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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 25 立体几何中的截面问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分
点方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C ，注意：此时合格C 点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何
1 1
处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
四、正方体中的基本截面类型二、题型精讲精练
【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】ABC
【分析】
根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答
案中的图形进行比照，即可判断选项．
【详解】
当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；
截面为六边形时，可能出现正六边形，
故选：ABC．
【典例2】已知正四棱柱 中， ， ，则该四棱柱被过点 ，C，
E的平面截得的截面面积为______.
【答案】
【分析】在 上取点 ，使得 ，连接 ，则四边形 是平行四边形，
由勾股定理可得 ，再结合余弦定理与面积公式即可求解
【详解】由题意，正四棱柱 中， ， ，可得 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ，则有
，
所以四边形 是平行四边形，由勾股定理可得
，
所以 ,所以 ，所以四边形 是平
行四边形的面积为 ，故答案为：
【典例3】如图，在正方体 中， ， 为棱 的中点， 为棱 的四等分点
（靠近点 ），过点 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.
【答案】
【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点 的正方体的截面，从而求截面的周长.
【详解】如图，取 的中点 ，取 上靠近点 的三等分点 ，连接 ，易证 ，则五边形 为所求截面.
因为 ，所以 ，
则 ， 故该截面的周长是
.故答案为： .
【典例4】已知三棱锥 的所有棱长均相等，四个顶点在球 的球面上，平面 经过棱 ，
， 的中点，若平面 截三棱锥 和球 所得的截面面积分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面截三棱锥 所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.
【详解】设平面 截三棱锥 所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则 ，
由正弦定理可得 ， ， ，故选：B
【题型训练-刷模拟】
1 . 截面形状问题
一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
2．（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的
中点，则过这三点的截面图的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．（2023·全国·高三专题练习）已知在长方体 中， ，点 ， ， 分别
在棱 ， 和 上，且 ， ， ，则平面 截长方体所得的截面形状为
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在正方体 中，过点B的平面 与直线 垂
直，则 截该正方体所得截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．（2023·河南·模拟预测）在正方体 中，M，N分别为AD， 的中点，过M，N，
三点的平面截正方体 所得的截面形状为（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
6．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体 中，点 为 的中点，
点 在侧面 上，且到 的距离为6，到 的距离为5，则过点 且与 垂直的正方体截面的
形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形7．（2023·上海·高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形 为截面，长
方形 为底面，则四边形 的形状为（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定
2 . 求截面的面积
一、单选题
1．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）在正方体 中，棱长为3，E为棱 上靠近
的三等分点，则平面 截正方体 的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）已知正方体 的棱长为2，M、N分别为 、
的中点，过 、 的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽蚌埠·统考一模）如图，正方体 的一个截面经过顶点 及棱 上一点
，截面将正方体分成体积比为 的两部分，则 的值为（ ）A． B． C． D．
4．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥 的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，
且平面ABC被球O截得的截面面积为 ，则球O的半径为（ ）．
A．1 B． C． D． 或
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若球 是正三棱锥 的外接球，
，点 在线段 上， ，过点 作球 的截面，则所得的截面中面积最小的截
面的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥 （底面是正三角
形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点E是线段BC的中点，过点E作
球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体 中，
分别为棱 的中点，过 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）A． B． C． D．
8．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥 的截面，使截面平行于直线VB和AC，
当该截面面积取得最大值时， （ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·安徽合肥·统考一模）已知正方体 的棱长为4，M，N分别是侧面 和侧面
的中心，过点M的平面 与直线ND垂直，平面 截正方体 所得的截面记为S，则S的面积为
（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在三棱锥 中，
，平面 平面 ，三棱锥 的所有顶点都
在球 的球面上， 分别在线段 上运动（端点除外）， .当三棱锥 的体积最
大时，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值为（ ）A． B． C． D．
11．（2023·江苏·高一专题练习）已知正四棱锥 的底面边长为2，侧棱长为 ，SC的中点为
E，过点E做与SC垂直的平面 ，则平面 截正四棱锥 所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知正四棱锥 的体积为 ，底
面 的面积为 ，点 、 分别为 、 的中点，点 为 的靠近点 的三等分点，过点 、 、
的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023春·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体 中，若E为棱
的中点，则平面 截正方体 的截面面积为 ．
14．（2022·广西桂林·校联考二模）在三棱锥ABCD中，对棱
，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱
锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 .
15．（2019春·上海·高二上海市新中高级中学校考阶段练习）如图，在正方体 中，AB＝
1， 中点为Q，过 三点的截面面积为 ．16．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台 中， ，
，M为棱 的中点，当正四棱台的体积最大时，平面 截该正四棱台的截面面积是
.
