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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
第四章 三角形
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易错点1
三 全等三角形的判定方法易错
角
易错点2
全等三角形“手拉手”旋转模型易错
形
易错点3
全等三角形中动点问题易错
易错训练
【易错点1全等三角形的判定方法易错】如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB
// DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求证： ；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE=3．
【分析】
（1）根据平行线的性质由AB∥DE得到∠ABC＝∠DEF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF；
（2）根据三角形全等的性质可得BC＝EF，由此可求出BE＝CF，则利用线段的和差关系求出BE．
【详解】
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC－EC＝EF－EC，
即BE＝CF，
∵BF＝11，EC＝5，
∴BF－EC＝6．
∴BE＋CF＝6．
∴BE＝3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
【变式训练】
一、选择题
1．如图，∠1=∠2，若要使△ABD≌△ACD，则要添加的一个条件不能是（ ）
A．AB=AC B．BD=CD C．∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C
【答案】A
【分析】
利用三角形全等的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析．
【详解】
解：A、添加AB=AC，不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
B、添加BD=CD，可利用SAS判定△ABD≌△ACD，故此选项不符合题意；
C、添加∠BAD=∠CAD，可利用ASA判定△ABD≌△ACD，故此选项不符合题意；D、添加∠B=∠C，可利用AAS判定△ABD≌△ACD，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等
时，角必须是两边的夹角．
2．如图，已知 ， ，添加下列条件，不能证明 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由BE=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证
明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF．
【详解】
解：∵BE=CF，
∴BE+BF=CF+FB，即EF=BC，
A、添加 ，可得∠ABC=∠DEF，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意；
B、添加 可得∠ACB=∠DFE，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项不符合题意；
C、添加 ，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；
D、添加 ，与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故D选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．如图，点 、 、 、 在一条直线上， ， ，下列条件中，不能判定
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时，且 ， ，由“SAS”可证 ，
当 时，且 ， ，由“AAS”可证 ，
当 时，且 ， ，由“ASA”可证 ，
当 时，不能判定 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
4．如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，则添加下列哪个条件不能使△ODE与△ODF全等（ ）
A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．∠AED=∠BFD
【答案】A
【分析】
根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP，而OP是公共边，
A：添加DE=DF符合“边边角”，不能判定△ODE≌ODF；
B：添加OE=OF，可以利用“SAS”判定△ODE≌ODF；
C：添加∠ODE=∠ODF，可以利用“ASA”判定△ODE≌ODF；
D：∠AED=∠BFD，可知∠OED=∠OFD，可以利用“AAS”判定△ODE≌ODF；
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5．如图，已知 ， ，且 ， ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得△ABC≌△ADE，故有∠BAC=∠DAE，由∠EAB=120°及∠CAD=10°可求得∠AFB的度数，进而
得∠GFD的度数，在△FGD中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF的度数．
【详解】
在△ABC和△ADE中
∴ △ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC=∠DAE
∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120°
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°
∴在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°
∴∠GFD=90°
在△FGD中，∠EGF=∠D+∠GFD=115°
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC的度数．
二、填空题
6．如图， ， ，请补充一个条件：______，能使用“ASA”方法判定 ．
【答案】∠B＝∠E
【分析】
已知∠1＝∠2，就是已知∠ACB＝∠DCE，则根据三角形的判定定理“ASA”即可证得．
【详解】
可以添加∠B＝∠E．理由是：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCE＝∠2+∠BCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
故答案是：∠B＝∠E
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握“两角及夹边对应相等的两个三角形全等”是解题关键．
7．如图，在 与 中， 与 相交于点M， ，在不再添加其他线段，不再标注
或使用其他字母的情况下，要证明 ．需添加的一个条件是___________．
【答案】AD＝BC（答案不唯一）
【分析】
要使AC＝BD，可以证明△ACB≌△BDA，从而得到结论．
【详解】
解：添加条件：AD＝BC，
∵BC＝AD，∠2＝∠1，AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴AC＝BD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，判定两个三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，本题已知
一边一角，所以可以寻找夹这个角的另外一边或者是另外两个角，难度适中．
8．如图所示，在 中，D是 的中点，点A、F、D、E在同一直线上．请添加一个条件，使（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______
【答案】ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）
【分析】
根据三角形全等的判定方法SAS或AAS或ASA定理添加条件，然后证明即可．
【详解】
解：∵D是 的中点，
∴BD=DC
①若添加ED=FD
在△BDE和△CDF中， ，
∴△BDE≌△CDF（SAS）；
②若添加∠E=∠CFD
在△BDE和△CDF中， ，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
③若添加∠DBE=∠DCF
在△BDE和△CDF中， ，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
故答案为：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．9．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD
的面积为_______．
【答案】12
【分析】
由BE⊥AE，CF⊥AE，得∠BED=∠CFD，再由D是EF的中点，得ED=FD，根据角边角公里可得出△BED
与△CFD全等，进而可得CF=EB=4，然后可得CF=4，再计算出AD的长，利用三角形面积公式可得答案．
【详解】
解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD，
∵D是EF的中点，
∴ED=FD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA）．
