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第 04 讲 一次方程及方程组【挑战中考满分模拟练】
一．解一元一次方程（共2小题）
1．（2022•沙市区模拟）对于某些用无限循环的形式表达的数可用方程的思想求解，例如，将无限循环小
数0. 化为分数，可以设0. ＝x，则10x＝7+x，解得 ．仿此，实数 的值为（
）
A． B．2 C．4 D．﹣1或2
2．（2021•衡水模拟）定义一种新的运算：对于任意的有理数a，b，都有a b＝a+b，a b＝a﹣b，等式
右边是通常的加法、减法运算，如a＝2，b＝1时，a b＝2+1＝3，a b＝⊗2﹣1＝1． ⊕
（1）求（﹣2） 3+4 （﹣2）的值； ⊗ ⊕
（2）化简：a2b⊗3ab+⊕5a2b 4ab；
（3）若2x 1＝⊗﹣（x﹣2）⊕ 4，求x的值．
⊗ ⊕
二．由实际问题抽象出一元一次方程（共3小题）
3．（2022•太平区一模）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由
甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022•渝中区校级模拟）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二
十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑的快的马每天走240里，跑的慢的马每天走
120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（ ）
A．240（x+12）＝120x B．240（x﹣12）＝120x
C．240x＝120（x+12） D．240x＝120（x﹣12）
5．（2022•武昌区模拟）有一道题：今有人共买羊，人出七，不足三；人出八，盈十六，问人数、羊价几
何？译文为：现在有若干人共同买一头羊，若每人出7钱，则还差3钱；若每人出8钱，则剩余16钱．求买羊的人数和这头羊的价格？设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ）
A．7x+3＝8x+16 B．7x﹣3＝8x﹣16 C．7x+3＝8x﹣16 D．7x﹣3＝8x+16
三．一元一次方程的应用（共10小题）
6．（2022•开福区校级一模）某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；
（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学
两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（ ）
A．288 B．360 C．288或316 D．360或395
7．（2022•潍坊二模）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如表：
行驶里程 计费方法
不超过3公里 起步价8元
超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费
超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50%
超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75%
超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100%
说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；
行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．
若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（ ）
A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里
8．（2022•自贡模拟）欣欣服装店某天用相同的价格a（a≥0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另
一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（ ）
A．亏损 B．盈利 C．不盈不亏 D．不确定
9．（2022•丹江口市模拟）将正整数1至2016按一定规律排列如下：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2000 B．2019 C．2100 D．2148
10．（2022•南川区模拟）夏天到了，体育中心为吸引顾客，在5月份的时候开设了一个夜市，分为运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区，三者摊位数量之比为5：4：3，城管对每个摊位收取60元/月的管理
费，到了6月份，由于顾客人数增加，该体育中心扩大夜市规模，并将新增摊位数量的 用于运动体验
区，结果运动体验区的摊位数占到了体育中心总摊位数量的 ，同时城管将运动体验区、物资补给区
和休闲娱乐区每个摊位每月的管理费按50元、40元、30元收取，结果城管6月份收到的管理费比5月
份增加了 ，则休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市6月的总摊位数量之比是 ．
11．（2022•万州区校级一模）某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研究．
去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：
5．今年重新规划三种水果的种植面积，三种水果的平均亩产量和总产量都有所变化．甲品种水果的平
均亩产量在去年的基础上提高了50%，乙品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了20%，丙品种的
平均亩产量不变．其中甲、乙两种品种水果的产量之比为3：1，乙、丙两种品种水果的产量之比为6：
5，丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的 ，则三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积
之比为 ．
12．（2022•雁塔区校级模拟）某单位计划元旦组织员工到某地旅游，A、B两旅行社的服务质量相同，且
到地的旅游价格都是每人300元，已知A旅行社表示可给每人七五折优惠，B旅行社可免去一人费用，
其余八折优惠．当该单位旅游人数为多少时，支付A、B两旅行社的总费用相同？13．（2022•苏州模拟）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众
客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那
么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
（1）求该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住
4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如
何订房更合算？请写出你作出这种决策的理由．
14．（2022•砀山县模拟）为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为 L的读书长廊，并
准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图所示的规
律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.6m．
（1）按图示规律，第一图案的长度L ＝ m；第二个图案的长度L ＝ m．
1 2
（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度L 之间的关系．
n
（3）当走廊的长度L为36.6m时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数．
15．（2022•丰泽区校级模拟）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的 80%出售，
同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上
返还金额（元） 0 60 100 150
