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【单元测试】2022-2023学年七年级数学下册分层训练AB卷（北师大版）
【单元测试】第四章 三角形
（B 卷·能力提升练）
（测试时间：90分钟；卷面满分：100分）
班级 姓名 学号 分数
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（2023春·江苏·七年级期末）若下列各组值都代表线段的长度，则三条线段首尾顺次相接能构成三角形
的是（ ）
A．3，3，4 B．4，9，5 C．5，18，8 D．9，15，3
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、 ，所以能构成三角形，故符合题意；
B、 ，所以不能构成三角形，故不符合题意；
C、 ，所以不能构成三角形，故不符合题意
D、 ，所以不能构成三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟
记三角形的三边关系是解题的关键．
2．（2023春·江苏·七年级期末）如图，在 中，点C在 的延长线上，点B在 上，且 ，
，则 的度数为（ ）A．60° B．30° C．90° D．80°
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得 ，再由三角形的外角性质可得 ，从而
得解．
【详解】解：∵ ， ，，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
3．（2022春·天津河西·七年级校联考期末）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、
B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C
个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据三角形 的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．
【详解】解：C点所有的情况如图所示：
由图可得共有5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．
4．（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）如图， 中， ，点 、 在 上， ，若
，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得出 ，根据线段的和差得出 ，进而根据
即可求解．
【详解】解： ，
，
，即 ，
， ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．（2022春·四川自贡·七年级统考期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现
在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去（ ）
A． B． C． D． 和
【答案】C
【分析】观察每块玻璃形状特征，利用ASA判定三角形全等即可得出答案．
【详解】解：第 块和第 块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一快均不能配一
块与原来完全一样的，第 块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一
样的玻璃，应带 去，
故选：C．
【点睛】本题属于利用ASA判定三角形全等的实际应用，难度不大，要善于将所学知识与实际问题相结合，
解题的关键是熟练掌握全等三家形的判定定理．
6．（2022春·山东威海·七年级统考期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知
识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形中保留的两个角和它们的公共边即可判断依据．
【详解】解：因为图形中保留了两个角和它们的公共边，
∴可以依据“角边角”画一个与书上完全一样的三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，解题关键是理解题意并牢记全等三角形的判定方法．
7．（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图要测量河两岸相对的两点 ， 的距离，先在 的垂线
上取两点 ， ，使 ，再确定出 的垂线 ，使得点 ， ， 在同一条直线上，测得
米，因此， 的长是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】根据“ASA”证明 得出 ，即可证明结论．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ （ASA），
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
8．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则
说明 的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可．
【详解】解：由作法易得 ， ， ，
在 和 中，
，
，
∴ ，故选：A．
【点睛】此题考查了尺规基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握用尺规作一个角等于已知解，全等三角
形的判定方法是解本题的关键．
9．（2022春·山东济南·七年级统考期末）如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：
①以点 为圆心，小于 长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ；②分别以点 、 为圆心，大于
长为半径画弧，两弧相交于点 ；③作射线 ，交 边于点 ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由作图方法可得 是 的角平分线，进而根据 ，求得 ，根据三角形的内
角和定理，即可求解．
【详解】解：∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键．