∴CF=EB=4，
∵AF=CF，
∴AF=4，
∵D是EF的中点，
∴DF=DE=2，
∴AD=6，
∴△ACD的面积： ．
故答案为：【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，判定一般三角形全等有SSS、SAS、ASA、AAS，判定两个直角三角
形全等还有HL．
10．如图，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝8，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX
上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝___________，△ABC与△APQ全等．
【答案】8或
【分析】
分两种情况：①当AP=BC=8时；②当AP=CA= 时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得
出结果．
【详解】
∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°，
∴∠C=∠PAQ=90°，
分两种情况：
①当AP=BC=8时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP=CA=10时，
在△ABC和△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP=8或 时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：8或 ．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度
适中．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析，（2）
【分析】
（1）由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，则有∠ACB＝∠AED，联合∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS
可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC＝DE，然后根据S ＝S +S 即可求得DE．
△ACB △ACD △ADB
【详解】
解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
，∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE．
（2）由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
∵S ＝S +S ，
△ACB △ACD △ADB
∴ ，
又∵AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质．
12．如图，已知点 是 的中点， ∥ ，且 ．
（1）求证：△ACD≌△CBE．
（2）若 ，求∠B的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据SAS证明△ACD≌△CBE；
（2）根据三角形内角和定理求得∠ACD，再根据三角形全等的性质得到∠B=∠ACD．
【详解】
（1）∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD//BE，∴ ，
在△ACD和△CBE中，
，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是根据SAS证明△ACD≌△CBE．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别
为D，E．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝ cm．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得
∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE．
【详解】
证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE，
∵BD＝2cm，CE＝4cm，
∴DE＝6cm；
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出
∠CAE=∠ABD是解题的关键．
14．在 中， 于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD．
（1）求证： ；
（2）若 ，则 的度数为 ．
【答案】（1）理由见解析；（2） ，理由见解析．【分析】
（1）由SAS证明 即可；
（2）由全等三角形的性质，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）∵ ，
∴AD＝CD，
∴ 是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，
∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，
∴∠B＝∠CED＝67°，
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定、几何图形中角度的计算、等腰直角三角形的性质；关键在于熟练掌握证明
三角形全的方式方法、运用等腰直角三角形的性质．
【易错点2全等三角形“手拉手”旋转模型易错】如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠DCE=90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系，位置关系．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=13，DE=10，当A、E、D三点在直线上
时，请直接写出AD的长．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD；（2）结论：AE=BD，AE⊥BD．理由见解析；（3）满足条件的AD的值
为17或7．
【分析】
（1）如图1中，延长AE交BD于H．只要证明△ACE≌△BCD即可；
（2）结论不变．如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．只要证明△ACE≌△BCD即可；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，延长AE交BD于H．
∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH=90°，
∴∠EHB=90°，即AE⊥BD，
（2）结论：AE=BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACE=∠BCD，
∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，即AE⊥BD．
（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．
∵CE=CD，∠ECD=90°，CH⊥DE，
∴EH=DH，CH= DE=5，
在Rt△ACH中，∵AC=13，CH=5，
∴
∴AD=AH+DH=12+5=17．
②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．
同法可得：AH=12，故AD=AH﹣DH=12﹣5=7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
【点睛】
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的
关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．【变式训练】
二、选择题
1．如图所示，将 绕点O按逆时针方向旋转 后得到 ，若 ，则 的度
数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据旋转角可得∠ ，即可求出 的度数．
【详解】
解:根据旋转角可得:∠
∵
∴ =∠ －
故选：B．
【点睛】
此题考查的是三角形旋转后求角的度数，掌握旋转角的定义是解决此题的关键．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接
BE，则∠BED的度数为（ ）A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
【分析】
连接BD，根据旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝60°，可证△ABD为等边三角形，由“SSS”可证
△ABE≌△DBE，可得∠ABE＝∠DBE＝30°，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：如图，连接BD，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，AB＝BD，且AE＝DE，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE（SSS）
∴∠ABE＝∠DBE＝30°
∴∠ABE＝∠DBE＝30°，且∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝15°，
∴∠BED＝135°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形全等的判定方法，
能够根据题意对图形进行旋转.
