ∴BDCD， ∵ADCBDE， ∴ ADC≌  EDB， ∴ADDE，BE AC 4， ∴64 AE64，即2 AE10， ∴1 AD5， 故答案为：1＜AD＜5． （2）解：如下图，延长DP交AB延长线于点F ， ∵BACCDE180， AF∥DE（同旁内角互补，两直线平行）， PFBPDE，PBF PED，  P为BE的中点， BPPE，  BPF≌ EPDAAS   ， S S BF DE DC ， PDPF ， 四边形ABED ADF ， S S ADP AFP， ∵AC∶CD3∶5， S ∶S 3：5 ABP BPF ， 158 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！S 10 BPF ， S 16 则 APF ， S S 2S 32 四边形ABED ADF APF ． （3）延长DP至点F ，使得PF PD，连接BF、AF 、AD， ∵PBPE，DPE FPB， DPE≌ FPBSAS   ， BF DECD，EFBP，  BACCDE180，且BACCADADCCDEE360， CADCADC 180， ABF ACD， ∵AB AC，  ABF≌ ACDSAS   ， AF  AD，BAF CAD， ∵PF PD，AP AP，  APF≌ APDSSS   ， APDAPF 180290， APPD，  PAD45， 同理可得，PAF 45， FAD90， BAC 90 ABAC．（4）过点C作CM BC交AP于点M，如图， APD90,BAC ，BACCDE 180,AB AC CDDE 由（3）可知 ， 180  ACB 90 ， 2 2 CDE 180  DCE90 90  ， 2 2 2 ACB和DCE互余，ACDMCPAPD90,  ACM DCP ,CAM CDP， 2   ACM≌  DCP， ∴MC PC, ∴BPA45，  又∵ACB90 ， 2  ∴PDC PAC BCAAPB45 ， 2  故答案为：45 ． 2 【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，多边形内角和 定理，等腰三角形的性质，作出辅助线推理论证是解题的关键． 68．在平面直角坐标系中， ABC为等腰直角三角形，CACB，ACB90，其中点B在x轴正半轴上， 点C在 y 轴正半轴上，AB交 y 轴负半轴于点D． (1)如图 1 ，点 C 的坐标是 0,4 ，点B的坐标是 8,0 ，直接写出点A的坐标为________； 160 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)如图2，AE AB交x轴负半轴于点E，连接CE，CF CE交AB于点F ． ①求证：CECF； ②求证：点D是AF 的中点． 4,4 【答案】(1) ； ① ② (2) 见解析； 见解析． 【分析】（ 1 ）过点A作 AH  y 轴于点H ，证明  AHC  COBAAS ，可得 AH OC 4 ， H OB8 ， 可得结论； 2 ①  ECA  FCBASA （ ） 证明 ，可得结论； ②过点F 作FN CD，过点A作AM CD，利用三次全等解决问题即可． AH  y A H 【详解】（1）如图，过点 作 于点 ， ∵点 C 的坐标是 0,4 ，点B的坐标是 8,0 ， ∴OC4， OB8， ∵AHC COBACB90， ∴ACHBCO90，BCOCBO90， ∴ACH CBO， 在 AHC和△COB中， AHC COB  ACH CBO ，  CABC △AHC≌△COBAAS ∴∴AH OC 4，CH OB8 ∴OH CH CO844, A4,4 ∴ ， 4,4 故答案为： ； ① （2） 如图， ∵CACB，ACB90 ∴CABCBF 45， ∵AE AB ∴EAC CABCBF 45， ∵CE CF ∴ECF ACB90 ∴ECAFCB， 在△ECA和 FCB中， ECAFCB  CACB ，  EAC FBC △ECA≌△FCBASA ∴ ∴CECF ②如图，过点F 作FN CD于点N ，过点A作 AM CD于点M ， ∵ECF EOC CNF 90， ∴ECOFCN 90，FCNCFN 90, ∴ECOCFN ， 在△EOC和 CNF中， 162 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！EOC CNF  ECOCFN ，  CECF △EOC≌△CNFAAS ∴ , ∴OCFN， 同理可证△BOC≌△CMA， ∴OC  AM ， ∴FN  AM , 在 FND和 AMD中， FDN ADM  FNDAMD90 ，  FN  AM ∴△FND≌△AMD， ∴DF  AD． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解 题的关键． 69．如图，在平面直角坐标系中， ABC是直角三角形，且BAC是直角． A2,0 B0,4 AB AC (1)若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C在第三象限，且 ，求点C的坐标． A2,0 B2,0 AB AC PC (2)若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， ，点P为y轴正半轴上一动点，连接 交 x轴于点E，点F是点E关于y轴为对称轴的对称点连接PF且延长PF交BC于点D，连接AD交PC于点 G．点P在运动过程中是否存在ADPC，若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由（提示：作 BAC的平分线交PC于点H）．A2,2 B0,m Cn,0 mn (3)若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，是否存在 为定值，若 存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． C6,2 【答案】(1)C点的坐标为 (2)存在点P，使ADPC，理由见解析 (3)存在mn为定值，其定值为mn4 【分析】（1）过点C作CM x轴于点M，可证明 AMC≌  BAO，进而求得结果； （2）作BAC的平分线交PC于H，先证明  EAH≌  FBD，从而AH BD，进而证明 ACH≌  BAD，进 一步得出结论； （3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为N,K，可得△ACN≌△ABK，进而得出结果． 