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2022年广西贵港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）每小题都给出标号为A.B.C.D.的四个
选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑．
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同
3．（3分）一组数据3，5，1，4，6，5的众数和中位数分别是（ ）
A．5，4.5 B．4.5，4 C．4，4.5 D．5，5
4．（3分）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光
刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2 B．a2+b2＝a2b2 C．（﹣2a）3＝8a3 D．（﹣a3）2＝a6
6．（3分）若点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．2
7．（3分）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别
是（ ）
A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0
8．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A． ＝a
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．正多边形都是中心对称图形9．（3分）如图， O是△ABC的外接圆，AC是 O的直径，点P在 O上，若∠ACB＝40°，则
∠BPC的度数⊙是（ ） ⊙ ⊙
A．40° B．45° C．50° D．55°
10．（3分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为
45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这
棵树CD的高度是（ ）
A．8（3﹣ ）m B．8（3+ ）m C．6（3﹣ ）m D．6（3+ ）m
11．（3分）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶
点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均
不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，则下列
结论错误的是（ ）A．DF＝CE B．∠BGC＝120°
C．AF2＝EG•EC D．AG的最小值为
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．（3分）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．（3分）因式分解：a3﹣a＝ ．
15．（3分）从﹣3，﹣2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限
的概率是 ．
16．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角 （0°＜ ＜180°）得到△ADE，点B的对应点
D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝α25°，则α旋转角 的度数是 ．
α
17．（3分）如图，在 ABCD中，AD＝ AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交
▱
AB于点E，连接CE，若AB＝3 ，则图中阴影部分的面积是 ．
18．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣
2，0），对称轴为直线x＝﹣ ．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；
④am2+bm＜ （a﹣2b）（其中m≠﹣ ）；⑤若A（x ，y ）和B（x ，y ）均在该函数图象上，
1 1 2 2
且x ＞x ＞1，则y ＞y ．其中正确结论的个数共有 个．
1 2 1 2三、解答题（本大题共8小题，满分66分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：|1﹣ |+（2022﹣ ）0+（﹣ ）﹣2﹣tan60°；
π
（2）解不等式组：
20．（5分）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．
21．（6分）如图，直线AB与反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象相交于点A和点C（3，2），
与x轴的正半轴相交于点B．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OC，若点C为线段AB的中点，求△AOC的面积．
22．（8分）在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科
技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个
社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调
查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下
列问题：（1）本次调查的学生共有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．
23．（8分）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价
格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相
同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买
绳子和实心球的数量各是多少？
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上， O经过
⊙
点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝ ∠BDC．
（1）求证：AF是 O的切线；
⊙
（2）若BC＝6，sinB＝ ，求 O的半径及OD的长．
⊙
25．（11分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（ ，﹣ ）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D
的坐标．
26．（10分）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的
右侧，BD＝2AC，AD与BC相交于点O．
（1）如图1，若连接CD，则△BCD的形状为 ， 的值为 ；
（2）若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC＝ ，求OE的长；
②如图3，当∠ACB＝60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF．求证：OF⊥AB．2022年广西贵港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）每小题都给出标号为A.B.C.D.的四个
选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑．
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣2×（ ）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣ ．
故选：D．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个
数互为倒数，属于基础题．
2．（3分）一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同
【分析】根据圆锥的三视图进行判定即可．
【解答】解：圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，
所以主视图与左视图相同，
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关
键．
3．（3分）一组数据3，5，1，4，6，5的众数和中位数分别是（ ）
A．5，4.5 B．4.5，4 C．4，4.5 D．5，5
【分析】根据众数和中位数的定义直接求解即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于
中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平
均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：这组数据中5出现的次数最多，故众数为5；
这组数据按照从小到大的顺序排列好为：1、3、4、5、5、6，故中位数为 ＝4.5，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解答此题的关键．
4．（3分）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光
刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（ ）
