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2022年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多
选、错选，均不给分）
1．（4分）计算9+（﹣3）的结果是（ ）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
2．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳
动实践小组有（ ）
A．75人 B．90人 C．108人 D．150人
4．（4分）化简（﹣a）3•（﹣b）的结果是（ ）
A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b
5．（4分）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面
朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．6．（4分）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9
7．（4分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时
间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，AB，AC是 O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若
∠DOE＝130°，则∠BO⊙C的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．130°
9．（4分）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，
下列选项正确的是（ ）
A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作
GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方
形JKLM的面积之比为5，CE＝ + ，则CH的长为（ ）A． B． C．2 D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：m2﹣n2＝ ．
12．（5分）某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树
株．
13．（5分）计算： + ＝ ．
14．（5分）若扇形的圆心角为120°，半径为 ，则它的弧长为 ．
15．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形
AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC
上．若AE＝3BE，则MN的长为 ．16．（5分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中
心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M
右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：
3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于
米．
三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算： +（﹣3）2+3﹣2﹣|﹣ |．
（2）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在数轴上．
18．（8分）如图，在2×6的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个
单位后的图形．
（2）在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形
绕点P旋转180°后的图形．19．（8分）为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了20名学生在校午餐所花的时
间，由图示分组信息得：A，C，B，B，C，C，C，A，B，C，C，C，D，B，C，C，C，E，C，C．
分组信息
A组：5＜x≤10
B组：10＜x≤15
C组：15＜x≤20
D组：20＜x≤25
E组：25＜x≤30
注：x（分钟）为午餐时间！
某校被抽查的20名学生在校午餐所花时间的频数表
组别 划记 频数
A 2
B 4
C
D
E
合计 20
（1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在C组的人数．
（2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20
分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．
20．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．21．（10分）已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，
EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）当AD＝5，tan∠EDC＝ 时，求FG的长．23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱
桥，图2是其抛
物线形桥拱的示
意图，某时测得
水面宽20m，拱
顶离水面5m．据
调查，该河段水
位在此基础上再
涨1.8m达到最
高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的
桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图
3．为了安全，灯笼底部距离水面
不小于1m；为了实效，相邻两盏
灯笼悬挂点的水平间距均为
1.6m；为了美观，要求在符合条件
处都挂上灯笼，且挂满后成轴对
称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
形状
任务2 探究悬挂 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的
范围 最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，
方案 求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
24．（14分）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，
BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段
AB，BE上（不与端点重合），且满足 ＝ ．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求 的值．2022年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多
选、错选，均不给分）
1．（4分）计算9+（﹣3）的结果是（ ）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：9+（﹣3）
＝+（9﹣3）
＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的
数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．
2．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．
【解答】解：某物体如图所示，它的主视图是：
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．
3．（4分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有（ ）
A．75人 B．90人 C．108人 D．150人
【分析】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然
后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数．
【解答】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：60÷20%＝300（人），
劳动实践小组有：300×30%＝90（人），
故选：B．