17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如图，正方体 的棱长为 为 的中点，
为棱 上的动点，过点 的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .
（请写出所有正确命题的编号）
①当 时，S为等腰梯形；
②当 时，S与 的交点 满足 ；
③当 时，S为六边形；④当 时，S的面积为 .
3 . 求截面的周长
一、单选题
1．（2023·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，过
三点的截面把正方体 分成两部分，则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图，直四棱柱 的所有棱长均为 ，
， 是侧棱 的中点，则平面 截四棱柱 所得的截面图形的周长是
（ ）
A． B．
C． D．3．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体 的棱长为2，点 为线段
的中点，若点 平面 ，且 平面 ，则平面 截正方体 所得截面的周长为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体 中，点P是棱AB上的动点，
过 ，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在正方体 中， ， 为棱 的四等分点（靠近点
）， 为棱 的四等分点（靠近点 ），过点 ， ， 作该正方体的截面，则该截面的周长是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱ABC﹣ABC 中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB，AC
1 1 1 1 1 1
的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）A．2+2 B． C． D．
7．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）已知正方体 的棱长为4，E，F分别
是棱 ，BC的中点，则平面 截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6 B．10 C． D．
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体 中，AB＝2，AD＝4， ，E，F分别为
， 的中点，则过D，E，F三点截得长方体 的截面周长为
9．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）如图，正方体 的棱长为4，E是侧棱
的中点，则平面 截正方体 所得的截面图形的周长是 ．
10．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）正三棱柱 中，所有棱长均为2，点 、
分别为棱 、 的中点，若过点 、 、 作一截面，则截面的周长为 .11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在棱长为 的正方体 中，点 分别是 、
、 的中点，则过线段 且平行于平面 的截面图形的周长为 .
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
， 为线段 上的一动点，则过 三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为
．
4 . 圆柱、圆锥、球的截面问题
一、单选题
1．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的 倍，过圆
锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
2．（2023·广西·统考模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球 的球面上，且球心 在圆锥体内部，
若球 的表面积为 ， 到圆锥底面圆的距离为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津红桥·统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为
（ ）
A． B．C． D．
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球 的一个截面的面积为 ，球心 到该
截面的距离比球的半径小1，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图
是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上
底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图
形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
7．（2023·全国·高三专题练习）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底
面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底
面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（ ）A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）若过圆锥的轴 的截面为边长为4的等边三角形，正方体
的顶点 ， ， ， 在圆锥底面上， ， ， ， 在圆锥侧面上，则该正方体的棱
长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一
个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球， 为圆柱上下底面
的圆心， 为球心， 为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则平面DEF截球所得的截面面积最
小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体 的棱长为 ， 为棱 上的
一点，且满足平面 平面 ，则平面 截四面体 的外接球所得截面的面积为（ ）A． B． C． D．
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形 中， ，将 沿
对角线 翻折至 的位置，使得平面 平面 ，则在三棱锥 的外接球中，以
为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）某圆锥母线长为 ，底面半径为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所
得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知圆台 的上、下底面半径分
别为r，R，高为h，平面 经过圆台 的两条母线，设 截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）
A．当 时，S的最大值为
B．当 时，S的最大值为
C．当 时，S的最大值为
D．当 时，S的最大值为
二、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的
截面是面积为 的正三角形，则该圆锥的体积为 .
15．（2023·全国·高三专题练习）将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周
所得圆锥的内切球的表面积为 ．
16．（2023·海南·校联考模拟预测）已知某球的体积为 ，该球的某截面圆的面积为 ，则球面上的点到该截面圆心的最大距离为 ．
17．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点 ， ， 是圆锥表面上的点，
该圆锥的侧面展开图为以点 为圆心，4为半径的半圆，点 是弧 的中点，点 是弧 的中点（如
图），以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球被平面 所截，则截面面积为 .
18．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为1，高为3，在该圆锥内部放置一个正三棱柱，则
该正三棱柱体积的最大值为 ．
19．（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为 ，高为 ，上底面圆的直径为 , 是底面圆
弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则 的面积的范围 ．
20．（2023·重庆·统考模拟预测）已知三棱锥 中，Q为BC中点， ，
侧面 底面 ，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
21．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知四棱锥 的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面
ABCD，底面ABCD是等腰梯形， ， ， ， ，M是线段AB上
一点，且 ．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为 ，则 ＝ ．
22．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知三棱锥 的四个顶点在
球 的球面上， ， 是边长为 的正三角形，三棱锥 的体积为 ， 为 的
中点，则过点 的平面截球 所得截面面积的最小值是 .