A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，
所以28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2 B．a2+b2＝a2b2 C．（﹣2a）3＝8a3 D．（﹣a3）2＝a6
【分析】根据合并同类项法则，可判断A和B；根据积的乘方和幂的乘方，可判断C和D．
【解答】解：A、2a﹣a＝a，故A错误；
B、a2与b2不能合并，故B错误；
C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故C错误；
D、（﹣a3）2＝a6，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，根据法则计算是解题关键．
6．（3分）若点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．2
【分析】根据两点关于y轴对称的点的坐标的特点列出有关a、b的方程求解即可求得a﹣b的值．
【解答】解：∵点A（a，﹣1）与点B（2，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，牢记点的坐标的变化规律是解决
此类题目的关键．
7．（3分）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别
是（ ）
A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0
【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求
得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为a，
∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，
∴4﹣4+m＝0，
解得m＝0，
则﹣2a＝0，
解得a＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
的根与系数的关系为：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2
8．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A． ＝a
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．正多边形都是中心对称图形
【分析】根据判断命题真假的方法即可求解．
【解答】解：A．当a＜0时，原式＝﹣a，故原命题为假命题，此选项不符合题意；
B．当两直线平行时，同位角才相等，故原命题为假命题，此选项不符合题意；
C．三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故原命题为真命题，此选项符合题意；
D．三角形不是中心对称图形，故原命题为假命题，此选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了真假命题的判断，理解三角形内心的概念是解题的关键．
9．（3分）如图， O是△ABC的外接圆，AC是 O的直径，点P在 O上，若∠ACB＝40°，则
∠BPC的度数⊙是（ ） ⊙ ⊙
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，进而求出∠CAB，根据圆周角定
理解答即可．
【解答】解：∵AC是 O的直径，
∴∠ABC＝90°， ⊙
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
10．（3分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为
45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这
棵树CD的高度是（ ）
A．8（3﹣ ）m B．8（3+ ）m C．6（3﹣ ）m D．6（3+ ）m
【分析】设AD＝x米，则BD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△CDB中，利用锐角三角函数列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设AD＝x米，
∵AB＝16米，
∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴CD＝AD•tan45°＝x（米），
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴tan60°＝ ＝ ＝ ，
∴x＝24﹣8 ，
经检验：x＝24﹣8 是原方程的根，
∴CD＝24﹣8 ＝8（3﹣ ））米，
∴这棵树CD的高度是8（3﹣ ）米，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
11．（3分）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶
点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】延长AC到D，连接BD，由网格可得AD2+BD2＝AB2，即得∠ADB＝90°，可求出答
案．
【解答】解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴cos∠BAC＝ ＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
12．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均
不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，则下列
结论错误的是（ ）
A．DF＝CE B．∠BGC＝120°
C．AF2＝EG•EC D．AG的最小值为
【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明△ADF≌△BCE，可得DF＝CE，故A正确；利用菱
形的轴对称知，△BAF≌△DAF，得∠ADF＝∠ABF，则∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）
＝180°﹣∠CBE＝120°，故B正确，利用△BEG∽△CEB，得 ，且AF＝BE，可得C
正确，利用定角对定边可得点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，连接AO，交 O
于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，利用含30°角的直角三角形的性质可得⊙AG
的最小值，从而解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，BC＝AD，∠DAC＝ ∠BAD＝60°，
∴∠DAF＝∠CBE，
∵BE＝AF，
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴DF＝CE，∠BCE＝∠ADF，故A正确，不符合题意；
∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠BCE，
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE＝120°，故B正确，不符合题意；
∵∠EBG＝∠ECB，∠BEG＝∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴BE2＝CE×EG，
∵BE＝AF，
∴AF2＝EG•EC，故C正确，不符合题意；
以BC为底边，在BC的下方作等腰△OBC，使∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵∠BGC＝120°，BC＝1，
∴点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，
连接AO，交 O于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，
∵OB＝OC，⊙∠BOC＝120°，
∴∠BCO＝30°，
∴∠ACO＝90°，∴∠OAC＝30°，
∴OC＝ ，
∴AO＝2OC＝ ，
∴AG的最小值为AO﹣OC＝ ，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性
质，利用定边对定角确定点G的运动路径是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．（3分）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x ≥﹣ 1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0，
∴x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于
或等于0是解题的关键．
14．（3分）因式分解：a3﹣a＝ a （ a + 1 ）（ a ﹣ 1 ） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
15．（3分）从﹣3，﹣2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限
的概率是 ．
【分析】根据第三象限的点的坐标需要选两个负数得出结论即可．
【解答】解：∵第三象限的点的坐标需要选两个负数，
∴该点落在第三象限的概率是 × ＝ ，
