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2022年广西河池市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求。请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（ ）
A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元
2．（3分）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，平行线a，b被直线c所截，若∠1＝142°，则∠2的度数是（ ）
A．142° B．132° C．58° D．38°
4．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．3a3•2a2＝6a6
C．6y6÷2y2＝3y3 D．（﹣b2）3＝﹣b6
5．（3分）希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考
试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则
小强这学期的体育成绩是（ ）
A．92 B．91.5 C．91 D．90
6．（3分）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
7．（3分）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
9．（3分）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（ ）
A．﹣ ＜m＜0 B．m＞﹣ C．m＜0 D．m＜﹣
10．（3分）如图，AB是 O的直径，PA与 O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于
点P，则∠P的度数⊙是（ ） ⊙A．25° B．35° C．40° D．50°
11．（3分）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂
家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B顺时针旋
转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为（ ）
A．25 +24 B．5 +24 C．25 D．5
二、填空题π（本大题共4小题，每π小题3分，共12分。请把π 答案写在答题卡上对π应的答题区域
内。）
13．（3分）﹣2022的相反数是 ．
14．（3分）若二次根式 有意义，则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，点P（x，y）在双曲线y＝ 的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP ＝2，则该
反比例函数的解析式为 ．
16．（3分）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝ BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的
中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤。请将解
答写在答题卡上对应的答题区域内。）
17．（6分）计算：|﹣2 |﹣3﹣1﹣ × +（ ﹣5）0．
π
18．（6分）先化简，再求值： ÷ ﹣（2a﹣1），其中a＝3．
19．（6分）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C
（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A B C ，使它与△ABC的相似比为2：
2 2 2
1，并写出点B 的坐标．
2
20．（8分）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
（1）求证：∠ACB＝∠DFE；
（2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．21．（8分）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行
测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面
的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，
cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．
22．（8分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．
团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分
别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是 ，圆心角 ＝ 度；
（2）补全条形统计图； β
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级
比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
23．（8分）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒
果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为
n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？
最低费用为多少元？
24．（10分）如图，AB是 O的直径，E为 O上的一点，∠ABE的平分线交 O于点C，过点
C的直线交BA的延长⊙线于点P，交BE⊙的延长线于点D．且∠PCA＝∠C⊙BD．
（1）求证：PC为 O的切线；
（2）若PC＝2 ⊙BO，PB＝12，求 O的半径及BE的长．
⊙
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线L ：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y
1
轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L 的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
1
（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点
F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
（3）若将抛物线L 绕点B旋转180°得抛物线L ，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．
1 2
问：在抛物线L 的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？
2
若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2022年广西河池市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求。请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（ ）
A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元
【分析】根据正数与负数时表示具有相反意义的量直接得出答案．
【解答】解：∵收入50元，记作“+50元”．
且收入跟支出意义互为相反．
∴支出20元，记作“﹣20元”．
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数的实际意义，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的
关键．
2．（3分）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三视图的概念做出判断即可．
【解答】解：A，三棱柱的三视图既有三角形又有长方形，故不符合题意；
B，圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；
C，圆锥的三视图既有三角形又有圆，故不符合题意；
D，球的三视图都是圆，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握基本几何体的三视图是解题的关键．
3．（3分）如图，平行线a，b被直线c所截，若∠1＝142°，则∠2的度数是（ ）A．142° B．132° C．58° D．38°
【分析】因为a，b平行，所以∠2＝∠1＝142°．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1＝142°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是熟知平行线的性质．
4．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．3a3•2a2＝6a6
C．6y6÷2y2＝3y3 D．（﹣b2）3＝﹣b6
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2x2，不符合题意；
B、原式＝6a5，不符合题意；
C、原式＝3y4，不符合题意；
D、原式＝﹣b6，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握
运算法则是解本题的关键．
5．（3分）希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考
试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则
小强这学期的体育成绩是（ ）
A．92 B．91.5 C．91 D．90
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
95×20%+90×30%+91×50%＝91.5（分）．
答：小强这学期的体育成绩是91.5分．
故选：B．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题．
