第四章综合素质评价
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1． 如图，木工师傅做门框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木
条起到稳固作用，这样做的数学原理是（ ）
（第1题）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．两直线平行，同位角相等
2．母题教材P92随堂练习T2(2) 如图，在△ABC中，∠ACB>90∘ ,AD⊥BC，
交BC的延长线于点D，BE⊥AC，交AC的延长线于点E，FC⊥BC于点C.下
列说法错误的是（ ）
（第2题）
A．FC是△ABC的AB边上的高 B．BE是△ABC的AC边上的高
C．AD是△ABC的BC边上的高 D．BC不是△ABC的高
3．[2024绵阳期中]下列说法正确的是（ ）
A．三角形的三条中线交于一点
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
4．如图，在△ABC中，∠BAC=x∘ ，∠B=2x∘ ，∠C=3x∘ ，则∠BAD的度
数是（ ）
（第4题）
A．145∘ B．150∘ C．155∘ D．160∘
5．[2024济南]如图，已知△ABC≌△DEC,∠A=60∘ ,∠B=40∘ ，则∠DCE的
度数为（ ）
（第5题）
A．40∘ B．60∘ C．80∘ D．100∘
6．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
1/9（第6题）
A．70∘ B．75∘ C．80∘ D．85∘
7．如图，左侧△ABC的三边长分别为a，b，c，则甲、乙、丙、丁四个三角形
中和左侧△ABC不全等的是（ ）
（第7题）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．如图，△ABC中BC边上的高为h ,△DEF中DE边上的高为h ，下列结论正
1 2
确的是（ ）
（第8题）
A．h >h B．h <h
1 2 1 2
C．h =h D．无法确定h 与h 的大小关系
1 2 1 2
9． 有四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中
任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（ ）
A．组成的三角形中周长最小为9
B．组成的三角形中周长最小为10
C．组成的三角形中周长最大为19
D．组成的三角形中周长最大为16
10．如图，在△ABC中，∠BAC=90∘ ,AB=2AC,点D是线段AB的中点，将一
块锐角为45∘ 的直角三角尺(△ADE)按如图放置，使直角三角尺斜边的两个端
点分别与A，D重合，连接BE，CE，CE与AB交于点F.下列判断正确的有（
）
（第10题）
①△ACE≌△DBE；②BE⊥CE;③DE=DF；④S =S .
△DEF △ACF
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
11．如图，已知直线a//b，∠1=50∘ ，∠2=65∘ ，则∠3=________.
2/9（第11题）
12． 如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添
加条件____________________________时，就可得到△ABC≌△FED.（只需填
写一个你认为正确的条件）
（第12题）
13．母题教材P112习题T2 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B间的距离，
可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D，使BC=CD，再画出BF的垂线
DE，使E与A，C在一条直线上.若想知道A，B间的距离，只需要测量出线段
________的长即可.
（第13题）
14．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AB的中点，若△AED的面积为
1，则△ABC的面积为______.
（第14题）
15． 如图，AB=12m，C A⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且
AC=4m，点Q从点B向点D运动，每分钟走2m，点P从点B向点A运动，P，Q
两点同时出发，当点P每分钟走________________________时，△C AP与
△PQB存在全等的情况.
（第15题）
三、解答题（共 75 分）
3/916．（10分） 如图，B，C分别为射线BA,CD的端点，连接
BC，按要求完成下列各小题（保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字
母）：
（1） 在BC的右侧，作∠BCE=∠BCD，交射线BA于点E；
（2） 在（1）的条件下，求作△CBF（点F在∠BCD内），使得
△CBF≌△BCE.
17．（12分）已知BD，CE是△ABC的两条高，直线BD，CE相交于点H.
（1） 如图.
① 在图中找出与∠DBA相等的角，并说明理由；
② 若∠BAC=125∘ ，求∠DH E的度数.
（2） 若△ABC中，∠BAC=50∘ ，请直接写出∠DH E的度数.
18．[2024济南章丘区期末]（12分）如图所示，小安同学为电力公司设计了一
个安全用电的标识，点A，D，C，F在同一条直线上，且AF=DC，BC=EF，
BC//EF.
