专题5.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用 了解函数 y＝A sin (ωx＋φ) 的物理意义，掌握 y＝A sin (ωx＋φ) 的图象，了 新课程考试要求 解参数 A，ω，φ 对函数图象变化的影响. 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算 核心素养 （多例）、数据分析（例6）等. （1） “五点法”作图； （2）函数图象的变换； 高考预测 （3）三角函数模型的应用问题. （4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计 算为主，其中多与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查. 【知识清单】 知识点1．求三角函数解析式 y  Asinx （1） 的有关概念 y  AsinxA0,0 振幅 周期 频率 相位 初相 ， 2 1  x0, A T  f   x  表示一个振动量时  T 2 y  Asinx （2）用五点法画 一个周期内的简图 y  Asinx 用五点法画 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：      3 2 x        2   2   3 x 0  2 2 2 y  Asinx 0 A 0 －A 0 知识点2．三角函数图象的变换 1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减 y  f x 0 y  f x 把函数 向左平移 个单位，得到函数 的图象; y  f x 0 y  f x 把函数 向右平移 个单位，得到函数 的图象;+网】 y  f x 0 y  f x 把函数 向上平移 个单位，得到函数 的图象;y  f x 0 y  f x 把函数 向下平移 个单位，得到函数 的图象. 伸缩变换: 1 y  f x y  f x01 把函数 图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数 的图象; 1 y  f x y  f x1 把函数 图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数 的图象; y  f x y  Af xA1 把函数 图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A，得到函数 的图象; y  f x y  Af x0 A1 把函数 图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A，得到函数 的图象. y sinx y sinx 0 2. 由 的图象变换出 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径， 才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论 x 哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变 化”多少. y sinx 0 0  途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 的图象向左 或向右 平移 个单 1 y sinx 位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍( 0 )，便得 的图象. 1 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将 y sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的倍( || 0 )，再沿 x 轴向左( 0 )或向右( 0 )平移  个单位，便得 y sinx 的图象. y sin(x) y sinx 0 注意：函数 的图象，可以看作把曲线 上所有点向左(当 时)或向右(当  0  时)平行移动 个单位长度而得到.y  Asinx 知识点3．函数 的图象与性质的综合应用      3 2k ，2k 2k ，2k     y sinx  2 2 (kZ)  2 2  (kZ) （1） 的递增区间是 ，递减区间是 . y  Asin(x) y  Acos(x) （2）对于 和 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.  xk kZ y  Asin（x) 的图象有无穷多条对称轴，可由方程 2 解出；它还有无穷多个 k xkkZ x kZ 对称中心，它们是图象与 x 轴的交点，可由 ，解得  ，即其对称中 k  ,0 kZ      心为 ．  k (kZ) （3）若 y  Asin(x) 为偶函数，则有 2 ;若为奇函数则有 k(kZ) . 2 T  f(x) Asin(x) || （4） 的最小正周期都是 . 【考点分类剖析】 考点一 求三角函数解析式 【典例1】【多选题】（2020·海南省高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由函数图像可知： ，则 ，所以不选A, 当 时， ， 解得： ， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC.   f(x)sin(x) 0,||   【典例2】（2020·山东五莲�高三月考）函数  2的部分图象如图所示，  则__________；将函数 f x 的图象沿x轴向右平移 b(0b 2 ) 个单位后，得到一个偶函数的图象， b 则 __________.  3 【答案】4 8 【解析】1 3   2 T     根据函数的图象可得4 8 8 4 ，所以T ，所以  ，所以2，       f   1 sin  2   1  2k 又因为  8  ，所以  8  ，所以 4 2 ，kZ ，  2k 所以 4 ，kZ ，   ||  因为 2 ，所以 4 .  所以 f(x)sin(2x )， 4      y sin 2xb sin 2x 2b     将 f(x)的图象沿x轴向右移b个长度单位得函数  4  4 的图象，      y sin  2x 2b  2bk 因为函数  4 是偶函数，所以 4 2 ，kZ ， k  b  所以 2 8 ，kZ ，  3 0b b 因为 2 ，所以k 1， 8 .  3 故答案为：4 ； 8 . 【规律方法】 y  Asinx 1.