10．（2022春·河南郑州·七年级统考期末）乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量一池塘两端 ，
的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：
乐乐：如图①，先在平地取一个可直接到达 ， 的点 ，再连接 ， ，并分别延长 至 ，
至 ，使 ， ，最后测出 的长即为 ， 的距离．明明：如图②，先过点 作 的垂线 ，再在 上取 ， 两点，使 ，接着过点 作 的
垂线 ，交 的延长线于点 ，则测出 的长即为 ， 的距离．
聪聪：如图③，过点 作 ，再由点 观测，在 的延长线上取一点 ，使 ，这
时只要测出 的长即为 ， 的距离．
以上三位同学所设计的方案中可行的是（ ）
A．乐乐和明明 B．乐乐和聪聪 C．明明和聪聪 D．三人的方案都可行
【答案】D
【分析】在三个图中分别证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE，
故乐乐的方案可行；
∵AB⊥BF，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥BF，∴∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
故明明的方案可行；
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=BC，
故聪聪的方案可行，
综上可知，三人方案都可行，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分）
11．（2023春·江苏·七年级期末）如图， 的面积为36， ，点 是 的中点， 交
于点 ，则四边形 的面积的是______．【答案】
【分析】连接 ，如图所示，由 的面积为36， ，可知 ,
，根据点 是 的中点，得到 , ,从而 ，再根
据 ，解得 ，即可由
得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
当 的面积为36， ，
， ,
点 是 的中点，
, ,,
,
,
,解得 ，
，
,
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形面积问题，根据题意，结合图形，准确运用同高三角形面积比等于底边比得到三
角形面积关系是解决问题的关键．
12．（2022春·安徽宿州·七年级统考期末）已知图中的两个三角形全等，则 的大小为_______．
【答案】 ##50度
【分析】根据两个全等三角形对应边所对的角相等，结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：根据全等三角形的性质可知，两个三角形中边长为b的边所对的角相等，
因此 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、
对应角也相等．
13．（2022春·山东青岛·七年级校考期末）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，EF=6，
BG=3，DH=4，计算图中实线所围成的图形的面积S是______．
【答案】50
【分析】易证 AEF≌△BAG， BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形
DEFH的面积和△ AEF， ABG△， CGB， CDH的面积，即可解题．
△ △ △ △
【详解】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠BAG=∠AEF，
∵在 AEF和 BAG中， ，
△ △
∴△AEF≌△BAG（AAS），
同理 BCG≌△CDH，
△
∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，
∵梯形DEFH的面积= （EF+DH）•FH=80，
S AEF=S ABG= AF•AE=9，
△ △
S BCG=S CDH= CH•DH=6，
△ △∴图中实线所围成的图形的面积S=80-2×9-2×6=50，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
AEF≌△BAG， BCG≌△CDH是解题的关键．
△ △
14．（2022春·山东济南·七年级校考期末）如图，在 中， ， ，分别过点 ，
作经过点 的直线的垂线段 ， ，若 厘米， 厘米，则 的长为___________．
【答案】7
【分析】利用垂直的定义得到 ，由平角的定义及同角的余角相等得到 ，利用
证得 ，由全等三角形对应边相等得到 厘米， 厘米，由
即可求出 长．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，厘米， 厘米，
则 ．
故答案为：7．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据由平角的定义及同角的余角相等证得
是解决问题的关键．
15．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）如图， cm， cm， ，点P在线
段 上以1cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段 上由点B向点D运动，设运动时间为t
（s），则当 与 全等时，点Q的运动速度为______________cm/s．
【答案】1cm/s或 cm/s
【分析】设 点的运动速度为 cm/s，表示出 的长度，再根据三角形全等① ，
② 分两种情况讨论即可．
【详解】设 点的运动速度为 cm/s，则 (cm)，
∵ (cm)，
∴ cm，
∵ ，
∴①当 时，根据“ ”判断出 ，则 ，解得： ，
②当 时，根据“ ”判断出 ，
则 ，解得： ．
综上所述：点 点的运动速度为1cm/s或 cm/s．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法进行分类讨论是解题关键．
16．（2022秋·山东东营·七年级统考期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角 等于已知角
的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出 的依据是_____．（填
SAS、ASA、SSS或HL）
