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2022年江苏省徐州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有
一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝﹣9a2
5．（3分）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是
（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（ ）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
7．（3分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会
相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）因式分解：x2﹣1＝ ．
10．（3分）正十二边形的一个内角的度数为 ．
11．（3分）方程 ＝ 的解为 ．
12．（3分）我国2021年粮食产量约为13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤用科学记数
法表示为 亿斤．
13．（3分）如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB＝36°，则∠AOB＝ ．
14．（3分）如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 ．
15．（3分）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 ．
16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边
AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．17．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+ b＞0的不等式的解集为
．
18．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的
值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）（﹣1）2022+| ﹣3|﹣（ ）﹣1+ ；
（2）（1+ ）÷ ．
20．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式组： ．
21．（7分）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
22．（7分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的
兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
（2）求兽、鸟各有多少．
23．（8分）如图，在 ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌▱△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
24．（8分）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
25．（7分）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺
寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm，24.4g”是指该枚古钱币
的直径为45.4mm，厚度为2.8mm，质量为24.4g．已知这些古钱币的材质相同．
根据图中信息，解决下列问题．
（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是 mm，所标厚度的众数是 mm，所标质量的中位数是 g；
（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐
用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
名称 文星高照 状元及第 鹿鹤同春 顺风大吉 连中三元
总质量/g 58.7 58.1 55.2 54.3 55.8
盒标质量 24.4 24.0 13.0 20.0 21.7
盒子质量 34.3 34.1 42.2 34.3 34.1
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚
古钱币的实际质量约为多少克．
26．（8分）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝
30°．在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一
时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求
立柱AB的高度．
27．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点
A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称
点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．28．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、
PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交
PC于点H．
（1）∠EDC的度数为 °；
（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求 的最大值．2022年江苏省徐州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有
一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
【解答】解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负
数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋
转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿
一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（3分）若 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考
虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能
为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝﹣9a2
【分析】利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方
的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵a2•a6＝a2+6＝a8，
∴A选项的结论符合题意；
∵a8÷a4＝a8﹣4＝a4，
∴B选项的结论不符合题意；
∵2a2+3a2＝5a2，
∴C选项的结论不符合题意；
∵（﹣3a）2＝9a2，
∴D选项的结论不符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方
与积的乘方的法则，熟练掌握上述法则是解题的关键．
5．（3分）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是
（ ）
A． B．C． D．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选
项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
A、1点6点是相对面，3点与5点是相对面，2点与4点是相对面，所以不可以折成符合规
则的骰子，故本选项不符合题意；
B、4点与3点是相对面，2点与6点是相对面，1点与5点是相对面，所以不可以折成符合
规则的骰子，故本选项不符合题意；
C、3点与4点是相对面，2点与6点是相对面，1点与5点是相对面，所以不可以折成符合
规则的骰子，故本选项不符合题意；
D、2点与5点是相对面，3点与4点是相对面，1点与6点是相对面，所以可以折成符合规
则的骰子，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面
入手，分析及解答问题．
6．（3分）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．
已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（ ）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降D．近五年的人口自然增长率持续下降
【分析】根据折线统计图的信息解答即可．
【解答】解：由折线统计图可知，
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半，说法正确，故本选项不合题意；
B．近十年的人口死亡率基本稳定，说法正确，故本选项不合题意；
C．近五年的人口总数持续下降，说法错误，五年的人口总数增长速度变缓，故本选项符合
题意；
D．近五年的人口自然增长率持续下降，说法正确，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了折线统计图，掌握人口自然增长率的定义是解答本题的关键．
7．（3分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会
相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，将整个图形分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出
阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【解答】解：如图所示，设每个小三角形的面积为a，
则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为 ＝ ，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算
方法是长度比，面积比，体积比等．8．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三
角形相似．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需要写出解答过程，请将答案直接
填写在答题卡相应位置）
9．（3分）因式分解：x2﹣1＝ （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．（3分）正十二边形的一个内角的度数为 150 ° ．
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是： ＝30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．
11．（3分）方程 ＝ 的解为 x ＝ 6 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣6＝2x，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解．
故答案为：x＝6
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
12．（3分）我国2021年粮食产量约为13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤用科学记数
法表示为 1.37×1 0 4 亿斤．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：13700＝1.37×104．
故答案为：1.37×104．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，
确定a与n的值是解题的关键．
13．（3分）如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB＝36°，则∠AOB＝ 72 ° ．
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝ ∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
故答案为：72°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
半解答是解题的关键．
14．（3分）如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 120 °
．
【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形
的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2 ×2
π
＝ ，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2 ×2＝ ，
π
解得n＝120，
所以侧面展开图的圆心角为120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（3分）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 c ＜﹣ ．
【分析】根据判别式的意义得到＝12+4c＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12+4c＜0，
解得c＜﹣ ．故答案为：c＜﹣ ．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞
0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实
数根．
16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边
AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．
【分析】由折叠性质可得CF＝BC＝5，BE＝EF，由矩形性质有CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，
在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF＝4，进而得出AF＝1，最后在直角三角形AEF中，建
立勾股定理方程求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，
由翻折变换的性质可知，FC＝BC＝5，EF＝BE，
在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF＝ ＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝1，
设AE＝x，则BE＝EF＝3﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，
即（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝ ，即AE＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾
股定理建立方程求解是关键．17．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+ b＞0的不等式的解集为 x ＞
3 ．
【分析】利用待定系数法求得b＝﹣2k，再利用一元一次不等式解法得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，
∴b＝﹣2k，
∴关于kx+ b＞0
∴kx＞﹣ ×（﹣2k）＝3k，
∵k＞0，
∴x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，利用待定系数法求得b
＝﹣2k是解题的关键．
18．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的
值为 4 ．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），由图象上恰好只
有三个点到x轴的距离为m可得m＝4．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m＝4，
故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）（﹣1）2022+| ﹣3|﹣（ ）﹣1+ ；
（2）（1+ ）÷ ．
【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；
（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）（﹣1）2022+| ﹣3|﹣（ ）﹣1+
＝1+3﹣ ﹣3+3
＝4﹣ ；
（2）（1+ ）÷
＝ •
＝ ．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝± ，
解得：x ＝1+ ，x ＝1﹣ ；
1 2（2） ，
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握不等
式组的解法及方程的解法是解本题的关键．
21．（7分）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，再
由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，
∴抽得2张扑克牌的数字不同的概率为 ＝ ．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（7分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽
四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的
兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
（2）求兽、鸟各有多少．
【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程
组；
（2）解方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y＝76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y＝46．
∴可列方程组为 ．
故答案为： ．
（2）原方程组可化简为 ，
由②可得y＝23﹣2x③，
将③代入①得3x+2（23﹣2x）＝38，
解得x＝8，
∴y＝23﹣2x＝23﹣2×8＝7．
答：兽有8只，鸟有7只．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元
一次方程组是解题的关键．
23．（8分）如图，在 ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌▱△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到
∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明
AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四
边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
24．（8分）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）由切线的判定定理，可证明；
（2由弓形面积公式，可求解．
【解答】解：（1）直线AD与圆O相切，
连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，
∴OH＝ OB＝3，BH＝ OH＝3 ，
∴BC＝2BH＝6 ，
∴扇形OBC的面积为： ＝ ＝12 ，
