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2022年江苏省无锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑。）
1．（3分）﹣ 的倒数是（ ）
A．﹣5 B． C．﹣ D．5
2．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
3．（3分）已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．114，115 B．114，114 C．115，114 D．115，115
4．（3分）分式方程 ＝ 的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，
得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．24
6．（3分）π雪花、风车……展示着π中心对称的美，利用中心π对称，可以探索并证明π图形的性质．
请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（ ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
7．（3分）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝
25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°
8．（3分）下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
9．（3分）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A、B，其中点A、B的坐
标为A（﹣ ，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
10．（3分）如图，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则
▱
的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应的位置上。）
11．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ ．
12．（3分）高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活．交通运输部的数据显示，截
止去年底，我国高速公路通车里程161000公里，稳居世界第一．161000这个数据用科学
记数法可表示为 ．
13．（3分）二元一次方程组 的解为 ．
14．（3分）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交：
．
15．（3分）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题： ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ．
17．（3分）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
18．（3分）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直
线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ °；现将
△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤等。）
19．（8分）计算：
（1）|﹣ |×（﹣ ）2﹣cos60°；
（2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣5＝0；
（2）解不等式组： ．
21．（10分）如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点
E、F，连接DE、▱BF．
求证：（1）△DOF≌△BOE；（2）DE＝BF．
22．（10分）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A ，A ，A ，A ，女生
1 2 3 4
分别记为B ，B ，B ．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会
1 2 3
的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1
位是A 或B 的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
1 1
23．（10分）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加
30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，
两次测试数据如下：
育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表
跳绳个数（x） x≤50 50＜ 60＜ 70＜ x＞80
x≤60 x≤70 x≤80
频数（摸底测试） 19 27 72 a 17
频数（最终测试） 3 6 59 b c
（1）表格中a＝ ；
（2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有
多少？24．（10分）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，
且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
25．（10分）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于 O，点D为AC上的动点（点A、C除
外），BD的延长线交 O于点E，连接CE． ⊙
（1）求证：△CED∽△⊙BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．26．（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙
（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，
已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
27．（10分）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2 ，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将
△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
（1）求EF的长；
（2）求sin∠CEF的值．
28．（10分）已知二次函数y＝﹣ x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴
交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝
90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求
出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2022年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑。）
1．（3分）﹣ 的倒数是（ ）
A．﹣5 B． C．﹣ D．5
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此可得出答案．
【解答】解：﹣ 的倒数为﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数的定义，属于基础题，注意掌握乘积是1的两数互为倒数．
2．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
【分析】因为当函数用二次根式表达时，被开方数为非负数，所以4﹣x≥0，可求x的范围．
【解答】解：4﹣x≥0，
解得x≤4，
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，当函数用二次根式表达时，被开方数为
非负数．
3．（3分）已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．114，115 B．114，114 C．115，114 D．115，115
【分析】根据众数定义确定众数；利用算术平均数的计算方法可以算得平均数．
【解答】解：平均数 ＝（111+113+115+115+116）÷5＝114，
数据115出现了2次，次数最多，
∴众数是115．
故选：A．
【点评】本题考查了平均数和众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的
个数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．要明确众数可以有无数个．4．（3分）分式方程 ＝ 的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x的值，检验即可得出答案．
【解答】解： ＝ ，
方程两边都乘x（x﹣3）得：2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣3是原方程的解．
