文档内容
2022年西藏中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
最符合题目要求，不选、错选或多选均不得分．
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183
天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太
空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.232×109 B．2.32×109 C．2.32×108 D．23.2×108
4．（3分）在一次中学生运动会上，参加男子跳高的8名运动员的成绩分别为（单位：m）：
1.75 1.80 1.75 1.70 1.70 1.65 1.75 1.60
本组数据的众数是（ ）
A．1.65 B．1.70 C．1.75 D．1.80
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
6．（3分）如图，l ∥l ，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
1 2
A．46° B．90° C．96° D．134°
7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（
）
A．m≥ B．m＜ C．m＞ 且m≠1 D．m≥ 且m≠18．（3分）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能
是（ ）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
9．（3分）如图，AB是 O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝ OD，则∠ABD的度数
⊙
为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ （其中a，b是常数，ab≠0）的大
致图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B
落在B'上，连接DB'．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则∠AB'D的度数为（ ）A．50° B．60° C．80° D．90°
12．（3分）按一定规律排列的一组数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…．则按此规律排列
的第10个数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请在每小题的空格中填上正确答案，错
填、不填均不得分．
13．（3分）比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个）
14．（3分）如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点
D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为 米．
15．（3分）已知a，b都是实数，若|a+1|+（b﹣2022）2＝0，则ab＝ ．
16．（3分）已知Rt△ABC的两直角边AC＝8，BC＝6，将Rt△ABC绕AC所在的直线旋转一周
形成的立体图形的侧面积为 （结果保留 ）．
17．（3分）周末时，达瓦在体育公园骑自行车锻炼身体π，他匀速骑行了一段时间后停车休息，
之后继续以原来的速度骑行．路程s（单位：千米）与时间（t 单位：分钟）的关系如图所示，
则图中的a＝ ．18．（3分）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆
心，大于 GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF
于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 ．
三、解答题：本大题共9小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（5分）计算：|﹣ |+（ ）0﹣ +tan45°．
20．（5分）计算： • ﹣ ．
21．（5分）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．
22．（7分）教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于3小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，
对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：
平均每周劳动时间的频数统计表
劳动时间/小时 频数
t＜3 9
3≤t＜4 a
4≤t＜5 66
t≥5 15
请根据图表信息，回答下列问题．
（1）参加此次调查的总人数是 人，频数统计表中a＝ ；
（2）在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角度数是 °；
（3）该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的2男2女中随机挑选2人
在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
23．（8分）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔
作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元
购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购
买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝ BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上
一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．（1）若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
（2）若AB＝3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
25．（7分）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测
得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已
知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参
考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
26．（9分）如图，已知BC为 O的直径，点D为 的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长
线于点A，连接BD，交⊙CE于点F．
（1）求证：AD是 O的切线；
（2）若EF＝3，C⊙F＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+（m﹣1）x+2m与x轴交于A，B（4，0）两
点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交
BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S ，△PEC的面积为S ，是否存在点P，使得 最
1 2
大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2022年西藏中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
最符合题目要求，不选、错选或多选均不得分．
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣2×（ ）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣ ．
故选：D．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个
数互为倒数，属于基础题．
2．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合．
3．（3分）我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183
