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2022年贵州省安顺市中考数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在
答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（3分）下列实数中，比﹣5小的数是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．0 D．
2．（3分）某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）贵州省近年来经济飞速发展，经济增长速度名列前茅，据相关统计，2021年全省
GDP约为196000000万元，则数据196000000用科学记数法表示为（ ）
A．196×106 B．19.6×107 C．1.96×108 D．0.196×109
4．（3分）如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大
小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．45°
5．（3分）一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．（3分）估计（ + ）× 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线，按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线
MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE．则下列结论错误的是（ ）
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．△BOC≌△BDE
8．（3分）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是
通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实
数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
9．（3分）如图，边长为 的正方形ABCD内接于 O，PA，PD分别与 O相切于点A和点
D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图⊙中阴影部分的面积为⊙（ ）
A．5﹣ B．5﹣ C． ﹣ D． ﹣
π
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数
y＝ （c≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A．
B．
C．
D．
11．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2 ，∠ACB＝120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，
若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）A． B． C． D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转
n个45°，得到正六边形OA B D E ，当n＝2022时，正六边形OA B D E 的顶点D 的
n n n n n n n n n n n
坐标是（ ） ∁ ∁
A．（﹣ ，﹣3） B．（﹣3，﹣ ） C．（3，﹣ ） D．（﹣ ，3）
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（4分）要使函数y＝ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（4分）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为 ．
15．（4分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机
摸取一个小球然后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球标号的和等于5的概
率为 ．
16．（4分）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于
点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，
分别连接MC，MN．若 ＝ ，则MC+MN的最小值为 ．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（1）计算：（﹣1）2+（ ﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣ |﹣ ．
π
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝ ．18．（10分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导
的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用
随机抽样的方法，抽取了七年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（t 单位：小
时）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计表：
睡眠时间 频数 频率
t＜7 3 0.06
7≤t＜8 a 0.16
8≤t＜9 10 0.20
9≤t＜10 24 b
t≥10 5 0.10
请根据统计表中的信息回答下列问题．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请估计该校600名七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的人数；
（3）研究表明，初中生每天睡眠时间低于9小时，会影响学习效率．请你根据以上调查统
计结果，向学校提出一条合理化的建议．
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为
直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分
别为（4，0），（4，m），直线CD：y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于C，
P（﹣8，﹣2）两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．21．（10分）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现
5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的
5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米
到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、
E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
22．（10分）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功
研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块
种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水
稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总
产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
