文档内容
2022年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）有理数﹣2，﹣ ，0， 中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D． ＝5
4．（3分）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：90，
93，88，93，85，92，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．95，92 B．93，93 C．93，92 D．95，93
6．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大7．（3分）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是
（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
8．（3分）如图，在函数y＝ （x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣
（x＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）二次根式 中，x的取值范围是 ．
10．（3分）若 ＝ ，则 ＝ ．
11．（3分）点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．（3分）甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20
名队员组成．其中两队队员的平均身高为 ＝ ＝160cm，身高的方差分别为s甲 2＝
10.5，s乙 2＝1.2．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是 ．
（填“甲队”或“乙队”）
13．（3分）如图，点A．B，C在 O上，∠AOB＝62°，则∠ACB＝ 度．
⊙14．（3分）如图，圆锥的母线长AB＝12cm，底面圆的直径BC＝10cm，则该圆锥的侧面积等于
cm2．（结果用含 的式子表示）
π
15．（3分）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流（I A）、电阻R（ ）三者之间的关系：I
Ω
＝ ，测得数据如下：
R（ ） 100 200 220 400
I（AΩ） 2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻R＝55 时，电流I＝ A．
16．（3分）如图，在△AΩBC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交
AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧
相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则
△BFG的周长等于 cm．
三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82
分）17．（6分）计算：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1﹣ |+（ ）﹣1．
18．（6分）先化简，再求值： ÷（ + ），其中a＝ +1，b＝ ﹣1．
19．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，
FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．
20．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学
有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：
A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随
机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计
图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角 ＝ 度；
（2）若该校有3200名学α生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少
年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
21．（8分）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i ＝1：1．为了
1对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i
2
＝1： ，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73．结果精确到0.1m）
22．（8分）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，
创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知
甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨
乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能
购买甲种有机肥多少吨？
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的 O与线段BC交于点D，过点D作
DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于⊙点P．
（1）求证：直线PE是 O的切线；
（2）若 O的半径为6，⊙∠P＝30°，求CE的长．
⊙
24．（10分）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段
AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线
段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行
测量，得出以下几组数据：
变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以
变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝ ；当h＝1时，a＝ ．
②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是 ．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积
（cm2）为s．
①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；
②当s＝ 时，求a的值．
25．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点
A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连
接GM．①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
26．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．2022年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）有理数﹣2，﹣ ，0， 中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
【分析】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．先求出各
个数的绝对值，然后比较绝对值的大小，由此确定出绝对值最大的数．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，﹣ 的绝对值是 ，0的绝对值是0， 的绝对值是 ．
∵2＞ ＞ ＞0，
∴﹣2的绝对值最大．
故选A．
【点评】本题考查绝对值的求解，同时会比较有理数的大小．
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D． ＝5
【分析】分别应用整式的加法法则，同底数幂相除，完全平方公式及二次根式的性质．
【解答】解：A：不是同类项不能合并，故A不符合题意；
B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，故B不符合题意；
C：完全平方公式的结果是三项式，故C不符合题意；
D：. ＝5．故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的基本运算，熟练掌握基础知识是解题的关键．
4．（3分）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断符号即可得出结论．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝1+8＝9＞0，
∴一元二次方程2x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ＞0