（1） 试说明：AB//DE；
（2） 若∠A=20∘ ，∠AFE=102∘ ，求∠E的度数.
19．（12分） 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如
图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取点M，N，使得OM=ON，
移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线
OC便是∠AOB的平分线.
（1） OC是否平分∠AOB？请说明理由.
（2） 继续测量得∠AMC=50∘ ，∠MCN=30∘ ，求∠AOB的度数.
4/920．（14分） 如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC边上的一点，
连接DE，∠A+∠DEC=180∘ .
（1） 试说明：AD=ED；
（2） 若∠DEB=120∘ ,∠C=40∘ .
① 求∠BDE的度数；
② 若CM平分∠ACB,交BD于点M，如图②，求∠CMB的度数.
21．（15分） 如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=10cm，
BC=8cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C
运动，同时，点Q在线段C A上由点C向点A运动，设点P运动的时间为ts.
（1） 用含t的式子表示PC的长为________________________.
（2） 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP
是否全等？请说明理由.
（3） 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，
能够使△BPD与△CQP全等？
5/9【参考答案】
第四章综合素质评价
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1．A
2．A
3．A
4．B
5．C
6．B
7．A
8．C
【点拨】如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥DE，交DE的延长
线于点N，则有AM=h ，FN=h .
1 2
因为AM⊥BC，FN⊥DE，所以∠AMC=∠FN E=90∘ .
因为∠FED=115∘ ，所以∠FEN=65∘=∠ACB.
又因为AC=FE=2.4，所以△AMC≌△FN E.
所以AM=FN.所以h =h .
1 2
故选C.
9．D
【点拨】其中的任意三根的组合有3,4,6；3,4,x；3,6,x；4,6,x，共四种情况.
由题意，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，易得3<x<7,
①当三边为3,4,6时，其周长为3+4+6=13；
②当三边为3,4,x时，由于x为正整数，则x为4或5或6，其周长最小为
3+4+4=11，周长最大为3+4+6=13；
③当三边为3，6，x时，由于x为正整数，则x为4或5或6，其周长最小为
3+6+4=13，周长最大为3+6+6=15；
④当三边为4，6，x时，由于x为正整数，则x为4或5或6，其周长最小为
4+6+4=14，周长最大为4+6+6=16.
综上所述，三角形周长最小为11，最大为16.
故选D.
10．C
【点拨】因为AB=2AC，点D是线段AB的中点，所以BD=AD=AC.因为
△ADE为等腰直角三角形，所以∠EAD=∠EDA=45∘ ，EA=ED.因为
∠EAC=∠EAD+∠BAC=45∘+90∘=135∘ ，
∠EDB=180∘−∠EDA=180∘−45∘=135∘ ，所以∠EAC=∠EDB.在△ACE和
△DBE中，因为EA=ED，∠EAC=∠EDB,AC=DB,所以△ACE≌△DBE，
所以①正确；所以∠AEC=∠DEB，所以
∠BEC=∠BED+∠DEC=∠AEC+∠DEC=∠DEA=90∘−∠BED，而
∠AEC=∠DEB,所以∠DEF=90∘−∠AEC.因为
∠DFE=∠AFC=90∘−∠ACE，而AC=AD>AE，所以∠AEC>∠ACE，
所以∠DEF<∠DFE,所以DE>DF，所以③错误；因为△ACE≌△DBE,
6/9S =S .因为BD=AD，所以S =S ，所以S =S ，所以
△ACE △DBE △DAE △DBE △ACE △DAE
S =S ，所以④正确.故选C.
△DEF △ACF
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
11．65∘
12．BC=ED（答案不唯一）
13．DE
14．4
15．1m或3m
【点拨】设点P每分钟走xm，运动时间为t分钟.
①若BP=AC=4m，BQ=AP，则△C AP≌△PBQ，此时
8 4
BQ=AP=12−4=8(m),所以t= =4，所以x= =1.
2 4
②若BP=AP=6m，BQ=AC=4m，则△ACP≌△BQP，
4 6
所以t= =2，所以x= =3.
