文档内容
2022年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正
确的选项，每小题选对得4分，选错，不选或选出的答案超过一个均计0分）
1．（4分）下列实数为无理数的是（ ）
A． B．0.2 C．﹣5 D．
2．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4 B．（2a2）3＝8a6
C．a3•a2＝a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．（4分）如图所示几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则
下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是1.2
6．（4分）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角
板的一条直角边平行，则∠ 的角度为（ ）
α
A．100° B．105° C．110° D．120°7．（4分）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为
0.6m，则石坝的高度为（ ）
A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m
8．（4分）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为7
B．当x≥2时，y随x的增大而增大
C．当x＝1时，对应的函数值y＝3
D．当x＝2和x＝5时，对应的函数值相等
9．（4分）已知M＝a2﹣a，N＝a﹣2（a为任意实数），则M﹣N的值（ ）
A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．无法确定
10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一
个动点，则EM+CM的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC大小关系的是（ ）
A． B．
C． D．12．（4分）如图，△ABC为等边三角形，边长为4cm，矩形DEFG的长和宽分别为4cm和
cm，点C和点E重合，点B，C（E），F在同一条直线上，令矩形DEFG不动，等边三角形
ABC以每秒1cm的速度向右移动，当点C与点F重合时停止移动，设移动x秒后，等边三
角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）﹣2的相反数是 ．
14．（4分） ﹣ ＝ ．
15．（4分）假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三
种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机
抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是 ．
16．（4分）不等式组 的解集是 ．
17．（4分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是斜边AB上一
点，且BD＝ AB，将△ABC绕点D逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，B′C′交AB于
点E．其中点C的运动路径为弧CC′，则弧CC′的长度为 ．18．（4分）如图，线段AB，CD端点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，
5），且AB∥CD，将CD平移至第一象限内，得到C′D′（C′，D′均在格点上）．若四边
形ABC′D′是菱形，则所有满足条件的点D′的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）化简：（m+2﹣ ）• ；
（2）解方程组： ．
20．（10分）某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；
B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情
况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？21．（10分）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（I 单位：A）与电阻R（单位：）
是反比例函数关系，它的图象如图所示． Ω
（1）请求出这个反比例函数的解析式；
（2）蓄电池的电压是多少？
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控
制在什么范围？
22．（12分）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的
长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
23．（12分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作
OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与 O的位置关系为 ；
（2）求证：⊙AC是 O的切线；
（3）如图2，连接DM⊙，DM＝4，∠A＝96°，求 O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数
据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0⊙.45）24．（12分）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条
件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2）， ．
求该二次函数的解析式．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围： ；
（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1
（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ ＝9．
若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）教材呈现
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做
“筝形”．
概念理解
（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质： ；（2）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，
△FAC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中的“筝
形”： ；（写出一个即可）
应用拓展
（3）如图2，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB，AC于点M，H，连接BH．
①求证：∠BAC＝∠FEG；
②求证：∠AHB＝90°．2022年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正
确的选项，每小题选对得4分，选错，不选或选出的答案超过一个均计0分）
1．（4分）下列实数为无理数的是（ ）
A． B．0.2 C．﹣5 D．
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：A． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．﹣5是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D． 是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循
环小数为无理数．
2．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图
形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的
图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中
心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自
身重合．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）A．a2+2a2＝3a4 B．（2a2）3＝8a6
C．a3•a2＝a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】A．应用合并同类项法则进行求解即可得出答案；