天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.232×109 B．2.32×109 C．2.32×108 D．23.2×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：232000000＝2.32×108．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，
确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）在一次中学生运动会上，参加男子跳高的8名运动员的成绩分别为（单位：m）：
1.75 1.80 1.75 1.70 1.70 1.65 1.75 1.60
本组数据的众数是（ ）
A．1.65 B．1.70 C．1.75 D．1.80
【分析】根据众数的定义进行解答即可．
【解答】解：参加男子跳高的8名运动员的成绩出现次数最多的是1.75，共出现3次，因此
众数是1.75，
故选：C．
【点评】本题考查众数，掌握“一组数据中出现次数最多的数是众数”是正确判断的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【分析】根据合并同类项法则进行一一计算．
【解答】解：A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，计算正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，计算不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了合并同类项．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果
作为系数，字母和字母的指数不变．
6．（3分）如图，l ∥l ，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
1 2A．46° B．90° C．96° D．134°
【分析】根据平行线的性质定理求解即可．
【解答】解：∵l ∥l ，
1 2
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∵∠1＝38°，∠2＝46°，
∴∠3＝96°，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（
）
A．m≥ B．m＜ C．m＞ 且m≠1 D．m≥ 且m≠1
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出
结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥ 且m≠1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于m的不等式
组是解题的关键．
8．（3分）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能
是（ ）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4．然后由三角形三边关系解答．
【解答】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．
不妨设第三边长为a，则4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，绝对值，实数与数轴，要注意三角形形成的条件：
任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，
9．（3分）如图，AB是 O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝ OD，则∠ABD的度数
⊙
为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【分析】连接OB，则OC＝ OB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答
案．
【解答】解：如图：
连接OB，则OB＝OD，
∵OC＝ OD，
∴OC＝ OB，
∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∠ABD＝30°+75°＝105°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出
辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ （其中a，b是常数，ab≠0）的大
致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解：若a＞0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y＝ （ab≠0）位于一、三象限，
若a＞0，b＜0，
则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数y＝ （ab≠0）位于二、四象限，
若a＜0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y＝ （ab≠0）位于二、四象限，
若a＜0，b＜0，
则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y＝ （ab≠0）位于一、三象限，
故选：A．【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数、反比例函数的性
质是解题的关键．
11．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B
落在B'上，连接DB'．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则∠AB'D的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
【分析】由翻折的性质知∠BAE＝∠B'AE＝50°，AB'＝AB，再由菱形的性质得∠BAD＝
120°，AB'＝AD，最后利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝120°，
∴∠BAD＝∠C＝120°，AB＝AD，
∵将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，
∴∠BAE＝∠B'AE＝50°，AB'＝AB，
∴∠BAB'＝100°，AB'＝AD，
∴∠DAB'＝20°，
∴∠AB'D＝∠ADB'＝（180°﹣20°）÷2＝80°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出
∠DAB'＝20°是解题的关键．
12．（3分）按一定规律排列的一组数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…．则按此规律排列
的第10个数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】把第3个数转化为： ，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是n2+1，且奇数项
是正，偶数项是负，据此即可求解．
【解答】解：原数据可转化为： ，﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…，∴ ＝（﹣1）1+1× ，
﹣ ＝（﹣1）2+1× ，
＝（﹣1）3+1× ，
..．
∴第n个数为：（﹣1）n+1 ，
∴第10个数为：（﹣1）10+1× ＝﹣ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请在每小题的空格中填上正确答案，错
填、不填均不得分．
13．（3分）比较大小： ＜ 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个）
【分析】估算无理数 的大小即可．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴ ＜ ＜ ，
即2＜ ＜3，
故答案为：＜．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
14．（3分）如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点
D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为 5 0 米．
【分析】应用三角形的中位线定理，计算得结论．
【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．∴AB＝2DE＝2×25＝50（米）．
故答案为：50．
【点评】本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第