时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
5．（3分）某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：90，
93，88，93，85，92，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．95，92 B．93，93 C．93，92 D．95，93
【分析】将这组数据从小到大排列，出现次数最多的数据就是众数，处于中间位置的数就
是这组数据的中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大排列为：85，88，90，92，93，93，95，
∴这组数据的众数是93，中位数是92．故选：C．
【点评】本题考查了众数，中位数，掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排
列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据
的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
6．（3分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即
可求解．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，
x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D
正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关
键．
7．（3分）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是
（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．
【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；
D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两
直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直
线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
8．（3分）如图，在函数y＝ （x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣
（x＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．
【解答】解：∵点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴S△AOC ＝ ×2＝1，
又∵点B在反比例函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，
∴S△BOC ＝ ×8＝4，
∴S△AOB ＝S△AOC +S△BOC
＝1+4
＝5，
故选：B．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正
确解答的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）二次根式 中，x的取值范围是 x ≥ 5 ．
【分析】由二次根式有意义的条件得x﹣5≥0，解得x≥5．
【解答】解：由x﹣5≥0得
x≥5．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式
中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（3分）若 ＝ ，则 ＝ ．
【分析】对已知式子分析可知，原式可根据比例的基本性质可直接得出比例式的值．
【解答】解：根据 ＝ 得3a＝5b，则 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】主要考查了灵活利用比例的合比性质的能力．
11．（3分）点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 （﹣ 3 ，﹣ 2 ） ．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐
标特征是解题的关键．
12．（3分）甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20
名队员组成．其中两队队员的平均身高为 ＝ ＝160cm，身高的方差分别为s甲 2＝10.5，s乙 2＝1.2．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是 乙队 ．
（填“甲队”或“乙队”）
【分析】根据方差的意义判断．
【解答】解：∵两队队员的平均身高为 ＝ ＝160cm，s甲 2＝10.5，s乙 2＝1.2，
即s甲 2＞s乙 2．
∴如果单从队员的身高考虑，演出形象效果较好的队是乙队．
故答案为：乙队．
【点评】本题考查了方差的定义与意义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方
1 2 n
差S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，
1 2 n
波动性越大，反之也成立．
13．（3分）如图，点A．B，C在 O上，∠AOB＝62°，则∠ACB＝ 3 1 度．
⊙
【分析】由圆周角定理可求得答案．
【解答】解：∵∠AOB＝62°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝31°，
故答案为：31．
【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关
键．
14．（3分）如图，圆锥的母线长AB＝12cm，底面圆的直径BC＝10cm，则该圆锥的侧面积等于
60 cm2．（结果用含 的式子表示）
π π【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的
半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出该圆锥的侧面积．
【解答】解：根据题意该圆锥的侧面积＝ ×10 ×12＝60 （cm2）．
π π
故答案为：60 ．
【点评】本题考π查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（3分）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流（I A）、电阻R（ ）三者之间的关系：I
Ω
＝ ，测得数据如下：
R（ ） 100 200 220 400
I（AΩ） 2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻R＝55 时，电流I＝ 4 A．
【分析】由表格数据Ω求出反比例函数的解析式，再将R＝55 代入即可求出答案．
Ω
【解答】解：把R＝220，I＝1代入I＝ 得：
1＝ ，
解得U＝220，
∴I＝ ，
把R＝55代入I＝ 得：
I＝ ＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据已知求出反比例函数的解析式．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交
AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧
相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则
△BFG的周长等于 8 cm．【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出AC＝AG，即可得
出答案．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴FC⊥AC，
∵FG⊥AB，
由作图方法可得：AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，FC＝FG，
在Rt△ACF和Rt△AGF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AG，
∵AC＝BC，
∴AG＝BC，
∴△BFG的周长＝GF+BF+BG＝CF+BF+BG＝BC+BG＝AG+BG＝AB＝8cm．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作
图方法是解题关键．
三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82
分）
17．（6分）计算：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1﹣ |+（ ）﹣1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1﹣ |+（ ）﹣1＝1﹣2× + ﹣1+3
＝1﹣ + ﹣1+3
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各
式是解题的关键．
