文档内容
2022年福建省中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的。
1．（4分）﹣11的相反数是（ ）
A．﹣11 B． C． D．11
2．（4分）如图所示的圆柱，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变．截止2021年底，全省5G终
端用户达1397.6万户．数据13976000用科学记数法表示为（ ）
A．13976×103 B．1397.6×104
C．1.3976×107 D．0.13976×108
4．（4分）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
5．（4分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．
π
6．（4分）不等式组 的解集是（ ）
A．x＞1 B．1＜x＜3 C．1＜x≤3 D．x≤3
7．（4分）化简（3a2）2的结果是（ ）
A．9a2 B．6a2 C．9a4 D．3a4
8．（4分）2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列．如图是福建省10个地区环
境空气质量综合指数统计图．
综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的
地区是（ ）A．F B．F C．F D．F
1 6 7 10
9．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，
BC＝44cm，则高AD约为（ ）
（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
10．（4分）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A
对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，
点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（ ）
A．96 B．96 C．192 D．160
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）四边形的外角和度数是 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为
．
13．（4分）一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 ．
14．（4分）已知反比例函数y＝ 的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是
．（只需写出一个符合条件的实数）
15．（4分）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令x＝m，
等式两边都乘以x，得x2＝mx．①
等式两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②
等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③
等式两边都除以x﹣m，得x+m＝m．④
等式两边都减m，得x＝0．⑤
所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
16．（4分）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于
C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算： +| ﹣1|﹣20220．
18．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝
∠D．
19．（8分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a＝ +1．
20．（8分）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动
的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．
调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们
一周的课外劳动时间（t 单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，
调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图．其中A组为0≤t＜1，B组为1≤t＜2，C组为2≤t＜3，D组
为3≤t＜4，E组为4≤t＜5，F组为t≥5．
（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；
（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间
不小于3h的人数．
21．（8分）如图，△ABC内接于 O，AD∥BC交 O于点D，DF∥AB交BC于点E，交 O于
点F，连接AF，CF． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：AC＝AF；
（2）若 O的半径为3，∠CAF＝30°，求 的长（结果保留 ）．
⊙ π
22．（10分）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿
化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植
共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少
盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
23．（10分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作 A，使得 A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）⊙的条件下，⊙设BD与 A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与 A相切
于点G，求tan∠ADB的值． ⊙ ⊙
24．（12分）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．
（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线
相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝
∠BCD，求∠ADB的度数．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P
是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S ，S ，S ．判断 + 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
1 2 32022年福建省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的。
1．（4分）﹣11的相反数是（ ）
A．﹣11 B． C． D．11
【分析】应用相反数的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：﹣（﹣11）＝11．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的定义进行求解是解决本题的关键．
2．（4分）如图所示的圆柱，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】应用简单几何体的三视图判定方法进行判定即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，圆柱的俯视图如图，
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图的判定方法
进行求解是解决本题的关键．
3．（4分）5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变．截止2021年底，全省5G终
端用户达1397.6万户．数据13976000用科学记数法表示为（ ）
A．13976×103 B．1397.6×104
C．1.3976×107 D．0.13976×108