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的
解；③检验；④得出结论是解题的关键．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，
得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．24
【分析π】运用公式S＝ lr（其π中勾股定理求解得到的π母线长l为5）求解．π
【解答】解：在Rt△AπBC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
由已知得，母线长l＝5，半径r为4，
∴圆锥的侧面积是S＝ lr＝5×4× ＝20 ．
故选：C． π π π
【点评】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活地运用公式求解．
6．（3分）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．
请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（ ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身
重合．
7．（3分）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝
25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°
【分析】根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AC，由此判断A、B选项；过点O作
OF⊥AC于F，利用矩形的性质、直角三角形的性质判断C选项；利用三角形外角性质求
得∠BOD的度数，从而判断D选项．
【解答】解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°．
∴∠BOD＝2∠OAD＝50°．
故选项D不符合题意；
∵∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，即AE∥OD，故选项B不符合题意；
∵DE是 O的切线，
∴OD⊥D⊙E．
∴DE⊥AE．故选项A不符合题意；
如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，
∴OF＝DE．
在直角△AFO中，OA＞OF．
∵OD＝OA，
∴DE＜OD．故选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．切线的性质：如果一条直线符合下列
三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②
直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
8．（3分）下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【分析】直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四边相等的四边形是菱形，正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．
9．（3分）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A、B，其中点A、B的坐
标为A（﹣ ，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m，进而求出点A、B的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵点A（﹣ ，﹣2m）在反比例函数y＝ 上，
∴﹣2m＝ ，
解得：m＝2，
∴点A的坐标为：（﹣ ，﹣4），点B的坐标为（2，1），
∴S△OAB ＝ × ×5﹣ × ×4﹣ ×2×1﹣ ×1＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点、反比例函数图象上点的坐标特征，
求出点A、B的坐标是解题的关键．
10．（3分）如图，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则
▱
的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，由直角三角形的性质和勾股
定理可求CD，DE的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
设∠ADB＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝∠ADB＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠DAB＝ ，
∴x+ ＝105°，
∴x＝30°，
∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，
∵BH⊥AD，
∴BD＝2BH，DH＝ BH，
∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠EBH＝45°，
∴EH＝BH，
∴DE＝ BH﹣BH＝（ ﹣1）BH，
∵AB＝ ＝ ＝（ ﹣ ）BH＝CD，
∴ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠ADB＝30°是
解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应的位置上。）
11．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ 2 （ a ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活．交通运输部的数据显示，截
止去年底，我国高速公路通车里程161000公里，稳居世界第一．161000这个数据用科学
记数法可表示为 1.61×1 0 5 ．
【分析】将较大的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可．
【解答】解：161000＝1.61×105．
故答案为：1.61×105．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是
解题的关键．
13．（3分）二元一次方程组 的解为 ．
【分析】根据代入消元法求解即可得出答案．
【解答】解： ，
由②得：y＝2x﹣1③，
将③代入①得：3x+2（2x﹣1）＝12，
解得：x＝2，
将x＝2代入③得：y＝3，
∴原方程组的解为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，将二元方
程转化为一元方程是解题的关键．
14．（3分）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交： y
＝ x + 1 （答案不唯一） ．
【分析】设函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再根据一次函数的图象分别与x轴的负半轴、
y轴的正半轴相交可知k＞0，b＞0，写出符合此条件的函数解析式即可．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交，
∴k＞0，b＞0，
∴符合条件的函数解析式可以为：y＝x+1（答案不唯一）．故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的
关键．
15．（3分）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题： 如果 b ﹣ a ＜ 0 ，那么 a ＞ b
．
【分析】交换题设和结论即可得到一个命题的逆命题．
【解答】解：命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题是“如果b﹣a＜0，那么a＞b”．
故答案为：如果b﹣a＜0，那么a＞b．
【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到
这个命题的逆命题．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交
AE、BC于点H、G，则BG＝ 1 ．
【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x的值，
进而求出BG的长．
【解答】解：连接AG，EG，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝4，
设CG＝x，则BG＝8﹣x，
在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得
AB2+BG2＝CE2+CG2，
即82+（8﹣x）2＝42+x2，
解得x＝7，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．
故答案是：1．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解
决本题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质构造辅助线．
17．（3分）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m ＞ 3 ．
【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公
共点，可得Δ＜0，即可求解．