【详解】（1）过点C作CM x轴于点M． ∵BAC是直角， ∴1290 ∵CM x轴， ∴1+3=90， ∴23 ∵AOBAMC 90，AB AC， ∴△AMC≌△AOB ∴CM  AO，AM BO， A2,0 B0,4 ∵ ， ， ∴CM 2，OM 6 6,2 ∴C点的坐标为 （2）存在点P，使ADPC． 理由：作BAC的平分线交PC于H． 164 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵AB AC，CA AB， ∴ABC=45，BAH CAH 45 ∵E，F关于y轴对称， ∴OEOF， ∵OAOB2，POEF， ∴AEBF，AEH BFD， ∴△EAH≌△FBD， ∴AH BD ∵AB AC，ABDCAH 45， ∴△ACH≌△BAD， ∴13， ∵1290， ∴3290， ∴ADPC． （3）存在mn为定值，其定值为mn4． 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、K． ∵2190，1+3=90， ∴32 ∵AN  AK 2，ANC AKB90，∴△ANC≌△AKB， ∴NCBK A2,2 B0,m Cn,0 ∵ ， ， ， N2,0 K0,2 ∴ ， ， ∴NC n2，BK 2m， ∴n22m， ∴mn4 ∴存在mn为定值，其定值为mn4． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标与线段长之间的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定 和性质等知识，解决问题的关键是利用等腰直角三角形构造全等三角形． 70．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在 ABC中， BAC 90,AB AC BD CE ，直线l经过点A， 直线l， 直线l，垂足分别为点D、E．证明： DEBDCE． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在  ABC中，AB AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有BDAAEC BAC，其中α为任意锐 角或钝角．请问结论DEBDCE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过 ABC的边AB、 AC向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt  ACE，AH 是BC边上的高，延长HA交DE于点I，求证：I是DE的中 点． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）见解析 △ADB≌△CEAAAS AE BD，ADCE DEBDCE 【分析】（1）由条件可证明 ，可得 ，可得 ； （2）由条件可知DBABADBADCAE180，可得DBACAE，结合条件可证明 △ADB≌△CEAAAS 166 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！△ADB≌△CEAAAS ，同（1）可得出结论； （3）过E作EM HI于M，GN HI 的延长线于N．由条件可知EM  AH GN ，可得EM =GN ，结 EMI≌ GNIAAS   EG 合条件可证明 ，可得出结论I是 的中点． 【详解】解：（1）如图1， ∵BD直线l，CE直线l， ∴BDACEA90， ∵BAC90， ∴BADCAE90 ∵BADABD90， ∴CAEABD， 在  ADB和 CEA中， ABDCAE  BDACEA ，   AB AC ∴△ADB≌△CEAAAS， ∴AE BD，ADCE， ∴DE AEADBDCE； （2）DEBDCE． 如图2， 证明如下： ∵BDABAC ，∴DBABADBADCAE180， ∴DBACAE， 在  ADB和 CEA中． BDAAEC  DBACAE ，   AB AC ∴△ADB≌△CEAAAS， ∴AE BD，ADCE， ∴DE AEADBDCE； （3）证明：延长HI，过D作DM HI于M，EN HI 的延长线于N，如图所示： ∴DMI ∠ENI 90， 由（1）和（2）的结论可知DM  AH EN， ∴DM EN， 在△DMI 和 ENI中， EIM GIN  EMI GNI ，   EM GN DMI≌ ENIAAS   ∴ ， ∴DI EI， ∴I是DE的中点． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是 解题的关键． 71．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，BAD90，BCD90，BABC，ABC 120， MBN 60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F ． 168 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系是______． (2)探究延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB AD，BADC180，E、F 分别是BC，CD上的点， 1 EAF  BAD ，线段 ， ， 的数量关系； 2 EF BE FD (3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）正东50海里的C处．舰艇乙在指挥 中心（O处）北偏东30且距离指挥中心50海里的A处，两舰接到指挥中心行动指令后，舰艇甲向北偏西 30以100海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿西偏南60的方向以60海里/小时的速度前进，在指挥中 心（O处）在东偏南30的方向有一观测站D，且到指挥中心（O处）与到舰艇甲起始位置C处的距离相 等，2小时后，观测站D观测到甲、乙两舰艇分别到达N 、M 处，且观测站测得两舰艇视线之间的夹角 为60．