3．如图所示的正方形 中，点 在边 上，把 绕点 顺时针旋转得到 ，
．旋转角的度数是（ ）A．110° B．90° C．70° D．20°
【答案】B
【分析】
根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD= ，由旋转的性质推出 ≌ ，求出∠FAE=∠BAD=
，即可得到答案．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD= ，
由旋转得 ≌ ，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴∠FAE=∠BAD= ，
∴旋转角的度数是 ，
故选：B．
【点睛】
此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
4．如图，已知点O（0，0），P（1，2），将线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第
19秒时，点O的对应点坐标为（ ）
A．（0，0） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（2，4）【答案】B
【分析】
依据线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，即可得到19秒后点O旋转到点O'的位置，再根
据全等三角形的对应边相等，即可得到点O的对应点O'的坐标．
【详解】
解：如图所示，∵线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，每4秒一个循环，19＝4×4+3，
∴3×90°＝270°，
∴19秒后点O旋转到点O'的位置，∠OPO'＝90°，
如图所示，过P作MN⊥y轴于点M，过O'作O'N⊥MN于点N，
则∠OMP＝∠PNO'＝90°，∠POM＝∠O'PN，OP＝PO'，
在△OPM和△PO'N中，
，
∴△OPM≌△PO'N（AAS），
∴O'N＝PM＝1，PN＝OM＝2，
∴MN＝1+2＝3，点O'离x轴的距离为2-1＝1，
∴点O'的坐标为（3，1），
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的
点的坐标．
5．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转分别交
AC于点E，交BC于点F，则下列说法：①AE="CF" ②EC+CF= ③DE="DF" ④若△ECF的面积为一个
定值，则EF的长也是一个定值，其中正确的是（ ）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】
试题分析：连接CD，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，点D为AB的中点由等腰三角形的“三线合
一”，
得到AD=DB=CD=4，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°又因为∠NDM=90°,易得∠NDC=∠BDM，所以
所以AE=CF；DE=DF；所以EC+CF=AC= ；
因为面积是个定值，所以CF不变，则CE不变，由直角三角形勾股定理的EF不变.
所以选D．
考点：旋转的性质，全等三角形，三角形的边长.
二、填空题
6．如图，将 绕着直角顶点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，若 ，
则 __________度．【答案】70
【分析】
首先由旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C，然后利用等腰直角三角形的性质等角转换，即可得解.
【详解】
由旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C，
∴AC=A′C，∠BAC=∠B′A′C，∠ACA′=90°，
∴∠CAA′=∠CA′A=45°
∵
∴∠BAC=25°
∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25°+45°=70°
故答案为：70.
【点睛】
此题主要考查利用全等三角形旋转求解角度，熟练掌握，即可解题.