【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再
向右平移3个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，
∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，
∴m＞3，
故答案为：m＞3．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的
几何变换．
18．（3分）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直
线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ 8 0 °；现将△DCE
绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 4 ﹣ ．【分析】第一个问题证明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠DBC＝∠EAC＝20°，可得∠BAF＝
∠BAC+∠CAE＝80°．第二个问题，如图1中，设BF交AC于点T．证明∠BCT＝∠AFT＝
60°，推出点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，
求出AE，EF可得结论．
【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形，
∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC＝20°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．
如图1中，设BF交AC于点T．同法可证△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵∠BTC＝∠ATF，
∴∠BCT＝∠AFT＝60°，
∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，
∴BD＝ ＝ ＝4，
∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵CD＝CE，CF＝CF，
∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，
∴EF＝CE•tan30°＝ ，
∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4﹣ ，
故答案为：80，4﹣ ．
【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轨迹，解直角三角形，等边三角形
的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤等。）
19．（8分）计算：
（1）|﹣ |×（﹣ ）2﹣cos60°；
（2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）．
【分析】（1）根据绝对值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值计算即可；
（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝ ×3﹣
＝ ﹣
＝1；
（2）原式＝a2+2a﹣（a2﹣b2）﹣b2+3b
＝a2+2a﹣a2+b2﹣b2+3b
＝2a+3b．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，单项式乘多项式，平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣5＝0；
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）根据配方法可以解答此方程；
（2）先解出每个不等式，然后即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
∴x﹣1＝± ，
解得x ＝1+ ，x ＝1﹣ ；
1 2
（2） ，
解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x≤ ，
∴原不等式组的解集是1＜x≤ ．
【点评】本题考查解一元二次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元
二次方程的方法和解一元一次不等式组的方法．
21．（10分）如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点
E、F，连接DE、▱BF．
求证：（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE＝BF．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，平行四边形的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】证明：（1）∵点O为对角线BD的中点，∴OD＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
∴∠DFE＝∠BEF，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（AAS）．
（2）∵△DOF≌△BOE，
∴DF＝EB，
∵DF∥EB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE＝BF．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握
这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．
22．（10分）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A ，A ，A ，A ，女生
1 2 3 4
分别记为B ，B ，B ．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会
1 2 3
的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1
位是A 或B 的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
1 1
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A 或B 的
1 1
结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A 或B 的结果有6种，
1 1
∴抽得的2位学生中至少有1位是A 或B 的概率为 ＝ ．
1 1
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
23．（10分）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加
30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，
两次测试数据如下：
育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表
跳绳个数（x） x≤50 50＜ 60＜ 70＜ x＞80
x≤60 x≤70 x≤80
频数（摸底测试） 19 27 72 a 17
频数（最终测试） 3 6 59 b c
（1）表格中a＝ 6 5 ；
（2）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有
多少？【分析】（1）用学生总人数减去各组的频数可求解；
（2）先求出x＞80这组的百分比，即可求解；
（3）用学生总人数乘以百分比，可求解．
【解答】解：（1）a＝200﹣19﹣27﹣72﹣17＝65，
故答案为：65；
（2）100%﹣41%﹣29.5%﹣3%﹣1.5%＝25%，
扇形统计图补充：如图所示：
（3）200×25%＝50（人），
答：经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有50
人．
【点评】本题考查了扇形统计图，利用统计图获取信息的能力，利用统计表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解
决问题．
24．（10分）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，
且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．求出AH，AD，利用梯形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求；
（2）过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°，
∴BH＝AB•cos60°＝1，AH＝AB•sin60°＝ ，
∴CH＝BC﹣BH＝2，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵AH⊥CB，CD⊥AD，∴∠AHC＝∠ADC＝∠DCH＝90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AD＝CH＝2，
∴S四边形ABCD ＝ ×（2+3）× ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握五种基