故答案为： ．【点评】本题主要考查概率的知识，根据第三象限的点的坐标需要选两个负数计算概率是
解题的关键．
16．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角 （0°＜ ＜180°）得到△ADE，点B的对应点
D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝α25°，则α旋转角 的度数是 50 ° ．
α
【分析】先求出∠ADE的度数，然后由旋转的性质和等腰三角形的性质分析求解．
【解答】解：根据题意，
∵DE⊥AC，∠CAD＝25°，
∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，
由旋转的性质可得∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝65°，
∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴旋转角 的度数是50°；
故答案为：α50°．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性
质进行计算．
17．（3分）如图，在 ABCD中，AD＝ AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交
▱
AB于点E，连接CE，若AB＝3 ，则图中阴影部分的面积是 5 ﹣ ．
π
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最
后由S阴影 ＝S
ABCD
−S扇形ADE −S△EBC 结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面
积公式解题即▱可．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，∵AD＝ AB，∠BAD＝45°，AB＝3 ，
∴AD＝ ×3 ＝2 ，
∴DF＝ADsin45°＝2 × ＝2，
∵AE＝AD＝2 ，
∴EB＝AB−AE＝ ，
∴S阴影 ＝S
ABCD
−S扇形ADE −S△EBC
▱
＝3 ×2﹣ ﹣ × ×2
＝5 ﹣ ，
故答案为：π 5 ﹣ ．
【点评】本题考查等π腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考
点，准确添加辅助线是解题关键．
18．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣
2，0），对称轴为直线x＝﹣ ．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；
④am2+bm＜ （a﹣2b）（其中m≠﹣ ）；⑤若A（x ，y ）和B（x ，y ）均在该函数图象上，
1 1 2 2
且x ＞x ＞1，则y ＞y ．其中正确结论的个数共有 3 个．
1 2 1 2【分析】根据抛物线与x轴的一个交点（﹣2，0）以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个
交点（1，0），利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a＜0，进而可
得b＜0，c＞0，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，
0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：
，
解得 ，
∴a+b+c＝a+a﹣2a＝0，故③正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y＝0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵am2+bm＝am2+am＝a（m+ ）2﹣ a，
（a﹣2b）＝ （a﹣2a）＝﹣ a，
∴am2+bm﹣ （a﹣2b）＝a（m+ ）2，
又∵a＜0，m≠﹣ ，
∴a（m+ ）2＜0，
即am2+bm＜ （a﹣2b）（其中m≠﹣ ），故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x＞﹣ 时，y随x的增大而减小，
∵x ＞x ＞1＞﹣ ，
1 2
∴y ＜y ，故⑤错误，
1 2
正确的有②③④，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌
握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：|1﹣ |+（2022﹣ ）0+（﹣ ）﹣2﹣tan60°；
π
（2）解不等式组：
【分析】（1）根据绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值解答即可；
（2）分别解出两个不等式，再写出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣1+1+4﹣
＝4；
（2）解不等式①，得：x＜ ，
解不等式②，得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x ．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，
解一元一次不等式组，熟练掌握相关的知识是解答本题的关键．
20．（5分）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．
【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆
心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，△ABC为所作．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
21．（6分）如图，直线AB与反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象相交于点A和点C（3，2），
与x轴的正半轴相交于点B．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OC，若点C为线段AB的中点，求△AOC的面积．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k；
（2）求出点A的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而求出OB，根据三角形
的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵点C（3，2）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ ＝2，
解得：k＝6；
（2）∵点C（3，2）是线段AB的中点，
∴点A的纵坐标为4，
∴点A的横坐标为： ＝ ，∴点A的坐标为（ ，4），
设直线AC的解析式为：y＝ax+b，
则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣ x+6，
当y＝0时，x＝ ，
∴OB＝ ，
∵点C是线段AB的中点，
∴S△AOC ＝ S△AOB ＝ × × ×4＝ ．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式，灵活运用待
定系数法求出直线AC的解析式是解题的关键．
22．（8分）在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科
技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个
社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调
查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下
列问题：（1）本次调查的学生共有 9 0 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是 120 ° ；
（4）若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．
【分析】（1）用E社团人数除以20%即可得出样本容量；
（2）用样本容量分别减去其它社团人数，即可得出C社团人数，进而补全条形统计图；
（3）用360°乘A社团人数所占比例即可得出传统国学（A）对应扇形的圆心角度数；
（4）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：18÷20%＝90（人），
故答案为：90；
（2）C社团人数为：90﹣30﹣10﹣10﹣18＝22（人），
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是360°× ＝120°，
故答案为：120°；
（4）2700× ＝300（名），
答：该校本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数大约有300人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，掌握两个统计图中数量关
系是正确解答的前提．
23．（8分）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价
格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相
同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买
绳子和实心球的数量各是多少？