7．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺
时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝_____．
【答案】3
【分析】
过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一线三等角“证得∠D＝∠CAF，
从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM＝AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF＝EN＝2，
再由AB＝5，可得AF，即DM的值．
【详解】
解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
∵旋转，
∴AD＝AC，BE＝BC，
∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F，∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°，
∴∠D+∠DAM＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠CAF+∠DAM＝90°，
∴∠D＝∠CAF，
∴在△DAM和△ACF中，
∴△DAM≌△ACF（AAS），
∴DM＝AF．
同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），
∴BF＝EN＝2，
∵AB＝5，
∴AF＝3，
∴DM＝3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关
键．
8．如图，已知 中， ， ，将 绕点 顺时针方向旋转60°到
的位置，连接 ，则 的长为______．
【答案】2 -2
【分析】根据题意连接BB′，延长BC′交AB′于点M，先证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠MBB′=∠MBA=30°；进而求出
BM、C′M的长，即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M，
由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠MBB′=∠MBA=30°，
∴BM⊥AB′，且AM=B′M；
由题意得： ，AB2=AC2+BC2=16，
∴AB′=AB=4，AM=2，
∴C′M= AB′=2；由勾股定理可求：BM=2 ，
∴C′B=2 -2．
故答案为：2 -2．
【点睛】
本题考查旋转的性质和全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握并作
辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键．
9．如图，Rt ABC中， AB=AC=3，AO=1．若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段为OE的最小值为_____________．
【答案】
【分析】
在AB上截取AQ=AO=1，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD=OE，根据点到直线的距离可知当
QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的
最小值．
【详解】
如图，在AB上截取AQ=AO=1，连接DQ，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD=OE，
∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，
∵AB=AC=3，AQ=AO=1，
∴BQ=2，
∴ ，
∴线段OE的最小值是为 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，作出辅助线构建全等
三角形是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△ABC ，AB交AC于点E，
1 1 1
AC 分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②AE=CF，③DF=FC，④AD =CE，
1 1 1
⑤AF=CE，其中正确的是________(写出正确结论的序号)
1
【答案】①②⑤.
【解析】
①∠C=∠C （旋转后所得三角形与原三角形完全相等）
1
又∵∠DFC=∠BFC（对顶角相等）
1
∴∠CDF=∠C BF=α
1
故结论①正确；
②∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠C，AB=CB，∠ABF=∠CBE，
1 1 1
∴△ABF≌△CBE，
1
∴BF=BE，
∴AB﹣BE=BC﹣BF，
1
∴AE=CF；
1故②正确；
③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，
故结论③不一定正确；
④BC=AB，∠A=∠C，∠ABF=∠CBE
1 1 1
∴△ABF≌△CBE
1
那么AF=CE．
1
故结论④正确．
三、解答题
11．如图， 中，点 在 边上， ，将线段 绕点 旋转到 的位置，使得
，连接 ， 与 交于点
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数.
【答案】(1)证明见解析；(2)78°.
【分析】
（1）因为 ，所以有 ，又因为 ，所以有
，得到 ；
（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，
得到 ，从而算出∠FGC
【详解】
(1)(2)
【点睛】
本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是
解题关键
12．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠BAC＝30°）按图①的方式放置，固定三角板
1 1
ABC，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与
1 1
AC交于点E，AC与AB 交于点F，AB与AB 交于点O．
1 1 1 1 1
（1）求证：△BCE≌△BCF.
1
（2）当旋转角等于30°时，AB与AB 垂直吗？请说明理由．
1 1
【答案】（1）证明见试题解析；（2）垂直．理由见试题解析．
【分析】
（1）根据题意可知∠B=∠B′，BC=B′C，∠BCE=∠B′CF，利用ASA即可证出△BCE≌△B′CF；
（2）由旋转角等于30°得出∠ECF=30°，所以∠FCB′=60°，根据四边形的内角和可知∠BOB′的度数为
360°-60°-60°-150°，最后计算出∠BOB′的度数即可．
【详解】解：（1）证明：两块大小相同的含30°角的直角三角板，所以∠BCA=∠B′CA′
∵∠BCA-∠A′CA=∠B′CA′-∠A′CA
即∠BCE=∠B′CF
∵ ，
∴△BCE≌△B′CF（ASA）；
（2）解：AB与A′B′垂直，理由如下：
旋转角等于30°，即∠ECF=30°，
所以∠FCB′=60°，
又∠B=∠B′=60°，
根据四边形的内角和可知∠BOB′的度数为360°-60°-60°-150°=90°，
所以AB与A′B′垂直．
考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质．
13．如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．