本作图，属于中考常考题型．
25．（10分）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于 O，点D为AC上的动点（点A、C除
外），BD的延长线交 O于点E，连接CE． ⊙
（1）求证：△CED∽△⊙BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．
【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明
△CED∽△BAD；
（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝
2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得 ，
得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF
＝ x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（ x）2+（5x）2＝
42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，
∴△CED∽△BAD；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，
∵△ABC是边长为6等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，
∵DC＝2AD，
∴AD＝2，DC＝4，
∵△CED∽△BAD，
∴ ，
∴EC＝3DE，
∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，
∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝2EF，
设EF＝x，则DE＝2x，DF＝ x，EC＝6x，
∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，
∴（ x）2+（5x）2＝42，
解得：x＝ 或﹣ （不符合题意，舍去），
∴EC＝6x＝ ．
【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程
等知识是解决问题的关键．
26．（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙
（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，
已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为 ＝（8﹣x） m，可得（x+2x）×
（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得0＜x≤ ，而y＝（x+2x）×
（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x＝ 时，矩形养殖场的总
面积最大，最大值为 m2．
【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为 ＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，
经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，
∴x＝2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，
∵墙的长度为10m，
∴0＜x≤ ，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＝ 时，y取最大值，最大值为﹣3×（ ﹣4）2+48＝ （m2），
答：当x＝ 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及
函数关系式．
27．（10分）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2 ，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将
△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
（1）求EF的长；
（2）求sin∠CEF的值．
【分析】（1）根据翻折变换的特点和勾股定理结合方程思想解答即可；
（2）根据锐角三角函数的定义，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）∵CE＝AE，
∴∠ECA＝∠EAC，根据翻折可得：∠ECA＝∠FCA，∠BAC＝∠CAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DA∥CB，
∴∠ECA＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAF＝90°，
设CE＝AE＝x，则BE＝4﹣x，
在△BAE中，根据勾股定理可得：
BA2+BE2＝AE2，
即： ，
解得：x＝3，
在Rt△EAF中，EF＝ ＝ ．
（2）过点F作FG⊥BC交BC于点G，
设CG＝y，则GE＝3﹣y，
∵FC＝4，FE＝ ，
∴FG2＝FC2﹣CG2＝FE2﹣EG2，
即：16﹣y2＝17﹣（3﹣y）2，
解得：y＝ ，
∴FG＝ ＝ ，
∴sin∠CEF＝ ＝ ．【点评】本题主要考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握这些
性质特点是解答本题的关键．
28．（10分）已知二次函数y＝﹣ x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴
交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝
90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求
出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）二次函数与y轴交于点B（0，3），求得c＝3，根据A（1，0），即二次函数对称轴
为直线x＝1，求出b的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）通过证明△ADE∽△BAO，BO•DE＝OA•AE，然后结合点D的坐标特征列方程求得
DE和AE的长度，从而求解；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，再利用几何图形的性质，结合方程思想求出对应点C的坐标即可．
【解答】解：将点B（0，3）代入y＝﹣ x2+bx+c，
可得c＝3，
∵二次函数y＝﹣ x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），
∴﹣ ＝1，
解得：b＝ ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣ x2+ x+3；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，
∵∠CAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAO，
∵∠BOA＝∠DEA＝90°，
∴△ADE∽△BAO，
∴ ，即BO•DE＝OA•AE，
设D点坐标为（t，﹣ t2+ t+3），
∴OE＝t，DE＝﹣ t2+ t+3，AE＝t﹣1，∴3（﹣ t2+ t+3）＝t﹣1，
解得：t＝﹣ （舍去），t＝4，
当t＝4时，y＝﹣ t2+ t+3＝1，
∴AE＝3，DE＝1，
在Rt△ADE中，AD＝ ＝ ，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝ ，
在Rt△ACD中，tan∠CDA＝ ＝1；
（3）存在，理由如下：
①如图，与（2）图中Rt△BAD关于对称轴对称时，tan∠C′D′A＝1，
∵点D的坐标为（4，1），
∴此时，点C′的坐标为（﹣2，1），
当点C′、D关于对称轴对称时，此时AC′与AD长度相等，即tan∠C′D′A＝1，
②当点C在x轴上方时，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，∵∠CAD＝90°，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAE＝45°，
∴△CAE为等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设点C的坐标为（m，﹣ m2+ m+3），
∴CE＝﹣ m2+ m+3，AE＝1﹣m，
∴﹣ m2+ m+3＝1﹣m，
解得m＝3+ （舍去）或m＝3﹣ ，
此时点C的坐标为（3﹣ ， ﹣2）；
③当点C在x轴下方时，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，
∵∠CAD＝90°，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAF＝45°，∴△CAF为等腰直角三角形，
∴CF＝AF，
设点C的坐标为（m，﹣ m2+ m+3），
∴CF＝ m2﹣ m﹣3，AF＝1﹣m，
∴ m2﹣ m﹣3＝1﹣m，
解得m＝﹣1+ （舍去）或m＝﹣1﹣ ，
此时点C的坐标为（﹣1﹣ ，﹣ ﹣2）；
综上，点C的坐标为（﹣2，1）或（3﹣ ， ﹣2）或（﹣1﹣ ，﹣ ﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，掌握待定系数法求函数解析式，运用
数形结合、分类讨论及方程思想解题是关键．