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)EF CFAE； (2)EF BEFD，理由见解析； (3)两舰艇之间的距离是130海里． 1 DA G AGCF BG VBCF≌VBAGSAS CBF ABG 【分析】（ ）延长 至 使得 ，连接 ，证明 ，则 ， GBE≌ FBESAS BF BG   EF CFAE ，再证明 ，即可得出 ； （2）延长 CD 至 G 使得 DGBE ，连接 AG ，证明 △ABE≌△ADGSAS ，则 ∠BAE∠GAD AE AG  EAF≌  GAFSAS EF FGDGDF BEFD ， ，再证明 ，即得 ； （3）根据题意分析，符合图2的条件，代入求解即可． 【详解】（1）EF CFAE，理由如下： 如图，延长DA至G使得AGCF，连接BG，BC BA  BCF BAG90 在 与 中，  △BCF △BAG CF  AG VBCF≌VBAGSAS ∴ ， ∴CBF ABG，BF BG， ∴GBEABGABECBFABECBAEBF 1206060EBF ， GBFB  GBEFBE 在 与 中， ，   GBE  FBE BEBE GBE≌ FBESAS   ∴ ， ∴EF GEGAAE CFAE， 故答案为：EF CFAE； （2）EF BEFD，理由如下： 如图，延长CD至G使得DGBE，连接AG， 由于ABEADC 180得ABEADG， AB AD  ABE ADG 在 与 中，  ABE △ADG BEDG  △ABE≌△ADGSAS ∴ ， 170 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴∠BAE∠GAD，AE AG， ∴EAGEADDAGEADBAF BAD， 1 EAF  BAD ∵ ， 2 1 ∴EAF  EAG， 2 ∴EAF GAF ， EAGA  EAF GAF 在 与 中， ，  △EAF GAF AF  AF  EAF≌ GAFSAS   ∴ ， ∴EF FGDGDF BEFD， （3）易知CN 1002200，AM 602120，OM  AM OA70 由题意得：COD30，ACOAOC 60，DC DO， ∴DCOCOD30，CDO120， ∴AOD90，ACD=90，AODACD180， ∵MDN 60， 1 ∴MDN  CDO， 2 ∴此图符合图2的条件， 根据（2）的结果，MN CNOM 20070130（海里）， 故此时两舰艇之间的距离是130海里． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注 意类比思想的灵活应用． 72．【综合与实践】 问题情境：变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心 旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．数 学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．如图1， ABC与△EDC都是等腰直角 三角形，点E，D分别在AC和BC上，连接EB．将线段EB绕点B顺时针旋转90，得到的对应线段为BF． 连接BE，DF．“兴趣小组”提出了如下两个问题：①AEBD，AEBD；②DF  AB，DF  AB．解决问题： （1）请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题． 探索发现： △EDC 090 （2）“实践小组”在图1的基础上，将 绕点C顺时针旋转角度 ，其它条件保持不 变，得到图2． ①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成立，请给出证明；若不 成立，请说明理由． ②如图3，当ADAF时，请求出此时旋转角α的大小． 【答案】（1）见解析；（2）①成立，见解析；②45° 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC BC，EC DC，得到AEDB得到AEBDBF ， ABDF ABEDFB AQF 90 根据全等三角形的性质得到 ， ，求得 ，结合垂直的定义得到证明； （2）①如图2，延长AE与BD交于点P，求得ACEDCB，根据全等三角形的性质得到AEBD， CAECBD，求得APB90，即APBD，根据全等三角形的性质得到ABDF，ABEDFB， 求得AQF 90，即ABDF ； 1 ②推出 垂直平分 得到 ，根据全等三角形的性质得到ECBDCB ECD45 AB DF BDBF BE 2 即可得到结论； 【详解】（1）证明： ABC与△EDC为等腰直角三角形， AC BC，EC DC， AEDB，  AEBCEBC ，DBF EBFDBE，CEBF 90， AEBDBF， 172 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ EBBF ， DBFSAS  AEB   ≌ ， ABDF ，ABEDFB，  ABEABF 90， DFBABF 90， AQF 90，即ABDF ； （2）①如图2， 延长AE与BD交于点P，  ACBECD90， ACEDCB，  ACBC，CECD， BCDSAS  ACE   ≌ ， AEBD，CAECBD．  AOC BOP，AOCCAO90， CBDBOP90， APB90，即AEBD，  AEBAPBEBD，DBF EBFDBE，APBEBF 90， AEBDBF，  EBBF ， DBFSAS  AEB   ≌ ， ABDF ，ABEDFB．  ABEABF 90，DFBABF 90， AQF 90，即ABDF ； ②  AD AF，ABDF ， AB垂直平分DF． BDBF BE，  EC DC，BC BC， BDCSSS  BEC   ≌ ， 1 ECBDCB ECD45， 2 旋转角的大小是45． 【点睛】本题主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、掌握全等三角形的判定 定理和性质定理是解题的关键． 174 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！