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2022年江苏省淮安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，，恰有一项
符合题目要求）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
3．（3分）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增
就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.11×108 B．1.1×107 C．11×106 D．1.1×106
4．（3分）某公司对25名营销人员4月份销售某种商品的情况统计如下：
销售量（件） 60 50 40 35 30 20
人数 1 4 4 6 7 3
则这25名营销人员销售量的众数是（ ）
A．50 B．40 C．35 D．30
5．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
7．（3分）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（
） ⊙
A．80° B．100° C．140° D．160°
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB
＝10，则DE的长是（ ）A．8 B．6 C．5 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）实数27的立方根是 ．
10．（3分）五边形的内角和是 °．
11．（3分）方程 ﹣1＝0的解是 ．
12．（3分）一组数据3、﹣2、4、1、4的平均数是 ．
13．（3分）如图，在 ABCD中，CA⊥AB，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是 ．
▱
14．（3分）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留
）
15．π（3分）在平面直角坐标系中，将点A（2，3）向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好
在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AC边上的一点，过点D
作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是
2，则 的值是 ．三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
聚）
17．（10分）（1）计算：|﹣5|+（3﹣ ）0﹣2tan45°；
（2）化简： ÷（1+ ）．
18．（8分）解不等式组： 并写出它的正整数解．
19．（8分）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．
求证：∠B＝∠E．
20．（8分）某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机
抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在
“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结
果绘制了两幅不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了 名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．
21．（8分）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字
1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸
出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
22．（8分）如图，已知线段AC和线段a．
（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；
②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．
（2）当AC＝4，a＝2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．
23．（8分）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之
间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，
tan58°≈1.60）
24．（8分）如图，△ABC是 O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交 O于点E，连
接BD，∠ADB＝30°．⊙ ⊙
（1）判断直线BD与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4 ，求⊙图中阴影部分的面积．25．（10分）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种
品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000
元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品
牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加
5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？
最大利润是多少元？
26．（12分）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过
点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝ MN时，求点P的横
坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点
Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的
长．27．（14分）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形
ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形
A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．
【观察发现】
A'D与B'E的位置关系是 ；
【思考表达】
（1）连接B'C，判断∠DEC与∠B'CE是否相等，并说明理由；
（2）如图（2），延长DC交A'B'于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
【综合运用】
如图（3），当∠B＝60°时，连接B'C，延长DC交A'B'于点G，连接EG，请写出B'C、EG、DG
之间的数量关系，并说明理由．2022年江苏省淮安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，，恰有一项
符合题目要求）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义
与倒数的意义混淆．
2．（3分）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：a2•a3＝a5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增
就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.11×108 B．1.1×107 C．11×106 D．1.1×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：11000000＝1.1×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）某公司对25名营销人员4月份销售某种商品的情况统计如下：销售量（件） 60 50 40 35 30 20
人数 1 4 4 6 7 3
则这25名营销人员销售量的众数是（ ）
A．50 B．40 C．35 D．30
【分析】根据众数的定义求解．
【解答】解：因为销售量为30件出现的次数最多，所以这25名营销人员销售量的众数是
30．
故选：D．
【点评】本题考查了确定一组数据的众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+3＝6，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＜10，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+6＞9，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵4+5＝9，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
7．（3分）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（
⊙）
A．80° B．100° C．140° D．160°
【分析】先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的
度数即可．
【解答】解：∵∠AOC＝160°，
∴∠ADC＝ ∠AOC＝80°，
∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠ABC＝180°﹣∠⊙ADC＝180°﹣80°＝100°，
故选：B．
【点评】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解
答本题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB
＝10，则DE的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°，再利用直角三角形斜边中线的性质求解
即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E为AC的中点，∴DE＝ AC＝5，
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）实数27的立方根是 3 ．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵3的立方等于27，
∴27的立方根等于3．
故答案为3．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的
立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方
根与原数的性质符号相同．
10．（3分）五边形的内角和是 54 0 °．
【分析】根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入计算即可．