（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段
AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．
（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段
AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．
【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（3）
AC=BD，AC⊥BD
【分析】
（1）延长BD交AC于点E．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由
∠ADE=∠BDO，可证∠AED=∠BOD=90º即可；（2）延长BD交AC于点F，交AO于点G．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，
∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90º即可；
（3）BD交AC于点H，AO于M，可证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由
∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90º即可．
【详解】
（1）AC=BD，AC⊥BD，
证明：延长BD交AC于点E．
∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，
∠COA=∠BOD=90º，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠ADE=∠BDO，
∴∠AED=∠BOD=90º，
∴AC⊥BD；
（2）存在，
证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，
∠DOC=BOA=90º，
∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠AGF=∠BGO，
∴∠AFG=∠BOG=90º，
∴AC⊥BD；
（3）AC=BD，AC⊥BD．
证明：BD交AC于点H，AO于M，
∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，
∠DOC=BOA=90º，
∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠AMH=∠BMO，
∴∠AHM=∠BOH=90º，
∴AC⊥BD．【点睛】
本题考查三角形旋转变换中对应相等的位置与数量关系，掌握三角形全等的证明方法，及其角度计算是解
题关键．
14．如图（1），已知 中， ， ； 是过 的一条直线，且 ， 在
的异侧， 于 ， 于 ．
（1）求证： ；
（2）若直线 绕 点旋转到图（2）位置时（ ），其余条件不变，问 与 ， 的数
量关系如何？请给予证明．
（3）若直线 绕 点旋转到图（3）位置时（ ），其余条件不变，问 与 ， 的数
量关系如何？请直接写出结果，不需证明；
（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线 在不同位置时 与 ， 的位置关系．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3） ；（4）当 ， 在的同测时， ；当 ， 在 的异侧时，若 ，则 ，若
，则
【分析】
（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，则有一个角及斜边相等，则可判定
△BAD≌△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；
（2）由题中条件同样可得出△BAD≌△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD与△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE，AD=EC，
∴BD=DE+CE
（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE，AD=EC
∴BD=DE-CE，
（3）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD与△CAE中，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE=BD+CE，
∴BD=DE-CE．
（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,
则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE- DE.
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三
角形的判定和性质是解题的关键．
【易错点3全等三角形中动点问题易错】如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC
＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时
间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段
PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不
变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由见解析；（2）2或
【分析】
（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC
＋∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；
（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC
＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．
【详解】
解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C＋∠APC＝90°，
∴∠APC＋∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝ ，t＝ ．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或 ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）
和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能
判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两
边的夹角．
【变式训练】
三、选择题
1．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，
调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角
平分仪的画图原理是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】
根据题意两个三角形的三条边分别对应相等，即可利用“边边边”证明这两个三角形全等，即可选择．