23．（12分）如图，AB是 O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD＝∠AED，且DE＝ ，
AE平分∠BAD，AE与⊙BD交于点F．
（1）求证：PA是 O的切线；
⊙（2）若tan∠DAE＝ ，求EF的长；
（3）延长DE，AB交于点C，若OB＝BC，求 O的半径．
⊙
24．（12分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例
如：点（1，1），（ ， ），（﹣ ，﹣ ），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+ （a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的
取值范围．
25．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形
ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．
（1）求线段AE的长；
（2）求证四边形DGFC为菱形；
（3）如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DCM，设
DN＝x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存
在，请说明理由．2022年贵州省安顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在
答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（3分）下列实数中，比﹣5小的数是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C．0 D．
【分析】根据实数的大小做出判断即可．
【解答】解：∵﹣6＜﹣5，﹣ ＞﹣5，0＞﹣5， ＞﹣5，
∴A选项符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查实数大小的比较，根据实数的大小做出正确的判断是解题的关键．
2．（3分）某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．
【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆，
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓
线用虚线表示是得出正确答案的前提．
3．（3分）贵州省近年来经济飞速发展，经济增长速度名列前茅，据相关统计，2021年全省
GDP约为196000000万元，则数据196000000用科学记数法表示为（ ）
A．196×106 B．19.6×107 C．1.96×108 D．0.196×109
【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法即可得出答案．
【解答】解：196000000＝1.96×108，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握1≤a＜10是解题的关键．
4．（3分）如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大
小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．45°
【分析】过点B作BC∥b，利用平行线的性质可得∠CBD＝15°，再利用等腰直角三角形的
性质可得∠ABD＝45°，从而可得∠ABC＝30°，然后再利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BC∥b，
∴∠1＝∠CBD＝15°，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝30°，
∵a∥b，
∴a∥BC，
∴∠2＝∠ABC＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
5．（3分）一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是 ，添加数字6后平均数为 ，故不符合题意；
B、原来数据的中位数是4，添加数字6后中位数仍为4，故符合题意；
C、原来数据的众数是4，添加数字6后众数为4和6，故不符合题意；
D、原来数据的方差＝ [（3﹣ ）2+2×（4﹣ ）2+（6﹣ ）2]＝ ，
添加数字6后的方差＝ [（3﹣ ）2+2×（4﹣ ）2+2×（6﹣ ）2]＝ ，故方差发生了
变化，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题
的关键．
6．（3分）估计（ + ）× 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【解答】解：原式＝2+ ，
∵3＜ ＜4，
∴5＜2+ ＜6，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解
题关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线，按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线
MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE．则下列结论错误的是（ ）A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．△BOC≌△BDE
【分析】根据线段的垂直平分线的性质一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD，
∵AE＝EC，CD＝DB，
∴DE∥AB，
故A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是
通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实
数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，
整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，
∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，方程的定义，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本
题的关键．9．（3分）如图，边长为 的正方形ABCD内接于 O，PA，PD分别与 O相切于点A和点
D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图⊙中阴影部分的面积为⊙（ ）
A．5﹣ B．5﹣ C． ﹣ D． ﹣
π
【分析】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是 O的直径，∠AOD＝90°，根据切线的性
质得到∠PAO＝∠PDO＝90°，得到△CDE是等腰⊙直角三角形，根据等腰直角三角形的性
质得到PE＝3，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【解答】解：连接AC，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是 O的直径，∠AOD＝90°，
∵PA，P⊙D分别与 O相切于点A和点D，
∴∠PAO＝∠PDO⊙＝90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA＝OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P＝90°，AP＝AO，AC∥PE，
∴∠E＝∠ACB＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB＝ ，
∴AC＝2AO＝2，DE＝ CD＝2，
∴AP＝PD＝AO＝1，
∴PE＝3，
∴图中阴影部分的面积＝ （AC+PE）•AP﹣ AO2• ＝ （2+3）×1﹣ ×12• ＝ （5﹣ ）