B．应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
C．应用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得出答案；
D．应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为a2+2a2＝3a2，故A选项不符合题意；
B．因为（2a2）3＝8a6，故B选项符合题意；
C．因为a2•a3＝a2+3＝a5，故C选项不符合题意；
D．因为（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则和完全平
方公式，熟练掌握运算法则进行求解是解决本题的关键．
4．（4分）如图所示几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到俯视图即可．
【解答】解：由题意知，几何体的俯视图为：
故选：C．
【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
5．（4分）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则
下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是1.2
【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符
合题意；
B、该组成绩的中位数是 ＝9，故本选项不符合题意；
C、该组成绩 ＝ （7+9+10+8+9+8+10+10+9+10）＝9，故本选项符合题意；
D、该组成绩数据的方差S2＝ （[ 7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1，故本
选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的
含义．
6．（4分）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角
板的一条直角边平行，则∠ 的角度为（ ）
α
A．100° B．105° C．110° D．120°
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC的度数，再根据三角形内角和定理可得∠ 的度数．
【解答】解：∵含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，如α图所示：
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∵∠C＝30°，
∴∠ ＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故选α：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这
些知识是解题的关键．
7．（4分）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为
0.6m，则石坝的高度为（ ）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m
【分析】根据DC∥BF，可得 ＝ ，进而得出BF即可．
【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，
∵DC⊥AD，BF⊥AD，
∴DC∥BF，
∴△ACD∽△ABF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：BF＝2.7．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
8．（4分）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为7
B．当x≥2时，y随x的增大而增大
C．当x＝1时，对应的函数值y＝3
D．当x＝2和x＝5时，对应的函数值相等
【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案．
【解答】解：由图象可知：
A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意；B．当x≤3时，y随x的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；
C．当x＝1时，对应的函数值y＝2，原说法错误，故本选项不合题意；
D．设x≤3时，y＝kx，则3k＝6，
解得k＝2，
∴y＝2x，
∴当x＝2时，y＝2×2＝4；
设x≥3时，y＝mx+n，
则 ，
解得 ，
∴y＝﹣x+9，
∴当x＝5时，y＝﹣5+9＝4，
∴当x＝2和x＝5时，对应的函数值都等于4，
∴当x＝2和x＝5时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
9．（4分）已知M＝a2﹣a，N＝a﹣2（a为任意实数），则M﹣N的值（ ）
A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．无法确定
【分析】利用配方法把M﹣N的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可．
【解答】解：M﹣N
＝a2﹣a﹣（a﹣2）
＝a2﹣2a+2
＝（a﹣1）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，
∴（a﹣1）2+1≥1，
∴M﹣N大于0，
故选：C．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一
个动点，则EM+CM的最小值是（ ）A． B． C． D．
【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC
的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，
∵A、C关于BD对称，
∴AE就是ME+MC的最小值，
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵AB＝ ，
∴AE＝ ＝2 ，
∴ME+MC的最小值是2 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明
确当点A、M、E在一条直线上时，ME+MA有最小值是解题的关键．
11．（4分）在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC大小关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项得到AC＞AB，根据基本作图和线段垂
直平分线的性质、三角形三边的关系，由C选项得到AC＞AB，由D选项得到BC＞AB．【解答】解：A．由作图痕迹，在AC上截取线段等于AB，则AC＞AB，所以A选项不符合题
意；
B．由作图痕迹，在AB上延长线上截取线段等于AC，则AC＞AB，所以B选项不符合题意；
C．由作图痕迹，作BC的垂直平分线把AC分成两线段，则AC＞AB，所以C选项不符合题
意；
D．由作图痕迹，作AC的垂直平分线，则BC＞AB，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了
线段垂直平分线的性质．
12．（4分）如图，△ABC为等边三角形，边长为4cm，矩形DEFG的长和宽分别为4cm和
cm，点C和点E重合，点B，C（E），F在同一条直线上，令矩形DEFG不动，等边三角形
ABC以每秒1cm的速度向右移动，当点C与点F重合时停止移动，设移动x秒后，等边三
角形ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据AC经过点D和AB经过点D时计算出x＝1和x＝3，再分0≤x≤1，1＜
x≤3和3＜x≤4三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可．
【解答】解：当AC经过点D时，如图所示：∵△ABC为等边三角形，
∴∠DCE＝60°，
∵DE＝ ，∠DEC＝90°，
∴EC＝ ＝ ＝1；
当AB经过点D时，如图所示：
∵∠B＝60°，DE＝ ，
∴BE＝1，
∴EC＝BC﹣BE＝4﹣1＝3；
①当0≤x≤1时，如图所示：
此时EC＝x，∠HCE＝60°，
∴HE＝tan60°•EC＝ x，
∴y＝ EC•HE＝ x• x＝ x2；
②当1＜x≤3时，如图所示：过M作MN⊥BC于N，
此时，MN＝ ，∠MCN＝60°，
∴CN＝1，
∵EC＝x，
∴EN＝EC﹣NC＝x﹣1，
∵四边形DENM是矩形，
∴DM＝EN＝x﹣1，
∴y＝ （DM+EC）•DE＝ （x﹣1+x）× ＝ x﹣ ；
③当3＜x≤4时，如图所示：
此时IR＝ ，∠ICR＝60°
∴CR＝1，
∵EC＝x，
∴ER＝DI＝x﹣1，BE＝BC﹣EC＝4﹣x，
