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第 04 讲 一次方程及方程组【中考过关真题练】
一．等式的性质（共1小题）
1．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若 ＝ ，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣ x＝6，则x＝﹣2
二．解一元一次方程（共1小题）
2．（2022•黔西南州）小明解方程 ﹣1＝ 的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三．一元一次方程的应用（共5小题）
3．（2022•河北）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧
面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰
好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已
知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（ ）
A．依题意3×120＝x﹣120
B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤4．（2020•呼和浩特）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步
不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健
步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第
一和第六这两天共走了（ ）
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
5．（2019•牡丹江）夏季到来，商家为清理库存，决定对部分春季商品进行打折销售．已知某服装一件进
价为100元，若按标价打五折出售，仍可获利30%，则该服装的标价是 元．
6．（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路
线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
7．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和
售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类 真丝衬衣 真丝围巾
进价 a 80
（元/件）
售价 300 100
（元/件）
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数
不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并
保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
四．二元一次方程的应用（共3小题）8．（2022•齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒
每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种
食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．（2016•齐齐哈尔）足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6
场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能是（ ）
A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5
10．（2018•黄石）小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得 3分，负者得﹣1
分，平局两人都得0分，小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都不知道对方的策略．
小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、……
小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指石头、剪子、布中任意一个）
例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表
局数 1 2 3 4 5 6 7 8 9
小光实际策略 石头 剪子 布 石头 剪子 布 石头 剪子 布
小王实际策略 剪子 布 剪子 石头 剪子 剪子 剪子 石头 剪子
小光得分 3 3 ﹣1 0 0 ﹣1 3 ﹣1 ﹣1
小王得分 ﹣1 ﹣1 3 0 0 3 ﹣1 3 3
已知在另一次游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为 分．
五．解二元一次方程组（共1小题）
11．（2022•淄博）解方程组： ．
六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共3小题）
12．（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十
五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是
（ ）A． B．
C． D．
13．（2018•朝阳）鸡兔同笼，从上面数，有20个头；从下面数，有60条腿，设鸡有x只，兔有y只，则
下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021•阿坝州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三
十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为 （列
出方程组即可，不求解）．
七．二元一次方程组的应用（共12小题）
15．（2022•湖北）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货
车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．
16．（2022•海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白
胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜 10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克
有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．
17．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于
560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
18．（2022•福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角
的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共 46盆，且绿萝
盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
19．（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A
商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
20．（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买 1本．若每人出8元，则多
了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
21．（2021•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四
足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有 35个头，从下面数有94只
脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：
（1）笼中鸡、兔各有多少只？
（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只
值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
22．（2019•娄底）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱）
甲 25 35
乙 35 48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？23．（2018•聊城）建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程．某工程公司承建的一段路基工程的施
工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工 150天完成．由
于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110
天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方．
（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？
（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高
效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？
24．（2017•乌鲁木齐）我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有
三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有 35个头，
从下面看有94条腿，问笼中鸡或兔各有多少只？
25．（2017•河南）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商
店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
26．（2016•怀化）有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼
中各有几只鸡和兔？