【点评】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，求出本次参加兴趣小组的总
人数．
4．（4分）化简（﹣a）3•（﹣b）的结果是（ ）
A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b
【分析】先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣a3•（﹣b）
＝a3b．
故选：D．
【点评】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分
别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的
关键．
5．（4分）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面
朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数9即为所求的概率．【解答】解：因为1到9共9个自然数．是偶数的有4个，
所以正面的数是偶数的概率为 ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点
为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
6．（4分）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9
【分析】方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可计算出c的
值．
【解答】解：∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根
时Δ＝0．
7．（4分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时
间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数图象可知，小聪从家出发，则图象从原点开始，在10～20分钟休息可解
答．【解答】解：由题意可知：小聪某次从家出发，s米表示他离家的路程，所以C，D错误；
小聪在凉亭休息10分钟，所以A正确，B错误．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关
键．
8．（4分）如图，AB，AC是 O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若
∠DOE＝130°，则∠BO⊙C的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．130°
【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到
∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．
9．（4分）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，
下列选项正确的是（ ）
A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当c＜0时，a、b、c的大小关系
或当c＞0时，a、b、c的大小关系．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x
＜1时，y随x的增大而减小，∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，
∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次
函数的性质解答．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作
GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方
形JKLM的面积之比为5，CE＝ + ，则CH的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，设正方形JKLM边长为m，根据正方
形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得AF＝AB＝ m，证明△AFL≌△FGM
（AAS），可得AL＝FM，设AL＝FM＝x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2＝（ m）2，可解得x＝
m，有AL＝FM＝m，FL＝2m，从而可得AP＝ ，FP＝ m，BP＝ ，即知P为AB
中点，CP＝AP＝BP＝ ，由△CPN∽△FPA，得CN＝m，PN＝ m，即得AN＝
m，而tan∠BAC＝ ＝ ＝ ，又△AEC∽△BCH，得 ＝ ，即 ＝
，故CH＝2 ．
【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，
∴正方形JKLM面积为m2，
∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，
∴正方形ABGF的面积为5m2，
∴AF＝AB＝ m，
由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，
∴△AFL≌△FGM（AAS），
∴AL＝FM，
设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，
在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，
∴x2+（x+m）2＝（ m）2，
解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），
∴AL＝FM＝m，FL＝2m，
∵tan∠AFL＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AP＝ ，
∴FP＝ ＝ ＝ m，BP＝AB﹣AP＝ m﹣ ＝
，
∴AP＝BP，即P为AB中点，
∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝ ，
∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，
∴△CPN∽△FPA，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴CN＝m，PN＝ m，
∴AN＝AP+PN＝ m，
∴tan∠BAC＝ ＝ ＝ ＝ ，
∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH，
∴ ＝ ，
∵CE＝ + ，
∴ ＝ ，
∴CH＝2 ，
故选：C．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性
质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：m2﹣n2＝ （ m + n ）（ m ﹣ n ） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），
故答案为：（m+n）（m﹣n）．
【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题关
键．
12．（5分）某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树5 株．
【分析】根据算术平均数公式即可解决问题．
【解答】解：观察图形可知： ＝ ×（4+3+7+4+7）＝5，
∴平均每组植树5株．
故答案为：5．
【点评】本题考查了算术平均数，解决本题的关键是掌握算术平均数公式．
13．（5分）计算： + ＝ 2 ．
【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．
【解答】解：原式＝ ，
＝ ，
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．
14．（5分）若扇形的圆心角为120°，半径为 ，则它的弧长为 ．
π
【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．
【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为 ，∴它的弧长为： ＝ ，
π
故答案为： ．
π
【点评】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式l＝ ．
15．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形
AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC
上．若AE＝3BE，则MN的长为 ．
【分析】方法一：根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得AC、AM和MN的长，然后即
可计算出MN的长．
方法二：根据相似三角形的判定和性质可以得到EF和MN的关系，然后解直角三角形可
以求得OA的长，从而可以得到MN的长．
【解答】解：方法一：连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线
于点J，如图1所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，
∵△ABD是等边三角形，
∴OD＝ ，
∴AO＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝2AO＝ ，
∵AE＝3BE，∴AE＝ ，BE＝ ，
∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，
∴BE＝BF＝ ，∠FBJ＝60°，
∴FJ＝BF•sin60°＝ × ＝ ，
∴MI＝FJ＝ ，
∴AM＝ ＝ ＝ ，
同理可得，CN＝ ，
∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝ ﹣ ＝ ，
故答案为： ．
方法二：连接DB交AC于点O，连接EF，
由题意可得，四边形AMFE是平行四边形，四边形EFCN是平行四边形，
∴EF＝AM＝CN，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴ ，
∵AE＝3BE，AB＝1，
∴AB＝4BE，
∴ ＝ ，
∴AM＝CN＝ AC，
∴MN＝ AC＝OA，
∵∠BAD＝60°．AB＝AD＝1，AO垂直平分BD，∴OD＝ ，
∴OA＝ ＝ ＝ ，
∴MN＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的
辅助线，求出AC、AM和MN的长．
16．（5分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中
心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M
右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：
3，则点O，M之间的距离等于 10 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于
（ 10+ ） 米．【分析】解法一：作平行线OP，根据平行线分线段成比例定理可知PC＝PD，由EF与影子
FG的比为2：3，可得OM的长，同法由等角的正弦可得OB的长，从而得结论；
解法二：作辅助线，构建直角△CND，证明△HMC∽△EFG，根据垂直于地面的木棒EF与
影子FG的比为2：3，列比例式可得HM的长，由三角函数的定义可得CN的长，从而得
OA＝OB＝ ，由此可解答．
【解答】解：解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN⊥BD于N，则OB＝
PN，
∵AC∥BD，
∴AC∥OP∥BD，
∴ ＝ ，∠EGF＝∠OPM，
∵OA＝OB，
∴CP＝PD＝ CD＝6.5，
∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，
tan∠EGF＝tan∠OPM，
∴ ＝ ＝ ，
∴OM＝ ×15＝10；
∵DB∥EG，∴∠EGF＝∠NDP，
∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即 ＝ ，
∴OB＝PN＝ ，
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，
其最大高度等于（10+ ）米．
解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，
∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ，
∴HM＝ ，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴ ＝ ＝ ，
设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝ x，
∴ x＝13，
∴x＝ ，
∴AB＝CN＝2 ，
∴OA＝OB＝ AB＝ ，
在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，∴sin∠AHO＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OH＝ ，
∴OM＝OH+HM＝ + ＝10（米），
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，
其最大高度等于（10+ ）米．
故答案为：10，（10+ ）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算： +（﹣3）2+3﹣2﹣|﹣ |．
（2）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在数轴上．
【分析】（1）根据算术平方根、有理数的乘方、负整数指数幂和绝对值可以解答本题；
（2）先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．
【解答】解：（1） +（﹣3）2+3﹣2﹣|﹣ |
＝3+9+ ﹣
＝12；
（2）9x﹣2≤7x+3，
移项，得：9x﹣7x≤3+2，
合并同类项，得：2x≤5，
系数化为1，得：x≤2.5，
其解集在数轴上表示如下：
．【点评】本题考查实数的运算、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确实数运算的运
算法则和解一元一次不等式的方法．
18．（8分）如图，在2×6的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个
单位后的图形．
（2）在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形
绕点P旋转180°后的图形．
【分析】（1）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合
题意即可；
（2）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可．
【解答】解：（1）如图1中△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中△ABC即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，解答本题的关键是明确题意，画出相
应的图形，注意不要忘记画出平移后或旋转后的图形．
19．（8分）为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了20名学生在校午餐所花的时
间，由图示分组信息得：A，C，B，B，C，C，C，A，B，C，C，C，D，B，C，C，C，E，C，C．
分组信息
A组：5＜x≤10
B组：10＜x≤15
C组：15＜x≤20
D组：20＜x≤25
E组：25＜x≤30
注：x（分钟）为午餐时间！某校被抽查的20名学生在校午餐所花时间的频数表
组别 划记 频数
A 2
B 4
C 1 2
D 1
E 1
合计 20
（1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在C组的人数．
（2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20
分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．
【分析】（1）根据数据收集20名学生用餐时间，可得C，D、E组的频数，即可完成统计表，
根据样本估计总体的方法进行计算即可得答案；
（2）分析每组数据的频数即可得出答案．
【解答】解：（1）频数表填写如图，
＝240（名）．
答：这400名学生午餐所花时间在C组的有240名．
（2）①选择25分钟，有19人能按时完成用餐，占比95%，可以鼓励最后一位同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率，
②选择20分钟，有18人能按时完成用餐，占比 90%，可以鼓励最后两位同学适当加快用
餐速度或采用合理照顾如优先用餐等方式，以满足学生午餐用时需求，又提高食堂的运行
效率．
③选择30分钟，能说明所有学生都能完成用餐，但未考虑食堂的运行效率．
【点评】本题主要考查了频数（率）分布表，调查数据收集的过程与方法，用样本估计总体，