【分析】应用科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有
一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a
＜10，n为正整数．】
【解答】解：13976000＝1.3976×107．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握科学记数法﹣表示较大的
数的方法进行求解是解决本题的关键．
4．（4分）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
5．（4分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】应用估算无理数大小的方法进行判定即可得出答案． π
【解答】解：根据题意，设点P表示的数为p，
则1＜p＜2，
∵1 ，
∴这个无理数是 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的
关键．
6．（4分）不等式组 的解集是（ ）
A．x＞1 B．1＜x＜3 C．1＜x≤3 D．x≤3
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解： ，
由①得：x＞1，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为1＜x≤3．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
7．（4分）化简（3a2）2的结果是（ ）A．9a2 B．6a2 C．9a4 D．3a4
【分析】应用积的乘方运算法则进行求解即可得出答案．
【解答】解：（3a2）2＝9a4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关
键．
8．（4分）2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列．如图是福建省10个地区环
境空气质量综合指数统计图．
综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的
地区是（ ）
A．F B．F C．F D．F
1 6 7 10
【分析】根据散点统计图的信息进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，F 地区环境空气质量综合指数约为1.9，是10个地区中最小值．
10
故选：D．
【点评】本题主要考查了散点统计图，根据题意读取散点统计图中的信息进行求解是解决
本题的关键．
9．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，
BC＝44cm，则高AD约为（ ）
（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【分析】根据等腰三角形性质求出BD，根据角度的正切值可求出AD．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，
∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，
∵∠ABC＝27°，
∴tan∠ABC＝ ≈0.51，
∴AD≈0.51×22＝11.22cm，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，掌握三角形函数的定义是解题
关键．
10．（4分）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A
对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，
点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（ ）
A．96 B．96 C．192 D．160
【分析】根据正切的定义求出BC，证明四边形ACC′A′为平行四边形，根据平移的性质
求出AA′＝12，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8，
则BC＝AB•tan∠CAB＝8 ，
由平移的性质可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为0，
∴AA′＝12，
∴S四边形ACC′A′ ＝12×8 ＝96 ，
故选：B．
【点评】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，得出四
边形ACC′A′为平行四边形是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）四边形的外角和度数是 360 ° ．
【分析】根据多边形的外角和都是360°即可得出答案．
【解答】解：四边形的外角和度数是360°，
故答案为：360°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和都是360°是解题的关键．
12．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为 6 ．
【分析】直接利用三角形中位线定理求解．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝ ×12＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边
的一半．
13．（4分）一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机
从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 ．
【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，
P（这个球是红球）＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解
决本题的关键．
14．（4分）已知反比例函数y＝ 的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是 ﹣
3 （答案不唯一） ．（只需写出一个符合条件的实数）
【分析】根据图象位于第二、四象限，易知k＜0，写一个负数即可．
【解答】解：∵该反比例图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k取值不唯一，可取﹣3，
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】本题考查反比例函数的性质，根据图象分别位于第二、第四象限，找到k的范围即
可．
15．（4分）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令x＝m，
等式两边都乘以x，得x2＝mx．①
等式两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②
等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③
等式两边都除以x﹣m，得x+m＝m．④
等式两边都减m，得x＝0．⑤
所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ④ ．
【分析】根据等式的基本性质和分解因式判断每一步的依据，再进行判断即可．
【解答】解：设任意一个实数为x，令x＝m，
等式两边都乘以x，得x2＝mx．①依据为等式的基本性质2；
等式两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②依据为等式的基本性质1；
等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③依据为分解因式；等式两边都除以x﹣m，得x+m＝m．④依据为等式的基本性质2；但是用法出错，
题干中给出的条件是x＝m，所以x﹣m＝0，不能直接除．
故答案为：④．
【点评】本题主要考查等式的基本性质，推理与论证，掌握等式的基本性质是解题关键．
16．（4分）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于
C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 8 ．
【分析】方法1、先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，
求解即可求出答案．