【解答】解：根据题意得：（5﹣2）•180°
＝540°，
故答案为：540°．
【点评】本题考查的是多边形的内角和的计算，掌握多边形的内角和可以表示成（n﹣2）
•180°是解题的关键．
11．（3分）方程 ﹣1＝0的解是 x ＝ 5 ．
【分析】方程两边都乘x﹣2得出3﹣（x﹣2）＝0，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解： ﹣1＝0，
方程两边都乘x﹣2，得3﹣（x﹣2）＝0，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣2≠0，
所以x＝5是原方程的解，
即原方程的解是x＝5，
故答案为：x＝5．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．（3分）一组数据3、﹣2、4、1、4的平均数是 2 ．
【分析】根据平均数的定义计算即可．
【解答】解：数据3、﹣2、4、1、4的平均数是： ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
13．（3分）如图，在 ABCD中，CA⊥AB，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是 40 ° ．
▱
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠CAD＝∠ACB，再由直角三角形的性质得
∠ACB＝90°﹣∠B＝40°，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°，
∴∠CAD＝∠ACB＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边
形的性质是解题的关键．
14．（3分）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 1 0 ．（结果保留
） π
【π分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面
积．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式： rl＝ ×2×5＝10 ，
故答案为：10 ． π π π
【点评】此题主π要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：S侧 ＝ rl是解决问题的关
键． π15．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（2，3）向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好
在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值是 ﹣ 4 ．
【分析】点A（2，3）向下平移5个单位长度得到点B（2，﹣2），代入y＝ 利用待定系数法
即可求得k的值．
【解答】解：将点A（2，3）向下平移5个单位长度得到点B，则B（2，﹣2），
∵点B恰好在反比例函数y＝ 的图像上，
∴k＝2×（﹣2）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知待定
系数法是解题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AC边上的一点，过点D
作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是
2，则 的值是 ．
【分析】首先由勾股定理求出AB的长，由面积法得点C到DF的距离为 ，点E到AB的
距离为 ，从而得出CD＝2，再根据角平分线的定义和平行线的性质得AD＝DE＝1，从而
解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝5，
∵△ABE的面积是2，
∴点E到AB的距离为 ，在Rt△ABC中，点C到AB的距离为 ，
∴点C到DF的距离为 ，
∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CAB，
∴ ＝ ，
∴CD＝2，DF＝ ，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵DF∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DA＝DE＝1，
∴EF＝DF﹣DE＝ ﹣1＝ ，
∴ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟
练掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
聚）
17．（10分）（1）计算：|﹣5|+（3﹣ ）0﹣2tan45°；
（2）化简： ÷（1+ ）．
【分析】（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；
（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．
【解答】解：（1）原式＝5+1﹣2×1
＝5+1﹣2
＝4；（2）原式＝ ÷
＝ ×
＝ ．
【点评】本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是
解决本题的关键．
18．（8分）解不等式组： 并写出它的正整数解．
【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
【解答】解：解不等式2（x﹣1）≥﹣4得x≥﹣1．
解不等式 ＜x﹣1得x＜4，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用
一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
19．（8分）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．
求证：∠B＝∠E．
【分析】利用全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定定理进行
解答是解题的关键．
20．（8分）某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机
抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在
“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结
果绘制了两幅不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了 20 0 名学生，扇形统计图中“跑步”项目所
对应的扇形圆心角的度数是 7 2 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．
【分析】（1）根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，根据条
形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度
数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择足球的人数，从而可以将
条形统计图补充完整；
（3）用1200乘以“篮球”项目的百分比即可．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（名），
在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是360°× ＝72°，
故答案为：200，72；
（2）选择足球的学生有：200﹣30﹣60﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：（3）1200× ＝180（名），
答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
21．（8分）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字
1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸
出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用
概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ．
故答案为： ．
（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：（1，1），（1，3），
（3，1），（3，3），共4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
22．（8分）如图，已知线段AC和线段a．
（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；
②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．
（2）当AC＝4，a＝2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．
【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．
②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在
线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段
a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形
ABCD．
（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．
②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵a＝2，
∴AB＝CD＝2，
∴BC＝AD＝ ＝ ＝ ，
∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2× ＝ ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，
熟练掌握线段垂直平分线的作图方法以及矩形的判定与性质是解答本题的关键．
23．（8分）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之
间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，
tan58°≈1.60）
【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80米，
∴sin∠DAC＝ ，cos∠DAC＝ ，
∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），
AD＝AC•cos37°≈80×0.80＝64（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48米，
∴tan∠CBD＝ ，