由 的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ． (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． (2)ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与 最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T． (3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的 位置． 依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π． 在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要 求范围内． (4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方 程组来求解φ． 2.利用图象变换求解析式： y sinx 0 0  y sinx 由 的图象向左 或向右 平移 个单位，得到函数 ，将图象上各点 1 y sinx 的横坐标变为原来的倍( 0 )，便得 ，将图象上各点的纵坐标变为原来的A倍( y  Asinx A0 )，便得 . 【变式探究】 π 1. （2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）将函数y sin2x的图象向左平移6 个单位长度后得到曲线 C 1 ， C C C 再将 1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线 2，则 2的解析式为（ ）  π  π y sin x y sin x     A．  3 B．  6  π  π y sin  x  y sin  4x  C．  3 D．  3 【答案】A 【解析】 π 将函数y sin2x的图像向左平移6 个单位长度后得到曲线 C ，则 C 的解析式为 1 1  y sin2(x )sin(2x ) C C C 6 3 ，再将 1 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线 2，则 2的解析 1   y sin( 2x )sin(x ) 式为 2 3 3 故选：A f xsinx0,0  2.（2020·江苏南通�高三其他）已知函数 的最小正周期是 ，若将  f x 该函数的图象向右平移 3 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式 ________.  2 sin 2x   【答案】  3  【解析】 f xsinx0,0  因为函数 的最小正周期是 ， 2  2 所以      y sin 2(x )   函数的图象向右平移 3 个单位长度后得到  3 ，    y sin 2(x )   因为  3 关于原点对称， 2 2  k(kZ) k(kZ) 所以 3 3 2  0 3  2 sin 2x 因此 f x   3    2 sin 2x   故答案为：  3 【总结提升】 y Asin(x) 根据函数的图象确定函数 中的参数的主要方法： A （1） 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定； （2）  主要由最小正周期T 确定，而T 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；  （3） 主要是由图象的特殊点的坐标确定． 考点二 三角函数图象的变换 【典例3】（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度， 再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的 倍，得到函数g(x)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ| ＜π）的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（ ） A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)在区间 上单调递减C．f(x)的图象关于直线x＝ 对称 D．f(x)的图象关于点 成中心对称 【答案】D 【解析】 根据函数图象求出 解析式，再根据平移伸缩变换求出 的解析式，然后根据 的解析式逐项 判断即可. 【详解】 根据g(x)的部分图象，可得A＝2， ，∴ω＝2． 结合五点法作图，可得2×（﹣ ）+φ＝ ，∴φ＝ ， 故g(x)＝2sin（2x+ ）． 由题意，把g(x)的图象上的所有点的横坐标变为原来的 倍，再向右平移 个单位， 可得f(x)＝2sin（3x+ ﹣π）＝2sin（3x﹣ ）的图象， 故f(x)的最小正周期为 ，故A错误； 在区间 上，3x﹣ ∈[0， ]，f(x)没有单调性，故B错误； 令x＝ ，求得f(x)＝0，不是最值，f(x)的图象不关于直线x＝ 对称，故C错误； 令x＝ ，求得f(x)＝0，故f(x)的图象关于（ ，0）对称，故D正确， 故选：D．【典例4】【多选题】（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数 的图象，只需将 的图象（ ） A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移 个单位长度 B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移 个单位长度 C．先向右平移 个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D．先向右平移 个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) 【答案】BC 【解析】 利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项. 【详解】 如果是先伸缩再平移，那么需先将 横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到 ， 再向右平移 个单位长度，即得 如果是先平移再伸缩，需先将 向右 的单位长度，得到 ，再 将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得 . 故选：BC 【规律方法】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y 轴对称；－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称． 