方法2、先判断出抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位
得到，进而画出图象，再借助AD＝2BC，求出点C的坐标，即可求出答案．
【解答】方法1、解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，
令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，
∴x＝﹣1± ，
针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，
令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，
∴x＝1± ，
∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶
点到x轴的距离相等，
∴AB＝CD，
∵AD＝2BC，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的
交点C在左侧，D在右侧，
∴A（﹣1﹣ ，0），B（﹣1+ ，0），C（1﹣ ，0），D（1+ ，0），
∴AD＝1+ ﹣（﹣1﹣ ）＝2+2 ，BC＝﹣1+ ﹣（1﹣ ）＝﹣2+2
，
∴2+2 ＝2（﹣2+2 ），
∴n＝8，故答案为：8．
方法2、∵y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到，
∵n＞0，
∴﹣n﹣1＜﹣1，
两函数的图象如图所示：
由平移得，AC＝BD＝2，
∵AB＝CD，AD＝2BC，
∴BC＝2AC＝4，
∴CD＝BC+BD＝6，
∵点C，D关于直线x＝1对称，
∴C（﹣2，0），
∵点C在抛物线 y＝x2﹣2x﹣n 上，
∴4+4﹣n＝0，
∴n＝8，
故答案为：8．【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的
坐标是解本题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算： +| ﹣1|﹣20220．
【分析】应用零指数幂，绝对值，算术平方根的计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝2+ ﹣1﹣1＝ ．
【点评】本题主要考查了零指数幂，绝对值，算术平方根，熟练掌握零指数幂，绝对值，算术
平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键．
18．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝
∠D．
【分析】利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DEF是解题的关
键．
19．（8分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a＝ +1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ ÷＝ •
＝ ，
当a＝ +1时，原式＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，平方差公式，因式分解﹣运用公式法，以及二次根式
的性质与化简，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
20．（8分）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动
的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．
调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们
一周的课外劳动时间（t 单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，
调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分
组方法制成如下扇形统计图．其中A组为0≤t＜1，B组为1≤t＜2，C组为2≤t＜3，D组
为3≤t＜4，E组为4≤t＜5，F组为t≥5．
（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；
（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间
不小于3h的人数．
【分析】（1）根据中位数的定义进行判断即可；
（2）根据第2次课外劳动时间不小于3h的人数所占调查总人数的百分比，进行计算即可．
【解答】解：（1）把第1次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列，处在中间位置的
两个数，
即处在第25、第26位的两个数都落在C组，因此第1次调查学生课外劳动时间中位数在C组；
把第2次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列各个分组，计算所占百分比的和，
和为50%和52%的都在D组，
因此第2次调查学生课外劳动时间的中位数在D组；
（2）2000×（30%+24%+16%）＝1400（人），
答：该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数大约是1400人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数，掌握条形统计图、扇形统计图的意义
以及中位数的计算方法是解决问题的前提．
21．（8分）如图，△ABC内接于 O，AD∥BC交 O于点D，DF∥AB交BC于点E，交 O于
点F，连接AF，CF． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：AC＝AF；
（2）若 O的半径为3，∠CAF＝30°，求 的长（结果保留 ）．
⊙ π
【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得
∠B＝∠D，等量代换可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC
的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，∵∠AFC＝ ＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴ 的长l＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质
与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
22．（10分）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿
化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植
共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少
盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
【分析】（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，利用总价＝单价×数量，结合购进两种绿植46盆
共花费390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买绿萝m盆，则购买吊兰（46﹣m）盆，根据购进绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，
即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购买两种绿植的总
费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数
的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，
依题意得： ，
解得： ．
∵8×2＝16，16＜38，∴ 符合题意．
答：购买绿萝38盆，吊兰8盆．
（2）设购买绿萝m盆，则购买吊兰（46﹣m）盆，
依题意得：m≥2（46﹣m），
解得：m≥ ．
设购买两种绿植的总费用为w元，则w＝9m+6（46﹣m）＝3m+276，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥ ，且m为整数，
∴当m＝31时，w取得最小值，最小值＝3×31+276＝369．