注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为 1000元的商品，则消
费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）．
（1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
（2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含
有x的代数式表示）
（3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500
元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为 元．
四．二元一次方程的应用（共4小题）
16．（2022•佳木斯模拟）春节前，小明用120元钱购买虎年吉祥物（两种都买），其中吉祥物挂件每件8
元，吉祥物摆件每件12元，那么小明的购买方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
17．（2022•铁锋区三模）喜迎“二十大”，某校举办以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛．
计划用80元钱购买甲、乙两种笔记本作为奖品（钱全部用尽，两种笔记本都买），已知甲种笔记本每
本8元，乙种笔记本每本12元，则购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
18．（2022•高邮市模拟）小军在文具店购买了数支单价为1元/支的碳素水笔芯和若干块单价为1.5元/块
的橡皮，共花费了9元，则小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
19．（2021•乐清市二模）目前我国新冠病毒疫情有很大好转，但是防疫不能放松，某物业公司向超市购
买A、B、C三种型号的消毒湿巾分别分给第一周、第二周、第三周工作的员工使用，每人每周 1包，
这三周员工人数之和为100人，已知购买1包A型湿巾和2包B型湿巾共需要130元，购买2包A型湿
巾和3包B型湿巾共需要220元，已知C型湿巾每包10元，第一周员工人数＜第二周员工人数＜第三周员工人数．
（1）求A型湿巾和B型湿巾的单价．
（2）该超市促销方案如下：每购买1包A型湿巾则赠送2包C型湿巾．
①若公司购买了第一周所需的A型湿巾后，赠送的C型湿巾刚好够第三周使用，求物业公司购买三种
湿巾所需总金额的最小值．
②若第三周需要的C型湿巾除了赠送外，还需另外购买，最终三种湿巾总共花费了 2560元，求所有满
足要求的购买方案．
五．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题）
20．（2022•如皋市一模）《九章算术》中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问
人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7
钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方
程组为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022•海曙区校级模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢三十疋，
共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端的．若人算得无
差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50
贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢x疋，布y疋，依据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
六．二元一次方程组的应用（共16小题）
22．（2022•鼓楼区校级二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产
生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足
四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，
少4元，求有几个人及该物品的价格，用二元一次方程组解答该问题，若已经列出一个方程 7x+4＝y，
则符合题意的另一个方程是（ ）
A．8x﹣3＝y B．8x+3＝y C． D．
23．（2022•义乌市模拟）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利 45元；按定价的8.5折销售该商品8
件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（ ）
A．95元，180元 B．155元，200元
C．100元，120元 D．150元，125元
24．（2022•石家庄三模）《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；
人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8文，多3文；
每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格．小明用二元一次方程组解此问题，若已经列出一个方程
8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（ ）
A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C． +4＝x D． ﹣4＝x
25．（2022•渝中区校级模拟）某饮料厂生产的一款热卖饮料是由冰糖水、红茶水、草莓汁、纯牛奶四种
原料按一定质量比配制而成．3月份，该款饮料中冰糖水与红茶水的质量比为3：2，草莓汁与纯牛奶的
质量比为2：1：草莓汁每千克的进价是红茶水每千克进价的2倍，纯牛奶每千克的进价是冰糖水每千克
进价的3倍.4月份，根据市场反应，该饮料厂改变配比推出了新款饮料，在 3月份的基础上，红茶水和草莓汁的质量均增加 ，冰糖水的质量减少 ，纯牛奶的质量不变；草莓汁每千克的进价下降50%，纯
牛奶每千克的进价上涨 ，其余原料每千克的进价不变，结果新款饮料的总成本比3月份推出的老款饮
料的总成本多154元（饮料总成本为各种原料的成本之和），两款饮料红茶水与草莓汁的成本之和比两
款饮料冰糖水和纯牛奶的成本之和多1106元，那么老款饮料与新款饮料中四种原料质量之和的比为
．
26．（2022•泗阳县一模）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，
北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有
A、B两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价格，
如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票价
为200元．
（1）若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为 元（直接写出结果）．
（2）若一次性购买A场比赛门票a（50＜a＜60）张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示）
（3）该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观
看A场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？
27．（2022•海珠区二模）火车站北广场将于 2016年底投入使用，计划在广场内种植 A、B两种花木共
6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．
（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排25人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木70棵或B花木60棵，应分别
安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？28．（2022•澄迈县模拟）有两块试验田，原来可产花生470千克，改用良种后共产花生532千克，已知第