π π π
＝ ﹣ ，故选：C．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和
性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数
y＝ （c≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．C．
D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与
反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＜0．
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝ （c≠0）在二、四象限．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解
题关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2 ，∠ACB＝120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，
若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】延长BC至F，使CF＝CA，连接AF，根据等边三角形的性质求出AF，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：延长BC至F，使CF＝CA，连接AF，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACF＝60°，
∴△ACF为等边三角形，
∴AF＝AC＝2 ，
∵DE平分△ABC的周长，
∴BE＝CE+AC，
∴BE＝CE+CF＝EF，
∵BD＝DA，
∴DE＝ AF＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是
解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转
n个45°，得到正六边形OA B D E ，当n＝2022时，正六边形OA B D E 的顶点D 的
n n n n n n n n n n n
坐标是（ ） ∁ ∁
A．（﹣ ，﹣3） B．（﹣3，﹣ ） C．（3，﹣ ） D．（﹣ ，3）
【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2022÷8＝252…6，所以D 的坐标与D 的坐标相同．
n 6
【解答】解：由题意旋转8次应该循环，
∵2022÷8＝252…6，
∴D 的坐标与D 的坐标相同，
n 6如图，过点D H⊥OE于点H，
6
∵∠DOD ＝90°，∠DOE＝30°，OD＝OD ＝2 ，
6 6
∴OH＝OD •cos60°＝ ，HD ＝ OH＝3，
6 6
∴D （﹣ ，﹣3），
6
∴顶点D 的坐标是（﹣ ，﹣3），
n
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化﹣性质等知识，解题的关键是学会探究
规律的方法，属于中考常考题型．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（4分）要使函数y＝ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥ ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，
解得：x≥ ，
故答案为：x≥ ．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数
是解题的关键．
14．（4分）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为 5 ．
【分析】直接利用已知解方程组进而得出答案．
【解答】解：方法一、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
则a＝8﹣2b，
代入3a+4b＝18，
解得：b＝3，则a＝2，
故a+b＝5．
方法二、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
∴2a+2b＝10，
∴a+b＝5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．
15．（4分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机
摸取一个小球然后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球标号的和等于5的概
率为 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和等于5的结果有
4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和等于5的结果有4种，
∴两次取出的小球标号和等于5的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用
到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（4分）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于
点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若 ＝ ，则MC+MN的最小值为 ．
【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN+CM＝MN+AM≥AN，
所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明△DCG∽△FCE，再由
＝ ，可知 ＝ ，分别求出DE＝1，CE＝3，CF＝12，即可求出AN．
【解答】解：如图，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
∴CM＝AM，
∴MN+CM＝MN+AM≥AN，
∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，
∵AD∥CF，
∴∠DAE＝∠F，
∵∠DAE+∠DEH＝90°，
∵DG⊥AF，
∴∠CDG+∠DEH＝90°，
∴∠DAE＝∠CDG，
∴∠CDG＝∠F，
∴△DCG∽△FCE，∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵正方形边长为4，
∴CF＝12，
∵AD∥CF，
∴ ＝ ＝ ，
∴DE＝1，CE＝3，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，
∴EF＝ ＝3 ，
∵N是EF的中点，
∴EN＝ ，
在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，
∴AE＝ ＝ ，
∴AN＝ ，
∴MN+MC的最小值为 ，
故答案为： ，
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方
法，灵活应用三角形相似、勾股定理是解题的关键．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（1）计算：（﹣1）2+（ ﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣ |﹣ ．
π
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝ ．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（﹣1）2+（ ﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣ |﹣
π＝1+1+2× + ﹣1﹣2
＝2+ + ﹣1﹣2
＝1；
（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