答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，
找出w关于m的函数关系式．
23．（10分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作 A，使得 A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）⊙的条件下，⊙设BD与 A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与 A相切
于点G，求tan∠ADB的值． ⊙ ⊙
【分析】（1）以A为圆心AB长为半径画弧交BD与M，作BM的垂直平分线，交BD与N，
以A为圆心AN为半径画圆即为所求；（2）设∠ADB＝ ， A 的半径为 r，证四边形 AEFG 是正方形，根据 AAS 证
△ABE≌△CDF，得出α BE⊙＝DF＝r•tan ，DE＝DF+EF＝r•tan +r，根据等量关系列出关系
式求出tan 的值即可． α α
【解答】解α：（1）根据题意作图如下：
（2）设∠ADB＝ ， A的半径为r，
α ⊙
∵BD与 A相切于点E，CF与 A相切于点G，
∴AE⊥B⊙D，AG⊥CG， ⊙
即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又AE＝AG＝r，
∴四边形AEFG是正方形，∴EF＝AE＝r，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB＝ ，
α
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝ ，
∴BE＝r•tan ，
∵四边形ABαCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝r•tan ，
∴DE＝DF+EF＝rα•tan +r，
α
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝ ，
即DE•tan ＝AE，
∴（r•tanα+r）•tan ＝r，
即tan2 +tαan ﹣1＝0α，
∵tan α＞0，α
α
∴tan ＝ ，
α
即tan∠ADB的值为 ．
【点评】本小题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性质，
锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与
转化等数学思想方法，考查推理能力，运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学
素养，渗透数学文化．
24．（12分）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．
（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线
相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AC＝DC，根据角平分线的定义得到∠DCB＝
∠ACB，证明四边形ABCD为平行四边形，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DEC，根据三角形内角和定理证明即可；
（3）在AD上取点M，使AM＝BC，连接BM，证明△AMB≌△CBD，得到BM＝BD，∠ABM
＝∠CDB，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴∠DCB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∵AB＝AC，
∴平行四边形ABDC为菱形；
（2）解：∠ACE+∠EFC＝180°，
理由如下：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ABC＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵∠ACB+∠ACF＝∠DEC+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝∠ACF，
∵∠CEF+∠ECF+∠EFC＝180°，∴∠ACF+∠ECF+∠EFC＝180°，
∴∠ACE+∠EFC＝180°；
（3）解：如图3，在AD上取点M，使AM＝BC，连接BM，
在△AMB和△CBD中，
，
∴△AMB≌△CBD（SAS），
∴BM＝BD，∠ABM＝∠CDB，
∴∠BMD＝∠BDM，
∵∠BMD＝∠BAD+∠MBA，
∴∠ADB＝∠BCD+∠BDC，
设∠BCD＝∠BAD＝ ，∠BDC＝ ，则∠ADB＝ + ，
∵CA＝CD， α β α β
∴∠CAD＝∠CDA＝ +2 ，
∴∠BAC＝∠CAD﹣∠α BAβD＝2 ，
β
∴∠ACB＝ ×（180°﹣2 ）＝90°﹣ ，
β β
∴∠ACD＝90°﹣ + ，
∵∠ACD+∠CADβ+∠αCDA＝180°，
∴90°﹣ + + +2 + +2 ＝180°，
∴ + ＝β30α°，α即∠βAαDB＝β 30°．
α β
【点评】本题考查的是旋转变换、菱形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性
质，证明△AMB≌△CBD是解题的关键．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P
是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别
为S ，S ，S ．判断 + 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
1 2 3
【分析】（1）将点A，B的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点
N，过点B作BE⊥PM于点E，可分别表达△OAB和△PAB的面积，根据题意列出方程求
出PN的长，设出点P的坐标，表达PN的长，求出点P的坐标即可；
（3）由PD∥OB，可得△DPC∽△BOC，所以CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，所以 ＝ ，
＝ ，则 + ＝ ．设直线AB交y轴于点F．则F（0， ），过点P作PH⊥x轴，
垂足为H，PH交AB于点G，易证PDG∽△OBF，所以PD：OB＝PG：OF，设P（n，﹣ n2+
n）（1＜n＜4），由（2）可知，PG＝﹣ n2+ n﹣ ，所以 + ＝ ＝ ＝
PG＝﹣ （n﹣ ）2+ ．利用二次函数的性质可得出最值．【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴ ，解得 ．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+ x．
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴ ，
解得 ．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB ＝ ×4×4＝8，
∴S△OAB ＝2S△PAB ＝8，即S△PAB ＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB ＝S△PNB +S△PNA ＝ PN×BE+ PN×AM＝ PN＝4，
∴PN＝ ．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣ m2+ m）（1＜m＜4），N（m，﹣ m+ ），∴PN＝﹣ m2+ m﹣（﹣ m+ ）＝ ．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2， ）或（3，4）．
（3）∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ + ＝ ．
设直线AB交y轴于点F．则F（0， ），
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，设P（n，﹣ n2+ n）（1＜n＜4），
由（2）可知，PG＝﹣ n2+ n﹣ ，
∴ + ＝ ＝ ＝ PG＝﹣ （n﹣ ）2+ ．
∵1＜n＜4，
∴当n＝ 时， + 的最大值为 ．
【点评】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的
判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法，考查运算能
力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养．