π
∵S△OBC ＝ BC•OH＝ ×6 ×3＝9 ，
∴阴影部分的面积为：12 ﹣9 ．
【点评】本题考查圆的切线π的判定定理，弓形面积求法，关键是掌握切线的判定方法，弓形
面积的表示方法．
25．（7分）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺
寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm，24.4g”是指该枚古钱币
的直径为45.4mm，厚度为2.8mm，质量为24.4g．已知这些古钱币的材质相同．
根据图中信息，解决下列问题．
（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是 45.7 4 mm，所标厚度的众数是 2. 3 mm，
所标质量的中位数是 21. 7 g；
（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐
用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
名称 文星高照 状元及第 鹿鹤同春 顺风大吉 连中三元
总质量/g 58.7 58.1 55.2 54.3 55.8
盒标质量 24.4 24.0 13.0 20.0 21.7
盒子质量 34.3 34.1 42.2 34.3 34.1
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚
古钱币的实际质量约为多少克．
【分析】（1）用每一组的中间值作为该组的平均值，利用平均数的计算公式计算平均数；
（2）“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，先其余四个盒子的质量的平均数，进而得出“鹿鹤同春”的实际质量．
【解答】解：（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是： （45.4+48.1+45.1+44.6+45.5）＝
45.74（mm），
这5枚古币的厚度分别为：2.8mm，2.4mm，2.3mm，2.1mm，2.3mm，
其中2.3mm出现了2次，出现的次数最多，
∴这5枚古钱币的厚度的众数为2.3mm，
将这5枚古钱币的质量从小到大的顺序排列为：13.0g，20.0g，21.7g，24.0g，24.4g，
∴这5枚古钱币的质量的中位数为21.7g；
故答案为：45.74；2.3；21.7；
（2）“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，
其余四个盒子的质量的平均数为： ＝34.2（g），
55.2﹣34.2＝21.0（g），
答：“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数的意义和计算方法，掌握相关定义是解答本题的
关键．
26．（8分）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝
30°．在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一
时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求
立柱AB的高度．
【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出
DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．
【解答】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，
则DF＝ CD＝90（cm），CF＝CD•cos∠DCF＝180× ＝90 （cm），
由题意得： ＝ ，即 ＝ ，
解得：EF＝135，
∴BE＝BC+CF+EF＝（255+90 ）cm，
则 ＝ ，
解得：AB＝170+60 ，
答：立柱AB的高度为（170+60 ）cm．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、平行投影的应用，掌握锐角
三角函数的定义是解题的关键．
27．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点
A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称
点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．【分析】（1）设点A的坐标为（m， ），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如
图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m， ），于是得到点E在这个反比例函
数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH＝ AD，设点A的坐
标为（m， ），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y
＝kx+b得，解方程组即可得到结论；
②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE
﹣PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．
【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m， ），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴OC＝ AD，∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m， ），
∵2m× ＝8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH＝ AD，
设点A的坐标为（m， ），
∴CH＝m，AD＝ ，
∴m＝ × ，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，
∴ ；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴ ，∴ ，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一
次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
28．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、
PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交
PC于点H．
（1）∠EDC的度数为 4 5 °；（2）连接PG，求△APG的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求 的最大值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由三角形中位线定理可得
DE∥AB，可求解；
（2）设AP＝x，由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理可求AG的长，由三角形面
积公式和二次函数的性质可求解；
（3）由“SAS”可证△CEF≌△GDF，可得CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，可求解；
（4）利用勾股定理和相似三角形的性质分别求出CH，CE的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝12 ，
∵D、E分别为BC、PC的中点，
∴DE∥AB，DE＝ BP，
∴∠EDC＝∠ABC＝45°，
故答案为：45；
（2）设AP＝x，则BP＝12﹣x，
∵DE＝ BP，
∴DE＝6﹣ ，
∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，
∴∠EDC＝∠DEF＝45°，
∴DF＝EF＝ DE＝3 ﹣ x，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝6 ，
∴CF＝3 + x，
∵GF⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠CGF＝45°，
∴GF＝FC，∴GC＝ FC＝6+ ，
∴AG＝6﹣ ，
∴S△APG ＝ ×AP×AG＝ ×x×（6﹣ ）＝﹣ （x﹣6）2+9，
∴当x＝6时，△APG的面积的最大值为9；
（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由如下：
∵DF＝EF，∠CFE＝∠GFD＝90°，CF＝GF，
∴△CEF≌△GDF（SAS），
∴CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，
∵∠DGF+∠GDF＝90°，
∴∠GDF+∠DCE＝90°，
∴∠DHC＝90°，
∴DG⊥PE，
∵点E是PC的中点，
∴PE＝EC，
∴DG＝PE；
（4）方法一、∵CF＝3 + x＝GF，EF＝3 ﹣ x，
∴EC＝ ＝ ，
∵AP＝x，AC＝12，
∴PC＝ ＝ ，
∵∠ACP＝∠GCH，∠A＝90°＝∠GHC，
∴△APC∽△HGC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴GH＝ ，CH＝ ，
∴ ＝ ＝12× ＝ ≤ ＝ ＝
＝ ，
∴ 的最大值为 ．
方法二、如图，过点H作MH∥AB，交BC于M，
∵∠DHC＝90°，
∴点H以CD为直径的 O上，
连接OH，并延长交AB⊙于N，
∵MH∥AB，
∴ ，
∵OH，OB是定长，
∴ON的取最小值时，OM有最大值，
∴当ON⊥AB时，OM有最大值，
此时MH⊥OH，CM有最大值，
∵DE∥AB，
∴MH∥DE，
∴ ，∴当CM有最大值时， 有最大值，
∵AB∥MH，
∴∠HMO＝∠B＝45°，
∵MH⊥OH，
∴∠HMO＝∠HOM＝45°，
∴MH＝HO，
∴MO＝ HO，
∵HO＝CO＝DO，
∴MO＝ CO，CD＝2CO，
∴CM＝（ +1）CO，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题
是解题的关键．
