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2022年湖北省十堰市中考数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）下列几何体中，主视图与俯视图的形状不一样的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+2a2＝3a2
C．（2a）3＝6a3 D．（a+1）2＝a2+1
4．（3分）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就
能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
5．（3分）甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方
差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5．下列说法中不一定正确的是（ ）
A．甲、乙的总环数相同B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大
D．甲、乙成绩的众数相同
6．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟
三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷
子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设
清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C． + ＝5 D． + ＝5
7．（3分）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零
件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为
（ ）
A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
8．（3分）如图，坡角为 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成
45°角沿斜坡照下时，α 在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A．m（cos ﹣sin ） B．m（sin ﹣cos ）
α α α αC．m（cos ﹣tan ） D． ﹣
α α
9．（3分）如图， O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列
结论：①∠A⊙DB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，
其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝ （k ＞0）和y＝ （k ＞0）的
1 2
图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k +k ＝（ ）
1 2
A．36 B．18 C．12 D．9
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年努力，目前我国杂
交水稻种植面积约为2.5亿亩．将250000000用科学记数法表示为2.5×10n，则n＝
．
12．（3分）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为
．
13．（3分）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得
∠FBD＝55°，则∠A＝ °．
14．（3分）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按
这种连接方式，50节链条总长度为 cm．
15．（3分）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OB上一点，将扇形AOB沿AC
折叠，使点B的对应点B'落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在
BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝
CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且
DM＝100m，BN＝50（ ﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线
M→A→N的长少 m（结果取整数，参考数据： ≈1.7）．三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（ ）﹣1+|2﹣ |﹣（﹣1）2022．
18．（5分）计算： ÷（a+ ）．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 +2 ＝5，求m的值．
20．（9分）某兴趣小组针对视力情况随α机β抽取本α校部β 分学生进行调查，将调查结果进行统计
分析，绘制成如下不完整的统计图表．
抽取的学生视力情况统计表
类别 调查结果 人数
A 正常 48
B 轻度近视 76
C 中度近视 60
D 重度近视 m
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）该校共有学生1600人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；
（3）某班有四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的
“爱眼护眼”座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和乙的概率．21．（7分）如图， ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝▱DF；
（2）设 ＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的 O与AB相切于点
E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G． ⊙
（1）求证：FG是 O的切线；
（2）若BG＝1，B⊙F＝3，求CF的长．
23．（10分）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）
与销售时间x（天）之间的关系式是y＝ ，销售单价p（元/件）与
销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
24．（10分）已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝ （0°＜
≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点αA逆时
α针旋转 得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
（1）如α图1，当 ＝90°时，线段BF与CF的数量关系是 ；
（2）如图2，当0°＜α ＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请说明理由； α
（3）若 ＝60°，AB＝4 ，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用
含有mα的式子表示）．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+ x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，
﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形
PECE′的周长．2022年湖北省十堰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：2的相反数等于﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键．