∵∠B＝60°，
∴TE＝BE•tan60°＝ （4﹣x），
∵DE＝ ，
∴DT＝DE﹣TE＝ ﹣ （4﹣x）＝ （x﹣3），
∵DG∥BC，
∴∠DKT＝60°，
∴DK＝ ＝ ＝x﹣3，
∴y＝S四边形DERI +S△IRC ﹣S△DTK ＝ （x﹣1）+ ×1× ﹣ × （x﹣3）2＝﹣ x2+4
x﹣5 ．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质，矩形的性质等知识，关键是
画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算．二、填空题（本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）﹣2的相反数是 2 ．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义
与倒数的意义混淆．
14．（4分） ﹣ ＝ ．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：原式＝3 ﹣2 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和法
则．
15．（4分）假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三
种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机
抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：把三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种，
∴小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
16．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 4 ．
【分析】解出每个不等式的解集，再找出公共解集即可．
【解答】解： ，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜4，
故答案为：﹣1＜x＜4．
【点评】本题考查解不等式组，解题的关键是求出每个不等式的解集，能找出不等式的公
共解集．
17．（4分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是斜边AB上一
点，且BD＝ AB，将△ABC绕点D逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，B′C′交AB于
点E．其中点C的运动路径为弧CC′，则弧CC′的长度为 ．
【分析】连接CD，DC'，作CH⊥AB于H，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出DC
的长，再代入弧长公式计算即可．
【解答】解：连接CD，DC'，作CH⊥AB于H，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝4 ，CH＝BH＝2 ，
∵BD＝ AB，
∴BD＝ ，
∴DH＝ ，
在Rt△CHD中，由勾股定理得，
CD＝ ＝ ，
∴弧CC′的长度为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，熟练掌握
弧长公式是解题的关键．
18．（4分）如图，线段AB，CD端点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，
5），且AB∥CD，将CD平移至第一象限内，得到C′D′（C′，D′均在格点上）．若四边
形ABC′D′是菱形，则所有满足条件的点D′的坐标为 （ 3 ， 5 ）或（ 2 ， 6 ） ．
【分析】利用勾股定理可得AB＝CD＝5，根据菱形性质可得AD′＝AB＝5，再由平移规律即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），
∴AB∥CD，AB＝CD＝5，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′＝AB＝5，
当点D向右平移4个单位，即D′（3，5）时，AD′＝5，
当点D向右平移3个单位，向上平移1个单位，即D′（2，6）时，AD′＝5，
故答案为：（3，5）或（2，6）．
【点评】本题考查了平移变换的性质，菱形性质，勾股定理等，理解题意，运用数形结合思
想是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）化简：（m+2﹣ ）• ；
（2）解方程组： ．
【分析】（1）先通分，把能分解的因式进行分解，再进行约分即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：（1）（m+2﹣ ）•
＝
＝＝m+3；
（2） ，
②×2得：4x﹣10y＝﹣6③，
①﹣③得：9y＝9，
解得y＝1，
把y＝1代入①得：4x﹣1＝3，
解得x＝1，
故原方程组的解是： ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识
的掌握．
20．（10分）某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；
B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情
况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 10 0 名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？
【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据四个活动人数之和等于总人数可得C人数，从而补全图形；
（3）360°乘以样本中D人数所占百分比即可；
（4）用1500乘以C类活动的百分比即可．
【解答】解：（1）本次共调查的学生有20÷20%＝100（名）；
故答案为：100；（2）C对应人数为100﹣（20+10+30）＝40（名），
补全条形图如下：
（3）360°× ×100%＝108°，
∴D类活动对应扇形的圆心角为108度；
（4）1500× ＝600（名），
答：估计该校最喜欢C类活动的学生有600名．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（10分）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（I 单位：A）与电阻R（单位：）
是反比例函数关系，它的图象如图所示． Ω
（1）请求出这个反比例函数的解析式；
（2）蓄电池的电压是多少？
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控
制在什么范围？
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝ ，将点（8，6）代入I＝ ，利用
待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）根据电压＝电流×电阻即可求解；
（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝ ，∵图象经过（8，6），
∴6＝ ，
解得k＝6×8＝48，
∴I＝ ；
（2）蓄电池的电压是6×8＝48；
（3）∵I≤10，I＝ ，
∴ ≤10，
∴R≥4.8，
即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利
用函数的知识解决实际问题．
22．（12分）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的
长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
【分析】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，
根据扩充后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x
的值，将其正值分别代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据实地
测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得
出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，
根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，
整理得：x2+50x﹣275＝0
解得：x ＝5，x ＝﹣55（不符合题意，舍去），
1 2
∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，