熟练掌握频数（率）分布表，调查数据收集的过程与方法，用样本估计总体的计算方法进
行求解是解决本题的关键．
20．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，
∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知
识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
21．（10分）已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图象；
（2）利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．
【解答】解：（1）把点（3，﹣2）代入y＝ （k≠0），
﹣2＝ ，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ，
补充其函数图象如下：（2）当y＝5时，﹣ ＝5，
解得：x＝﹣ ，
∴当y≤5，且y≠0时，x≤﹣ 或x＞0．
【点评】本题考查反比例函数，掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的图象性质，
利用数形结合思想解题是关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，
EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）当AD＝5，tan∠EDC＝ 时，求FG的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理得EF∥BC，则∠EFO＝∠GDO，再证△OEF≌△OGD
（ASA），得EF＝GD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线性质得DE＝ AC＝CE，则∠C＝∠EDC，再由锐角三角
函数定义得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝ ，则DE＝ AC＝ ，进而由平行四
边形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠EFO＝∠GDO，
∵O是DF的中点，
∴OF＝OD，
在△OEF和△OGD中，
，
∴△OEF≌△OGD（ASA），
∴EF＝GD，
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝ AC＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∴tanC＝ ＝tan∠EDC＝ ，
即 ＝ ，
∴CD＝2，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∴DE＝ AC＝ ，
由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，∴FG＝DE＝ ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线
定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定
义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱
桥，图2是其抛
物线形桥拱的示
意图，某时测得
水面宽20m，拱
顶离水面5m．据
调查，该河段水
位在此基础上再
涨1.8m达到最
高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的
桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图
3．为了安全，灯笼底部距离水面
不小于1m；为了实效，相邻两盏
灯笼悬挂点的水平间距均为
1.6m；为了美观，要求在符合条件
处都挂上灯笼，且挂满后成轴对
称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
形状
任务2 探究悬挂 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的
范围 最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，
方案 求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，计
算悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m；
任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏．
【解答】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），设抛物线的解析式为：y＝ax2，
把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣ x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，
当y＝﹣1.8时，﹣ x2＝﹣1.8，
∴x＝±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；
方案二：如图3，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转
化为抛物线是解题的关键．
24．（14分）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，
BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段
AB，BE上（不与端点重合），且满足 ＝ ．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求 的值．
【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用△COD∽△CBE，得 ，代入计算即可；
（2）根据CP＝AP+AC，用含x的代数式表示AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；
（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答
案；
②连接AF，QF'，由对称可知QF＝QF'，∠F'QR＝∠EQR＝45°，利用三角函数表示出
BF'和BF的长度，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，
∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CD，
∵BE⊥CD，
∴OD∥BE，
∴△COD∽△CBE，
∴ ，
∴ ，
解得r＝ ，
∴半圆O的半径为 ；
（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2× ＝ ，
∵ ＝ ，BQ＝x，
∴AP＝ ，
∴CP＝AP+AC，
∴y＝ ；（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，
当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，
∴PR＝QE，
∵PR＝PC×sinC＝ ，
∴ ，
∴x＝ ，
当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，
则四边形PHER是矩形，
∴PH＝RE，EH＝PR，
∵CR＝CP•cosC＝ ，
∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，
∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，
∴∠PQH＝45°＝∠QPH，
∴HQ＝HP＝3﹣x，
由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝ ，
∴x＝ ，
综上，x的值为 或 ；
②如图，连接AF，QF'，由对称可知QF＝QF'，
∵CP＝ ，
∴CR＝x+1，∴ER＝3﹣x，
∵BQ＝x，
∴EQ＝3﹣x，
∴ER＝EQ，
∴∠F'QR＝∠EQR＝45°，
∴∠BQF'＝90°，
∴QF＝QF'＝BQ•tanB＝ ，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴BF＝AB•cosB＝ ，
∴ ，
∴x＝ ，
∴ ．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，
三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．