2 2
故答案为1m或3m.
三、解答题（共 75 分）
∠BCE
16．（1） 【解】如图， 即为所作.
（2） 如图，△CBF即为所作.
17．（1） ① 【解】∠DBA=∠EC A.
理由：因为BD,CE是△ABC的两条高，
所以∠BDA=∠AEC=90∘ .
所以∠DBA+∠BAD=∠EC A+∠EAC=90∘ .
又因为∠BAD=∠EAC，所以∠DBA=∠EC A.
② 连接AH.因为BD,CE是△ABC的两条高，
所以∠H DA=∠H EA=90∘ .
因为∠DAE+∠H DA+∠DH E+∠H EA=180∘×2=360∘ ，
∠DAE=∠BAC=125∘ ，
所以∠DH E=360∘−90∘−90∘−125∘=55∘ .
（2） ∠DH E=130∘ 或∠DH E=50∘ .
18．（1） 【解】因为AF=CD，所以AF+FC=CD+FC，即AC=DF.因为
BC//EF，所以∠ACB=∠DFE.
AC=DF,
( )
在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠DFE,
BC=EF,
所以△ABC≌△DEF(SAS).
7/9所以∠A=∠D.所以AB//DE.
（2） 因为∠AFE=102∘ ，所以∠EFD=180∘−∠AFE=180∘−102∘=78∘ .由
（1）知∠D=∠A，
所以∠E=180∘−∠D−∠EFD=180∘−∠A−∠EFD=180∘−20∘−78∘=82∘ .
19．（1） 【解】OC平分∠AOB.理由如下：由题意得CM=CN.
OM=ON,
( )
在△OMC和△ONC中， OC=OC,
CM=CN,
所以△OMC≌△ONC(SSS).所以∠MOC=∠NOC.
所以OC平分∠AOB.
（2） 因为△OMC≌△ONC，∠MCN=30∘ ，所以
1
∠MCO=∠NCO= ∠MCN=15∘ .因为∠AMC=50∘ ，所以∠OMC=130∘ .
2
所以∠MOC=180∘−∠OMC−∠MCO=35∘ .所以∠AOB=2∠MOC=70∘ .
20．（1） 【解】因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠EBD.
因为∠A+∠DEC=180∘ ，∠BED+∠DEC=180∘ ，
所以∠A=∠BED.
∠A=∠BED,
( )
在△BAD和△BED中， ∠ABD=∠EBD,
BD=BD,
所以△BAD≌△BED(A AS).
所以AD=ED.
（2） ① 因为∠DEB=120∘ ,所以∠DEC=60∘ .
又因为∠C=40∘ ，所以∠EDC=180∘−∠DEC−∠C=80∘ .
由（1）知△BAD≌△BED，所以∠BDA=∠BDE.
因为∠BDA+∠BDE+∠CDE=180∘ ，
所以2∠BDE+80∘=180∘ ，所以∠BDE=50∘ .
② 由（1）知∠A=∠DEB，又因为∠DEB=120∘ ，所以∠A=120∘ .所以
∠ABC+∠ACB=60∘ .又因为BD平分∠ABC，CM平分∠ACB，所以
1
∠MBC+∠MCB= (∠ABC+∠ACB)=30∘ .所以∠CMB=180∘−30∘=150∘ .
2
21．（1） 【解】(8−3t)cm
（2） 全等.理由如下：
当t=1时，BP=3cm，CP=5cm，CQ=3cm，所以BP=CQ.
1
因为点D是AB的中点，所以BD= AB=5cm.
2
所以BD=CP.
BD=CP,
( )
在△BPD和△CQP中， ∠B=∠C,
BP=CQ,
所以△BPD≌△CQP(SAS).
（3） 设点Q的运动速度为xcm/s，所以CQ=xtcm.
当△BPD≌△CQP时，BP=CQ，所以3t=xt，
所以x=3（不符合题意，舍去）;
8/9当△BPD≌△CPQ时，BP=CP，BD=CQ，
4 15
所以3t=8−3t，5=xt，所以t= ，x= ，
3 4
15
所以当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等.
4
9/9