6．（3分）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣2）2．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（3分）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面
的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段
水面上升最快，从而可以解答本题．
【解答】解：因为底部的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱
底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，故适
合表示y与t的对应关系的是选项C．
故选：C．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
【分析】根据菱形的性质即可一一判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，
故A、B、D正确，无法得出AC＝BD，
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
9．（3分）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（ ）
A．﹣ ＜m＜0 B．m＞﹣ C．m＜0 D．m＜﹣
【分析】根据点P在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m的范围．
【解答】解：根据题意得 ，
解①得m＜0，
解②得m＜ ．
则不等式组的解集是m＜﹣ ．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一
般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．（3分）如图，AB是 O的直径，PA与 O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于
点P，则∠P的度数⊙是（ ） ⊙A．25° B．35° C．40° D．50°
【分析】由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO＝90°，则可求得
∠P．
【解答】解：∵∠ABC＝25°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，
∵PA是 O的切线，
∴PA⊥A⊙B，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理和切线的性质分别求得
∠AOP和∠PAO的度数是解题的关键．
11．（3分）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂
家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（ ）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
【分析】若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，某厂家今年一月份
的口罩产量是30万个，则二月份的口罩产量是30（1+x）万个，三月份的口罩产量是30
（1+x）2万个，根据三月份的口罩产量是50万个，列出方程即可．
【解答】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得，30（1+x）2＝50．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产量是解题
关键．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B顺时针旋
转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为（ ）A．25 +24 B．5 +24 C．25 D．5
【分析π】根据勾股定理得到πAB，然后根据扇形和三π角形的面积公式即可π得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴Rt△ABC所扫过的面积＝ + ×6×8＝25 +24，
π
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式
是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。请把答案写在答题卡上对应的答题区域
内。）
13．（3分）﹣2022的相反数是 202 2 ．
【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：﹣2022的相反数是：2022．
故答案为：2022．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
14．（3分）若二次根式 有意义，则a的取值范围是 a ≥ 1 ．
【分析】根据负数没有平方根确定出a的范围即可．
【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴a﹣1≥0，
解得：a≥1．
故答案为：a≥1．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
15．（3分）如图，点P（x，y）在双曲线y＝ 的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP ＝2，则该
反比例函数的解析式为 y ＝ ．【分析】利用待定系数法解答即可．
【解答】解：∵点P（x，y）在双曲线y＝ 的图象上，PA⊥x轴，
∴xy＝k，OA＝﹣x，PA＝y．
∵S△AOP ＝2，
∴ ×AO•PA＝2．
∴﹣x•y＝4．
∴xy＝﹣4，
∴k＝xy＝﹣4．
∴该反比例函数的解析式为y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，待
定系数法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
16．（3分）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形
ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝ BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的
中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ ．
【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH（SAS），得出∠BAG＝∠EBH，进而求出∠AOB＝90°，再判断出△AOB∽△ABG，求出 ，再判断出
△OBM∽△OAN，求出BM＝1，即可求出答案．
【解答】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴AF＝ AD，BE＝ BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴AF＝BE＝ AD，
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD＝2AB，
∴AF＝AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°，
∵BG＝EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG＝∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵BG＝EH＝ BE＝2，
∴BE＝5，
∴AF＝5，
∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°＝∠AOB，
∴∠BOM＝∠AON，∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH，
∴∠OBM＝∠OAN，
∴△OBM∽△OAN，
∴ ，
∵点N是AF的中点，
∴AN＝ AF＝ ，
∴ ＝ ，
∴BM＝1，
∴AM＝AB﹣BM＝4，
在Rt△MAN中，tan∠AMN＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质，勾股定理，求出BM是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤。请将解
答写在答题卡上对应的答题区域内。）
17．（6分）计算：|﹣2 |﹣3﹣1﹣ × +（ ﹣5）0．
【分析】先去绝对值，计算负整数指数幂，零π指数幂和二次根式乘法，再合并即可．
【解答】解：原式＝2 ﹣ ﹣2 +1
＝ ．
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．
18．（6分）先化简，再求值： ÷ ﹣（2a﹣1），其中a＝3．
【分析】把除化为乘，分解因式约分，化简后将a＝3代入即可．
【解答】解：原式＝ × ﹣（2a﹣1）
＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
当a＝3时，原式＝﹣3+1＝﹣2．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将分式化简．
19．（6分）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C
（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A B C ，使它与△ABC的相似比为2：
2 2 2
1，并写出点B 的坐标．
2
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A 、B 、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A 、B 、C 的坐标，然后描点即可．
2 2 2
【解答】解：（1）如图，△A B C 为所作；
1 1 1
（2）如图，△A B C 为所作，点B 的坐标为（﹣4，﹣6）；
2 2 2 2【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．
20．（8分）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
（1）求证：∠ACB＝∠DFE；
（2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