【变式探究】   5  ,   1.（2020·浙江高一单元测试）如图是函数y  Asin(x)(xR)在区间 6 6 上的图象．为了得 y sinx(xR) 到这个函数的图象，只要将 的图象上所有的点（ ）．  1 A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 3 2  1 B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的 ，纵坐标不变 6 2 1  C．把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度 2 6  D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 3 【答案】AC 【解析】       由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+  ），将（ 6 ，0）代入得：sin(  3 )=0，所以  3   =kπ， kz ，取= 3 ，得y=sin（2x+ 3 ），      1 y sin x y sin 2x     y sinx向左平移 3 ，得  3．然后各点的横坐标缩短到原来的 2 ，得  3． 故A正确．   1  y sin2 x   y sinx各点的横坐标缩短到原来的 2 ，得y sin2x．然后向左平移 6 个单位，得  6   sin 2x    3．故C正确． 故选：AC 2.【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则下列结论中正确的有（ ） A．函数 的最大值为2 B．函数 的图象关于点 对称 C．函数 是偶函数 D．直线 是函数 图象的一条对称轴 【答案】AC 【解析】 先根据平移伸缩表示出函数 的解析式，再根据图像性质判断选项即可. 【详解】 由题意得 ， 所以 的最大值为2， 为偶函数， 的图像关于点 对称，关于直线 对称， 故B和D错误，A和C正确. 故选：AC. 【特别提醒】 1.图象的左右平移是针对x而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而 言的． 2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x而言的，即只是自变量x的系数发生改变，变为原来的倍，而不 涉及φ． 3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了||个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝ sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了||个单位长度，即x→x＋，ωx→ωx＋φ． 考点三 三角函数模型的应用 【典例5】【多选题】（2021·广东深圳市·高三二模）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海 的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个 座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转 分钟，当 时，游客随舱旋转至距 离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ） A．摩天轮离地面最近的距离为4米 B．若旋转 分钟后，游客距离地面的高度为 米，则 C．若在 ， 时刻，游客距离地面的高度相等，则 的最小值为30 D． ， ，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 【答案】BC 【解析】 易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出 分钟后，转过的角度，即可求出 关于 的表达式， 即可判断B；由余弦型函数的性质可求出 的最小值即可判断C；求出 在 上的单调性，结 合当 时， 即可判断D. 【详解】 解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为 米，故A不正确；分钟后，转过的角度为 ，则 ，B正确； 周期为 ，由余弦型函数的性质可知，若 取最小值， 则 ，又高度相等，则 关于 对称，则 ，则 ； 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， ， 当 时， ，所以 在 只有一个解； 故选:BC. 【典例6】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点 y t0t 24,单位小时 t 观测到该处水深 （米）是随着一天的时间 呈周期性变化，某天各时刻 的水深 数据的近似值如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 2．4 1.5 0．6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 （Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 y  Asint y  Acostb y Asintb ① ， ② ，③ (A 0,0,0) 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证 队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ） 中的选择的函 数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.   y 0.9sin t 1.5 y  Acostb   6   【答案】(1) 选② 做为函数模型， ;(2) 这一天可以安排早 上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.才能确保集训队员的安全. 