【详解】
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴此角平分仪的画图原理是SSS．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质．根据题意找到可证明两三角形全等的条件是解答本题的关键．
2．如图已知 中， ， ， ，点 为 的中点．如果点 在
线段 上以 的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．若点 的
运动速度为 ，则当 与 全等时， 的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】D
【分析】
设运动时间为t秒，由题目条件求出BD= AB=6，由题意得BP=2t，则CP=8-2t，CQ=vt，然后结合全等
三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．
【详解】
解：设运动时间为t秒，
∵ ，点 为 的中点．∴BD= AB=6，
由题意得BP=2t，则CP=8-2t，CQ=vt，
又∵∠B=∠C
∴①当BP=CQ，BD=CP时， ≌
∴2t=vt，解得：v=2
②当BP=CP，BD=CQ时， ≌
∴8-2t=2t，解得：t=2
将t=2代入vt=6，解得：v=3
综上，当v=2或3时， 与 全等
故选：D
【点睛】
本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论
的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．如图，两座建筑物 ， 相距160km，小月从点 沿BC走向点C，行走ts后她到达点 ，此时她仰望两座建筑物的顶点 和 ，两条视线的夹角正好为 ，且 ．已知建筑物 的高为 ，
小月行走的速度为 ，则小月行走的时间 的值为（ ）
A．100 B．80 C．60 D．50
【答案】A
【分析】
首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=60m，再求出BE的长，然
后利用路程除以速度可得时间．
【详解】
解：∵∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，
∴∠A=∠DEC，
在△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴EC=AB=60m，
∵BC=160m，
∴BE=100m，
∴小华走的时间是100÷1=100（s），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在BC边上，BD= DC，∠BED=∠CFD=∠BAC，若S =30，则阴影部分的面积为（ ）
△ABC
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【分析】
根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S +S =S ，即可得出答案．
△ABE △CDF △ACD
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中， ，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴S =S ，
△ABE △ACF
∴阴影部分的面积为S +S =S ，
△ABE △CDF △ACD
∵S =30，BD= DC，
△ABC
∴S =20，
△ACD
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻
找全等三角形解决问题．
二、填空题
5．如图，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，AB=6，BC=8，CD=2，点P为BC边上一动点，当BP＝________时，
形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．【答案】2
【分析】
当BP=2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC=8可得CP=6，进而可得AB=CP，BP=CD，再结合AB⊥BC、
DC⊥BC可得∠B=∠C=90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．
【详解】
当BP=2时，Rt△ABP≌Rt△PCD．理由如下：
∵BC=8，BP=2，
∴PC=6，
∴AB=PC．
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°．
在△ABP和△PCD中，
∵ ，
∴△ABP≌△PCD(SAS)．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关
键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一
角相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8cm，AC=4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，
以2cm/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，
当点E运动_________秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．【答案】0或2或6或8
【分析】
分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上时，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算
即可．
【详解】
解：①当E在线段AB上，AB=BE时， ≌ ，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
②当点E在线段AB上，AC=BE时， ≌ ，
∵AC=4cm，
∴BE=4cm，
∴AE=AB－BE=8－4=4cm，
∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；
③当E在BN上，AC=BE时， ≌ ，
∵AC=4cm，
∴BE=4cm，
∴AE=AB+BE=8+4=12cm，
∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；
④当E在BN上，AB=BE时， ≌ ，
∵AB=8cm，
∴BE=8cm，
∴AE=AB+BE=8+8=16cm，
∴点E的运动时间为16÷2=8（秒），
综上所述，当点E运动0或2或6或8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．故答案为：0或2或6或8．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练的掌握直角三角形全等的判定定理．
7．如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的
中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D
点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
【答案】3或
【分析】
设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，根据∠B＝∠C，分①当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，