当x＝ 时，原式＝4× ＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函
数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（10分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导
的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用
随机抽样的方法，抽取了七年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（t 单位：小
时）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计表：
睡眠时间 频数 频率
t＜7 3 0.06
7≤t＜8 a 0.16
8≤t＜9 10 0.20
9≤t＜10 24 b
t≥10 5 0.10
请根据统计表中的信息回答下列问题．
（1）a＝ 8 ，b＝ 0.4 8 ；
（2）请估计该校600名七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的人数；
（3）研究表明，初中生每天睡眠时间低于9小时，会影响学习效率．请你根据以上调查统
计结果，向学校提出一条合理化的建议．
【分析】（1）根据统计表中的数据，可以计算出本次抽查的人数，然后即可计算出a、b的
值；
（2）根据统计表中的数据，可以计算出该校600名七年级学生中平均每天的睡眠时间不足
9小时的人数；
（3）根据表格中的数据，写出一条合理化建议即可，本题答案不唯一．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：3÷0.06＝50（人），a＝50×0.16＝8，b＝24÷50＝0.48，
故答案为：8，0.48；
（2）600×（0.06+0.16+0.20）
＝600×0.42
＝252（人），
答：估计该校600名七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的有252人；
（3）根据表格中的数据可知，有接近一半的学生的睡眠时间不足9小时，给学校的建议是：
近期组织一次家长会，就学生们的睡眠时间进行强调，要求家长监管好孩子们的睡眠时间，
要不少于9小时．
【点评】本题考查统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出本次调查的
人数．
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为
直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，
可得AC＝CD＝1，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴BC＝ ，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，
∴AC＝CD＝1，
∴BD＝ ﹣1．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等
是解题的关键．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分
别为（4，0），（4，m），直线CD：y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于C，
P（﹣8，﹣2）两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）把P（﹣8，﹣2）代入y＝ 可得反比例函数的解析式为y＝ ，即得m＝
＝4；
（2）连接AC，BD交于H，由C（4，4），P（﹣8，﹣2）得直线CD的解析式是y＝ x+2，即得
D（0，2），根据四边形ABCD是菱形，知H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（4，4）
可得H（4，2），设B（p，q），有 ，可解得B（8，2），从而可知B在反比例函数y＝
的图象上．【解答】解：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y＝ 得：
﹣2＝ ，
解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
∵C（4，m）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴m＝ ＝4；
∴反比例函数的解析式为y＝ ，m＝4；
（2）B在反比例函数y＝ 的图象上，理由如下：
连接AC，BD交于H，如图：
把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：
，
解得 ，
∴直线CD的解析式是y＝ x+2，
在y＝ x+2中，令x＝0得y＝2，
∴D（0，2），
∵四边形ABCD是菱形，
∴H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），
设B（p，q），
∵D（0，2），
∴ ，
解得 ，
∴B（8，2），
在y＝ 中，令x＝8得y＝2，
∴B在反比例函数y＝ 的图象上．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数法，菱形的性质及应用，函数
图象上点坐标的特征等，解题的关键是求出点B的坐标．
21．（10分）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现
5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的
5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米
到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、
E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
【分析】（1）过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
由勾股定理可求出答案；
（2）设DF＝4a米，则ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF中由锐角三角函数可列方程求出DF，进而求出AB．
【解答】解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂
足为M．
由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝ ，
∴ ＝ ，
∴解得a＝ ，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a＝ 米，
∴AB＝AF﹣BF＝40﹣ ＝ （米）．
答：基站塔AB的高为 米．【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关
系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
22．（10分）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功
研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块
种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水
稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总
产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩
数＝总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，
解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；
（2）设把y亩B块试验田改种杂交水稻，利用总产量＝亩产量×种植亩数，结合总产量不低