2．（3分）下列几何体中，主视图与俯视图的形状不一样的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据每一个几何体的三种视图，即可解答．
【解答】解：A、正方体的主视图与俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、圆柱的主视图与俯视图都是长方形，故B不符合题意；
C、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心，故C符合题意；
D、球体的主视图与俯视图都是圆形，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握每一个几何体的三种视图是解题的关
键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+2a2＝3a2C．（2a）3＝6a3 D．（a+1）2＝a2+1
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计
算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故A不符合题意；
B、a2+2a2＝3a2，故B符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故C不符合题意；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，
熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
4．（3分）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就
能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【分析】根据两点确定一条直线判断即可．
【解答】解：这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、两点之间，线段最短、两点确定一条直线、垂线
段最短，正确理解它们在实际生活中的应用是解题的关键．
5．（3分）甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方
差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5．下列说法中不一定正确的是（ ）
A．甲、乙的总环数相同
B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大
D．甲、乙成绩的众数相同
【分析】根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．
【解答】解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，乙射击成绩的平均数是8环，
∴甲、乙的总环数相同，故A正确，不符合题意；
∵甲射击成绩的方差是1.1；乙射击成绩的方差是1.5，
∴甲的成绩比乙的成绩稳定，乙的成绩比甲的成绩波动大，故B，C都正确，不符合题意；
由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故D不一定正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越
大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这
组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟
三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷
子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设
清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C． + ＝5 D． + ＝5
【分析】根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醑酒（5﹣x）斗，再根据拿30斗谷子，
共换了5斗酒，即可列出相应的方程．
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相
应的方程．
7．（3分）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零
件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为
（ ）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，
即可求得x的值．
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝3cm，
∴AB＝9cm，
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
8．（3分）如图，坡角为 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成
45°角沿斜坡照下时，α 在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A．m（cos ﹣sin ） B．m（sin ﹣cos ）
α α α α
C．m（cos ﹣tan ） D． ﹣
α α
【分析】过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出CD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，计算即可．
【解答】解：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，
则∠BCD＝ ，
在Rt△BCDα中，BC＝m，∠BCD＝ ，
则BD＝BC•sin∠BCD＝msin ，CD＝α BC•cos∠BCD＝mcos ，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°α， α
则AD＝CD＝mcos ，
∴AB＝AD﹣BD＝mαcos ﹣msin ＝m（cos ﹣sin ），
故选：A． α α α α
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是
解题的关键．
9．（3分）如图， O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列
结论：①∠A⊙DB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，
其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由△ABC是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得∠ADB＝∠BDC，即可判断
①正确；由点D是弧AC上一动点，可判断②错误；根据DB最长时，DB为 O直径，可
判定③正确；在 DB 上取一点 E，使 DE＝AD，可得△ADE 是等边三⊙角形，从而
△ABE≌△ACD（SAS），有BE＝CD，可判断④正确．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵ ＝ ， ＝ ，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝∠BDC，故①正确；
∵点D是弧AC上一动点，
∴ 与 不一定相等，
∴DA与DC不一定相等，故②错误；
当DB最长时，DB为 O直径，
∴∠BCD＝90°， ⊙
∵∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴DB＝2DC，故③正确；
在DB上取一点E，使DE＝AD，如图：
∵∠ADB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，
∴BD＝BE+DE＝CD+AD，故④正确；
∴正确的有①③④，共3个，故选：C．
【点评】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是作
辅助线，构造三角形全等解决问题．
10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝ （k ＞0）和y＝ （k ＞0）的
1 2