三边的一半”是解决本题的关键．
15．（3分）已知a，b都是实数，若|a+1|+（b﹣2022）2＝0，则ab＝ 1 ．
【分析】根据绝对值、偶次幂的非负性求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|a+1|+（b﹣2022）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣2022＝0，
即a＝﹣1，b＝2022，
∴ab＝（﹣1）2022＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查绝对值、偶次幂的非负性，求出a、b的值是正确解答的前提．
16．（3分）已知Rt△ABC的两直角边AC＝8，BC＝6，将Rt△ABC绕AC所在的直线旋转一周
形成的立体图形的侧面积为 6 0 （结果保留 ）．
【分析】利用勾股定理求得母线长π，那么圆锥的侧π面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：由勾股定理得AB＝10，
∵BC＝6，
∴圆锥的底面周长＝12 ，
π
旋转体的侧面积＝ ×12 ×10＝60 ，
π π
故答案为：60 ．
【点评】本题考π查了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解，熟练掌握公式是解题
的关键．
17．（3分）周末时，达瓦在体育公园骑自行车锻炼身体，他匀速骑行了一段时间后停车休息，
之后继续以原来的速度骑行．路程s（单位：千米）与时间（t 单位：分钟）的关系如图所示，
则图中的a＝ 6 5 ．【分析】根据函数图象可知，达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20＝0.3千
米/分钟，20～35分钟休息，求出继续骑行9千米的时间即可．
【解答】解：由达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20＝0.3（千米/分钟），
休息15分钟后又骑行了9千米所用时间为9÷0.3＝30（分钟），
∴a＝35+30＝65．
故答案为：65．
【点评】本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，利用数形结合的思想方
法解答．
18．（3分）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆
心，大于 GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF
于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 ．
【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO
是∠AOB的平分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可．
【解答】解：如图所示：根据题意可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平分线，
∵AB＝6，∠BAC＝60°，
∴∠BAO＝∠CAO＝ ∠BAC＝30°，AD＝ AB＝3，
∴AM＝2MD，
在Rt△ADM中，（2MD）2＝MD2+AD2，
即4MD2＝MD2+32，
∴MD＝ ，
∵AM是∠AOB的平分线，MD⊥AB，
∴点M到射线AC的距离为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解
题的关键是理解题意灵活运用基本作图的知识解决问题．
三、解答题：本大题共9小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（5分）计算：|﹣ |+（ ）0﹣ +tan45°．
【分析】根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值
代入计算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣2 +1
＝2﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和方法是解本题的关键．
20．（5分）计算： • ﹣ ．
【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘
除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【解答】解：原式＝ • ﹣
＝ ﹣
＝1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算和计算顺序是解题的关键．
21．（5分）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．
【分析】由角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD，再利用SAS即可证明△ABD≌△ACD．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角
形的判定定理是解题的关键．
22．（7分）教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活
和家庭生活中，劳动时间不少于3小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，
对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：
平均每周劳动时间的频数统计表
劳动时间/小时 频数
t＜3 9
3≤t＜4 a
4≤t＜5 66
t≥5 15请根据图表信息，回答下列问题．
（1）参加此次调查的总人数是 15 0 人，频数统计表中a＝ 6 0 ；
（2）在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角度数是 3 6 °；
（3）该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的2男2女中随机挑选2人
在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）由A组所占的百分比和频数，即可得出参加此次调查的总人数，由总人数和B
组所占的百分比即可得出a；
（2）由360°乘以D组的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参加此次调查的总人数是：9÷6%＝150（人），频数统计表中a＝150×40%＝
60，
故答案为：150，60；
（2）D组所在扇形的圆心角度数是：360°× ＝36°，
故答案为：36；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不
重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题
是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔
作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元
购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购
买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
【分析】（1）可设每支钢笔x元，则每本笔记本（x+2）元，根据其数量相同，可列得方程，解
方程即可；
（2）可设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，根据总费用不超过540元，可列一元一
次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每支钢笔x元，依题意得：
，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
故笔记本的单价为：10+2＝12（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元；
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：
12y+10（50﹣y）≤540，
解得：y≤20，
故最多购买笔记本20本．
【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用，分式方程的应用，解答的关键是理解清楚
题意，找到等量关系．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝ BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上
一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．