∴BD＝ ≈ ＝30（米），
∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．
答：A、B两点之间的距离约为94米．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，
是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
24．（8分）如图，△ABC是 O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交 O于点E，连
接BD，∠ADB＝30°．⊙ ⊙
（1）判断直线BD与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4 ，求⊙图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠C＝60°，连接OB，根据等边三角形
的性质得到∠BOD＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，解直角三角形得到OB，根据扇形和三角形的面积
公式即可得到结论．
【解答】解：（1）直线BD与 O相切，
理由：连接BE， ⊙
∵∠ACB＝60°，
∴∠AEB＝∠C＝60°，
连接OB，
∵OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠ADB＝30°，
∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是 O的半径，
∴直线B⊙D与 O相切；
（2）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°⊙，
∵AB＝4 ，
∴sin∠AEB＝sin60°＝ ＝ ＝ ，
∴AE＝8，
∴OB＝4，
∴BD＝ OB＝4 ，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBD ﹣S扇形BOE ＝ 4× ﹣ ＝8 ﹣ ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇
形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（10分）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种
品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000
元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品
牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加
5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？
最大利润是多少元？
【分析】（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次
进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的
顶点式可得函数的最大值；
【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得， ，
解得 ，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利
润为w元，
根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，
∵﹣5＜0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最
大利润是980元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关
系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
26．（12分）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过
点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝ MN时，求点P的横
坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点
Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的
长．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），则PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣
2t|，由题意可得方程|t2﹣3t|＝ |2﹣2t|，求解方程即可；
（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求
出点G（2，0），作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ＝4
（DQ+ AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，利用对称性和∠OBC＝45°，求出A（' 2，3），求出直线
DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组 ，可求点Q（ ， ），再求DQ＝
．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标（1，4）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，
∵PM＝ MN，
∴|t2﹣3t|＝ |2﹣2t|，
解得t＝1+ 或t＝1﹣ 或t＝2+ 或t＝2﹣ ，
∴P点横坐标为1+ 或1﹣ 或2+ 或2﹣ ；
（3）∵C（0，3），D点与C点关于x轴对称，
∴D（0，﹣3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝4，
∵AQ＝3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴AG＝3，
∴G（2，0），
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，
∵AQ＝A'Q，
∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，
∴3AP+4DQ＝4（DQ+ AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，
∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG＝45°，
∵AG＝A'G，
∴∠AA'G＝45°，
∴∠AGA'＝90°，
∴A'（2，3），
设直线DA'的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝3x﹣3，
同理可求直线QG的解析式为y＝﹣x+2，
联立方程组 ，
解得 ，
∴Q（ ， ），
∴DQ＝ ．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称
求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
27．（14分）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形
ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形
A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．
【观察发现】
A'D与B'E的位置关系是 A ′ D ∥ B ′ E ；
【思考表达】
（1）连接B'C，判断∠DEC与∠B'CE是否相等，并说明理由；
（2）如图（2），延长DC交A'B'于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
【综合运用】
如图（3），当∠B＝60°时，连接B'C，延长DC交A'B'于点G，连接EG，请写出B'C、EG、DG
之间的数量关系，并说明理由．【分析】【观察发现】利用翻折变换的性质判断即可．
【思考表达】（1）结论：∠DEC＝∠B'CE．证明DE∥CB′即可；
（2）证明GC＝GB′，推出EG⊥CB′，即可解决问题．
【综合运用】结论：DG2＝EG2+ B′C2．如图（3）中，延长DG交EB′的延长线于点T，
过点D作DR⊥GA′交GA′的延长线于点R．想办法证明DE＝ CB′，可得结论．
【解答】解：【观察发现】如图（1）中，由翻折的性质可知，A′D∥B′E．
故答案为：A′D∥B′E；
【思考表达】（1）结论：∠DEC＝∠B'CE．
理由：如图（2）中，连接BB′．
∵EB＝EC＝EB′，
∴∠BB′C＝90°，
∴BB′⊥B′C，
由翻折变换的性质可知BB′⊥DE，
∴DE∥CB′，
∴∠DEC＝∠B′CE；
（2）结论：∠DEG＝90°．
理由：如图（2）中，连接DB，DB′，
由翻折的性质可知∠BDE＝∠B′DE，
设∠BDE＝∠B′DE＝x，∠A＝∠A′＝y．
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADB＝∠CDB＝∠B′DA′，
∴∠A′DG＝∠BDB′＝2x，
∴∠DGA′＝180°﹣2x﹣y，
∵∠BEB′＝∠EBD+∠EB′D+∠BDB′，
∴∠BEB′＝180°﹣y+2x，
∵EC＝EB′，
∴∠EB′C＝∠ECB′＝ ∠BEB′＝90°﹣ y+x，
∴∠GB′C＝∠A′B′E﹣∠EB′C＝180﹣y﹣（90°﹣ y+x）＝90°﹣ y﹣x，
∴∠CGA′＝2∠GB′C，
∵∠CGA′＝∠GB′C+∠GCB′，
∴∠GB′C＝∠GCB′，
∴GC＝GB′，
∵EB′＝EC，
∴EG⊥CB′，
∵DE∥CB′，
∴DE⊥EG，
∴∠DEG＝90°；
【综合运用】结论：DG2＝EG2+ B′C2．
理由：如图（3）中，延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交GA′的延长
线于点R．
设GC＝GB′＝x，CD＝A′D＝A′B′＝2a，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝∠DA′B′＝120°，
∴∠DA′R＝60°，
∴A′R＝A′D•cos60°＝a，DR＝ a，
在Rt△DGR中，则有（2a+x）2＝（ a）2+（3a﹣x）2，
∴x＝ a，∴GB′＝ a，A′G＝ a，
∵TB′∥DA′，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴TB′＝ a，
∵CB′∥DE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DE＝ CB′，
∵∠DEG＝90°，
∴DG2＝EG2+DE2，
∴DG2＝EG2+ B′C2．【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，勾股定理，解直角三角形，平
行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