【答案】
【分析】由作法易得 ，得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等可知
．
【详解】解：由作法得 ，
依据 可判定 ，
则 ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，关键是掌握全等三角形的判定定理．
17．（2022春·山东青岛·七年级统考期末）如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点
作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出______个．
【答案】4
【详解】如图，能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆．两圆相交于两点
（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形；以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB
为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形．因此最多能画
出4个
故答案为：4
【点睛】考点：作图题．
18．（2022春·江苏苏州·七年级校考期末）如图， 中， ．点P从A
点出发沿 路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿 路径向终点运动，终
点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，当一个点到达终点时另一个点也停
止运动，在某时刻，分别过P和Q作 于E， 于F．设运动时间为t秒，则当 _______秒时，
与 全等．【答案】1或
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出 ，代入得出关于t的方程，求出即
可．
【详解】解：分以下情况：①如图1，P在 上，Q在 上，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 全等，
∴ ，
即 ，
；
②如图2，P在 上，Q在 上，∵由①知： ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴此种情况不符合题意；
③当P、Q都在 上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在 上时，此时
，
则该情况不成立．
故答案为：1或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及一元一次方程的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
三、解答题（本大题共8个小题，共54分；第19-22每小题6分，23-24每小题7分，25-26
每小题8分）
19．（2022春·七年级单元测试）如图，已知 ， ， ， ， 与 相交于
点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）只需要利用 证明 即可证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，再根据三角形内角和定理证明 即可证明
．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，即 ，
在 和 中，，
；
（2）证明：设 与 交于点 ，
∵ ，
，
，
，
，
（对顶角相等），
，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解
题的关键．
20．（2022春·河北保定·七年级保定市第十七中学校联考期末）如图，在 中，
，点N从点C出发，沿线段 以 的速度连续做往返运动，点M从点A出发沿线段 以 的速度运动至点E．M、N两点同时出发，连结 与 交于点D，当点M
到达点E时，M、N两点同时停止运动，设点M的运动时间为 ．
(1)当 时，线段 的长度=___________ ，线段 的长度=___________ ．
(2)当 时，求t的值．
(3)连接 ，当 的面积等于 面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值．
(4)当 时，直接写出所有满足条件的t值．
【答案】(1)3，2
(2)t的值为 或4
(3) 或3
(4)
【分析】（1）根据点M、N的运动速度和运动方向计算；
（2）分0≤t≤2、2＜t≤4两种情况，根据题意列式计算即可；
（3）根据三角形面积公式列方程，解方程得到答案；
（4）分0＜t≤2、2＜t≤4两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
【详解】（1）解：当 时，
线段 ，点N的运动路程为 ，
∴ ，
故答案为：3，2；
（2）由题意得，
当 时， ，
∴ ，
解得 ，
当 时， ，
，
解得 ，
∴t的值为 或4；
（3）连接AN，
∵AE BC，
∴△ABN和 ABC分别以BN和BC为底时，它们的高相等，
△
∴当BN BC＝2时， ABN的面积等于 ABC面积的一半，
△ △
当 时， ，
则4﹣2t＝2，解得，t＝1；当 时， ，
则2t﹣4＝2，解得，t＝3，
∴当 ABN的面积等于 ABC面积的一半时，t＝1或3；
△ △
（4）当 时， ，
则 ，即 ，
解得 ，不符合题意，
当 时， ，
则 ，即 ，
解得 ，
∴t值为 ．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、全等三角形的性质、一元一次方程的应用，灵活运用分情况讨
论思想是解题的关键．
21．（2022春·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在 中，已知 ， ，
，试把下面运用“叠合法”说明 和 全等的过程补充完整：
说理过程：把 放到 上，使点A与点 重合，因为 ，所以可以使
，并使点C和 在AB（ ）同一侧，这时点A与 重合，点B与 重合，由于 ，因此，
；由于 ，因此， ；于是点C（射线AC与BC的交点）与点 （射线
与 的交点）重合，这样 ．
【答案】见解析．
【分析】根据“叠合法”说明两三角形全等即可．
【详解】说理过程：把 放到 上，使点A与点 重合，因为 ，所以可以使AB与