根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，
即3（35+y）＝5（15+y），
解得：y＝15，
∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．
答：新的矩形绿地面积为1500m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23．（12分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作
OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与 O的位置关系为 相切 ；
（2）求证：⊙AC是 O的切线；
（3）如图2，连接DM⊙，DM＝4，∠A＝96°，求 O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数
据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0⊙.45）
【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，通过证明OE＝OD，利用直线与圆相切的定义解
答即可；
（3）过点O作OF⊥DM于点F，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得
∠BOD＝48°，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．
【解答】（1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，
∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AB为 O的切线，
∴AB与⊙O的位置关系为相切，
故答案为⊙：相切；
（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，
∵AB＝AC，O为底边BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∵OD为 O的半径，
∴OE为⊙O的半径，
这样，直⊙线AC到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AC是 O的切线；
（3）解⊙：过点O作OF⊥DM于点F，如图，
∵AB＝AC，∠A＝96°，
∴∠B＝∠C＝ ＝42°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．
∵OF⊥DM，∴DF＝MF＝ DM＝2，
∵OD＝OM，OF⊥DM，
∴OF为∠DOM的平分线，
∴∠DOF＝ ∠BOD＝24°．
在Rt△ODF中，
∵sin∠DOF＝ ，
∴sin24°＝ ，
∴OD＝ ≈ ≈4.9，
∴ O的直径＝2OD＝2×4.9＝9.8．
【点⊙评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的
性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的内角和定理，过圆心作直线的垂线段是解决
此类问题常添加的辅助线．
24．（12分）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条
件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2）， ．
求该二次函数的解析式．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： C （ 2 ，﹣ 3 ）（答案不唯一） ；
（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围： ﹣ 1 ＜ x ＜ 5 ；
（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1
（x ≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ ＝9．
若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；
（2）求出y＝6时，对应的x值，再结合图象写出x的取值范围即可；
（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，根据题意可知x＝3时，P
点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，再求m的值即可；
（4）分两种情况讨论：当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12t+33），
由S△OAQ ＝ 2×（t2﹣12t+33）＝9，求出Q点坐标即可；当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的
部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），由S△OAQ ＝ 2×（m2﹣4m+1）＝9，求出Q点坐标即可．
【解答】解：（1）C（2，﹣3），
故答案为：C（2，﹣3）（答案不唯一）；
（2）∵y＝x2﹣4x+1，
∴当x2﹣4x+1＝6时，解得x＝5或x＝﹣1，
∴当y＜6时，﹣1＜x＜5，
故答案为：﹣1＜x＜5；
（3）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，
当x＝3时，点P在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，
∴m＝6；
（4）存在点Q，使得S△OAQ ＝9，理由如下：
当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12t+33），∴S△OAQ ＝ 2×（t2﹣12t+33）＝9，
解得t＝6+2 或t＝6﹣2 ，
∴t＜4，
∴t＝6﹣2 ，
∴Q（6﹣2 ，9）；
当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），
∴S△OAQ ＝ 2×（m2﹣4m+1）＝9，
解得m＝2 +2或m＝﹣2 ，
∵m≥4，
∴m＝2 +2，
∴Q（2 +2，9）；
综上所述：Q点坐标为（6﹣2 ，9）或（2 +2，9）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平
移的性质，数形结合解题是关键．
25．（14分）教材呈现
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做
“筝形”．
概念理解
（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质： BD 垂直平分线段 AC ；（2）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，
△FAC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中的“筝
形”： 四边形 ADCF ；（写出一个即可）
应用拓展
（3）如图2，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB，AC于点M，H，连接BH．
①求证：∠BAC＝∠FEG；
②求证：∠AHB＝90°．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定可得结论；
（2）根据“筝形”的定义判断即可；
（3）①利用同角的余角相等证明即可；
②利用相似三角形的判定和性质证明即可．
【解答】（1）解：∵DA＝DC，BA＝BC，
∴BD垂直平分线段AC．
故答案为：BD垂直平分线段AC．
（2）解：由翻折变换的性质可知AD＝AF，∠ADC＝∠AFC＝90°，
∵AC＝AC，
∴Rt△ACD≌Rt△ACF（HL），∴CD＝CF，
∴四边形ADCF是“筝形”，
故答案为：四边形ADCF（答案不唯一）；
（3）①证明：如图1中，
由翻折变换的性质可知∠CAD＝∠CAF，∠BAD＝∠BAE，∠ADB＝∠AEB＝90°，AD＝AF
＝AE，
∴∠EAF＝2∠BAC，∠AEF＝∠AFE，
∴∠EAF+2∠AEF＝180°，
∴2∠BAC+2∠AEF＝180°，
∴∠BAC+∠AEF＝90°，
∵∠FEG+∠AEF＝90°，
∴∠BAC＝∠FEG；
②证明：如图2中，
∵∠AMH＝∠EMB，∠MAH＝∠MEB，
∴△EMB∽△AMH，
∴ ＝ ，∠AHM＝∠ABE，
∴ ＝ ，
∵∠AME＝∠HMB，
∴△AME∽△HMB，∴∠EAM＝∠MHB，
∵∠AEB＝90°，
∴∠MAE+∠MBE＝90°，
∴∠MHB+∠AHM＝90°，
∴∠AHB＝90°．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常
考题型．