△BPE与△CQP全等；②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，两种情况进行讨论即可．
【详解】
解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6＝8﹣3t，
解得t＝ ，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点Q的运动速度为2÷ ＝3厘米/秒；
②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t＝8﹣3t，
解得t＝ ，∴点Q的运动速度为6÷ ＝ 厘米/秒；
故答案为3或 ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
8．如图，等边三角形△ABC的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连
接AD，并将AD绕点A逆时针旋转60°至AE，连接EF，则EF的最小值为_____．
【答案】
【分析】
取AB的中点H，连接DH，由“SAS”可证△ADH≌△AEF，可得EF＝DH，由垂线段最短，可得当
DH⊥BF时，DH的长最短，即EF有最小值，即可求解．
【详解】
解：如图，取AB的中点H，连接DH，∵△ABC是等边三角形，BF是高，
∴AF＝CF＝3，∠ABF＝30°，
∵点H是AB中点，
∴BH＝AH＝3，
∴AH＝AF，
∵将AD绕点A逆时针旋转60°至AE，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°＝∠BAC，
∴∠DAH＝∠FAE，且AF＝AH，AD＝AE，
∴△ADH≌△AEF（SAS）
∴EF＝DH，
∴当DH⊥BF时，DH的长最短，即EF有最小值，
∴DH的最小值为 BH＝ ，
∴EF的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的最值问题，掌握旋转的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
三、解答题
9．已知，如图，△ABC中，AB=AC，动点D、E、F在AB、BC、AC上移动，移动过程中始终保持
BD=CE，∠DEF=∠B，请你分析是否存在始终与△BDE全等的三角形，并说明理由．【答案】存在，理由见解析
【分析】
由三角形的外角性质和已知条件得出∠CEF=∠BDE，由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再由ASA证明
△CEF≌△BDE即可．
【详解】
解：存在始终与△BDE全等的三角形，△CEF≌△BDE；理由如下：
∵∠CED=∠B+∠BDE，∠DEF=∠B，
∴∠CEF=∠BDE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△CEF和△BDE中，
∴△CEF≌△BDE（ASA）．
10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm．BC＝15cm，点E为AB的中点，如果点P在线段
BC上以5cm/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP
全等？【答案】（1）△BPE与△CQP全等，理由见解析；（2）点Q的运动速度为 cm/秒时，△BPE与
△CQP全等
【分析】
（1）经过1秒后，可得BP=CQ=5cm，则PC=15-5=10cm，可证明△BPE≌△CQP；
（2）由△BEP≌△CQP可得BP=CP，可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ=BE可求得Q点运
动的路程，可求得其速度．
【详解】
解：（1）△BPE与△CQP全等．
理由如下：∵点E为AB的中点，AB＝20cm，
∴BE AB 20＝10cm，
∵点P、Q的速度都是5cm/秒，
∴经过1秒后，BP＝5cm，PC＝BC﹣BP＝15﹣5＝10cm，CQ＝5cm，
∴BE＝PC，BP＝CQ，
在△BPE与△CQP中，
，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（2）∵△BPE与△CQP全等，
∴CQ＝BE＝10，则PC＝BP＝7.5，点Q的运动速度为10÷（7.5÷5） cm/秒；
或CP＝BE＝10，即BP＝5，CQ＝5，点Q的运动速度为5÷（5÷5）＝5cm/秒；
∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴x＝5舍去，
∴点Q的运动速度为 cm/秒时，△BPE与△CQP全等．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
11．如图，已知CA＝CB，点E，F在射线CD上，满足∠BEC＝∠CFA，且∠BEC＋∠ECB＋∠ACF＝
180°.
(1)求证：△BCE≌△CAF；
(2)试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析;(2) AF＋EF＝BE，理由见解析.
【分析】
（1）根据题意，结合图形依据AAS可以证明△BCE≌△CAF；
（2）根据（1）的结论可得AF＝CE，CF＝BE即可证出结论.
【详解】
(1)证明：∵∠BEC＝∠CFA，
∠BEC＋∠ECB＋∠ACF＝180°，
∠CFA＋∠ACF＋∠FAC＝180°，
∴∠BCE＝∠FAC，
在△BCE和△CAF中， ,
∴△BCE≌△CAF(AAS)；
(2)解：AF＋EF＝BE，理由如下：
∵△BCE≌△CAF，∴AF＝CE，CF＝BE，
∵CE＋EF＝CF，∴AF＋EF＝BE.
【点睛】
该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握全等三角形的判定及其性质．
12．如图，有两根竹杆AC、BD相距18米，AC=6米，AC⊥AB，DB⊥AB，现有两个动点P、Q同时从B点
出发，点P以每秒2米的速度向点D运动，点Q以每秒1米的速度向点A运动，在线段AB上有一点Q．
（包括点A和点B）
（1）当P、Q两点运动6秒后，CQ与PQ有怎样的关系?（2）当P、Q两点运动t秒后，使以C、A、Q为顶点的三角形与以P、B、Q为顶点的三角形全等，直接
写出t的值______．
【答案】（1）CQ⊥PQ且CQ=PQ；证明见解析；（2）6
【分析】
（1）根据“SAS”可证明△AQC≌△BPQ，推出∠AQC =∠BPQ，可证得∠AQC +∠BQP=90 ，得到
CQ⊥PQ；
（2）分两种情况考虑：当△AQC≌△BPQ时与当△AQC≌△BQP时，根据全等三角形的性质即可确定出
时间．
【详解】
（1）CQ⊥PQ，
证明：当P、Q两点运动6秒后，
则BQ=6，BP=12，
∴AQ=18-6=12，
∵AC⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAQ =∠QBP=90 ，
在△AQC和△BPQ中，
，
∴△AQC≌△BPQ(SAS)，
∴∠AQC =∠BPQ，CQ=PQ
∵∠BPQ +∠BQP=90 ，
∴∠AQC +∠BQP=90 ，
∴CQ⊥PQ；
综上所述，CQ⊥PQ且CQ=PQ；（2）根据题意，BQ=t，BP=2t，则AQ=18-t，
当△AQC≌△BPQ时，AQ=BP，即18-t=2t，
解得：t=6；
当△AQC≌△BQP时，AQ=BQ，即18-t=t，
解得：t=9；
此时所用时间为9秒，AC=BP=18米，不合题意，舍去；
综上，出发6秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法以及分类讨论是解本题的关键．