于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
依题意得： ﹣ ＝4，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是原方程的解，且符合题意，
则2x＝2×600＝1200．
答：普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克；
（2）设把y亩B块试验田改种杂交水稻，
依题意得：9600+600（ ﹣y）+1200y≥17700，
解得：y≥1.5．
答：至少把1.5亩B块试验田改种杂交水稻．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（12分）如图，AB是 O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD＝∠AED，且DE＝ ，
AE平分∠BAD，AE与⊙BD交于点F．
（1）求证：PA是 O的切线；
⊙（2）若tan∠DAE＝ ，求EF的长；
（3）延长DE，AB交于点C，若OB＝BC，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）由AB是 O的直径，可得∠DAB+∠ABD＝90°，而∠PAD＝∠AED，∠AED＝
∠ABD，有∠PAD＝∠⊙ABD，故∠DAB+∠PAD＝90°，可得AB⊥PA，PA是 O的切线；
（2）连接BE，由AB是 O的直径，得∠AEB＝90°，又AE平分∠BAD，有∠D⊙AE＝∠BAE，
⊙
故 ＝ ，∠DAE＝∠BAE＝∠DBE，可得 ＝ ，EF＝1；
（3）连接OE，可得OE∥AD，有 ＝ ，从而CE＝2 ，CD＝CE+DE＝3 设BC＝
OB＝OA＝R，证明△CBD∽△CEA，及有 ＝ ，解得 O的半径是2．
⊙
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°， ⊙
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵∠PAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，
∴∠PAD＝∠ABD，
∴∠DAB+∠PAD＝90°，即∠PAB＝90°，
∴AB⊥PA，
∵AB是 O的直径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解⊙：连接BE，如图：∵AB是 O的直径，
∴∠AEB⊙＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴ ＝ ，∠DAE＝∠BAE＝∠DBE，
∴BE＝DE＝ ，tan∠DAE＝tan∠BAE＝tan∠DBE＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝1；
（3）解：连接OE，如图：
∵OE＝OA，
∴∠AEO＝∠OAE，
∵∠OAE＝∠DAE，
∴∠AEO＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴ ＝ ，
∵OA＝OB＝BC，
∴ ＝2，∴ ＝2，
∵DE＝ ，
∴CE＝2 ，CD＝CE+DE＝3
设BC＝OB＝OA＝R，
∵∠BDC＝∠BAE，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CEA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴R＝2，
∴ O的半径是2．
【点⊙评】本题考查圆的性质及应用，涉及相似三角形判定与性质，锐角三角函数，圆的切线
等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，平行线转化比例解决问题．
24．（12分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例
如：点（1，1），（ ， ），（﹣ ，﹣ ），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+ （a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的
取值范围．
【分析】（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
（2）将点（ ， ）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，
两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5
时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（ ， ）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
∴ ＝ a+15+c，
∴c＝﹣ a﹣ ，
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c＝﹣ ；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并
与二次函数的性质结合解题是关键．
25．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形
ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．
（1）求线段AE的长；
（2）求证四边形DGFC为菱形；
（3）如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DCM，设
DN＝x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存
在，请说明理由．【分析】（1）在直角三角形BCF中，由勾股定理求出BF＝6，进而求得AF＝4，设AE＝x，
则EF＝DE＝8﹣x，在直角三角形AEF，根据勾股定理累出关于x的方程；
（2）根据CD∥AB得出△AGE∽△DCE，从而得出 ，求出AG＝6；
（3）先求得∠BGC的正切和正弦值，当∠MDN＝90°时，解直角三角形DGM和直角三角
形DMN；当∠DMN＝90°时，解直角三角形DMG和直角三角形DMN．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝10，BC＝AD＝8，
在Rt△BCF中，CF＝CD＝10，BC＝8，
∴BF＝6，
∴AF＝AB﹣BF＝4，
设AE＝x，则EF＝DE＝8﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，
EF2﹣AE2＝AF2，
∴（8﹣x）2﹣x2＝42，
∴x＝3，
∴AE＝3；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△AGE∽△DCE，
∴ ，
由（1）得：AE＝3，
∴DE＝8﹣3＝5，
∴ ，
∴AG＝6，∴FG＝AF+AG＝4+6＝10，
∴FG＝CD，
∴四边形DGFC是平行四边形，
∵CD＝CF，
∴ DGFC是菱形；
（3▱）解：∵四边形FGDC是菱形，
∴∠DGC＝∠DCG＝∠FGC＝ ，DG＝CD＝10，
在Rt△BCG中，BC＝8，BG＝BF+FG＝6+10＝16，
∴tan∠FGC＝ ，CG＝ ＝ ＝8 ，
∴sin∠FCG＝ ＝ ，
如图1，
当∠MDN＝90°时，
在Rt△GDM中，
DM＝DG•tan∠DGM＝10•tan∠FGC＝10× ＝5，
在Rt△DMN中，
DN＝DM•tan∠DMN，
∵∠DMN＝∠DCM，∠DCM＝∠FGC，
∴DN＝DM•tan∠FGC＝5× ＝ ，
如图2，当∠MND＝90°时，∠DMN+∠GDM＝90°，
∵∠DMN＝∠DCM＝∠DGM，
∴∠DGM+∠GDM＝90°，
∴∠DMG＝90°，
∴DM＝DG•sin∠DGM＝10× ＝2 ，
在Rt△DMN中，
DN＝DM•sin∠DMN＝DM•sin∠FGC＝2 × ＝2，
综上所述：DN＝ 或2．
【点评】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是
正确分类，考虑全面，充分利用解直角三角形或相似三角形的知识．