重合，并使点C和 在AB（ ）同一侧，这时点A与 重合，点B与 重合，由于 ，
因此， 射线AC与射线 叠合 ；
由于 ，因此，射线BC与射线 叠合；于是点C（射线AC与BC的交点）与点 （射线
与 的交点）重合，这样 重合，即
全等．
【点睛】本题主要考查三角形全等的定义，掌握“叠合法”说明三角形全等，是解题的关键．
22．（2022春·山东济南·七年级统考期末）如图，已知 相交于点O， ， 于点
M， 于点N， ．
(1)求证： ；
(2)试猜想 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据 可证明 ；
（2）根据 证明 可得结论．【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23．（2022秋·安徽合肥·七年级校考期末）如图，已知∠1与线段a、b，用直尺和圆规按下列步骤作图(保
留作图痕迹，不写作法)
①作∠A=∠1；②在∠A的两边分别作AB=a、AC=b；
③连接BC．
【答案】见解析
【分析】根据要求①作∠A=∠1；②在∠A的两边分别作AB=a，AC=b；③连接BC． ABC即为所求．
△
【详解】解：如图， ABC即为所求．
△
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图．熟练掌握基本尺规作图的步骤是解答的关键．
24．（2022春·辽宁阜新·七年级校考期末）如图（1），△ABC的两条高AD、BE相交于H，且AD＝BD，
试说明下列结论成立的理由．图（1） 图（2）
(1)∠DBH＝∠DAC；
(2)BH＝AC；
(3)如果BC＝14，AH＝2，AC＝10，求BD的长度．
(4)如图（2），在BE上截取BF＝AE，连结FD,ED，直接写出∠FDE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
(4)90°
【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；
（2）利用ASA证明△BDH≌△ADC，即可证明；
（3）根据线段之间的关系，列方程求解即可；
（4）利用SAS证明△FBD≌△EAC，利用对应角相等和外角的性质即可求出．
【详解】（1）证明：∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DBH+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBH＝∠DAC；
（2）证明：在△BDH和△ADC中，
∵ ，
∴△BDH≌△ADC（ASA），∴BH＝AC；
（3）解：∵△BDH≌△ADC，
∴HD＝DC
设AD＝BD＝x，
∵BC＝14，AH＝2，AC＝10
∴HD＝DC=14-x，
∵AH＝AD-HD=2
∴x-（14-x）＝2，
∴x＝8．即BD=8．
（4）解：在△FBD和△EAC中，
∵ ，
∴△FBD≌△EAC（SAS），
∴ ；
∵ ， ，
∴ .
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键．
25．（2022春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）小明站在河边的点A处，观察河对面（正北方
向）点B处的一棵小树，他想知道自己距离这棵树有多远，可身边没有测量的工具．于是他运用本学期学
到的数学知识，设计了如下方案：他以相同的步子先向正东方向走了30步到达电线杆C处，接着继续向
正东方向走了30步到达D处，然后再向正南方向行走，当看到电线杆C、小树B与自己现在所处的位置E
在同一条直线上时停止，从A点出发到E点停止，小
明共走了100步．(1)根据题意，画出测量方案的示意图；
(2)如果小明一步大约0.5m，请计算小明在点A处时与这棵树的距离，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)小刚在点A处时他与B处电线塔的距离为20米，理由见解析
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据全等三角形的判定定理证明全等，然后根据全等三角形的对应边相等，即可得到结果．
【详解】（1）如图所示：
；
（2）由题意得， 步，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵小刚走完 走了 步，一步大约 米，
∴ （米），
∴ （米）．
答：小刚在点A处时他与B处电线塔的距离为 米．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题关键数熟练掌握全等三角形的性质定理和判定定理．
26．（2022春·广东河源·七年级校考期末）直角三角形 中， ，直线 过点 ．
(1)当 时，如图，分别过点 ， 作 于点 ， 于点 ．
求证： ．
(2)当 ， 时，如图，点 与点 关于直线 对称，连接 ， ，动点 从点 出发，以每
秒1个单位长度的速度沿 边向终点 运动，同时动点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿
向终点 运动，点 ， 到达相应的终点时停止运动，过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，设运动时间为 秒．
① ______，当 在 路径上时， ______．（用含 的代数式表示）
②直接写出当 与 全等时 的值．【答案】(1)见解析
(2)① ， ② 或5或 ．
【分析】（1）利于同角的余角相等，得到 ，利用 证明三角形全等即可；
（2）①利用 ，求出 ，利用对称性，得到 ，利用 ，求出 即
可；②分点 分别在 ，四种情况讨论，利用全等三角形对应边相等进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ；
（2）解：①由题意，得： ，
∴ ，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ，∴ ，
故答案为： ， ；
②当 与 全等时， 和 是对应边，
∴ ，
当点 在 时，
，即： ， 解得 ，不符合题意；
当点 在 时，此时： ，
则： ，解得： ；
当点 在 时，此时： ，
则： ，解得： ；当点 在 时，此时： ，
则： ，解得： ；
综上：当 与 全等时， 或5或 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题
的关键．注意，分类讨论．