18．（6分）先化简，再求值： ÷（ + ），其中a＝ +1，b＝ ﹣1．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解： ÷（ + ）
＝ ÷
＝ •
＝ab，
当a＝ +1，b＝ ﹣1时，原式＝（ +1）（ ﹣1）
＝5﹣1
＝4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，
FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．
【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，CA平
分 ∠ DCB ， 从 而 可 得 ∠ DAC ＝ ∠ BAC ＝ ∠ DCA ＝ ∠ ACB ， 进 而 可 得
△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF，然后利用全等三角形的性质可得DE＝BE＝BF＝DF，
即可解答．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，CA平分∠DCB，∴∠DAC＝∠BAC＝ ∠DAB，∠DCA＝∠ACB＝ ∠DCB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠ACB，
∵AE＝CF，
∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF（SAS），
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四边形DEBF是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定
与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学
有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：
A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随
机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计
图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 20 0 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角 ＝ 5 4 度；
（2）若该校有3200名学α生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少
年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【分析】（1）①由B组的人数除以所占百分比即可；
②求出C组的人数，补全条形统计图即可；③由360°乘以C组所占的比例即可；
（2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概
率公式求解即可．
【解答】解：（1）①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
故答案为：200；
②C组的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角 ＝360°× ＝54°，
α
故答案为：54；
（2）3200× ＝1120（名），
答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1120名；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i ＝1：1．为了
1
对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i
2
＝1： ，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73．结果精确到0.1m）
【分析】在Rt△BCD中，根据BC的坡度为i ＝1：1，可求出BD的长，再在Rt△ACD中，根
1
据AC的坡度为i ＝1： ，可求出AD的长，然后利用AB＝AD﹣BD，进行计算即可解答．
2
【解答】解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i ＝1：1，
1
∴ ＝1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度为i ＝1： ，
2
∴ ＝ ，
∴AD＝ CD＝20 （米），
∴AB＝AD﹣BD＝20 ﹣20≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡度是解题的关键．
22．（8分）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，
创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知
甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨
乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能
购买甲种有机肥多少吨？【分析】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，根据“甲种有机肥每吨的价格
比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700
元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥（10﹣m）吨，利用总价＝单价×数量，结合
总价不超过5600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出
结论．
【解答】解：（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．
（2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥（10﹣m）吨，
依题意得：600m+500（10﹣m）≤5600，
解得：m≤6．
答：小姣最多能购买甲种有机肥6吨．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的 O与线段BC交于点D，过点D作
DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于⊙点P．
（1）求证：直线PE是 O的切线；
（2）若 O的半径为6，⊙∠P＝30°，求CE的长．
⊙
【分析】（1）连接OD，根据AB＝AC，OB＝OD，得∠ACB＝∠ODB，从而OD∥AC，由
DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是 O的切线；
（2）连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠⊙P＝30°，得∠PAE＝60°，又AB＝AC，可得△ABC是等边三角形，即可得BC＝AB＝12，∠C＝60°，而AB是 O的直径，得∠ADB＝90°，可得
⊙
BD＝CD＝ BC＝6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．
【解答】（1）证明：连接OD，如图：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即PE⊥OD，
∵OD是 O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解⊙：连接AD，连接OD，如图：
∵DE⊥AC，
∴∠AEP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠PAE＝60°，∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵ O的半径为6，
∴⊙BC＝AB＝12，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴BD＝CD＝ BC＝6，
在Rt△CDE中，
CE＝CD•cosC＝6×cos60°＝3，
答：CE的长是3．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角
三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．
24．（10分）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段
AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线
段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行
测量，得出以下几组数据：
变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以
变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝ 1. 5 ；当h＝1时，a＝ 1 或 3 ．②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是 A ．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积