【解析】 （Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示： - y  Acostb 依题意，选② 做为函数模型， 2.40.6 2.40.6 A 0.9b 1.5 2 2 2  T  12  6   y 0.9cos t 1.5    6    又函数y 0.9cos  t  1.5的图象过点（3，2.4）  6    2.40.9cos 3 1.5    6    cos  1    2  sin1 又 0   2     y 0.9cos t 1.50.9sin t 1.5      6 2   6    y 0.9sin t 1.5    6  （Ⅱ）由（Ⅰ）知：   0.9sin t 1.51.05   y1.05  6  令 ，即  1 sin t     6  2   7 2k  t 2k kZ 6 6 6 12k1t 12k7 5t 18 又 5t 7或11t 18 ∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练， 才能确保集训队员的安全. 【规律方法】 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问 题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题． 【变式探究】 （2021·全国高一课时练习）如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心 距离水面1米，已知水轮自点 开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点 距水面的高度 （米 与时间 （秒 满足函数关系式 ， ， ，则 __， __． 【答案】2 ． 【解析】 根据三角函数性质及水轮的结构可得 ，再由周期求得 ． 【详解】水轮的半径为2，水轮圆心 距离水面1， ， 又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒， ， ， 故答案为：2； ． 考点四 函数的图象与性质的综合应用 f(x)2sinxsin2x 【典例7】(2019年高考全国Ⅲ卷文)函数 在[0，2π]的零点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B f(x)2sinxsin2x2sinx2sinxcosx2sinx(1cosx)0 【解析】由 ， sinx 0 cosx1 得 或 ，  x0,2π x0、π或2π ， ．  f(x) 0,2π 在 的零点个数是3， 故选B． f(x)sinx,xR 【典例8】(2019年高考浙江卷)设函数 . [0,2), f(x)  （1）已知 函数 是偶函数，求 的值；   y [f(x )]2 [f(x )]2 （2）求函数 12 4 的值域．π 3π 3 3  [1 ,1 ] 【答案】（1） 2 或 2 ；（2） 2 2 ． f(x)sin(x) sin(x)sin(x) 【解析】（1）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有 ， sinxcoscosxsinsinxcoscosxsin 即 ， 2sinxcos0 故 ， cos0 所以 ． π 3π  又[0,2π)，因此 2 或 2 ． 2 2   π    π  π   π y  f x  f x sin2 x sin2 x （2）             12   4  12  4  π  π 1cos 2x 1cos 2x      6  2 1 3 3    1  cos2x sin2x   2 2 2 2 2   3  π 1 cos 2x   ． 2  3 3 3 [1 ,1 ] 因此，函数的值域是 2 2 ． π π 【典例9】（2017·山东高考真题（理））设函数f(x)=sin(ωx− )+sin(ωx− )，其中0<ω<3.已知 6 2 π f( )=0. 6 （Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平 π π 3π 移 个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[− , ]上的最小值. 4 4 4 【答案】(1) ω=2.3 (2) − . 2 【解析】 π π （Ⅰ）因为f(x)=sin(ωx− )+sin(ωx− )， 6 2 √3 1 所以f(x)= sinωx− cosωx−cosωx 2 2 √3 3 = sinωx− cosωx 2 2 1 √3 =√3( sinωx− cosωx) 2 2 π =√3(sinωx− ) 3 π 由题设知f( )=0， 6 ωπ π 所以 − =kπ，k∈Z. 6 3 故ω=6k+2，k∈Z，又0<ω<3， 所以ω=2. π （Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=√3sin(2x− ) 3 π π π 所以g(x)=√3sin(x+ − )=√3sin(x− ). 4 3 12 π 3π 因为x∈[− , ]， 4 4 π π 2π 所以x− ∈[− , ]， 12 3 3 π π 当x− =− ， 12 3 π 3 即x=− 时，g(x)取得最小值− . 4 2 【规律方法】 1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． 2.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 【变式探究】1. （2021·江西新余市·高一期末（理））已知函数 . （1）已知 ，求 的值； （2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）结合三角恒等变化化简得 ，得到 ，然后将 利用诱 导公式，余弦的倍角公式转化计算； （2）根据（1）求出当 时 ，进而 ，原不等式等价于 ，看成关于 的一次函数，其端点函数值大于等于0，得 ，化简即可. 【详解】 解：（1） ， ，. （2）当 时， ，可得 ， 由 ，不等式 可化为 ，有 . 令 ， ，则 ， 若不等式 恒成立，则 等价于 ，解得： . 故实数 的取值范围为 . 3 f(x) cos(2x)sin2 x 2. （2020·全国高三（文））已知0，函数 2 ． π  （Ⅰ）若 6，求 f(x)的单调递增区间； 3 （Ⅱ）若 f(x)的最大值是2 ，求  的值． 2   [k ,k ]  【答案】（Ⅰ） 3 6 ,kZ ;（Ⅱ） 2. 【解析】 1 3 1 1   1 f x cos2x sin2x  cos  2x   （Ⅰ）由题意 4 4 2 2  3  2 2  2k2x 2k k  xk 由 3 ，得 3 6 ．  2  k ,k 所以单调 f x 的单调递增区间为   3 6  ，kZ .  3 1 3 1 f x cos cos2x sinsin2x 3 （Ⅱ）由题意  2 2  2 2 ，由于函数 f x的最大值为 ，即   2 2 2  3 1  3    cos     sin  1 ， 从而 ，又 ，  2 2   2  cos0 0   故 2 ．