【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，根据数量＝总价÷单价且
84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同，列出分式方程并解答即可；
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，根据费用等于单价×数量列
出方程解答即可．
【解答】解：（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，
根据题意，得 ，
解得x＝7，
经检验可知x＝7是所列分式方程的解，且满足实际意义，
∴x+23＝30，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，
根据题意，得7×3m+30m＝510，
解得m＝10，
∴3m＝30，
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次方程．，解题的关键是找准等量关系，正确列出分
式方程和一元一次方程．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上， O经过
⊙
点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝ ∠BDC．
（1）求证：AF是 O的切线；
⊙
（2）若BC＝6，sinB＝ ，求 O的半径及OD的长．
⊙
【分析】（1）作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD＝CD，再通过导角得出AC是∠FAB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH＝OE，从而
证明结论；
（2）根据BC＝6，sinB＝ ，可得AC＝8，AB＝10，设 O的半径为r，则OC＝OE＝r，利用
⊙
Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．
【解答】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD＝ ，
∴∠CAD＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，
又∵∠FAC＝ ，
∴∠FAC＝∠CAB，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上， O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE⊙是 O的半径，
∴OH＝OE，OH是 ⊙O的半径，
∴AF是 O的切线；⊙
⊙
（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sinB＝ ，
∴可设AC＝4x，AB＝5x，
∴（5x）2﹣（4x）2＝62，
∴x＝2，
则AC＝8，AB＝10，
设 O的半径为r，则OC＝OE＝r，
∵⊙Rt△AOE∽Rt△ABC，∴ ，
即 ，
∴r＝3，
∴AE＝4，
又∵AD＝5，
∴DE＝1，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝ ．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角
形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
25．（11分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（ ，﹣ ）两点，直线AB与x
轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D
的坐标．
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点C的坐标，然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC，再由二次函数的最值性质，求出
答案；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；
分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
【解答】解：（1）将A（0，3）和B（ ，﹣ ）代入y＝﹣x2+bx+c，，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（ ，﹣ ）代入，
，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+3，
当y＝0时，﹣ x+3＝0，
解得：x＝2，
∴C点坐标为（2，0），
∵PD⊥x轴，PE∥x轴，
∴∠ACO＝∠DEP，
∴Rt△DPE∽Rt△AOC，
∴ ，
∴PE＝ PD，
∴PD+PE＝ PD，
设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，﹣ a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣ a+3）＝﹣（a﹣ ）2+ ，
∴PD+PE＝﹣ （a﹣ ）2+ ，∵﹣ ＜0，
∴当a＝ 时，PD+PE有最大值为 ；
（3）①当△AOC∽△DPA时，
∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，
∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；
②当△AOC∽△DAP时，
此时∠APG＝∠ACO，
过点A作AG⊥PD于点G，
∴△APG∽△ACO，
∴ ，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣ m+3），
则 ，
解得：m＝ ，
∴D点坐标为（ ，1），P点坐标为（ ， ），综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（ ， ），D点坐标为（ ，
1）．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，熟练
掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，运用数形结合和分类讨论的思想
解题是关键．
26．（10分）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的
右侧，BD＝2AC，AD与BC相交于点O．
（1）如图1，若连接CD，则△BCD的形状为 等腰三角形 ， 的值为 ；
（2）若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC＝ ，求OE的长；
②如图3，当∠ACB＝60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF．求证：OF⊥AB．
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC＝BH，进而
可判断△BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质
即可求解．
（2）①过点E作EF⊥AD于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得AC∥BD，根据等边
三角形的性质和利用勾股定理即可求解．
②连接CD，通过判定△BCD是等边三角形和△AOF∽△ADB，根据三角形相似的性质即
可求证结论．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CH⊥BD于H，∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB＝∠ABD＝∠CHB＝90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC＝BH，
又∵BD＝2AC，
∴AC＝BH＝DH，且CH⊥BD，
∴△BCD的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
∴ ，即DO＝2AO，
∴ ，
故答案为：等腰三角形， ；
（2）①如图2，过点E作EH⊥AD于点H，
∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴AC∥BD，
∵△ADE是等边三角形，且AE与AC重合，
∴∠EAD＝60°，
∴∠ADB＝∠EAD＝60°，
∴∠BAD＝30°，∴在Rt△ADB中，AD＝2BD，AB＝ BD，
又∵BD＝2AC，AC＝ ，
∴AD＝6，AB＝3 ，
∴AH＝DH＝ AD＝3，AO＝ AD＝2，
∴OH＝1，
∴EH＝ AH＝3 ，
在Rt△EOH中，OE＝2 ；
②如图3，连接CD，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝60°，
∵△BCD是等腰三角形，
∴△BCD是等边三角形，
又∵△ADE是等边三角形，
∴△ABD绕点D顺时针旋转60°后与△ECD重合，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
又∵∠BCD＝∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠FCB＝∠FBC＝30°，
∴FC＝FB＝2AF，
∴ ，
又∵∠OAF＝∠DAB，
∴△AOF∽△ADB，
∴∠AFO＝∠ABD＝90°，
∴OF⊥AB．
【点评】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，准确添加辅助线是
解题的关键．