图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k +k ＝（ ）
1 2
A．36 B．18 C．12 D．9
【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE＝
m，D（3，a），根据BD∥y轴，可得B（3，a+2m），A（3+m，a+m），即知k ＝3（a+2m）＝
1
（3+m）（a+m），从而m＝3﹣a，B（3，6﹣a），由B（3，6﹣a）在反比例函数y＝ （k ＞0）的
1
图象上，D（3，a）在y＝ （k ＞0）的图象上，得k ＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k ＝3a，即得k +k
2 1 2 1 2
＝18﹣3a+3a＝18．
【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），
∵BD∥y轴，
∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），
∵A，B都在反比例函数y＝ （k ＞0）的图象上，
1
∴k ＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），
1
∵m≠0，
∴m＝3﹣a，
∴B（3，6﹣a），
∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝ （k ＞0）的图象上，D（3，a）在y＝ （k ＞0）的图象上，
1 2
∴k ＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k ＝3a，
1 2
∴k +k ＝18﹣3a+3a＝18；
1 2
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数及应用，涉及正方形性质，解题的关键是用含字母的代数式
表示相关点坐标．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年努力，目前我国杂
交水稻种植面积约为2.5亿亩．将250000000用科学记数法表示为2.5×10n，则n＝ 8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵250000000＝2.5×108．
∴n＝8，
故答案为：8．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为
0 ≤ x ＜ 1 ．【分析】读懂数轴上的信息，然后用不等号连接起来．界点处是实点，应该用大于等于或小
于等于．
【解答】解：该不等式组的解集为：0≤x＜1．
故答案为：0≤x＜1．
【点评】考查在数轴上表示不等式的解集，关键是读懂数轴上的信息，能正确选用不等号．
13．（3分）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，
屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得
∠FBD＝55°，则∠A＝ 11 0 °．
【分析】利用矩形的性质可得∠DBC＝90°，从而利用平角定义求出∠ABC的度数，然后利
用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝35°，最后利用三角形内角和定理进行计算即
可解答．
【解答】解：∵四边形BDEC为矩形，
∴∠DBC＝90°，
∵∠FBD＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝35°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°，
故答案为：110．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质，以及等腰三角
形的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按
这种连接方式，50节链条总长度为 9 1 cm．【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，
进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
1节链条的长度＝2.8cm，
2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），
故答案为：91．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
15．（3分）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OB上一点，将扇形AOB沿AC
折叠，使点B的对应点B'落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为 + 4 ﹣ 4 ．
π
【分析】根据题意和图形，可以计算出AB的长，然后根据勾股定理可以求得OC的值，然
后根据图形可知，阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOC的面积的二倍，代入数据
计算即可．
【解答】解：连接AB，
∵∠AOB＝90°，OA＝2，
∴OB＝OA＝2，
∴AB＝ ＝2 ，
设OC＝x，则BC＝B′C＝2﹣x，OB′＝2 ﹣2，
则x2+（2 ﹣2）2＝（2﹣x）2，
解得x＝2 ﹣2，∴阴影部分的面积是： ＝ +4﹣4 ，
π
故答案为： +4﹣4 ．
π
【点评】本题考查翻折变换、扇形面积的计算，解答本题的关键是求出OC的值，利用数形
结合的思想解答．
16．（3分）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在
BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝
CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且
DM＝100m，BN＝50（ ﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线
M→A→N的长少 37 0 m（结果取整数，参考数据： ≈1.7）．
【分析】解法一：如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据四边形的内角和定理证明∠G＝
90°，分别计算AD，CG，AG，BG的长，由线段的和与差可得AM和AN的长，最后由勾股定
理可得MN的长，计算AM+AN﹣MN可得答案．
解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得MN的长，从而得结论．
【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，
∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，
∴∠G＝90°，
∴AD＝2DG，
Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，
∴BG＝ BC＝50，CG＝50 ，
∴DG＝CD+CG＝100+50 ，
∴AD＝2DG＝200+100 ，AG＝ DG＝150+100 ，
∵DM＝100，
∴AM＝AD﹣DM＝200+100 ﹣100＝100+100 ，
∵BG＝50，BN＝50（ ﹣1），
∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100 ﹣50﹣50（ ﹣1）＝150+50 ，
Rt△ANH中，∵∠A＝30°，
∴NH＝ AN＝75+25 ，AH＝ NH＝75 +75，
由勾股定理得：MN＝ ＝ ＝50（ +1），
∴AM+AN﹣MN＝100+100 +150+50 ﹣50（ +1）＝200+100 ≈370（m）．
答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．
解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，
∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等边三角形，
∴∠DCM＝60°，
由解法一可知：CG＝50 ，GN＝BG+BN＝50+50（ ﹣1）＝50 ，
∴△CGN是等腰直角三角形，
∴∠GCN＝45°，
∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，
∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝ ∠BCD，
由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（ ﹣1）＝50 +50，
∵AM+AN﹣MN＝100+100 +150+50 ﹣50（ +1）＝200+100 ≈370（m）．
答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．
故答案为：370．
【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知
识与方法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30°的直角三角形，再利用线段的
和与差进行计算即可．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（ ）﹣1+|2﹣ |﹣（﹣1）2022．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（ ）﹣1+|2﹣ |﹣（﹣1）2022
＝3+ ﹣2﹣1
＝ ．
【点评】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，实数的运算，估算无理数的大小，绝对
值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（5分）计算： ÷（a+ ）．
【分析】根据分式的运算法则计算即可．
【解答】解： ÷（a+ ）
＝ ÷（ + ）＝ ÷ ＝
•
＝ ．
【点评】本题考查分式的混合运算，明确分式混合运算的步骤是解决问题的关键．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 +2 ＝5，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式，进α行β计算即α可解β答；
（2）利用根与系数的关系和已知可得 ，求出 ， 的值，再根据 ＝﹣3m2，进
α β αβ
行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得： ，
∵ ＝﹣3m2，
∴α﹣β3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的
关系是解题的关键．
20．（9分）某兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，将调查结果进行统计
分析，绘制成如下不完整的统计图表．
抽取的学生视力情况统计表
类别 调查结果 人数A 正常 48
B 轻度近视 76
C 中度近视 60
D 重度近视 m
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ 1 6 ，n＝ 10 8 ；
（2）该校共有学生1600人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；
（3）某班有四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的
“爱眼护眼”座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和乙的概率．
【分析】（1）根据总人数＝类别A的人数÷类别A所占的百分比，从而求出m的值，再利用
360°×类别C所占的百分比，进行计算即可解答；
（2）利用总人数乘“中度近视”所占的比例，进行计算即可解答；
（3）利用列表法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
48÷24%＝200，
∴m＝200﹣48﹣76﹣60＝16，
n°＝ ×360°＝108°，
故答案为：16，108；
（2）由题意得：
1600× ＝480（人），
∴估算该校学生中“中度近视”的人数为480人；
（3）如图：
总共有12种等可能结果，
其中同时选中甲和乙的结果有2种，∴P（同时选中甲和乙） ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图，用样本估计总体，扇形统计图，准确熟练地进行计算
是解题的关键．
21．（7分）如图， ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE＝▱DF；
（2）设 ＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形
BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；
（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．
【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝OC，
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO＝ OA，OF＝ OC，
∴EO＝FO，
∵BO＝OD，EO＝FO，∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF；
（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：
当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，
∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，
∵AE＝OE，
∴AC＝2BD，
∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的
四边形是平行四边形．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的 O与AB相切于点
E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G． ⊙
（1）求证：FG是 O的切线；
（2）若BG＝1，B⊙F＝3，求CF的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可证∠B＝∠C＝∠OFC，可证OF∥AB，可得结论；
（2）由切线的性质可证四边形GFOE是矩形，可得OE＝GF＝2 ，由锐角三角函数可求
解．
【解答】（1）证明：如图，连接OF，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠B，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
又∵OF是半径，
∴GF是 O的切线；
（2）解：⊙如图，连接OE，过点O作OH⊥CF于H，
∵BG＝1，BF＝3，∠BGF＝90°，
∴FG＝ ＝ ＝2 ，
∵ O与AB相切于点E，
∴⊙OE⊥AB，
又∵AB⊥GF，OF⊥GF，
∴四边形GFOE是矩形，
∴OE＝GF＝2 ，
∴OF＝OC＝2 ，
又∵OH⊥CF，
∴CH＝FH，
∵cosC＝cosB＝ ，
∴ ，∴CH＝ ，
∴CF＝ ．
【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，
锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（10分）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）
与销售时间x（天）之间的关系式是y＝ ，销售单价p（元/件）与
销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 3 0 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售
期”共有多少天？
【分析】（1）利用日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式，将x＝15代入对应的函
数关系式中即可；
（2）利用分类讨论的方法，分①当0＜x≤20时，②当20＜x≤30时两种情形解答：利用日
销售额＝日销售量×销售单价计算出日销售额，再利用一次函数和二次函数的性质解答即
可；