【分析】（1）证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知，∠ACB＝∠DFE，则BC∥EF，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE；（2）解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
又∵BC＝EF，
∴四边形BFEC是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，
熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
21．（8分）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行
测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面
的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，
cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．
【分析】通过作高，构造直角三角形，在两个直角三角形中用直角三角形的边角关系可求
出AE、BE即可．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE＝CD＝36m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CE•tan33°≈36×0.65≈23.4（m），
∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），
答：居民楼AB的高度约为59m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
22．（8分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．
团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分
别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 5 0 ，圆心角 ＝ 14 4 度；
（2）补全条形统计图； β
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决
问题；
（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
（3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：10÷20%＝50，
则圆心角 ＝360°× ＝144°，
β
故答案为：50，144；
（2）成绩优秀的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图如下：
（3）1200× ＝480（人），
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，
∴恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为 ＝ ．【点评】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题
的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒
果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为
n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？
最低费用为多少元？
【分析】（1）设桂花树的单价是x元，可得：3x+2（x﹣40）＝370，解得桂花树的单价是90
元，芒果树的单价是50元；
（2）根据题意得w＝40n+3000，由一次函数性质得购买桂花树35棵，购买芒果树25棵时，
费用最低，最低费用为4400元．
【解答】解：（1）设桂花树的单价是x元，则芒果树的单价是（x﹣40）元，
根据题意得：3x+2（x﹣40）＝370，
解得x＝90，
∴x﹣40＝90﹣40＝50，
答：桂花树的单价是90元，芒果树的单价是50元；
（2）根据题意得：w＝90n+50（60﹣n）＝40n+3000，
∴w关于n的函数关系式为w＝40n+3000，
∵40＞0，
∴w随n的增大而增大，
∵桂花树不少于35棵，
∴n≥35，
∴n＝35时，w取最小值，最小值为40×35+3000＝4400（元），
此时60﹣n＝60﹣35＝25（棵），
答：w关于n的函数关系式为w＝40n+3000，购买桂花树35棵，购买芒果树25棵时，费用
最低，最低费用为4400元．
【点评】本题考查一元一次方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和
函数关系式．
24．（10分）如图，AB是 O的直径，E为 O上的一点，∠ABE的平分线交 O于点C，过点
C的直线交BA的延长⊙线于点P，交BE⊙的延长线于点D．且∠PCA＝∠C⊙BD．（1）求证：PC为 O的切线；
（2）若PC＝2 ⊙BO，PB＝12，求 O的半径及BE的长．
⊙
【分析】（1）欲证明PC是 O的切线，只要证明PC⊥OC即可；
（2）设OB＝OC＝r，证明OP⊙＝3r，可得4r＝12，推出r＝3，利用平行线分线段成比例定理
求出BD，BE即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠PCA＝∠CBD，
∴∠PCA＝∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCA+∠ACO＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是 O的切线；
⊙
（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，
∵PC＝2 OB，
∴PC＝2 r，
∴OP＝ ＝ ＝3r，
∵PB＝12，∴4r＝12，
∴r＝3，
由（1）可知，∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD，
∴ ＝ ，∠D＝∠PCO＝90°，
∴ ＝ ，
∴BD＝4，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D＝90°，
∴AE∥PD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BE＝2．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，平行线的判定和性质等知
识，解题的关键是学会有添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线L ：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y
1
轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L 的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
1
（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点
F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
（3）若将抛物线L 绕点B旋转180°得抛物线L ，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．
1 2
问：在抛物线L 的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？
2
若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；
（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先
证明∠DCB＝90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问
题；
（3）如图2中，由题意抛物线L 的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），分三种情形：当
2
BP＝BM＝3 时，当PB＝PM时，当BM＝PM时，分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+2x+b经过B（3，0），C（0，3），
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点D（1，4）；
（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．∵C（0，3），B（3，0），D（1，4），
∴BC＝3 ，CD＝ ，BD＝ ＝2 ，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∵ •CD•CB＝ •BD•CH，
∴CH＝ ＝ ，
∵EF⊥x轴，DT⊥x轴，
∴EF∥DT，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴BE＝ m，BF＝ m，
∴△BFE与△DEC的面积之和S＝ ×（2 ﹣ m）× + ×m× m＝ （m﹣ ）2+
，
∵ ＞0，
∴S有最小值，最小值为 ，此时m＝ ，∴m＝ 时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．
解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值．求出四边
形OCEF的面积的最大值即可．
（3）存在．
理由：如图2中，由题意抛物线L 的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．
2
设P（5，m），
当BP＝BM＝3 时，22+m2＝（3 ）2，
∴m＝± ，
∴P （5， ），P （5，﹣ ），
1 2
当PB＝PM时，22+m2＝12+（m+3）2，
解得，m＝﹣1，
∴P （5，﹣1），
3
当BM＝PM时，（3 ）2＝12+（m+3）2，
解得，m＝﹣3± ，
∴P （5，﹣3+ ），P （5，﹣3﹣ ），
4 5
综上所述，满足条件的点P的坐标为P（5， ），P（5，﹣ ），P（5，﹣1），P（5，﹣
1 2 3 4
3+ ），P （5，﹣3﹣ ）．
5
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，中心
对称变换等知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思
考问题，属于中考压轴题．