一块田的产量比原来增加16%，第二块田的产量比原来增加10%，问这两块试验田改用良种后，各增产
花生多少千克？
29．（2021•永嘉县校级模拟）某蔬菜基地打算将115吨的蔬菜运往县城销售，现找到一物流公司有甲、乙、
丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载，并且每种车型数量足
够）：
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费7800元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）蔬菜基地计划用甲、乙、丙三种车型共15辆同时参与运送，将全部蔬菜运往县城销售，如何安排
装运，可使运费最省？最省运费是多少？
30．（2021•商河县一模）某市火车站北广场将于2016年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木
共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排13人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别
安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？31．（2021•奎屯市三模）有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆
小车一次可以运货35吨．求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
32．（2020•南康区模拟）南康是中部家具产业基地，某家具厂接到订单要生产如图所示的正三棱柱家具
配件6000个，每个配件由3个矩形侧面和2个等边三角形底面组成．仓库现有甲、乙两种规格的木板
共2600张，其中甲种木板刚好可以裁出4个侧面，乙种木板可以裁出3个底面和2个侧面．（裁剪后边
角料不再利用，拼接材料忽略不计）
（1）若裁出的侧面和底面恰好全部用完，问两种木板各有多少张？
（2）仓库的这些木板是否能满足这批订单的需要？如果能，请求出还可剩余甲、乙木板各多少张；如
果不能，那么至少还需要甲、乙木板各多少张才能生产出这批订单．
33．（2020•宁波模拟）有16张全等的矩形卡纸．其中8张恰好拼成如图1的大矩形，其余8张可拼成如
图2的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为 8cm的小正方形．用这16张卡纸做三棱柱盒子，
每个三棱柱盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，每张卡纸用图3或图4所示方法裁剪（裁剪
后边角料不再利用）．
A方法：剪5个侧面；
B方法：剪3个侧面和10个底面．（1）求每张卡纸的长和宽．
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，16张卡纸是否能满足这个要求？若能满足，求所做的三棱
柱盒子的个数；若不能满足，则至少要增加多少张卡纸，才能满足要求？请说明你的理由．
（3）在满足（2）要求的前提下，要给所做的三棱柱盒子表面涂色，直接写出涂色部分的总面积．
34．（2020•运城模拟）某市园林局准备种植A种花木4200棵，B种花木2400棵．现计划安排26人同时
种植这两种花木，已知每人每天能种植A种花木30棵或B种花木20棵，则应分别安排多少人种植这两
种花木，才能确保同时完成各自的任务？
35．（2021•阿城区一模）一汽车销售商店经销A，B两种型号轿车，用400万元购进A型轿车10辆和B型
轿车20辆；用300万元可以购进A型轿车9辆，B型轿车14辆．
（1）求A型、B型轿车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该汽车销售商店购进A、B两种型号的轿车共60辆，且购车资金不超过700万元，该汽车销售
商店至少购进A型轿车几辆？36．（2021•襄阳模拟）文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人
员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程
火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，文昌到三亚的火车票价格
（部分）如下表所示：
运行区间 公布票价 学生票价
上车站 下车站 一等座 二等座 二等座
文昌 三亚 81（元） 68（元） 51（元）
（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座
火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的
总费用（单程）y与x之间的函数关系式．
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花
多少钱？
37．（2021•湖北模拟）某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已
知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票
每张2.5元．
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；
（2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．
在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你设计进票方案．七．三元一次方程组的应用（共4小题）
38．（2022•重庆模拟）某水果店售卖A，B，C，D四种水果套餐，其中A，B两种水果的单价相同，D种
水果的单价是C种水果单价的7倍，第一天，A，C两种水果的销量相同，B种水果的销量是D种水果
销量的7倍，结果第一天A，B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多126元，且四种水
果第一天的单价与销量均为正整数，到了第二天的时候，由于D种水果不易保存，摊主便将D种水果
打八折售卖，其他三种水果单价不变，结果第二天除了B种水果销量下降了20%，其他几种水果的销量
跟第一天一样，若A种水果与C种水果的单价之差超过6元但不超过13元，B种水果和D种水果第一
天的单价之和不超过35元，则第二天四种水果总销售额最多为 元．
39．（2020•渝中区校级一模）受新冠疫情影响，学校复学后为尽量减少学生排队打饭的时间，决定采取
班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算．食堂提供了6元三明治、
12元盒饭和15元盒饭三种选择．某班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都吃
12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天的餐费是
1449元．第一天午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就吃了B组同学的
那份午餐；晚餐时，C组有部分同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组
的实际餐费正好一样多，若C组人数不少于14人，则该班的总人数是 人．
40．（2022•沙坪坝区校级一模）冬季运动越野滑雪的路段分为上坡、平地、下坡三种类型，滑雪者在同
种路段中滑行速度保持不变．运动爱好者小明上坡滑雪3分钟与平地滑雪2分钟的路程相等．第一次训
练中，他上坡、平地、下坡滑雪的时间分别是 2分钟、2分钟、3分钟．第二次训练中，他上坡、平地、
下坡滑雪的时间分别比第一次多了50%、50%、20%，总路程比第一次多32%．第三次训练所用时间为
第一次的3倍，其中上坡、平地、下坡滑雪的时间依次减少，且总路程是第二次的 2倍．设第三次训练
中平地滑雪时间为b分钟，若b为整数，则b的值为 ．
41．（2021•万州区模拟）为迎接“五•一节”的到来，某水果店推出了 A、B、C三类礼包，已知这三类礼
包均由苹果、芒果、草莓三种水果搭配而成，每袋礼包的成本均为苹果、芒果、草莓三种水果成本之和．
每袋A类礼包有5斤苹果、2斤芒果、8斤草莓；每袋C类礼包有7斤苹果、1斤芒果、4斤草莓．已知每袋A的成本是该袋中苹果成本的3倍，利润率为30%，每袋B的成本是其售价的 ，利润是每袋A利
润的 ；每袋C礼包利润率为25%．若该网店12月12日当天销售A、B、C三种礼包袋数之比为4：
6：5，则当天该水果店销售总利润率为 ．