（1）若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；（2）若AB＝3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
【分析】（1）由角平分线的性质和直角三角形的性质可求∠BAP＝∠APB＝45°，可得AB＝
BP，即可得结论；
（2）由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）BP＝CP，理由如下：
∵CG为∠DCF的平分线，
∴∠DCG＝∠FCG＝45°，
∴∠PCE＝45°，
∵CG⊥AP，
∴∠E＝∠B＝90°，
∴∠CPE＝45°＝∠APB，
∴∠BAP＝∠APB＝45°，
∴AB＝BP，
∵AB＝ BC，
∴BC＝2AB，
∴BP＝PC；
（2）∵△ABP≌△CEP，
∴AP＝CP，
∵AB＝3，
∵BC＝2AB＝6，
∵AP2＝AB2+BP2，
∴（6﹣BP）2＝9+BP2，
∴BP＝ ．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质
解决问题是解题的关键．25．（7分）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测
得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已
知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参
考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【分析】连接EF，构造两个直角三角形，在两个直角三角形中根据锐角三角函数的定义求
出DM即可．
【解答】解：连接EF，交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，
在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，
∴EM＝DM，
设DM＝x米，则EM＝AB＝x米，FM＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，
在Rt△DFM中，tan37°＝ ，
即 ≈0.75，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
即DM＝12米，
∴DB＝12+1.6＝13.6（米），
答：树BD的高度为13.6米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，
构造直角三角形是解决问题的关键．
26．（9分）如图，已知BC为 O的直径，点D为 的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长
⊙线于点A，连接BD，交CE于点F．
（1）求证：AD是 O的切线；
（2）若EF＝3，C⊙F＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
【分析】（1）连接OD，BE，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”及等腰三角形的性质
得到∠ODB＝∠EBD，进而得到OD∥BE，根据圆周角定理结合题意推出AD⊥OD，即可
判定AD是 O的切线；
（2）根据平行⊙线的性质得到∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，解直角三角形求出OC＝5，OA
＝ ，根据线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD∥BE，∵BC为 O的直径，
∴∠CEB⊙＝90°，
∴CE⊥BE，
∴OD⊥CE，
∵AD∥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是 O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：⊙∵DG∥CE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝ ，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝ ＝10，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝ ＝ ＝ ，
∴sinA＝sin∠ECB＝ ，
在Rt△AOD中，sinA＝ ＝ ，OD＝5，
∴OA＝ ，
∴AC＝OA﹣OC＝ ．
【点评】此题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形
的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是
解题的关键．27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+（m﹣1）x+2m与x轴交于A，B（4，0）两
点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最
小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交
BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S ，△PEC的面积为S ，是否存在点P，使得 最
1 2
大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将B（4，0）代入y＝﹣ x2+（m﹣1）x+2m，求出函数解析式即可求解；
（2）作O点关于BC的对称点O'，连接AO'交BC于点M，连接BO'，当A、M、O'三点共线时，
AM+OM有最小值，分别求出直线AO'的解析式和直线BC的解析式，两直线的交点即为
M点；
（3）连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G，设P（t，﹣ t2+t+4），则G（t，﹣t+4），由
S△BCP ＝ ×4×PG＝ BC×PF，求出PF＝﹣ t2+ t，再由PF∥CD，可得 ＝ ，则
＝﹣ （t﹣2）2+ ，当t＝2时， 有最大值，同时可求P点坐标．【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣ x2+（m﹣1）x+2m，
∴﹣8+4（m﹣1）+2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣ x2+x+4，
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣ x2+x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
（2）存在点M使AM+OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点O'，连接AO'交BC于点M，连接BO'，
由对称性可知，OM＝O'M，
∴AM+OM＝AM+O'M≥AO'，
当A、M、O'三点共线时，AM+OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠O'BM＝45°，
∴BO'⊥BO，
∴O'（4，4），
设直线AO'的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝ x+ ，
设直线BC的解析式为y＝k'x+4，
∴4k'+4＝0，∴k'＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
联立方程组 ，
解得 ，
∴M（ ， ）；
（3）存在点P，使得 最大，理由如下：
连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G，
设P（t，﹣ t2+t+4），则G（t，﹣t+4），
∴PG＝﹣ t2+2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4 ，
∴S△BCP ＝ ×4×（﹣ t2+2t）＝﹣t2+4t＝ ×4 ×PF，
∴PF＝﹣ t2+ t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PF∥CD，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵B、D两点关于y轴对称，∴CD＝4 ，
∴ ＝﹣ （t2﹣4t）＝﹣ （t﹣2）2+ ，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时， 有最大值 ，
此时P（2，4）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距
离的方法，平行线的性质是解题的关键．