（cm2）为s．
①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；
②当s＝ 时，求a的值．
【分析】（1①）当0≤a≤2时，DE＝AD，即：h＝a；当h＝1时，在0≤a≤2和2＜a≤4各
有一个自变量a与之对应；
②连线分别是两条线段；
③根据函数的定义判断；
（2）①阴影部分面积分别是等腰直角三角形，边长分别是a和4﹣a，进而求得结果；
②分别代入①中的两个函数关系式，求得结果．
【解答】解：（1）①从图1中，当a＜2时，△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝1.5，
从图2，当h＝1时，横坐标a对应1或3，
故答案为：1.5；1或3；
②如图，③当自变量a变化时，h随之变化，当a确定时，h有唯一一个值与之对应，所以h是a的
函数；
当自变量h确定时，a有两个值与之对应，所以a不是h的函数，
故答案为A；
（2）①当0≤a≤2时，DE＝AD＝a，
S△ADE ＝ AD•DE＝ ；
当2＜a≤4时，DE＝AB﹣AD＝4﹣a，
∴S＝ ＝ ，
∴S＝ ；
②当S＝ 时，当0≤a≤2时，
＝ ，
∴a ＝1，a ＝﹣1（舍去），
1 2
当2＜≤4时，
＝ ，
∴a ＝3，a ＝5（舍去），
3 4
综上所述：当S＝ 时，a＝1或3．
【点评】本题考查了函数定义，函数图象，等腰三角形性质，分类思想等知识，解决问题的
关键是熟练掌握有关函数的基础知识．25．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点
A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连
接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
【分析】（1）由矩形的性质及直角三角形的性质证出∠DCE＝∠AEF，根据相似三角形的
判定可得出结论；
（2）①连接AM，由直角三角形的性质得出MB＝CM＝GM＝ ，则点G在以点M为
圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，此时，AG+GM取得最小值，
由勾股定理求出AM＝5，则可得出答案；
②方法一：过点M作MN∥AB交FC于点N，证明△CMN∽△CBF，由相似三角形的性质
得出 ，设 AF＝x，则 BF＝4﹣x，得出 MN＝ BF＝ （4+x），证明
△AFG∽△MNG，得出比例线段 ，列出方程 ，解得x＝1，求出AF＝
1，由（1）得 ，设DE＝y，则AE＝6﹣y，得出方程 ，解得y＝3+ 或y＝3﹣
，则可得出答案．
方法二：过点G作GH∥AB交BC于点H，证明△MHG∽△MBA，由相似三角形的性质得出 ，求出GH＝ ，MH＝ ，证明△CHG∽△CBF，得出 ，求出FB
＝3，则可得出AF＝1，后同方法一可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠CED+∠DCE＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝90°，
∴∠DCE＝∠AEF，
∴△AEF∽△DCE；
（2）解：①连接AM，如图2，
∵BG⊥CF，
∴△BGC是直角三角形，
∵点M是BC的中点，
∴MB＝CM＝GM＝ ，
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM，
当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，
此时，AG+GM取得最小值，
在Rt△ABM中，AM＝ ＝ ＝5，
∴AG+GM的最小值为5．
②方法一：
如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N，∴△CMN∽△CBF，
∴ ，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∴MN＝ BF＝ （4﹣x），
∵MN∥AB，
∴△AFG∽△MNG，
∴ ，
由（2）可知AG+GM的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴AG＝2，
∴ ，
解得x＝1，
即AF＝1，
由（1）得 ，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴ ，
解得：y＝3+ 或y＝3﹣ ，
∵0 ＜6，0＜3﹣ ＜6，
∴DE＝3+ 或DE＝3﹣ ．方法二：
如图4，过点G作GH∥AB交BC于点H，
∴△MHG∽△MBA，
∴ ，
由（2）可知AG+MG的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴ ，
∴GH＝ ，MH＝ ，
由GH∥AB得△CHG∽△CBF，
∴ ，
即 ，
解得FB＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝1．
由（1）得 ，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴ ，
解得：y＝3+ 或y＝3﹣ ，
∵0 ＜6，0＜3﹣ ＜6，∴DE＝3+ 或DE＝3﹣ ．
【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定
与性质，三角形三边关系，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①方法一：求出直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，求出x的值，则可得出答
案；
方法二：求出OD＝3 ，证明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性质得出 ，设OE
＝x，则BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，则可得出答案；
②分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角
形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，
，
∴ ，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴直线MN的解析式为y＝x，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣ ＝﹣ ＝1，
把x＝1代入y＝x，得y＝1，
∴D（1，1），
方法一：
设直线CD的解析式为y＝k x+b ，
1 1
将C（0，﹣3），D（1，1）代 入得，
，
解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，
当y＝0时，4x﹣3＝0，
∴x＝ ，
∴E（ ，0），
∴OE＝ ．
方法二：
由勾股定理得OD＝ ＝ ，BC＝ ＝3 ，
∵BC∥MN，
∴△DEO∽△CEB，∴ ，
设OE＝x，则BE＝3﹣x，
∴ ，
解得x＝ ，
∴OE＝ ．
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，
由BC∥FD可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），
由点D在直线MN上，设D（t，t），
如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），
∵BC∥MN，
∴∠OBC＝∠DOB，
∵GD∥x轴，
∴∠GDF＝∠DOB，
∴∠OBC＝∠GDF，
又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，
∴△DGF≌△BOC（AAS），
∴GD＝OB，GF＝OC，∵GD＝t﹣1，OB＝3，
∴t﹣1＝3，
∴t＝4，
∴D（4，4），
如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，
同理可证△DKF≌△COB（AAS），
∴KD＝OC，
∵KD＝1﹣t，OC＝3，
∴1﹣t＝3，
∴t＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣2）；
（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，
由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，
如图，四边形BFCD为平行四边形，
设D（t，t），F（1，n），同理可证△DHC≌△BPF（AAS），
∴DH＝BP，HC＝PF，
∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，
∴ ，
∴ ，
∴D（2，2），F（1，﹣5），
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；
当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，全等三
角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，平行四边形的判
定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