（3）利用分类讨论的方法，分①当0＜x≤20时，②当20＜x≤30时两种情形解答：利用已
知条件列出不等式，求出满足条件的x的范围，再取整数解即可．
【解答】解：（1）∵日销售量 y（件）与销售时间 x（天）之间的关系式是 y＝，
∴第15天的销售量为2×15＝30件，
故答案为：30；
（2）由销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数图象得：
p＝ ，
①当0＜x≤20时，
日销售额＝40×2x＝80x，
∵80＞0，
∴日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝20时，日销售额最大，最大值为80×20＝1600（元）；
②当20＜x≤30时，
日销售额＝（50﹣ x）×2x＝﹣x2+100x＝﹣（x﹣50）2+2500，
∵﹣1＜0，
∴当x＜50时，日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝30时，日销售额最大，最大值为2100（元），
综上，当0＜x≤30时，日销售额的最大值为2100元；
（3）由题意得：
当0＜x≤30时，2x≥48，
解得：24≤x≤30，
当30＜x≤40时，﹣6x+240≥48，
解得：30＜x≤32，
∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件，
∵x为整数，
∴x的整数值有9个，
∴“火热销售期”共有9天．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一次函数的性质，二次函数的性质，配方法求函
数的极值，正确利用自变量的取值范围确定函数的关系式是解题的关键．
24．（10分）已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝ （0°＜
α≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时
α针旋转 得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
（1）如α图1，当 ＝90°时，线段BF与CF的数量关系是 BF ＝ CF ；
（2）如图2，当0°＜α ＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请说明理由； α
（3）若 ＝60°，AB＝4 ，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用
含有mα的式子表示）．
【分析】（1）连接AF，先根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再
证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；
（2）连接AF，先说明∠EAC＝∠BAD，然后根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE
＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；
（3）先根据 ＝60°，AB＝AC，得出△ABC为等边三角形，再按照∠BAD的大小分三种情
况进行讨论，α得出结果即可．
【解答】解：（1）BF＝CF；理由如下：
连接AF，如图所示：
根据旋转可知，∠DAE＝ ＝90°，AE＝AD，
∵∠BAC＝90°， α∴∠EAC+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF，
故答案为：BF＝CF；
（2）成立，理由如下：
如图2，连接AF，
根据旋转可知，∠DAE＝ ，AE＝AD，
∵∠BAC＝ ， α
∴∠EAC﹣α∠CAD＝ ，∠BAD﹣∠CAD＝ ，
∴∠EAC＝∠BAD，α α
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF；
（3）∵ ＝60°，AB＝AC，
∴△ABCα为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4 ，
①当∠BAD＜60°时，连接AF，如图所示：
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝ ∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中， ＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根据（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝ EF＝2+ m，
∴BP＝BF+PF＝6+ m，∴PD＝BP﹣BD＝6﹣ m；
②当∠BAD＝60°时，AD与AC重合，如图所示：
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADB＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝90°，
∴此时点P与点D重合，PD＝0；
③当∠BAD＞60°时，连接AF，如图所示：
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝ ∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中， ＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根据（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝ EF＝2+ m，
∴BP＝BF+PF＝6+ m，
∴PD＝BD﹣BP＝ m﹣6，
综上，PD的值为6﹣ m或0或 m﹣6．
【点评】本题考查图形的旋转，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解旋转的
性质，注意分类讨论思想解题是关键．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+ x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，
﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形
PECE′的周长．
【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；（2）①可推出△COE为等腰直角三角形，进而求得点E坐标，从而求出PC的解析式，将
其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果；
②可推出四边形PECE′是菱形，从而得出PE＝CE，分别表示出PE和CE，从而列出方
程，进一步求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴ ，
∴y＝ x2+ x﹣3；
（2）①如图1，
设直线PC交x轴于E，
∵PD∥OC，
∴∠OCE＝∠CPD＝45°，
∵∠COE＝90°，
∴∠CEO＝90°﹣∠ECO＝45°，
∴∠CEO＝∠OCE，
∴OE＝OC＝3，
∴点E（3，0），
∴直线PC的解析式为：y＝x﹣3，
由 x2+ x﹣3＝x﹣3得，∴x ＝﹣ ，x ＝0（舍去），
1 2
当x＝﹣ 时，y＝﹣ ﹣3＝﹣ ，
∴P（﹣ ，﹣ ）；
②如图2，
设点P（m， m2+ m﹣3），四边形PECE′的周长记作l，
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′PC，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴∠ECP＝∠EPC，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴ PECE′为菱形，
∴▱CE＝PE，
∵EF∥OA，
∴ ，∴ ，
∴CE＝﹣ m，
∵PE＝﹣（﹣ ）﹣（ + ﹣3）＝﹣ ﹣3m，
∴﹣ ＝﹣ m2﹣3m，
∴m ＝0（舍去），m ＝﹣ ，
1 2
∴CE＝ ，
∴l＝4CE＝4× ＝ ，
当点P在第二象限时，
同理可得：
﹣ m＝ +3m，
∴m ＝0（舍去），m ＝﹣ ，
3 4
∴l＝4× ＝ ，
综上所述：四边形PECE′的周长为： 或 ．
【点评】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助
线，表示出线段的数量．
